14.3 角的平分线同步练2026-2027学年上学期数学人教版八年级

**基本信息** 本同步练通过基础、提升、综合三层设计，覆盖角平分线作图、性质、判定及综合应用，梯度合理，强化几何直观与推理能力，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|尺规作图、性质直接应用|单选1-3考查作图步骤与性质，填空10直接应用角平分线性质求面积| |提升层|性质与面积、外角结合|单选7多结论判断涉及角平分线性质与全等，填空14结合周长计算面积| |综合层|跨知识点综合应用|解答20通过仪器模型探究角平分线原理，体现数学建模与实践应用|

14.3 角的平分线 同步练 2026-2027学年 上学期初中数学人教版（新教材）八年级上学期 一、单选题 1．如图，在中，，．洋洋按下列步骤作图：①以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长的一半为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线，交边于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在轴，轴上分别截取，使，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点．若点的坐标为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，平分，于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，为边上的中线，于点，，相交于点，连接．若平分，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．6 6．如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点重合，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，中，，的角平分线，交于点，延长，过作于，于，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （   ） A． B． C． D．无法确定 9．如图，任意画一个的，再分别作的两条边的角平分线和，、相交于点P，连接，下列结论中错误的有（   ） A． B．平分 C． D． 二、填空题 10．如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是___________． 11．如图，在四边形中，分别平分和．点在线段上．若，，则的长是______． 12．如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为________． 13．如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为______． 14．如图，的三条角平分线交于点，，若的周长为10，，则___________． 三、解答题 15．如图，在中，是高，，． (1)画出的角平分线，分别交，于点，．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)求的度数． 16．如图，于E，于F，若， (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 17．如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P． (1)试探索与的关系； (2)若，求的度数． 18．如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 19．如图，在中，和的平分线交于点，过点作，，，垂足分别为． (1)求证：点在的平分线上； (2)若的周长和面积都为24，求的长． 20．如图①是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图②，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P，是的角平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，，求的面积． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C C A C C B C B C 1．C 本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及其尺规作图，先根据三角形内角和定理求出的度数，再由作图方法可知平分，据此可得答案． 解：∵在中，，， ∴， 由作图方法可知，平分， ∴， 故选：C． 2．C 本题考查了作图－基本作图，角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．根据作图方法可知点P在的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，可得关于a的方程，求解即可． 解：∵，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P， ∴点P在的角平分线上， ∴点P到x轴和y轴的距离相等， 又∵点P的坐标为， ∴， ∴． 故选：C． 3．A 本题考查角的平分线性质，过点作于点，证明，再利用三角形的面积公式即可得出结论，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 解：如图，过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 4．C 本题考查了角平分线的性质定理，理解定理内容是关键；根据角平分线性质定理得；利用即可求解． 解：∵为的平分线，，， ∴； ∵， 即， ∴， 解得：， 故选：C． 5．C 本题考查角平分线的性质定理、三角形的中线性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理以及三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键． 过F作于G，根据角平分线的性质求得，再根据三角形一边上的中线将三角形面积平分求解即可． 解：过F作于G， ∵平分，，， ∴， ∵为的边上的中线， ∴为的边上在中线， 又∵， ∴， 故选：C． 6．B 本题考查角平分线的判定定理、三角形的内角和定理，先根据角平分线的判定定理得到平分，再利用三角形内角和定理即可求解． 解：由题意，，， ∴平分， ∵， ∴， 在中，， 故选：B． 7．C 本题考查了角平分线的性质定理和逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． ①作于，于，于．由角平分线的性质得出，，得出，即可得出①正确； ②假设，则，由已知条件可知：，已知条件中并不能推出，所以②不一定成立； ③由角平分线和三角形的外角性质得出，，得出，③正确； ④由全等三角形的性质得出，，即可得出④正确；即可得出答案． 解：①作于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上，故①正确； ②假设，则， 由已知条件可知：， ∴， 题干中并没有这个条件，所以②不一定成立； ③平分，平分， ，， ∴， ，③正确； ④在和中， ， ∴， ， 同理：， ， ，④正确； 故选C． 8．B 本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，作交于点E，作交于点F，连接，证明，再利用即可求出的长度． 解：作交于点E，作交于点F，连接， ∵平分，平分， ∴， ∵， 即， ∴． 故选：B． 9．C 本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，A正确；由可知，过点P作，，，由角平分线的性质可知是的平分线，B正确，由可证，可得，即可判断C，故可求解． 解：∵、分别是与的角平分线，， ∴， ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， 过点P作于N，于G，于H， 又∵、分别是与的角平分线， ∴， ∴是的平分线， 故B选项正确，不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴， 若，， 则， 故C选项错误，符合题意； 由②知， 即P到、的距离相等， ∴， 故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 10． 本题考查了角平分线的性质，作于，由作图可得平分，由角平分线的性质可得，最后由三角形的面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：如图，作于， ， 由作图可得：平分， ∵，， ∴， ∴的面积是， 故答案为：． 11．3 本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等，掌握此性质是解题的关键；过点C作于点F，由角平分线的性质定理得，由即可求解． 解：如图，过点C作于点F， ∵分别平分和， ∴，， ∴， 即分别平分， ∴， ∴， 故答案为：3． 12．/63度 本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确进行计算是解决此题的关键．如图，连接，过点作，交的延长线于点，证明平分平分，利用三角形的外角性质求得，进一步计算即可求解． 解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ，，， 平分， 平分，，， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 13．/1厘米 本题考查了角平分线的性质定理及与三角形高有关的计算，分别过点O作，连接，易得点在的角平分线上，推出，设，根据，建立方程求解即可． 解：分别过点O作，连接， ∵点是与平分线的交点， ∴点在的角平分线上， ∴， 设， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离等于． 故答案为：． 14．20 本题主要考查了角平分线的性质定理，过点O作，，由角平分线的性质定理得出，由题意可知，最后根据计算即可． 解：过点O作，，如下图： ∵的三条角平分线交于点，， ∴，，， ∴， 根据题意可知：， ∴ 故答案为：20 15．(1) 如图所示，即为所求． (2) 此题考查作图—作角平分线及三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题关键在于根据题意作出图形． （1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作平分即可； （2）先求，再根据角平分线求出，进而利用三角形外角的性质根据求出结论． （1）略 （2）∵，， ∴ ∵是的平分线 ∴ ∵是边上的高 ∴ ∴． 16．(1)见解析 (2) 本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的判定； （1）先证明，再证明，再结合全等三角形的判定与角平分线的判定可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，再进一步解答即可． （1）证明：，， ， ∴在和中，， ， ， ， ∴平分； （2）解：，，， ， ， ， ， ． 17．(1) (2) 本题考查的是角平分线的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定与性质是关键， （1）先得出，根据角平分线定义得出，进而证明结论； （2）过点P作于点Q，于点R，交延长线于点M，证明，得出平分，即可求出结论． （1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点P作于点Q，于点R，交延长线于点M， ∵分别是的平分线， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上， 即平分， 由（1）得， ∴， ∴． 18． 本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理及三角形面积的求解是解题的关键．过点O分别作于点E，于点F，根据角平分线性质定理，可证明，根据，可列出算式，并结合的周长求出面积． 如图，过点O分别作于点E，于点F， 分别平分，， ， 同理， 的周长是21， ， ． 19．(1)见解析 (2)． 本题考查角平分线的性质和判定，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证得，然后利用角平分线的判定定理，即可得出结论； （2）连接，由（1）知，然后由求得，根据的周长和面积都为24列式求解即可． （1）证明：∵和的平分线交于点，过点作，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上； （2）解：连接， 由（1）知， ∴ ， ∵的周长和面积都为24， ∴， ∴． 20．(1) 解：是的角平分线，理由如下： 在和中， 是的角平分线． (2)的面积为54 本题考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定定理． （1）由全等三角形的判定定理判定和全等，由全等三角形的对应角相等证明即可； （2）过P作于点H，得出的长度，根据三角形的面积公式求解即可． （1）略 （2）解：过P作于点H， 于点Q，平分 的面积的面积+的面积， 的面积 答：的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $