26.2 二次函数的图象与性质综合训练 2026—2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 26.2二次函数的图象与性质限时训练，通过基础选择填空、提升综合选择、综合解答题三层设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（38分）|二次函数开口方向、顶点坐标、对称轴等基本概念|单选题1-10题、填空题16-19题，直接考查概念辨析与简单运算| |提升层（10分）|图像与参数关系、多函数图像综合|单选题11-15题，结合图像分析参数符号、函数图像共存问题| |综合层（62分）|解析式求解、最值应用、几何结合|解答题20-27题，通过待定系数法、平移变换、对称轴应用等综合考查问题解决能力|

26.2 二次函数的图象与性质综合运用 姓名：___________班级：___________ 一、单选题（每题2分，共30分） 1．对于二次函数，下列正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 【答案】D 【分析】根据二次项系数判断开口方向与最值，根据顶点式确定对称轴，结合开口方向判断增减性，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，函数的最大值为，因此A、B选项错误； ∵该函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大，因此C选项错误； 该函数图象的对称轴为直线，因此D选项正确． 2．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将代入，得 3．顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，二次函数顶点式中，决定抛物线的开口方向和形状，顶点坐标为，根据已知条件确定和顶点坐标即可得到解析式． 【详解】解：∵所求抛物线的开口方向、形状与相同， ∴所求抛物线的二次项系数，可排除C、D选项； ∵所求抛物线的顶点为，代入顶点式（顶点坐标为）， 得，，， ∴解析式为． 4．若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，结合开口向下的抛物线的性质比较函数值大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， 开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越大，对应的y值越小， 点A到对称轴的距离：， 点B到对称轴的距离：， 点C到对称轴的距离：， ∵， ∴． 5．关于的二次函数的图像过原点，则的值为（    ） A． B．3 C． D．0 【答案】A 【分析】根据题意，关于的二次函数的图像过原点，将坐标代入可得且，解得，从而得到答案． 【详解】解：关于的二次函数的图像过原点， 将坐标代入可得，且二次函数定义知， ， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数定义、二次函数图像与性质，根据题意得到且是解决问题的关键． 6．二次函数的最大值是（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】已知二次函数为顶点式，可根据开口方向直接确定函数的最大值． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式， ∴二次项系数，二次函数开口向下，函数存在最大值， ∵顶点式的顶点坐标为，该函数顶点坐标为， ∴的最大值为． 7．若为二次函数的图象上的三点，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据开口向上的二次函数，离对称轴越远，函数值越大，只需要比较出A、B、C三点离对称轴距离的大小即可得到答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵，开口向上， ∴离对称轴越远的点的纵坐标越大， ∵， ∴， 故选：D． 8．关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：把化为顶点式：， ∵， ∴图象开口向上，A错误； 该函数的对称轴为直线，B错误； ∵开口向上，顶点坐标为， ∴函数的最小值为，C错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 9．若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，利用开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的性质比较即可． 【详解】∵二次函数解析式为 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上时，点到对称轴的距离越大， 对应的函数值越大分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： ∵ ∴． 10．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 11．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置以及最值性质，逐项判断各结论的正确性即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； 对称轴为直线， 与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，，即，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 12．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y轴的哪一侧，交y轴的位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可． 【详解】解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 13．二次函数的图象上有两点和，则的值为（   ） A． B．2 C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 点和在二次函数图象上且纵坐标相同，故和是方程的两个根，利用根与系数的关系直接求即可． 【详解】解：∵点和在函数图象上， ∴和是方程的两个根， 即和是方程的两个根， 由根与系数关系，． 故选：B． 14．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像及性质，二次函数的图像及性质．根据一次函数的图像经过的象限确定，，进而根据二次函数的图像的开口方向及对称轴，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限， ，， ∴二次函数的图像开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧，则符合题意的选项为C． 故选：C． 15．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 二、填空题（每题2分，共8分） 16．抛物线的顶点坐标是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了把二次函数的解析式转化为顶点式，根据顶点式写出抛物线的顶点坐标即可． 【详解】解： 抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 17．抛物线的对称轴是___________ ． 【答案】直线 【分析】根据二次函数顶点式的性质确定抛物线的对称轴即可. 【详解】解：∵对于二次函数的顶点式，其对称轴为直线， ∴抛物线对称轴是直线. 18．写一个对称轴是直线且开口向下的二次函数解析式为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质，对称轴可由顶点式中的确定，开口方向由系数的符号决定；当时，开口向下．据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，二次函数满足对称轴是直线且开口向下， 故答案为： 19．将二次函数化为的形式是________． 【答案】 【详解】解：． 三、解答题（共62分） 20.（7分）已知函数是关于x的二次函数． (1)当m为何值时，该函数图象的开口向下？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ (2)当m为何值时，该函数有最小值？这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是二次函数的定义与性质，一元二次方程的解法； （1）根据二次函数的定义可得且，求解的值后结合二次函数的性质可得答案； （2）结合（1）的结论，根据二次函数的性质可得答案； 【详解】（1）解：∵是关于x的二次函数， 且， 解得或，即m的值为7或. 当时，，函数图象开口向下， ∴当m为时，函数图象开口向下，此时当时，y随着x的增大而减小； （2）解：当时，，函数图象开口向上，函数有最小值， ∴当m为7时，函数有最小值，当时，y随着x的增大而增大． 21．（6分）已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，代入已知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式； （2）将解析式配方为顶点式，当时，y取得最小值；再计算当，时，分别对应的函数值，即可得到y的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：将二次函数配方得， 函数的对称轴为直线 ∵ ∴二次函数开口向上， ∴当时，y取得最小值； 当时，， 当时，； 即在时，y的取值范围是． 22.（7分）已知抛物线顶点，且过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)求此抛物线的开口方向和y的最值； 【答案】(1) (2)开口向上， 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的性质； （1）抛物线的解析式为，将代入，即可求解； （2）由及顶点，即可求解； 掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线顶点， 可设此抛物线的解析式为， 过点， ， 解得：， ； 故此抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， ， 抛物线的开口向上，． 23.（6分）已知抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，若点在抛物线上，求该抛物线的解析式． 【答案】． 【分析】根据抛物线的对称轴为直线，设抛物线的解析式为，代入点、点，得到二元一次方程组求解，即可得到完整解析式． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴设抛物线的解析式为， 代入点、点，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据对称轴为直线设二次函数的解析式为是解题的关键． 24．（8分）已知二次函数y=2x2+bx+1的图象过点（2，3）． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点P（m，m2+1）也在该二次函数的图象上，求点P的坐标． 【答案】（1）y=2x2-3x+1；（2）点P的坐标为（0，1）或（3，10）． 【分析】（1）把点（2，3）代入二次函数的解析式，解方程即可得到结论； （2）把点P（m，m2+1）代入函数解析式，解方程即可得到结论． 【详解】（1）∵二次函数y=2x2+bx+1的图象过点（2，3）， ∴3=8+2b+1， ∴b=-3， ∴该二次函数的表达式为y=2x2-3x+1； （2）∵点P（m，m2+1）也在该二次函数的图象上， ∴m2+1═2m2+-3m+1， 解得：m1=0，m2=3， ∴点P的坐标为（0，1）或（3，10）． 【点睛】本题考查了求二次函数的表达式，二次函数图形上上点的坐标特征，正确的求得解析式是解题的关键． 25．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)将抛物线向右平移个单位，当平移后抛物线经过点时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用待定系数法，将两点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可得到抛物线解析式； （2）根据抛物线平移的“左加右减”规律得到平移后的解析式，将点坐标代入，解方程求出的值，再结合即可得到结果． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 整理得 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：由得抛物线解析式为， ∴， ∵将抛物线向右平移个单位， ∴根据平移规律，得到平移后的解析式为， ∵平移后抛物线经过点， ∴将，代入得， ， 解得，， ∵， ∴． 26．（8分）已知二次函数（，为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，求的值． 【答案】 【分析】先确定顶点坐标为，可得最小值为，当时，函数取得最大值，为，即可列方程求解． 【详解】解：， 顶点坐标为， ，即抛物线开口向上，，最小值为， 当时，该函数的最小值为， ， 当时，函数取得最大值，为， 由题意可得， 解得． 27.（12分）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 【答案】(1) (2)1，4 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的解析式，轴对称与线段和最值问题，掌握好二次函数的性质并运用数形结合思想是解题关键． （1）将和代入，求出b和c的值； （2）将和代入，求出m和n的值； （3）根据轴对称的性质，，则．当B、E、C三点共线时，最小，用（2）的一次函数解析式求出点E的坐标 ． 【详解】（1）解：将和代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将和代入得， ，解得， ∴，，； （3）解： 由对称轴公式可得，抛物线的对称轴为直线， ∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称， 又∵点在抛物线对称轴上， ∴由轴对称的性质可得，， ∴， 当B、E、C三点共线时，最小，即最小， 将代入得， ， ∴点E的坐标为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2 二次函数的图象与性质限时训练 姓名：___________班级：___________ 一、单选题（每题2分，共30分） 1．对于二次函数，下列正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 2．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 3．顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 4．若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．关于的二次函数的图像过原点，则的值为（    ） A． B．3 C． D．0 6．二次函数的最大值是（   ） A．1 B． C．5 D． 7．若为二次函数的图象上的三点，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 9．若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 11．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 12．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 13．二次函数的图象上有两点和，则的值为（   ） A． B．2 C．2024 D． 14．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（    ） A．B． C．D． 15．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A．B． C．D． 二、填空题（每题2分，共8分） 16．抛物线的顶点坐标是____． 17．抛物线的对称轴是___________ ． 18．写一个对称轴是直线且开口向下的二次函数解析式为______． 19．将二次函数化为的形式是________． 三、解答题（共62分） 20.（7分）已知函数是关于x的二次函数． (1)当m为何值时，该函数图象的开口向下？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ (2)当m为何值时，该函数有最小值？这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 21．（6分）已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 22.（7分）已知抛物线顶点，且过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)求此抛物线的开口方向和y的最值； 23.（6分）已知抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，若点在抛物线上，求该抛物线的解析式． 24． （8分） 已知二次函数y=2x2+bx+1的图象过点（2，3）． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点P（m，m2+1）也在该二次函数的图象上，求点P的坐标． 25．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)将抛物线向右平移个单位，当平移后抛物线经过点时，求的值． 26．（8分）已知二次函数（，为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，求的值． 27.．（12分）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $