14.2 全等三角形的判定-全等三角形的辅助线问题专项练2026-2027学年上学期数学人教版八年级

**基本信息** 聚焦全等三角形辅助线添加，系统整合截长补短、倍长中线等6类方法，构建"判定定理-辅助线技巧-综合应用"逻辑链条，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |截长补短|题1、4|线段和差转化，构造全等三角形|基于SAS/ASA判定，解决最小值与周长问题| |倍长中线|题10、14、17|延长中线至两倍，转移线段构建三角形|联系三角形三边关系，突破中线取值范围| |对称与旋转|题3、6、19|轴对称翻折、旋转全等图形|利用角平分线、等腰直角三角形性质转化面积与线段| |构造全等模型|题2、9、15|三垂直模型、等腰直角三角形构造|结合坐标系与动态问题，强化模型应用意识|

14.2全等三角形的判定-全等三角形的辅助线问题专项练 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上学期 一、单选题 1.如图所示，在△ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC,P为线段BD上一动点，Q 为边AB上一动点，当AP+P的值最小时，∠APB的度数是() A.118 B.125° C.136° D.124° 2.如图，小敏将等腰直角三角板ABC放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示-1 2,1) 的点重合，点B坐标为 ,则点A的坐标为() A.（2,3) B.(2,3) c.(3,3) D.（-2,-3) 3.如图，在R1△ABC中，AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜边BC上两点，且 ∠D1E=45,若BD=3,CE=4,Se=l5,则a1BD与△4E 心的面积之和为() 0 E A.36 B.21 C.30 D.22 4.如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和LACB的平分线BD、CE相交于点O,BD交 AC于点D,CE交AB于点E,若己知△ABC周长为20，BC=7,AE:AD=5:4,则AE 长为() 4 E D B 10 A.3 B.3 c. D.4 5.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,D是线段BC上一点，连接AD,过点A 作AE⊥AD,且AE=AD,连接EC交AB于点F,若BD=3.3,BF=2.5,则AB的长度 为() D B A.8.3 B.8.5 c.8.7 D.9.1 6如图，在五边形4BCDE中，∠B=∠E-90,ZCAD=)BAEB=4E,且CD=3 AE=4,则五边形ABCDE的面积为() B A.6 B.8 C.10 D.12 7.如图，在△ABC中，点D为AC的中点，点E是AC下方一点，连接BE,CE.BD平 分∠ABE,CEI‖AB.若CE=3，,BE=8,则AB的长为() D A.8 B.10 C.11 D.12 二、填空题 8.如图，在等边△ABC中，点E在线段AB的延长线上，点D在直线BC上，且ED=EC 若△ABC的边长为1，AE=3,则CD= D E 9.如图，线段AB=6,AC=4,射线AN⊥AB于点A,C是射线AN上一动点，分别以 AC,BC为直角边作等腰RtACD与等腰RtABCE,连接DE交射线AN于点M,则 △CME的面积为 B 10.在△ABC中，AB=2,AC=4,则BC边上的中线AD的取值范围是 11.如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在 图中，只要量出CD的长，就能求出工件内槽的宽AB的长，依据是 12.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,交AD于点F. 若∠B1C=45,=25,则CD的长为 CD E B 13.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,AD=AC,在AC上截取AE=AB,连 接DEBE,并延长BE交CD于点R以下结论：①△BAC≌△EAD；② ∠ABE+∠ADE=∠BCD:③BC+CF=DE+EF;其中正确的有一 B 14.如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=12,AD=8,则AC的取值范围是 D 15.已知：△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D为直线BC上一点，过点B作BG⊥直 线AD于点G,过点C作CF⊥直线AD于点F. D B 图1 备用图 (1)如图1，若BG=7,CF=2,则GF= (2)当点D在直线BC上运动时，FG=10,BG=6,则CF= 三、解答题 16.如图，D为△ABC内一点，AD⊥CD,AD平分∠CAB,且∠DCB=∠B.如果 AC=6,CD=2,求AB的长。 17.如图，AD为△ABC的中线 B D (I)求证：AB+AC>2AD: (2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围. 18.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，直线I经过点A且绕点A在△ABC所 在平面内转动，作BD⊥I,CE⊥l,D,E为垂足 D B D 图① 图② 图③ (I)如图①，求证：DA+DB=2DE; (2)在图②和图③中，(1)的结论是否成立？若成立，请说明理由：若不成立，直接写出 DE,DA,DB 三条线段的数量关系. 19.【基本模型】 (1)如图1，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC边上，F在CD边上时，请你探 究BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论. 【模型运用】 (2)如图2，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC的延长线上，F在CD的延长线 上时，请你探究BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论， D B E 图1 图2 20.【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板 如图：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB;在△DEF中，∠DEF=90°，∠EDF=30°，并 提出了相应的问题. D D B B 图1 图2 图3 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作 AM⊥DF,垂足为M,过点C作CN⊥DF,垂足为N. )图1中，AM=3,CN=8,求MN的长，请补充小明的过程. :∠ABC=90° ∴.∠ABM+∠CBN=90°， ,AM⊥DF,CN⊥DF, ∴.∠AMB=90°，∠CNB=90°， .∠ABM+∠BAM=90°， ∴.∠BAM=∠CBN,… (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过 点C作CP⊥DE,垂足为P,猜想AE,PE,CP之间的数量关系，并说明理由. (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若 AE=8,BE=2 CE△ACE ，连接，请求出的面积。 21.在△ABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点（不与B、C重合），E是△ABC外一 点，连接AD、AE,已知AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE,DE. B D B D B 图1 图2 (I)如图1，点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠ACE=度： (2)如图2，当点D在线段BC上，试判断∠ADE与∠ACE之间的数量关系，并说明理由： (3)当点D在线段CB的延长线上时，(2)中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论 并说明理由， 参考答案 题号 1 2 3 5 6 7 答案 D B B A D 1.D 先在BC上截取BE=B0,连接PE,证 ,△PB0≌PBE(SAS)),得出 E=P,说明 AP+PO=AP+PE ,找出当A、P、E在同一直线上，且 BC时，P+PE最小，即 AE⊥BC AP+PO AE⊥BC 最小，过点A作 BD 于点卫，交于点P,根据三角形外角的性质可得答案 解：在BC上截取BE=BO,连接PE,如图： D B E ,BD平分∠ABC,∠ABC=68°， ∠ABD=∠CBD=号∠ABC=34° 2 BP=BP, △PBQ≌APBE(SAS) .PE=PO, .AP+PO=AP+PE :当A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE最小，即AP+PO最小，过点A作 AE⊥BC于点E,交BD于点P,如图： D B E .∠AEB=90°，∠CBD=34°， .∠APB=∠AEB+∠CBD=124° 故选：D. 2.A 本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的判定及性质，添加适当辅助线构造全等三角形 是解题的关键， 过点A,点B分别作D,BE垂直于x轴，通过证明△1DC≌△CEB(1MS) 得到 AD=CE=3,CD=BE=1,即可得出点A的坐标 解：如图，过点A,点B分别作AD,BE垂直于x轴， 则∠ADC=∠CEB=90° .∠ACD+∠DAC=90°， 2,10 :点C与x轴上表示l的点重合，点B坐标为 0C=1,OE=2,BE=1, .CE=1+2=3, 由题意可知AC=CB,∠ACB=90° .∠ACD+∠ECB=90°， .∠DAC=∠ECB, .△ADC≌ACEB(AAS) .AD=CE=3,CD=BE=1, ..OD=CD+OC=2. 点4的坐标为 -2,3) 故选：A. 3.B 将△ADE关于AE对称得到△AFE,从而可得△AFE的面积为15，再根据对称的性质可得 AF=AD,∠EAF=45° △ACF兰△ABD ，然后根据三角形全等的判定定理证出 ,从而可得 CF=BD=3,LACF=ZABD=45,S.CF S.ABD 最后根据△1BD与△4EC 的面积之和等 于△AFE与△CEF的面积之和即可得. 解：如图，将△ADE关于AE对称得到△AFE, 9 AF=AD,∠EAF=45°SMFE=SADe=15 则 .∠CAF+∠CAD=∠DAE+∠EAF=45°+45°=90° :∠BAD+∠CAD=∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°， .∠CAF=∠BAD AC=AB ∠CAF=∠BAD 在 和 中， △ACF △ABD AF=AD .△ACF兰△ABD(SAS) .CF=BD=3,∠ACF=∠ABD=45,SACF=SABD .∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，即△CEF是直角三角形， 50.F-4x3=6, S.4BD+S.AEC =S.4CF+S.AEC=S.AFE+S.CEF=15+6=21 即△ABD与△AEC的面积之和为21， 故选：B 本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造 全等三角形和直角三角形是解题关键. 4.B 本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的 辅助线构造全等三角形是解题的关键。 在BC上截取点F使得BF=BE,连接OF，根据角平分线的定义得到 =∠OBF=乙ABC,∠0CD=∠0CF=)∠ACB,进 ∠COD=∠BOE=∠OBC+∠OCB=60°，先证明△OBF≌△OBE,得到∠BOF=∠BOE=60° 再证明△OCF≌△OCD,推出BC=BF+CF=BE+CD,再利用三角形的周长公式求出AE 的长，即可得出答案。 解：如图，在BC上截取点F使得BF=BE,连接OF, E 0 B ,∠A=60°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°， :∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O, :∠OBE=∠OBF=∠ABC,∠OCD=∠OCF=∠ACB, A∠08C+20CB=)aBc+54CB=3x120°=60. 1 2 2 .∠COD=∠BOE=∠OBC+∠OCB=60°， :BF=BE,∠OBF=∠OBE,OB=OB, △OBF≌AOBE(SAS) ∴.∠BOF=∠BOE=60° .∠C0F=180°-60°-60°=60°， .∠COF=∠COD. 又，∠OCF=∠OCD,OC=OC, :△OCF≌OCD(ASA) ..CF=CD. .'BC=BF+CF=BE+CD. .AE:AD=5:4, .设AE=5x,AD=4x, :△ABC周长为20，BC=7, .AB+AC+BC=AE+BE+CD+AD+BC=AE+AD+2BC=20. 即5x+4x+14=20. 解舒子 E=5x210 x33, 故选：B. 5.A 本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键. 过点E作EG⊥AB于点G,则∠AGE=∠EGB=90°，先证明△AEG≌△DAB得到 EG=AB,AG=BD=3.3,则有EG=BC,进而推出△EFG≌aCFB,得到GF=BF=2.5, 再利用线段的和差即可求解. 解：如图，过点E作EG⊥AB于点G, 则∠AGE=∠EGB=90°， .∠EAG+∠AEG=90° ,AE⊥AD, ∴.∠EAD=90° .∠EAG+∠DAB=90°， .∠AEG=∠DAB 又，∠AGE=∠DBA=90°，AE=AD, △AEG≌△DAB(AAS) .'EG=AB,AG=BD=3.3. .AB=BC, .'.EG=BC, 又，∠EGF=∠CBF=90°，∠EFG=∠CFB, :AEFG≌ACFB(AAS) .GF=BF=2.5, ∴.AB=AG+GF+BF=3.3+2.5+2.5=8.3, 故选：A. 6.D 本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的 性质将面积进行转化。 将△ABC绕点A逆时针旋转至△AEF,首先证明点D,E,F三点共线，证明 △ACD≌△AFD(SAS ,得到CD=DF=3,Sm=Sm,再将所求面积转化为 2SAD进 行计算即可. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AEF, E A B AB=AE∠B=∠E=90° 则AF=AC,∠B=∠AED=∠AEF=90°， .∠DEF=180° 即点D,E,F三点共线， :∠CAD=I∠BAE 2 ∠BAC+∠DAE=∠DAE+∠EAF=∠CAD 即∠FAD=∠CAD 在△ACD和△AFD中 AC=AF ∠CAD=∠FAD AD=AD :.△ACD≌△AFD(SAS) .CD=DF SAACD=S△MPD CD=3, DF=3, 五边形ABCDE的面积为： S四边形ACDE+S。ABC=S四边形HCDE+S.AEF =S.ACD+S.AFD=2S.AFD DF×AE =2× 2 1 =2××3×4 2 =12 故选：D 7.c 连接ED并延长，交AB于点F,利用ASA证明△ADF≌△CDE,得出AF=CE=3, DF=DE,再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明BF=BE=8,最后由AB=AF+BF 求解. 解：连接ED并延长，交AB于点F, B G CEll AB .∠A=∠DCE, ,点D为AC的中点， .AD=CD 在△ADF和△CDE中， ∠A=∠DCE AD=CD ∠ADF=∠CDE1 :△1DF≌ACDE(ASA) .AF=CE=3,DF=DE, 延长BD至点G,使DG=BD,连接EG, 在△BDF和△GDE中， BD=GD ∠BDF=∠GDE DF=DE △BDF≌AGDE(SAS) .BF=GE,∠FBD=∠G ,BD平分∠ABE, .∠FBD=∠EBD, .∠G=∠EBD ∴.BE=GE,BF=BE=8, ,AB=AF+BF=3+8=11, 8.4 过点E作EF⊥CD于点F,根据等边三角形的性质及线段的和差推出BE=2,∠ABC=60° 根据直角三角形的性质得出∠BEF=30°，根据含30°角的直角三角形的性质推出 BF=)BE=1,根据等腰三角形的性质及线段的和差求解即可. 2 此题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记含30°角的直角三角形的性质是解题的关键. 解：过点E作EF⊥CD于点F, 9 ,△ABC是等边三角形，边长为1，AE=3, .BE=AE-AB=2,∠ABC=60° EF⊥CD ∴.∠EFB=90° .∠BEF=90°-60°=30°， BF-IBE-1, 2 .CF=BF+BC=2. ED=EC,EF⊥CD, .DF=CF=2. .CD=DF+CF=4 故答案为：4. 9.6 本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算及等腰直角三角形的性质，熟 记三角形全等的判定定理是解题的关键.作EH⊥AW于H,由△ABC≌△HCE得AB=CH」 AC=EH,再证明△DCM≌△EHM得CM=HM即可解决问题. 解：如图作EH⊥AN于H, B N D ,BA⊥ANEH⊥AN ∴.∠BAC=∠EHC=90°】 .∠ABC+∠ACB=90°， 又∠BCE=90° ,∠ACB+∠ECH=90°， .∠ABC=∠ECH, :△BCE和△ACD都是等腰三角形， ∴.BC=CE,AC=DC=4,∠BCE=∠ACD=90°， 在△ABC和△HCE中， '∠BAC=∠EHC ∠ABC=∠HCE BC=CE .△ABC≌aHCE(AAS) .'AC=EH=4,AB=CH=6, 在△DCM和△EHM中， ∠DCM=∠EHM ∠CMD=∠EMH CD=EH :.△DCM≌△EHM(AAS) .CM=HM= CH-3 ..S.CM= M.EH=6: 2 故答案为6. 10.1<AD<3 延长AD到E,使AD=DE,连接BE,利用“SAS”证明△ADC≌△EDB,得到AC=BE, 在△ABE中利用三角形三边关系求出AE的范围，进而得到AD的取值范围， 解：如图，延长AD到E,使DE=AD,连接BE, 是 边上的中线 ·AD BC .BD=DC ,在△ADC和△EDB中， AD=DE ∠ADC=∠EDB DC=BD :.△ADC≌△EDB(SAS). .'AC=BE=4, 在△ABE中，BE-AB<AE<AB+BE,即2-4<AE<2+4, .2<AE<6 AE=AD+DE =2AD, .2<2AD<6, .1<AD<3 11.全等三角形的对应边相等 连接AB,CD,可以证△AOB≌△COD(SAS),依据全等三角形的对应边相等得 CD=AB所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长. 解：连接AB,CD,如图， D ,点O分别是AC、BD的中点， ∴.OA=OC,OB=OD 在△AOB和△COD中， OA=OC,∠AOB=∠COD(对顶角相等)，OB=OD, ∴.△AOB≌△COD(SAS '.CD=AB(全等三角形的对应边相等)· 故答案为：全等三角形的对应边相等。 本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全 等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解. 12.√2 本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟 练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键.先根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC, BD=CD= )BC,再根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得AE=CE' ∠EF=∠BCB,然后证明△HBF≌△CEB(ASA)得到BC=AF=巨即可求解 解：在等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的高线， ADL BC. BD=CD=1BC. 2 .∠BAD+∠B=90°， CE⊥AB .∠AEC=∠BEC=90°，又∠BAC=45°， .∠ACE=90°-∠BAC=45°=∠EAC,∠ECB+∠B=90° .AE=CE,∠EAF=∠ECB :△MEF≌△CEB(ASA) .'BC=AF, AF=2 :BD=号BC=号4F=V 2 2 故答案为：√2. 13.①②③ 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关性质 定理为解题关键，只要证明△BAC≌aEAD,∠ABE=∠ACD,FE=FC即可解决问题. 解：AC平分∠BAD ∴.∠BAC=∠EAD .·AB=AE,AC=AD .ABAC≌△EAD(SAS) 故①正确， ∴.∠ACB=∠ADE,BC=DE, AB=AE,AC=AD .∠ABE=∠AEB,∠ACD=∠ADC .∠BAE+2∠ABE=180°，∠CAD+2∠ACD=180° ∠BAE=∠CAD」 ∴.∠ABE=∠ACD, ∠ABE+∠ADE=∠ACD+∠ACB=∠BCD,故②正确， :∠CEF=∠AEB,∠ABE=∠AEB,∠ABE=∠ACD, .∠FEC=∠ECF, ∴EF=CF .BC+CF=DE+EF,故③正确， 故答案为：①②③. 14.4<AC<28/28>AC>4 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系 延长AD至点E,使AD=DE,连接BE,证明△ADC≌△EDB,进而得到AC=BE,根据 三角形的三边关系求出BE的范围即可. 解：延长AD至点E,使AD=DE,连接BE,则：AE=2AD=I6, ,AD是△ABC的中线， .BD=CD」 又，∠ADC=∠BDE, 、△ADC≌△EDB(SAS) .AC=BE, :AB=12,AE=16 .AE-AB<BE<AE+AB,即：4<BE<28, 4<AC<28 故答案为：4<AC<28 15. 16或4/4或16 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模 型” △AFC≌△BGA(AAS) (1)证 则BG=MF=7,CF=4G=2,可得GF=AF-AG=5: (②)分三种情况讨论，证明△1FC≌aBGA(AAS) 再根据线段和差求解即可. 解：(I):BG⊥直线AD,CF⊥直线AD, .∠AFC=∠BGA=90°. ,∠BAC=90°， .∠ABG=∠CAF=90°-∠BAG. AB=AC :a1FC≌aBGA(AAS) ..BG=AF=7,CF=AG=2 .GF=AF-AG=7-2=5, 故答案为：5； (2)当点D线段BC延长线上时， B G :BG⊥直线AD,CF⊥直线AD, ∴.∠AFC=∠BGA=90°， ,∠BAC=90°， .∠ABG=∠CAF=90°-∠BAG, AB=AC ,△AFC≌△BGA(AAS) .AF=BG=6,AG=CF=FG-AF=10-6=4. 当点D线段BC上时， C GD :BG⊥直线AD,CF⊥直线AD, ∴.∠AFC=∠BGA=90°， .∠BAC=90°， .∠ABG=∠CAF=90°-∠BAG, AB=AC :△AFC≌aBGA(AAS) ..AF=BG=6,AG=CF=FG+AF=10+6=16: 当点D线段CB延长线上时， B ,BG⊥直线AD,CF⊥直线AD, .∠AFC=∠BGA=90°， .∠BAC=90°， ∴.∠ABG=∠CAF=90°-∠BAG, ·AB=AC :△MFC2BGA(AAS) .AF=BG=6,AG=CF=FG-AF=10-6=4. 过点A作BC平行线，再过点C作平行线的垂线，垂足为H, :AB=AC,∠BAC=90°，AH∥BC, .∠ACB=∠CAH=45°， :.∠CAF>45°，∠ACF<45° .CF>AF 故点D线段CB延长线上不成立，舍， 综上：CF=16或CF=4, 故答案为：16或4. 16.10 本题考查了全等三角形的性质与判定、等角对等边、角平分线的定义，结合图形添加适当 的辅助线构造全等三角形是解题的关键.延长CD交AB于点E,利用全等三角形的ASA 判定定理证出△ADE△ADC,得出AE=AC=6,ED=CD=2,由∠DCB=∠B得到 BE=CE,再利用线段的和差关系即可求解. 解：如图，延长CD交AB于点E, D B .·AD⊥CD .∠ADE=∠ADC=90°， :AD平分∠CAB .∠DAE=∠DAC, 在△ADE和△ADC中， 「∠ADE=∠ADC AD=AD ∠DAE=∠DAC1 '.△ADE≌△ADC(ASA) .AE=AC=6,ED=CD=2. .CE ED+CD=4. :∠DCB=∠B :.BE=CE=4, .AB=AE+BE=6+4=10, AB的长为10 17.(1) 证明：延长AD到点E,使DE=AD,连接BE. B 为 的中线， :AD△ABC ·.BD=CD 在△ADC和△EDB中， CD=BD ∠ADC=∠EDB, AD=ED △ADC≌△EDB(SAS) .AC=EB 在△ABE中，根据三角形的三边关系，得AB+EB>AE,即AB+AC>2AD (2)1<AD<4 本题考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解题的关键 是通过倍长中线法构造全等三角形，将线段进行转化，把分散的线段集中到同一个三角形 中利用三边关系解决问题. (I)倍长中线AD至E使DE=AD,连接BE,利用SAS证明△ADC≌aEDB,得到 AC=EB,再在△ABE中运用三角形三边关系推导出AB+AC>2AD: (2)由(I)的全等结论得BE=AC,结合三角形三边关系AB-BE<AE<AB+BE,代 入AE=2AD及边长数值，计算得出AD的取值范围. (1)略 (2)解：由(1)知：AB-BE<2AD<AB+BE 所以5-3<2AD<5+3,即1<AD<4. 18.(1)见解析 (2)不成立，见解析 本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形 添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键， (I)在I上截取AF=BD,连接CD,CF,利用全等三角形SAS判定△CBD≌△CAF,得 出CD=CF,进而用HL判定得到Rt△CED≌Rt△CEF,得出DE=EF,再通过线段的等 量代换即可证明； (2)在1上截取AF=BD,连接CD,CF,用类似(1)的方法可得图②和图③中(1)的 结论不成立，写出数量关系即可 (1)证明：如图，在I上截取AF=BD,连接CD,CF 刀 为等腰直角三角形， △ABC ∠ACB=90°，BD⊥1 .AC=BC,∠BDA=90° .∠CBD+∠CAD=360°-∠BDA-∠ACB=360°-90°-90°=180°， ∠CAF+∠CAD=180°， ∠CBD=∠CAF, 在△CBD和△CAF中， CB=CA ∠CBD=∠CAF BD=AF ∴.ACBD≌aCAF(SAS) ∴.CD=CF 又'CE⊥I,CE=CE :.RtACED≌RtaCEF(HL) DE-EF-DF-(D4+AF)-(D4+DB). .DA+DB=2DE」 (2)解：在图②和图③中，(1)的结论不成立. 图②中，结论：DA-DB=2DE； 图③中，结论：DB-DA=2DE. 对于②，截取AF=BD,连接CD,CF, “aABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD⊥1， ∴.AC=BC,∠BDA=90° .∠CBD+∠BAD=45°，∠CAF+∠BAD=45°， .∠CBD=∠CAF, 在△CBD和△CAF中， CB=CA ∠CBD=∠CAF BD=AF .△CBD≌ACAF(SAS) :.CD=CF, 又CE⊥I,CE=CE」 ∴.RtACED≌RtACEF(HL) :.DE=EF-1DF-(DA-AF)-(DA-DB). .DA-DB=2DE. 对于③，截取AF=BD,连接CD,CF,同理可证：DB-DA=2DE. A 19.(1)EF=BE+DF,证明见解析(2)EF=BE-DF,证明见解析 本题主要考查全等三角形的判定和性质，本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构 造全等三角形. (I)结论：EF=BE+DF.将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF', 然后求出LEAF'=LEAF=45°，利用“边角边”证明△AEF和△AEF'全等，根据全等三 角形对应边相等可得EF=EF'，从而得解： (2)结论：EF=BE-DF,证明方法同法(1)· 解：(I)结论：EF=BE+DF 理由：如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF', D B E 图1 则：∠F'AB=∠DAF,∠ABF'=∠D=90°，AF=AF',BF'=DF, .∠ABF'+∠ABC=180°，即：F',B,E三点共线， :∠EAF=45° ∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°， ∠BAF'+∠BAE=45°， .∠EAF'=∠EAF=45°， 在△AEF和△AEF'中， AF=AF ∠EAF=∠EAF' AE=AE ∴.△AEF≌△EAF(SAS) :EF=EF', 又EF'=BE+BF', :.EF BE+DF. (2)结论：EF=BE-DF, 理由：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF', B F C 图2 则：BF'=DF,AF'=AF, 同法(1)可得：△AEF≌△AEF'(SAS). :.EF=EF', 又EF'=BE-BF'=BE-DF, :EF =BE-DF. 20.(1)见解析 (2)PE=PC-AE,理由见解析 (3)24 本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键， (I)根据两个三角形全等的判定定理得到△ABM≌aBCN(AAS),利用两个三角形全等的 性质，得到AM=BN=3,BM=CN=8,即可得到MN=MB+BN=11: (2)根据两个三角形全等的判定定理，得到△ABE≌△BCP,利用两个三角形全等的性质， 得到AE=BP,BE=CP,由图中BE=BP+PE,即可得到三者的数量关系： (3)延长FE,过点C作CP⊥FE于P,如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到 △ABE≌△BCP,从而PC=BE=2,PB=AE=8,则可求得PE,延长AE,过点C作 CF⊥AE于F,如图所示，由平行线间的平行线段相等可得CF=PE=6,代入面积公式 得5c,即可得到答案 (1)解：∠ABC=90° ∴.∠ABM+∠CBN=90°， ,AM⊥DF,CN⊥DF, ∴.∠AMB=90°，∠CNB=90°， .∠ABM+∠BAM=90°， .∠BAM=∠CBN, :∠BAM=∠CBN,LAMB=∠CNB=90°，AB=BC, ,△ABM≌aBCN(AAS), ∴.AM=BN,BM=CN :AM=3,CN=8, .MN MB+BN =CN+AM=11: (2)解：结论：PE=PC-AE.理由如下： :∠ABC=90°， .∠ABE+∠CBE=90°， CP⊥BE, ∠CPB=90°， .∠BCP+∠CBP=90° ∠ABE=∠BCP, ·∠AEB=90°， ∠AEB=∠CPB=90°， .AB=BC, ,.△ABE≌△BCP ∴.AE=BP,BE=CP BE BP+PE, :PE=BE-BP=PC-AE; (3)解：延长FE,过点C作CP⊥FE于P,如图所示： D E '∠ABE+∠EBC=90°∠ABE+∠BAE=90° ,∠EBC=∠BAE、 ·,∠AEB=∠CPB=90°，AB=BC, 、△ABE≌△BCP(AAS) ∴PC=BE=2,PB=AE=8, ∴.PE=PB-BE=8-2=6、 延长AE,过点C作CF⊥AE于F,如图所示： D AF⊥PE,CP⊥PE .AF∥CP, AF⊥PE,CF⊥AF, PE∥CF, 由平行线间的平行线段相等可得CF=PE=6, 1 SICE-xAEXCF--X8x6=24 2 21.(1)45 (2) 解：∠ADE=∠ACE,理由如下： AB=AC,AD=AE, ∴·∠ABC=∠ACB,∠ADE=∠AED :∠DAE=∠BAC, 又∠ABc-080-∠BMC,∠ADE-80-∠DME). .∠ABC=∠ADE, ∠BAC=∠DAE, .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC 即：∠BAD=∠CAE, AB=AC ∠BAD=∠CAE 和 中， △BAD ACAE AD=AE .△BAD≌△CAE(SAS), .∠ABC=∠ACE .∠ADE=∠ACE: (3) 解：(2)中的结论不成立，当点D在CB的延长线上时，∠ADE+∠ACE=I80°.理由如下： 如图所示： B E .·∠DAE=∠BAC ∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE, 即：∠DAB=∠EAC, AB=AC ∠BAD=∠CAE 在 和 中， △BAD ACAE AD=AE ∴.△BAD≌△CAE(SAS, .∠ABD=∠ACE AB=AC,AD=AE, ∴.∠ABC=∠ACB,∠ADE=∠AED :∠DAE=∠BAC 又∠ABC=80°-∠BAC).∠ADE=I0°-∠DAE), ∠ABC=∠ADE, :∠ABD+∠ABC=180° .∠ADE+∠ACE=180° 本题考查了全等三角形的常见模型一旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键， (I)证△BAD≌△CAE即可求解： (2)证△BAD≌△CAE即可求解： (3)证△BAD≌△CAE即可求解. (1)解：：∠DAE=∠BAC. .∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC, 即：∠CAE=∠BAD, AB=AC,AD=AE, .△BAD≌△CAE .∠ADE=∠ACE ∠BAC=90°，AB=AC, ∠ACE=∠ABD=459 故答案为：45 (2)略 (3)略