5.2 二次函数的图象（一）（暑假预科讲义）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 5.2二次函数的图象（一） 知识归纳与题型总结 考点01 二次函数几种特殊形式的图象和性质 1. 二次函数的图象和性质 函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性 （，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小 （，） 轴 ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， 2. 二次函数 的图象的画法 （1）列表：对称轴是x=0（y 轴），图像关于 y 轴对称，x 取互为相反数的数，计算 y 值。 注意：1.一定要包含顶点(0,0)； 2. x正负对称取值，计算量减半； 3. ∣a∣越大，y变化越快，可以适当少取点。 （2）描点：在平面直角坐标系里，把表格里面每一组(x,y)作为坐标，描出对应点。 （3）连线：用平滑的曲线，按照从左到右顺序把点连接起来，向两边无限延伸，不能画成折线。 易错点： （1） 顶点一定是原点(0,0)；关于y 轴对称，画完可以检查左右两边是否对称。 （2） 抛物线两端要出头，代表无限延伸，不要画成封闭图像。 （3） a>0开口向上；a<0开口向下。例 y=−2x2，上面表格 y 全部取负数。 （4） ∣a∣越大，抛物线越 “瘦、窄”；∣a∣越小抛物线越 “胖、宽”。 3.几种二次函数图象间的平移规律 核心：平移前后 a 不变，抛物线形状开口不变，仅位置改变 口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 1. 左右平移（水平）h>0 向右平移h个单位： 向左平移h个单位 2. 上下平移（竖直）k>0 向上平移k个单位： 向下平移k个单位： 3. 综合平移 右移h，上移k ： 左移h，下移k ： 4. 顶点法（不容易错） 顶点：(0,0) 顶点：(h,k) · h>0向右；h<0向左 · k>0向上；k<0向下 · ❗ 抛物线平移等价于顶点平移。 考向01 的图象和性质 【例1】二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 【答案】下 【分析】根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的开口方向； 【详解】解：∵二次函数中，， ∴二次函数的图象开口向下； 考向02 的图象和性质 【例2】抛物线在y轴右侧的部分是_____（填“上升”或“下降”）． 【答案】下降 【分析】抛物线的对称轴为y轴，且开口向下，故在y轴右侧，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：由抛物线解析式可知：抛物线对称轴为y轴，且开口向下， ∴在y轴右侧的部分是下降． 考向03 的图象和性质 【例3】二次函数图象的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】二次函数顶点式的对称轴为直线，直接根据顶点式即可得出结果． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线， 故选：A． 【对点1】观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点（、2、…）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点，则的值为________． 【答案】 【分析】根据点的坐标确定和的横坐标，代入函数解析式求出纵坐标，进而表示出线段的长度． 【详解】解：点的坐标为，且轴， 点和的横坐标均为， 点在抛物线上，点在直线上， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ， ． 【对点2】对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 【对点3】二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 5.2二次函数的图象（一） 知识归纳与题型总结 考点01 二次函数几种特殊形式的图象和性质 1. 二次函数的图象和性质 函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性 （，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小 （，） 轴 ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， 2. 二次函数 的图象的画法 （1）列表：对称轴是x=0（y 轴），图像关于 y 轴对称，x 取互为相反数的数，计算 y 值。 注意：1.一定要包含顶点(0,0)； 2. x正负对称取值，计算量减半； 3. ∣a∣越大，y变化越快，可以适当少取点。 （2）描点：在平面直角坐标系里，把表格里面每一组(x,y)作为坐标，描出对应点。 （3）连线：用平滑的曲线，按照从左到右顺序把点连接起来，向两边无限延伸，不能画成折线。 易错点： （1） 顶点一定是原点(0,0)；关于y 轴对称，画完可以检查左右两边是否对称。 （2） 抛物线两端要出头，代表无限延伸，不要画成封闭图像。 （3） a>0开口向上；a<0开口向下。例 y=−2x2，上面表格 y 全部取负数。 （4） ∣a∣越大，抛物线越 “瘦、窄”；∣a∣越小抛物线越 “胖、宽”。 3.几种二次函数图象间的平移规律 核心：平移前后 a 不变，抛物线形状开口不变，仅位置改变 口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 1. 左右平移（水平）h>0 向右平移h个单位： 向左平移h个单位 2. 上下平移（竖直）k>0 向上平移k个单位： 向下平移k个单位： 3. 综合平移 右移h，上移k ： 左移h，下移k ： 4. 顶点法（不容易错） 顶点：(0,0) 顶点：(h,k) · h>0向右；h<0向左 · k>0向上；k<0向下 · ❗ 抛物线平移等价于顶点平移。 考向01 的图象和性质 【例1】二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 考向02 的图象和性质 【例2】抛物线在y轴右侧的部分是_____（填“上升”或“下降”）． 考向03 的图象和性质 【例3】二次函数图象的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【对点1】观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点（、2、…）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点，则的值为________． 【对点2】对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 【对点3】二次函数的最小值为__________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $