第15讲 二次函数实际应用（知识点+8题型）（暑假预习讲义）新九年级数学新教材北师大版

第15讲 二次函数实际应用（知识点+8题型） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1图形问题（静态几何） 题型2 图形运动问题（动态几何） 题型3 拱桥问题 题型4 销售问题 题型5 投球问题 题型6 喷水问题 题型7增长率问题 题型8 综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 列二次函数解应用题的步骤 最大利润问题 抛物线型实际问题（拱桥/投篮/隧道） 数形结合思想 1. 掌握列二次函数解实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答，能规范书写解题过程，明确二次函数是解决最值问题的重要数学模型。 2. 能分析几何图形中的变量关系，建立二次函数模型解决最大面积问题，能根据实际意义确定自变量的取值范围，并利用二次函数的性质求出符合题意的最值。 3. 能分析商品销售中的数量关系，建立二次函数模型解决最大利润问题，理解单价、销售量、利润之间的内在联系，能根据市场实际情况调整方案。 4. 能解决抛物线型实际问题（如拱桥、隧道、投篮轨迹），学会建立适当的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题，体会数形结合的数学思想，发展应用意识和解决问题的能力。 学习重点：建立二次函数模型解决最大面积、最大利润和抛物线型实际问题，利用二次函数的性质求实际问题中的最值。 学习难点：从复杂实际问题中抽象出二次函数关系，建立合适的平面直角坐标系解决抛物线型问题，根据实际意义准确确定自变量的取值范围并检验解的合理性。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 列二次函数解应用题的一般步骤 步骤：审→设→列→化→求→验→答 审：梳理题干已知量、未知量，挖掘等量关系 设：设自变量、函数，标注对应单位 列：依据等量关系列出关于的函数式 化：整理为一般式或顶点式，方便求最值 求：结合二次函数性质求解最值、对应自变量 验：双重检验，一是计算正误，二是数值符合现实条件 答：规范写出结论，带上对应单位 即时即练某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价x/元 45 55 65 日销售量y/件 55 45 35 (1)求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）． (2)求当每件售价为多少元时，日销售额最大？最大日销售额为多少元？ 【易错提醒】 容易省略实际意义检验，出现负数长度、亏损售价等不合理解；设元和作答遗漏单位；间接设元时，求出x后忘记换算题目所求量；等量关系梳理错误，函数关系式整体出错。 知识点02 最大面积问题 基本等量关系：借助矩形、三角形、梯形等几何面积公式构建二次函数 常见模型：靠墙围栏、道路留白、边框图形面积问题 即时即练如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【易错提醒】 靠墙模型易多算或少算靠墙一侧边长；忽略墙长、图形长宽带来的自变量取值限制；顶点横坐标不在取值区间时，仍直接取顶点纵坐标为最值；三角形、梯形面积漏乘。 知识点03 最大利润问题 核心公式 单件利润=售价-进价 总利润=单件利润×销售数量 总销售额=售价×销售量 常见模型：价格升降带动销量增减类销售题型 即时即练某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为60元．经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系式为．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）． (1)求w关于x的函数解析式； (2)若要获得销售利润为3000元，销售单价应定为多少元/千克? (3)当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大?最大销售利润是多少? 【易错提醒】 混淆进价、标价、售价概念；价格上涨销量减少、降价销量增多的变化关系写反；未限定自变量范围，出现销量为负、售价低于成本的情况；实际商品数量需为整数，直接使用小数最值不贴合现实。 知识点04 抛物线型实际模型 解题思路：建立平面直角坐标系，将拱桥、投篮、喷泉、隧道等实物转化为抛物线图像，多用顶点式求解 即时即练为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分； (3)小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围． 【易错提醒】 坐标系原点选取不合理，加大计算难度；图像上下位置混淆，坐标正负符号写错；长度、高度不能为负，负根未舍去；横坐标、纵坐标代表的实际距离区分不清。 题型1 图形问题（静态几何） 【例1】用长为L米的铁丝围成一个矩形或正方形，则其所围成的最大面积为________平方米． 【技巧归纳】 设未知数技巧：设一条边长为x，用周长/总长表示另一条边长 等量关系：面积=长×宽（矩形）、面积=底×高÷2（三角形）等 最值规律：周长一定的矩形，正方形面积最大 必做步骤：标注自变量取值范围（边长>0，总长限制） 【变式1-1】 1．一个菱形风筝的两条对角线的长之和为．其对角线的长发生变化时，菱形的面积也发生变化．在这个变化过程中，其中一条对角线的长为． (1)写出菱形的面积y（单位：）关于x（单位：）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)当时，求y的函数值． 【变式1-2】 2．综合与实践 汕尾市素有“中国青梅之乡”的美誉，青梅种植是本地特色农业产业．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围墙不限长）和长度为的篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地（如图），用于开展青梅育苗与管护实践活动．该校数学兴趣小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除围墙外，篱笆仅围，，三边，篱笆无浪费），请根据方案完成以下探究． (1)方案一：若限定矩形实践基地的边为，则矩形实践基地的边为______，此时矩形实践基地的面积为______． (2)方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的边为，则用含的代数式表示边的长度为______；当边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最大为多少？ 题型2 图形运动问题（动态几何） 【例2】如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 第一步：根据“路程=速度×时间”，用含t的式子表示所有运动线段 第二步：结合几何性质（勾股定理、面积公式）列函数关系式 第三步：求最值或特定值时，必须检验t是否在运动时间范围内 多阶段运动：分区间讨论，每个区间列一个函数 【变式2-1】 1．如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】 2．如图，菱形中，对角线，相交于点，且，，动点，分别从点，同时出发，运动速度为，点沿运动，到点停止，点沿运动，运动速度为，到停止，连接，，．设的面积为（）（这里规定：线段是面积的几何图形），点的运动时间为（）． (1)填空：　　　　　，菱形高为　　　　　　； (2)求与之间的函数解析式． 题型3 拱桥问题 【例3】如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美誉．已知中间主跨地面宽度为35米，实际结构可简化为图2所示的组合图形：上部为抛物线形，下部为矩形．某测量小组测得为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧走2米到达点E，测得E点处对应的高度（即点E上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛物线顶点到地面的距离）．（精确到） 【技巧归纳】 第一步：根据“路程=速度×时间”，用含t的式子表示所有运动线段 第二步：结合几何性质（勾股定理、面积公式）列函数关系式 第三步：求最值或特定值时，必须检验t是否在运动时间范围内 多阶段运动：分区间讨论，每个区间列一个函数 【变式3-1】 1.如图，一条隧道的横截面由一段抛物线和矩形的三条边围成，矩形的长为，宽为，隧道的最高点P距地面． (1)在如图所示的直角坐标系中，求抛物线的表达式． (2)一辆货车高为，宽，能否从该隧道通过？请说明理由． (3)在（2）的条件下，若该隧道内设双车道，那么这辆货车能否通过？请说明理由． 【变式3-2】 2．西安东站坐落于西安灞桥区，东依白鹿原、西邻浐河，是西北地区特大型综合交通枢纽，也是西安“米”字形高铁网核心枢纽之一，以“秦山渭水、丝路长安”为设计理念，如图①，其站房主门楼顶部采用大气、对称的抛物线形拱檐设计，线条流畅优美，其拱檐轮廓可近似看作开口向下的抛物线的一部分．如图②，现以拱檐对称轴与水平地面的交点为坐标原点，水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系，结合东站实景真实比例：拱檐左右两端檐口水平总跨度为，檐口离地高度为，拱檐拱顶最高处离地高度为． (1)求该抛物线的表达式； (2)为美化夜景，需要在拱檐安装亮化灯带，要求灯带安装位置离地高度不低于，求灯带两端水平距离的最大长度． 题型4 销售问题 【例4】某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为____元． 【技巧归纳】 设未知数技巧：设涨价/降价的金额为x元（比设售价更简便） 单件利润=原售价±x-进价；销售量=原销量∓（每涨/降1元的销量变化）×x 最值求法：化为顶点式，当时取最值 临界判断：若顶点横坐标不在自变量范围内，最值取区间端点 【变式4-1】 1．河南特产：铁棍山药实体店、网店两种销售模式，实体店进价8元/斤，售价元；销量y （斤）与单价x （元/斤）满足一次函数：，，，． (1)求y与x解析式； (2)网店每斤成本6元，单价不低于成本且不高于15元，求网店单日最大利润． 【变式4-2】 2．某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件5元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件；设商品售价x元（售价不低于进价，x为正整数），这批商品的日利润为w元（利润＝售价﹣成本），请解决以下问题： (1)设商品售价x元，则一天可以卖出________件； (2)当商品的售价x为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ 题型5 投球问题 【例5】为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图，篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可近似看作抛物线的一部分．已知篮球从距地面2米的点A处投出，并落在水平地面上的点M处，其运动路线的最高点P距地面3.8米，最高点P与篮球出手点A的水平距离为3米．以地面所在直线为x轴，过点A且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求点P所在抛物线的函数表达式； (2)已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A正上方1米的点B处投出，落地点为N，点N在x轴的正半轴上，求点B与落地点N的水平距离的长． 【技巧归纳】 通常以出手点为原点或地面某点为原点建系 关键点坐标：出手点（h为出手高度）、最高点（顶点）、落地点 用顶点式求解，顶点纵坐标为最大高度 求投球距离：令y=0，解出正根即为水平距离 【变式5-1】 1．某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 竖直高度 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． (1)【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）； (2)【应用模型】羽毛球在此次飞行过程中，飞行的最大高度是多少？ 【变式5-2】 2．综合实践 探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响 试验说明 数学兴趣小组为了探究此问题，由一名男生做了两次投掷试验（出手角度不同）．建立如图1所示的平面直角坐标系． 实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，实心球着地点到出手点的水平距离为d米（即掷球成绩）． 男生实心球评分标准如下表所示． d/米 8.4 8.2 7.8 7.6 7.0 6.7 得分 10 9.5 9.0 8.5 7.8 7.6   从投掷到着地的过程中，实心球的竖直高度y与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系，两次试验实心球所达到的最大高度相同． 试验过程 【第一次试验】：实心球的水平距离x与竖直高度y的几组对应数据如下： 水平距离x/米 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/米 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 n 【第二次试验】：实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图2所示，其中A为第二次试验抛物线的顶点．    解决问题 (1)根据第一次试验数据，直接写出： ________；此次试验中实心球达到的最大高度是________米； (2)求第二次试验的抛物线的解析式； (3)通过计算说明该男生两次投掷试验的最好成绩是多少分？ 题型6 喷水问题 【例6】某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 【技巧归纳】 喷头在顶点时：建系使顶点在，解析式为 喷头在原点时：建系使喷头在，解析式为 最大高度=顶点纵坐标，喷水射程=落地点横坐标的绝对值 多个喷头问题：利用对称性求交点和覆盖范围 【变式6-1】 1．牡丹花主题公园内有一直径为的圆形花坛，它的中心A处安装着一个可升降的喷灌头，它喷出水柱的路径可近似看作抛物线，水柱在距A点水平距离为处达到最高，最高为，水柱落地点为点B，花坛边缘为点C，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)若上有一株牡丹花高，长在花坛哪个范围内才不会被水柱直接喷射到？ (3)若水柱的形状不变，当把落地点调整到花坛内距花坛边缘处时，水柱的喷头A需上升多少米？ 【变式6-2】 2．问题背景：某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为y（单位：m），水平距离为x（单位：m），建立如图1所示的平面直角坐标系． 信息1：通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为t（单位：s）时的多组数据，其中几组数据如下： 时间 0 0.10 0.20 0.30 水平距离 0 0.10 0.20 0.30 竖直线高度 0.80 0.75 0.60 0.35 信息2：小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离x与时间t的关系为（v为水滴离开出水点时的速度，单位） 根据以上信息，解决下列问题： (1)v的值是______； (2)水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过多长时间？ (3)将如图2所示的一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），水喷出后运动路径的形状不变，要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为____________． 题型7 增长率问题 【例7】为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 基础公式：两年后总量（a为基础量，x为平均增长率） n年增长：，注意增长次数与年份的对应 可求最大增长值、特定增长率对应的总量，或已知总量求增长率 【变式7-1】 1．某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为y万元．设每月的平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式为_______ 【变式7-2】 2．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 题型8 综合应用 【例8】1．如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道（抛物线段）和人腾空飞出后经过的路径（抛物线段）都可以看作是抛物线．水滑道（抛物线段）的函数表达式为，水滑道最低点为点，根据测量和调查得到的数据和信息，解决下列问题． (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)如图1，腾空点与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点与水池边缘的安全距离不少于米．某人腾空后的路径形成的抛物线的最高点为，此时点恰好是线段的中点． ①求抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点是否在安全范围内？说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面米的点处竖直支撑的钢架，另一条是点与点之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 【技巧归纳】 基础公式：两年后总量（a为基础量，x为平均增长率） n年增长：，注意增长次数与年份的对应 可求最大增长值、特定增长率对应的总量，或已知总量求增长率 【变式8-1】 1．在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“差反点”． (1)判断点，，，哪个是点的“差反点”？ (2)若直线上的点A是点的“差反点”，求点A的坐标； (3)对于点，若抛物线上存在唯一的“差反点”，且当时，n的最大值为，求t的值． 【变式8-2】 2．如图①，已知抛物线与x轴交于两点、，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)______； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由； (4)若抛物线与抛物线（其中）交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，______．（请用含a，，的代数式来表示） 一、单选题 1．已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．从地面竖直向上射出一小球，若小球离地面的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式为，则下列说法中，错误的是（   ） A．小球运动时间为时的高度是 B．小球运动时间为时的高度和时的高度相等 C．小球离地面的最大高度是 D．小球从射出到落地需要s 3．如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 4．一辆电动车（如图所示）在公路上匀速行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶需要的时间为（   ）    A． B． C． D． 5．伞是生活中常见的一种工具，其撑开后的形状近似抛物线．如图所示，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨的交点为原点建立平面直角坐标系，为抛物线与轴的交点，点在抛物线上，关于轴对称．已知抛物线的表达式为，若点到轴的距离是，则两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 6．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价（单位：元）之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得的最大利润是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 7．如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心上方设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．当球运行的水平距离为时达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离是，则此时抛物线的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 9．一小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），按如图所示的图象，小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系式是，当小球的速度最大时，弹簧的长度是（） A． B． C． D． 10．某经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度与时间满足二次函数，其图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（     ） A．该图象的对称轴是直线 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为 C．当时，该无人机飞行的高度为 D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是 11．电暖气（如图1）可以通过旋钮开关调节电路的总电阻来控制电流的变化，从而实现功率的改变．在额定功率范围内，电暖气电路的电流I（单位：A）与实际功率P（单位：W）的二次函数图象如图2所示，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．P与I的函数关系式是 C．在额定功率范围内，P随I的增大而增大 D．I每增加，P的增加量相同 12．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 13．如图1，四边形是矩形，动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿折线向点运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示．当点运动到的中点时，的值为（     ） A．9 B．10 C．12 D．16 14．如图，在菱形中，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线 运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（     ） A． B． C． D． 15．如图1，中，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以 的速度沿运动，、两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为（），的面积为（），关于的函数图象由两段组成，如图2所示，下列结论中错误的是（   ） A． B． C．图象段的函数表达式为 D．面积的最大值为8 二、填空题 1．某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 2．中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价________元，才能使每日利润最大． 3．如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线顶点坐标是___． 4．为了让初三学子以更好的状态迎接体考，川大附中在3.20号安排了针对性模拟．小明参加了跳远测试，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化(如图)，若重心高度与起跳后时间的函数表达式为，当时，所对应的重心高度分别记为，则的大小关系为__________．(用“”连接) 5．如图，一次函数与二次函数交于和两点，则当时，的取值范围是_______． 6．如图，一根铝合金型材长为，用它制作一个“日”字型窗户的框架，如果恰好用完整条铝合金型材，则窗户的最大面积是_______． 7．景区喷泉以出水口为原点建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 8．如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓乡，是甘肃省黄河上游的第一座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称．如图2是它的部分示意图，可近似地用抛物线的一部分表示，若当水面宽度为时，水面到拱顶的高度为，当水位在此基础上继续上涨时，水面的宽度为______m（结果保留根号）． 9．兰州牛肉面（如图1），以“汤清者镜，肉烂者香，面细者精”的独特风味和“一清二白三红四绿五黄”，赢得了国内乃至全世界顾客的好评，并被中国烹饪协会评为三大中式快餐之一，被誉为“中华第一面”．如图2，是一个盛放兰州牛肉面面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口BC宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为______（碗的厚度不计）． 10．如图①是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，A是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，B是羽毛球落地点．．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为 ，羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度__________． 三、解答题 1．有一根长为的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 2．掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． (1)求满足条件的抛物线的关系式； (2)根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 3．将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示． (1)求水流的最高点到地面的距离； (2)求左、右两条水流最高点之间的距离． 4．如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为． (1)求y与x的关系式； (2)球能否越过球网？ 5．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元．市场调查发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月可少销售5个．设每个双肩包涨价元（为正整数），每月的销售量为个． (1)直接写出与的函数关系式： ； (2)当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？ 6．如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 7．排骨藕汤，作为湖北的传统特色美食，以其独特的风味和丰富的营养深受全国人民的喜爱．某商家准备在市场上销售排骨藕汤，市场调查发现：排骨藕汤的成本为每罐45元；若每罐以60元销售，平均每天可销售40罐；价格每降低1元，平均每天多销售10罐；若设每罐降价x元（x为整数），每天的销售量为y罐． (1)直接写出每天销售量y与x之间的函数关系式 ；（不写x的取值范围） (2)若元旦当天，商家销售排骨藕汤的利润为880元，为了让消费者获得更多实惠，该店每罐排骨藕汤的定价为多少元? (3)为了促进市场良性竞争，排骨藕汤的销售单价不得高于56元，不得低于47元，求该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润． 8．2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目．篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．如图，机器人站立点为，篮球抛出点为，当篮球运行的水平距离为时，达到最大高度．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若篮球与轴水平距离处的竖直高度满足，视为有效投篮，请你通过计算说明机器人此次投篮是否有效？ 9．如图为某拱桥的示意图，桥面平行于水面，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点与桥面的距离为米，当水面距离桥面时，拱孔横跨水面宽度为米．若以水面所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (2)若从桥面向下挂一条宽为米的长方形横幅，横幅上边沿与桥面重合，、恰好落在拱孔上，求横幅的长． 10．如图1，将一钢球从斜槽的点A处静止释放，钢球在点O处被向右水平抛出后，用频闪相机观察到钢球在下落过程中的几个位置如图2所示，并以点O为原点，钢球运动的水平方向为x轴建立平面直角坐标系，得到钢球的位置坐标为，钢球的运动轨迹为抛物线．根据运动的原理，可知x，y（单位：）与钢球下落运动时的时间t（单位：s）的关系式分别为（为钢球在水平方向上的速度，g为重力加速度）．根据钢球的运动位置，测量数据如下： 0.1 0.2 0.3 0.8 1.6 2.4 (1)根据测量数据，钢球在水平方向上的速度 ______，重力加速度 _____ (2)求钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式 (3)若点O距离地面的高度为，钢球被水平抛出的正前方地面上有一个高为的无盖的正方体箱子（箱子厚度忽略不计），若要使钢球落到箱子里，则箱子左侧到点O的水平距离最远是多少？ 11．综合与实践： 【问题情境】关注眼健康，共筑“睛”彩大视界．某电商为积极响应爱眼日活动宣传，计划销售一款护眼贴．已知该款护眼贴的进价为50元/盒，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量（盒）与销售单价（元/盒）的情况如图所示： 销售单价（元/盒） 月销售量（盒） 65 1300 60 1400 70 1200 (1)【数据整理】请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 销售单价（元/盒） 60 ________ ________ 月销售量（盒） ________ ________ ________ (2)【模型建立】分析数据的变化规律，求出月销售量与销售单价之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (3)【拓广应用】该电商规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的．设销售这种护眼贴每月获利（元），当销售单价为多少元/盒时，每月获利最大？最大利润是多少元？ 销售单价x（元/盒） 60 65 70 月销售量y（盒） 1400 1300 1200 12．跳绳是民间常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同步甩动绳子．当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距．现在以两人的站立点所在的直线为轴，过小明拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式． (1)求绳子所对应的抛物线的解析式． (2)身高为的君君站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由． (3)身高为的小红站在绳子的下方，设她距离小明拿绳子的手为，为保证绳子甩到最高处时过她的头顶，直接写出的取值范围． 13．如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着陆．已知起跳点与着陆坡上的计分参照点的竖直距离为，水平距离为．按如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线． (1)求的值和该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度； (2)请通过计算，判断着陆时他能越过点吗？ 14．2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． (1)请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； (2)若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 15．如图1是一个花坛，将其抽象为如图2所示的平面图，图2中花坛的外轮廓可看作由抛物线和线段组成，已知，是的中点，花坛的最大深度，，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点、是花坛下方支架与花坛的两个接触点（即点、在抛物线上），且、关于轴对称，若点到水平地面的距离为，、两点之间的距离为，轴，求点到水平地面的距离． 16．如图1是一款摇椅，其底座的侧面示意图可抽象为如图2所示的抛物线，已知，抛物线最低点到的距离为，以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，该抛物线的对称轴与轴垂直． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若、两点是该摇椅的扶手与底座的接触点（即点、均在抛物线上），且点、到的距离均为，求、两点之间的水平距离． 17．为探究三峡水电站的发电过程，某兴趣小组计划制作水电站的模型，模型包含多个水轮发电机等组件，如图，制作一个水轮发电机需配备个铜线圈、组叶片和若干其他基础配件．已知购买一个铜线圈需元，购买一组叶片需元（其它基础配件库存充足，无需购买）． (1)现有经费元全部用于购买铜线圈和叶片来制作水轮发电机，该兴趣小组最多能制作多少个水轮发电机？ (2)由于模型储水能力有限，所有水轮发电机不能同时运行．兴趣小组测试时发现：若同时工作的发电机不超过个，每个发电机发电功率为每秒焦耳；若超过个，每增加个发电机同时工作，每个发电机的功率每秒将减少焦耳．（总发电功率工作的发电机个数每个发电机的功率） 设同时工作的发电机有个，当时，求总发电功率（单位：焦耳秒）关于的函数关系式； 在（）的条件下，模型的总发电功率最大是每秒多少焦耳？ 18．如图，一光点M从原点O出发，其路径为抛物线L的一部分，在点处达到最高，并落在x轴上的点P处，并在点P处向右侧弹起，路径为抛物线的一部分，其中抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同，线段的端点，． (1)直接写出点P的坐标，并求出抛物线L的解析式； (2)若抛物线G经过点，求抛物线G的函数解析式； (3)将抛物线L向右平移个单位长度使它与线段有交点，直接写出k的取值范围． 19．【问题背景】为落实2026年深圳峰会“开放创新，绿色发展”的办会理念，会议通信保障中心发现，现场设备分为两类：媒体设备（记者用于直播、传输视频，占总设备数的 ，每台需带宽2单位）和普通设备（占 ，每台需带宽1单位）．每个通信基站带宽容量为600单位．会议通信保障中心的目标是在保障期的任意时刻，现场总带宽需求不超过基站总容量． 【模型构建】在会议开始前40分钟启动通信保障，现场总设备数y（台）与保障时间x（分钟）满足： ． 【模型应用】 (1)第______分钟，现场总设备数达到1400台． (2)请求出第 分钟时的现场总带宽需求 的表达式． (3)为满足带宽需求，至少需要部署多少个基站？请说明理由． (4)通信中心考虑优化方案：媒体设备区必须保证 带宽供应，普通设备区可接受“弹性保障”（当带宽不足时，可降速至0.5单位/台）．若普通设备区降速策略生效的阈值为：当 （总带宽容量）时启动．请通过计算说明采用此策略后，所需基站数能否减少． 20．【问题提出】某班开展课外锻炼，有7位学生组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？ 【实践活动】在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践： 步骤一：收集身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳； 步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中高、两低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全； 步骤四，如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳； 根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图2： （2）9名跳绳同学身高如表． 身高（） 人数 素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒服； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． (1)任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． (2)任务2：确定排列方案，该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． 21．根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校将组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班男、女生组各需要报9名跳绳同学； （2）每班另选2名摇绳同学； （3）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）如图2，在跳长绳时，绳子摇至最高处的形状可以近似地看作抛物线．甲、乙两名同学负责摇绳，当绳子摇至最高处时，最高点距离地面，摇绳位置之间的水平距离为，且摇绳位置，到地面的距离均为．以地面上的点为坐标原点，线段所在直线为轴，线段所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （2）观察跳绳同学的姿态（如图3），当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 问题解决 (1)任务一确定长绳形状 根据素材，求出图2中长绳摇至最高处时抛物线对应的函数表达式． (2)任务二探究站位碰绳问题 该班男生组选取9名代表身高见下表，若该班体育委员决定：以长绳的最高点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时人与人之间保持的间距．当长绳摇至最高处时，同学们正屈膝落地，长绳会触碰到最右侧的同学吗？为什么？ 身高（） 人数 2 4 2 1 (3)任务三拟定位置方案 该班女生组挑选出身高都为的9名女生参加跳绳．跳绳时，同样采用一路纵队的方式安排选手位置，但人与人之间保持的间距．当9名女生正屈膝落地时，若要保证跳绳正常进行（绳子超过头顶），请求出左边第一位同学离点的水平距离的取值范围． 22．综合与实践 【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥——如意桥与圆梦桥． 如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬空的玉如意．主拱和副拱轮廓近似抛物线． 综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转，得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱．这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成和谐的视觉平衡． 【模型建立】 (1)如图1，实践小组记主拱所在抛物线为，副拱所在抛物线为，以它们的对称中心为原点建立平面直角坐标系，它们的交点所在直线为轴，即和关于原点中心对称．通过测量得知和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，则的顶点的坐标为（0，____），左交点的坐标为（____，0），抛物线的解析式为________，抛物线的解析式为________； 【模型应用】 (2)实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱不变的情况下，改成两条关于轴对称的副拱和，如图2，和所在抛物线关于点对称，且恰好经过的顶点，请求出左副拱所在抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索，所在直线为，如图3，要求斜拉索和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线至少要与，和各有一个交点，求出的取值范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 二次函数实际应用（知识点+8题型） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1图形问题（静态几何） 题型2 图形运动问题（动态几何） 题型3 拱桥问题 题型4 销售问题 题型5 投球问题 题型6 喷水问题 题型7增长率问题 题型8 综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 列二次函数解应用题的步骤 最大利润问题 抛物线型实际问题（拱桥/投篮/隧道） 数形结合思想 1. 掌握列二次函数解实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答，能规范书写解题过程，明确二次函数是解决最值问题的重要数学模型。 2. 能分析几何图形中的变量关系，建立二次函数模型解决最大面积问题，能根据实际意义确定自变量的取值范围，并利用二次函数的性质求出符合题意的最值。 3. 能分析商品销售中的数量关系，建立二次函数模型解决最大利润问题，理解单价、销售量、利润之间的内在联系，能根据市场实际情况调整方案。 4. 能解决抛物线型实际问题（如拱桥、隧道、投篮轨迹），学会建立适当的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题，体会数形结合的数学思想，发展应用意识和解决问题的能力。 学习重点：建立二次函数模型解决最大面积、最大利润和抛物线型实际问题，利用二次函数的性质求实际问题中的最值。 学习难点：从复杂实际问题中抽象出二次函数关系，建立合适的平面直角坐标系解决抛物线型问题，根据实际意义准确确定自变量的取值范围并检验解的合理性。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 列二次函数解应用题的一般步骤 步骤：审→设→列→化→求→验→答 审：梳理题干已知量、未知量，挖掘等量关系 设：设自变量、函数，标注对应单位 列：依据等量关系列出关于的函数式 化：整理为一般式或顶点式，方便求最值 求：结合二次函数性质求解最值、对应自变量 验：双重检验，一是计算正误，二是数值符合现实条件 答：规范写出结论，带上对应单位 即时即练某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价x/元 45 55 65 日销售量y/件 55 45 35 (1)求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）． (2)求当每件售价为多少元时，日销售额最大？最大日销售额为多少元？ 【答案】(1) (2)每件售价为50元时，日销售额最大，最大日销售额为2500元 【分析】本题考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出函数关系式． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）设该商品日销售额为w元，利用销售额每件售价销售量，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：设该商品日销售额为w元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为2500， 即每件售价为50元时，日销售额最大，最大日销售额为2500元． 【易错提醒】 容易省略实际意义检验，出现负数长度、亏损售价等不合理解；设元和作答遗漏单位；间接设元时，求出x后忘记换算题目所求量；等量关系梳理错误，函数关系式整体出错。 知识点02 最大面积问题 基本等量关系：借助矩形、三角形、梯形等几何面积公式构建二次函数 常见模型：靠墙围栏、道路留白、边框图形面积问题 即时即练如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）由题意易得，，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）连接，由题意易得，，设点，且，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得：，解得：， ∴， 把代入直线得：， ∴， ∵抛物线经过，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： ∴， ∵，， ∴，， 设点，由题意知， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为． 【易错提醒】 靠墙模型易多算或少算靠墙一侧边长；忽略墙长、图形长宽带来的自变量取值限制；顶点横坐标不在取值区间时，仍直接取顶点纵坐标为最值；三角形、梯形面积漏乘。 知识点03 最大利润问题 核心公式 单件利润=售价-进价 总利润=单件利润×销售数量 总销售额=售价×销售量 常见模型：价格升降带动销量增减类销售题型 即时即练某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为60元．经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系式为．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）． (1)求w关于x的函数解析式； (2)若要获得销售利润为3000元，销售单价应定为多少元/千克? (3)当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大?最大销售利润是多少? 【答案】(1) (2)90元/千克或110元/千克 (3)当绿茶的销售单价是100元/千克时，销售利润最大，最大销售利润是3200元 【分析】（1）首先明确每千克利润为销售单价减成本，因为总利润=每千克利润×销售量，所以将已知的销售量y与x的关系式代入，即可得到w关于x的函数解析式． （2）如果利润为3000元，那么令，得到关于x的一元二次方程，求解方程即可得到销售单价的可能取值． （3）因为w是关于x的二次函数，所以可以通过配方法或者二次函数顶点公式，结合二次函数的开口方向，即可求出利润最大值及对应的销售单价． 【详解】（1）解：已知销售利润w(元)、销售单价x(元/千克)、成本60元/千克，以及销售量y(千克)的关系为， 又∵， ∴． 可得． 答：w关于x的函数解析式为． （2）解：当时，． 化简得．． 可得， 则或， 解得． 答：销售单价应定为90元/千克或110元/千克． （3）解：由， 得： ． ∵二次项系数， ∴该二次函数图象开口向下，有最大值． ∴当时，w有最大值3200． 答：当绿茶的销售单价是100元/千克时，销售利润最大，最大销售利润是3200元． 【易错提醒】 混淆进价、标价、售价概念；价格上涨销量减少、降价销量增多的变化关系写反；未限定自变量范围，出现销量为负、售价低于成本的情况；实际商品数量需为整数，直接使用小数最值不贴合现实。 知识点04 抛物线型实际模型 解题思路：建立平面直角坐标系，将拱桥、投篮、喷泉、隧道等实物转化为抛物线图像，多用顶点式求解 即时即练为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分； (3)小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离， 当时，， 解得，， 点坐标为或， ∵点在轴正半轴， ∴（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 小明此次练习能得满分． (3) 【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式． （2）根据（1）中的抛物线表达式求出轴交点坐标，对比交点到原点的距离和大小关系即可． （3）利用抛物线对称轴求出点关于对称轴对称点坐标，为了保证安全，即可求出横坐标范围， 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为 设抛物线的顶点式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：． （2）略 （3）由题意可知，抛物线的对称轴为直线， ， 点P关于抛物线对称轴对称的点的坐标为， ∵同学身高，为了保证安全，此时， 此时该同学所在位置的横坐标的取值范围为． 【易错提醒】 坐标系原点选取不合理，加大计算难度；图像上下位置混淆，坐标正负符号写错；长度、高度不能为负，负根未舍去；横坐标、纵坐标代表的实际距离区分不清。 题型1 图形问题（静态几何） 【例1】用长为L米的铁丝围成一个矩形或正方形，则其所围成的最大面积为________平方米． 【答案】/ 【分析】设围成矩形的一边长，根据周长得到邻边长，列出面积关于边长的二次函数，利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设围成矩形的一边长为米，则该矩形邻边长为米，其中， 因此矩形面积为， 因为二次项系数， 所以当时，S取得最大值， 所以所围成的最大面积为平方米． 【技巧归纳】 设未知数技巧：设一条边长为x，用周长/总长表示另一条边长 等量关系：面积=长×宽（矩形）、面积=底×高÷2（三角形）等 最值规律：周长一定的矩形，正方形面积最大 必做步骤：标注自变量取值范围（边长>0，总长限制） 【变式1-1】 1．一个菱形风筝的两条对角线的长之和为．其对角线的长发生变化时，菱形的面积也发生变化．在这个变化过程中，其中一条对角线的长为． (1)写出菱形的面积y（单位：）关于x（单位：）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)当时，求y的函数值． 【答案】(1)， (2)800 【分析】（1）先求出另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式求出函数解析式即可； （2）把代入函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，菱形的另一条对角线的长为， ∴，其中； （2）解：由（1）知，， ∴当时，． 【变式1-2】 2．综合与实践 汕尾市素有“中国青梅之乡”的美誉，青梅种植是本地特色农业产业．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围墙不限长）和长度为的篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地（如图），用于开展青梅育苗与管护实践活动．该校数学兴趣小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除围墙外，篱笆仅围，，三边，篱笆无浪费），请根据方案完成以下探究． (1)方案一：若限定矩形实践基地的边为，则矩形实践基地的边为______，此时矩形实践基地的面积为______． (2)方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的边为，则用含的代数式表示边的长度为______；当边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最大为多少？ 【答案】(1)，； (2)，当时，矩形实践基地的面积最大，最大为 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据篱笆的长度直接计算即可； （2）根据二次函数的性质进行解题． 【详解】（1）解：∵篱笆的长度为， ∴， ； 故答案为：，； （2）解：， 设矩形实践基地的面积为， 由题意，得， 当时，有最大值， 即当时，矩形实践基地的面积最大，最大为. 题型2 图形运动问题（动态几何） 【例2】如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况分类讨论：当时，利用等腰直角三角形的性质得出与的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当时，利用三角形面积公式得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， 过点C作与点H， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， 故选项B符合题意． 【技巧归纳】 第一步：根据“路程=速度×时间”，用含t的式子表示所有运动线段 第二步：结合几何性质（勾股定理、面积公式）列函数关系式 第三步：求最值或特定值时，必须检验t是否在运动时间范围内 多阶段运动：分区间讨论，每个区间列一个函数 【变式2-1】 1．如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过A点作于H，利用等腰直角三角形的性质得到，，分类讨论：当时，如图1，易得，根据三角形面积公式得到；当时，如图2，易得，根据三角形面积公式得，于是可判断当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：过A点作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，故B选项符合题意． 【变式2-2】 2．如图，菱形中，对角线，相交于点，且，，动点，分别从点，同时出发，运动速度为，点沿运动，到点停止，点沿运动，运动速度为，到停止，连接，，．设的面积为（）（这里规定：线段是面积的几何图形），点的运动时间为（）． (1)填空：　　　　　，菱形高为　　　　　　； (2)求与之间的函数解析式． 【答案】(1)5， (2) 【分析】（1）根据勾股定理即可求得，根据菱形面积公式求得菱形的高； （2）首先求出，，过点作于点，然后分两种情况讨论，解直角三角形表示出，分别根据和求解． 【详解】（1）解：菱形中，，， ，，， ， 设菱形的高为， ， ， 菱形高为； （2）解：∵，，， ∴，， 如图，过点作于点，当时，点P在上，点Q在上， 根据题意得，，，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵菱形高为 ∴， ∴ 当时，点P在上，点Q在上，如图， 根据题意得，，，则 ∵四边形是菱形 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵菱形高为 ∴ ∴ ∴ 综上所述，与之间的函数解析式为． 题型3 拱桥问题 【例3】如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美誉．已知中间主跨地面宽度为35米，实际结构可简化为图2所示的组合图形：上部为抛物线形，下部为矩形．某测量小组测得为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧走2米到达点E，测得E点处对应的高度（即点E上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛物线顶点到地面的距离）．（精确到） 【答案】主跨的高度约为． 【分析】以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由题意可得，，设该抛物线的表达式为，求出抛物线的解析式即可解答． 【详解】解：以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如答图所示． ， ，， ，． 设该抛物线的表达式为， 将，代入，得， 解得， 该抛物线的表达式为． 当时，． 答：主跨的高度约为． 【技巧归纳】 第一步：根据“路程=速度×时间”，用含t的式子表示所有运动线段 第二步：结合几何性质（勾股定理、面积公式）列函数关系式 第三步：求最值或特定值时，必须检验t是否在运动时间范围内 多阶段运动：分区间讨论，每个区间列一个函数 【变式3-1】 1.如图，一条隧道的横截面由一段抛物线和矩形的三条边围成，矩形的长为，宽为，隧道的最高点P距地面． (1)在如图所示的直角坐标系中，求抛物线的表达式． (2)一辆货车高为，宽，能否从该隧道通过？请说明理由． (3)在（2）的条件下，若该隧道内设双车道，那么这辆货车能否通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)能通过，理由如下： 解：令，则有， 解得，， ， ∴货车可以通过； (3)能通过，理由如下： 由（2）可知 ， ∴货车可以通过． 【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式； （2）令，解出x的值，然后将与车宽作比较即可求解； （3）隧道内设双行道后，将（2）求出时的抛物线线上两点的距离与2个车宽作比较． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标， 设抛物线的方程为， ∵点在抛物线上， ∴． ∴． ∴． （2）略 （3）略 【变式3-2】 2．西安东站坐落于西安灞桥区，东依白鹿原、西邻浐河，是西北地区特大型综合交通枢纽，也是西安“米”字形高铁网核心枢纽之一，以“秦山渭水、丝路长安”为设计理念，如图①，其站房主门楼顶部采用大气、对称的抛物线形拱檐设计，线条流畅优美，其拱檐轮廓可近似看作开口向下的抛物线的一部分．如图②，现以拱檐对称轴与水平地面的交点为坐标原点，水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系，结合东站实景真实比例：拱檐左右两端檐口水平总跨度为，檐口离地高度为，拱檐拱顶最高处离地高度为． (1)求该抛物线的表达式； (2)为美化夜景，需要在拱檐安装亮化灯带，要求灯带安装位置离地高度不低于，求灯带两端水平距离的最大长度． 【答案】(1)该抛物线的表达式为 (2)灯带两端水平距离的最大长度为 【分析】（1）设抛物线表达式为：，根据题意可得点坐标为，代入求解即可； （2）要求离地高度不低于，即，将代入抛物线表达式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线对称轴为轴，顶点坐标为， 设该抛物线表达式为， ，， 由对称性得点的坐标为， 将代入表达式得：， 解得， 该抛物线的表达式为． （2）解：要求离地高度不低于，即， 令代入抛物线表达式得 ， 整理得， 解得，， 两个交点的水平距离为：， 因此灯带两端水平距离的最大长度为． 题型4 销售问题 【例4】某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为____元． 【答案】 【分析】根据每件利润乘以总销售量得到利润的二次函数解析式，再结合二次函数的性质和给定的自变量取值范围求解最大利润． 【详解】解∶设每件玩具涨价x元， 则利润， ∵每件销售价不低于57元销售， ∴，解得， ∵，抛物线开口向下，当时，w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值，为， ∴最大利润w为2210元． 【技巧归纳】 设未知数技巧：设涨价/降价的金额为x元（比设售价更简便） 单件利润=原售价±x-进价；销售量=原销量∓（每涨/降1元的销量变化）×x 最值求法：化为顶点式，当时取最值 临界判断：若顶点横坐标不在自变量范围内，最值取区间端点 【变式4-1】 1．河南特产：铁棍山药实体店、网店两种销售模式，实体店进价8元/斤，售价元；销量y （斤）与单价x （元/斤）满足一次函数：，，，． (1)求y与x解析式； (2)网店每斤成本6元，单价不低于成本且不高于15元，求网店单日最大利润． 【答案】(1) (2)定价元，最大利润元 【详解】（1）解：设解析式为 ， 将、代入， 解得 ∴y与x的解析式为： ； （2）解：设网店单日总利润为元， 每斤利润为元，销量为， ， ∵， ∴开口方向向下， 且， ∴当时，取得最大值元， 答：当定价元时，最大利润为元． 【变式4-2】 2．某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件5元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件；设商品售价x元（售价不低于进价，x为正整数），这批商品的日利润为w元（利润＝售价﹣成本），请解决以下问题： (1)设商品售价x元，则一天可以卖出________件； (2)当商品的售价x为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)当商品售价为9元或10元时，日利润最大，最大日利润为800元 【分析】（1）设商品售价x元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件，据此列出代数式即可； （2）先求出，再根据题意列出日利润w的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设商品售价x元，则由题意可得， 即一天可以卖出件； （2）解：由题意可得， 解得， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线，x为正整数， ∴根据抛物线对称性可知，当或时，取得最大值， 此时最大值为, 即当商品售价为9元或10元时，日利润最大，最大日利润为800元． 题型5 投球问题 【例5】为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图，篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可近似看作抛物线的一部分．已知篮球从距地面2米的点A处投出，并落在水平地面上的点M处，其运动路线的最高点P距地面3.8米，最高点P与篮球出手点A的水平距离为3米．以地面所在直线为x轴，过点A且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求点P所在抛物线的函数表达式； (2)已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A正上方1米的点B处投出，落地点为N，点N在x轴的正半轴上，求点B与落地点N的水平距离的长． 【答案】(1) (2)​米． 【分析】（1）根据题意可知、，设抛物线顶点式为，将代入计算即可； （2）根据平移的性质得到，令，求解后根据在正半轴取合适的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：出手点的坐标为， 最高点距水平距离3米，距地面3.8米，因此坐标为． 设抛物线顶点式为， 将代入得：， 解得：， ∴； （2）解：∵将篮球从点A正上方1米的点B处投出， ∴新抛物线表达式为：， 令，得：， 解得， ∵在正半轴， ∴​， ∴​米． 【技巧归纳】 通常以出手点为原点或地面某点为原点建系 关键点坐标：出手点（h为出手高度）、最高点（顶点）、落地点 用顶点式求解，顶点纵坐标为最大高度 求投球距离：令y=0，解出正根即为水平距离 【变式5-1】 1．某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 竖直高度 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． (1)【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）； (2)【应用模型】羽毛球在此次飞行过程中，飞行的最大高度是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）化为顶点式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， 得 解得 ∴与的函数解析式为． （2）解：． ∵， ∴当时，有最大值为． 答：羽毛球在此次飞行过程中，飞行的最大高度是． 【变式5-2】 2．综合实践 探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响 试验说明 数学兴趣小组为了探究此问题，由一名男生做了两次投掷试验（出手角度不同）．建立如图1所示的平面直角坐标系． 实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，实心球着地点到出手点的水平距离为d米（即掷球成绩）． 男生实心球评分标准如下表所示． d/米 8.4 8.2 7.8 7.6 7.0 6.7 得分 10 9.5 9.0 8.5 7.8 7.6   从投掷到着地的过程中，实心球的竖直高度y与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系，两次试验实心球所达到的最大高度相同． 试验过程 【第一次试验】：实心球的水平距离x与竖直高度y的几组对应数据如下： 水平距离x/米 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/米 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 n 【第二次试验】：实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图2所示，其中A为第二次试验抛物线的顶点．    解决问题 (1)根据第一次试验数据，直接写出： ________；此次试验中实心球达到的最大高度是________米； (2)求第二次试验的抛物线的解析式； (3)通过计算说明该男生两次投掷试验的最好成绩是多少分？ 【答案】(1)3.2；3.6 (2) (3) 该男生两次投掷试验的最好成绩是10分 【分析】（1）由对称性可得第一次试验中，对应的抛物线的对称轴为直线 ，据此可得对应的顶点坐标，则可得到第二空的答案，再由对称性可得第一空的答案； （2）根据题意可得第二次试验的抛物线的顶点坐标为，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （3）求出第一次试验的抛物线的解析式，进而求出即可得到答案． 【详解】（1）解：∵第一次试验中， 时的函数值与 时的函数值相同， ∴第一次试验中，对应的抛物线的对称轴为直线 ， ∴第一次试验中，对应的抛物线的顶点坐标为， ∴此次试验中实心球达到的最大高度是 米， 由对称性可得 时的函数值与 时的函数值相同，即 ； （2）解：∵两次试验实心球所达到的最大高度相同， ∴第二次试验的抛物线的顶点坐标为， 设第二次试验的抛物线的解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴第二次试验的抛物线的解析式为 ； （3）解：设第一次试验的抛物线的解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴第一次试验的抛物线的解析式为 ， 在 中，令 ，得 ， 解得 或 （舍去）， 米， 在 中，令 ，得 ， 解得 或 （舍去）， 米， ， ∴第一次试验成绩最好； ， ∴第一次试验成绩为10分， ∴该男生两次投掷试验的最好成绩是10分． 题型6 喷水问题 【例6】某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 【答案】(1) (2)答：此时喷出的水柱会落到人工湖外． 理由如下： 对于， 令，得， 解得或（舍去）， 对于， 令，得， 解得或（舍去）， ∵， ∴此时喷出的水柱会落到人工湖外； (3)解：对于， 当，即时，， ∵， ∴游船有被水柱喷到的危险． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）分别求出当时，改变喷头的推力前后的两个抛物线解析式中的，比较后即可得出结论； （3）求出抛物线上时，的值，与船的高度比较后得出结论. 【详解】（1）解：由表格中数据，可知抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的表达式为：． （2）略 （3）略 【技巧归纳】 喷头在顶点时：建系使顶点在，解析式为 喷头在原点时：建系使喷头在，解析式为 最大高度=顶点纵坐标，喷水射程=落地点横坐标的绝对值 多个喷头问题：利用对称性求交点和覆盖范围 【变式6-1】 1．牡丹花主题公园内有一直径为的圆形花坛，它的中心A处安装着一个可升降的喷灌头，它喷出水柱的路径可近似看作抛物线，水柱在距A点水平距离为处达到最高，最高为，水柱落地点为点B，花坛边缘为点C，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)若上有一株牡丹花高，长在花坛哪个范围内才不会被水柱直接喷射到？ (3)若水柱的形状不变，当把落地点调整到花坛内距花坛边缘处时，水柱的喷头A需上升多少米？ 【答案】(1) (2)长在与点A的距离大于且小于的范围内才不会被水柱直接喷射到 (3)米 【分析】（1）根据题意可以确定抛物线的顶点坐标，然后利用顶点坐标式即可求解； （2）首先确定牡丹花不会被水柱直接喷射时，所生长范围内水柱距地面的高度需满足什么条件，然后利用抛物线的表达式求解即可； （3）首先根据调整后水柱的落地距离确定落地点B的坐标，然后求出调整后抛物线的表达式，继而求解． 【详解】（1）解：由题意得，此抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 把代入抛物线的表达式，得 ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：∵牡丹花高， ∴要保证不会被水柱直接喷射，应长在水柱距地面的高度大于的范围内． 把代入，得 ， 解得或． ∴牡丹花长在与点A的距离大于且小于的范围内才不会被水柱直接喷射到； （3）解：设调整后抛物线的表达式为， 根据题意，把水柱落地点调整到花坛内距花坛边缘处，此时, ∴点B的坐标为． 把点B的坐标代入抛物线的表达式，得 ， 解得． ∴抛物线的表达式为， 把代入，得 ，即， ∴，水柱的喷头A需上升米． 【变式6-2】 2．问题背景：某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为y（单位：m），水平距离为x（单位：m），建立如图1所示的平面直角坐标系． 信息1：通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为t（单位：s）时的多组数据，其中几组数据如下： 时间 0 0.10 0.20 0.30 水平距离 0 0.10 0.20 0.30 竖直线高度 0.80 0.75 0.60 0.35 信息2：小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离x与时间t的关系为（v为水滴离开出水点时的速度，单位） 根据以上信息，解决下列问题： (1)v的值是______； (2)水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过多长时间？ (3)将如图2所示的一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），水喷出后运动路径的形状不变，要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为____________． 【答案】(1)1； (2)； (3)． 【分析】（1）依据题意，由水平距离x与时间t的关系为，结合表格中的数据求解即可； （2）依据题意，利用待定系数法求出对应的抛物线解析式，再求出时，x的值，然后根据时间距离速度，即可得到答案； （3）设平移后的抛物线解析式为，由题意得，当时，，当时，，分别求出的值，最后下结论即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：设抛物线解析式为， 由表格得， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时， 解得或（舍去）， ∴水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过； （3）解：设平移后的抛物线解析式为， ∵一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且， ∴当水落在花盆最左边时，，此时，解得； 当水落在花盆最右边时，时，，解得； ∴要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为． 题型7 增长率问题 【例7】为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 【技巧归纳】 基础公式：两年后总量（a为基础量，x为平均增长率） n年增长：，注意增长次数与年份的对应 可求最大增长值、特定增长率对应的总量，或已知总量求增长率 【变式7-1】 1．某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为y万元．设每月的平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式为_______ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．由题意知，二月份的营业额万元，三月份的营业额万元，依题意得，． 【详解】解：由题意知，二月份的营业额万元，三月份的营业额万元， 依题意得，， 故答案为：． 【变式7-2】 2．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 题型8 综合应用 【例8】1．如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道（抛物线段）和人腾空飞出后经过的路径（抛物线段）都可以看作是抛物线．水滑道（抛物线段）的函数表达式为，水滑道最低点为点，根据测量和调查得到的数据和信息，解决下列问题． (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)如图1，腾空点与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点与水池边缘的安全距离不少于米．某人腾空后的路径形成的抛物线的最高点为，此时点恰好是线段的中点． ①求抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点是否在安全范围内？说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面米的点处竖直支撑的钢架，另一条是点与点之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 【答案】(1)， (2)①； ②落点在安全范围内． 由①得， 令，则， ∴，（负值，舍去）， ， ， ， ∴落点在安全范围内； (3)这条钢架的长度为米 【分析】（1）由题中水滑道（抛物线段）的函数表达式，令求出即可得到点的坐标为，由顶点式即可确定点的坐标； （2）①由中点坐标公式求出抛物线的顶点为，设抛物线为，由待定系数法求解即可；②令，解一元二次方程得到，数形结合求解即可； （3）根据题意，作出图形，令，解方程即可得到，求出直线的解析式，再由直线的平行关系设为，由抛物线与直线有一个交点，联立方程组，消去，由求解即可得到，从而确定直线解析式，得到相关线段长，最后在中由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：水滑道（抛物线段）的函数表达式为， 当时，，则点的坐标为；水滑道最低点为点的坐标为； （2）解：①是的中点且，， 设点的坐标为， 则，解得， ∴抛物线的顶点为， ∴可设抛物线为， 将代入得，解得， ∴抛物线的解析式； ②略 （3）解：如图所示，即为所求钢架． 抛物线段的解析式为， 令，则， ∴，（正值，舍去）， ， 又， ∴直线为， ， ∴可设为， 联立方程组， 消去得， ∴， ， ∴直线为，则直线过原点，即与重合， ， ∴令，则， ，， 又， ∴， 答：这条钢架的长度为米． 【技巧归纳】 基础公式：两年后总量（a为基础量，x为平均增长率） n年增长：，注意增长次数与年份的对应 可求最大增长值、特定增长率对应的总量，或已知总量求增长率 【变式8-1】 1．在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“差反点”． (1)判断点，，，哪个是点的“差反点”？ (2)若直线上的点A是点的“差反点”，求点A的坐标； (3)对于点，若抛物线上存在唯一的“差反点”，且当时，n的最大值为，求t的值． 【答案】(1)和 (2) (3)或 【分析】（1）先根据“差反点”的定义，直接代入定义验证即可； （2）设出直线上点的坐标，结合定义列方程求解； （3）联立差反点满足的关系式和抛物线解析式，由唯一交点得到判别式为，整理出关于的二次函数，再根据对称轴位置分类讨论，结合最大值条件求解的值。 【详解】（1）解： 根据“差反点”定义，若是的差反点，满足， 对，，等式成立， 对，，等式不成立， 对，，等式成立， 因此和是点的差反点。 （2）设点，因为是的差反点， 根据定义得：， 解得， 代入得， 因此点的坐标为． （3）设的差反点坐标为，根据定义得，即， 因为该点在抛物线上， 代入得： 整理得， 因为抛物线上存在唯一的差反点， 所以一元二次方程判别式， 化简得， 是关于的二次函数，开口向下，对称轴为直线， 分三种情况讨论：①当时，在范围内，在处取得最大值， 代入得：， 整理得， 解得， 因为，舍去，得； ②当时，在范围内， 在处取得最大值，代入得：， 整理得，方程无实数解，此情况不成立。 ③当时，在范围内，在处取得最大值， 代入得：， 解得（满足） 【变式8-2】 2．如图①，已知抛物线与x轴交于两点、，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)______； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由； (4)若抛物线与抛物线（其中）交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，______．（请用含a，，的代数式来表示） 【答案】(1) (2)4 (3)是定值， (4) 【分析】（1）将点代入抛物线中先求解出c的值，再将点代入即可求解出b的值； （2）先求解出抛物线和抛物线的表达式，设出点P的坐标，求出直线的函数表达式，联立直线与抛物线求解出点Q的坐标，由此可求解； （3）先求解出点C的坐标，求出直线的函数表达式，联立直线与抛物线求解出点N的坐标，由此可求解； （4）先联立抛物线和表示出点C的坐标，求出直线的函数表达式，联立直线与抛物线求解出点N的坐标，由此可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点、， ∴，解得， 即； （2）解：由（1）可知，， ∴抛物线， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴，即， ∵点P是抛物线在第四象限内一点， ∴设点，其中， ∵点， 设直线的函数表达式为， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 联立，即， 则有，即， 解得或， ∴点， ∴； （3）解：∵抛物线与抛物线交于点C， 联立，即， 解得，则， ∴点， ∵点M是抛物线上的一点，且设点M的横坐标为m， ∴点M的纵坐标为， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 联立，即， 可得，且点N的横坐标为n， 则， ∵点C的横坐标为， ∴， ∴， 即为定值； （4）解：∵抛物线与抛物线（其中）交于点C， 联立，即， 可得，则， ∴点， ∵点M是抛物线上的一点，且设点M的横坐标为m， ∴点M的纵坐标为， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 联立， 即， 可得，且点N的横坐标为n， 则， ∵点C的横坐标为， ∴， ∴， 即． 一、单选题 1．已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，结合题目给出的两个条件列出关于的不等式组，即可求解的取值范围． 【详解】解：∵抛物线开口向上，当时，， ∴将代入解析式得：， 化简得，解得， ∵当时，随的增大而增大，开口向上的二次函数对称轴右侧随增大而增大， ∴抛物线对称轴不大于， ∵抛物线对称轴为， ∴， 解得：， 综上，的取值范围是． 2．从地面竖直向上射出一小球，若小球离地面的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式为，则下列说法中，错误的是（   ） A．小球运动时间为时的高度是 B．小球运动时间为时的高度和时的高度相等 C．小球离地面的最大高度是 D．小球从射出到落地需要s 【答案】D 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，通过代入计算，配方求最值，解方程求落地时间，即可判断各选项的正误． 【详解】解： 选项A，当时，代入得，∴A正确，不符合题意； 选项B，当时，，当时，，两者高度相等，∴B正确，不符合题意； 选项C，∵，二次函数开口向下，当时，取得最大值，即小球离地面最大高度为，∴C正确，不符合题意； 选项D，小球落地时，即，因式分解得，解得（初始射出时刻）或，∴小球从射出到落地需要，不是，∴D错误，符合题意． 3．如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】令，解方程即可求出水面的宽度． 【详解】解：根据题意，令，得： ， 解得：，， 所以水面宽为：米． 4．一辆电动车（如图所示）在公路上匀速行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶需要的时间为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， 解得（不符合题意，舍去），或， 所以行驶需要的时间为． 5．伞是生活中常见的一种工具，其撑开后的形状近似抛物线．如图所示，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨的交点为原点建立平面直角坐标系，为抛物线与轴的交点，点在抛物线上，关于轴对称．已知抛物线的表达式为，若点到轴的距离是，则两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意并结合二次函数对称性，将代入解析式中求出横坐标，即可解题． 【详解】解：点到轴的距离是，关于轴对称． 当时，有， 解得， 两点之间的距离． 6．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价（单位：元）之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得的最大利润是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】根据顶点式得到二次函数的开口方向和对称轴，结合二次函数的增减性即可在给定范围内求出最大值． 【详解】解：∵，且， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，取得最大值， 将代入解析式得 即一周可获得的最大利润是1550元． 7．如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心上方设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 由待定系数法求出函数表达式，即可求解． 【详解】解：由题意得，抛物线顶点的坐标为：，点， 则抛物线的表达式为：， 将点C的坐标代入上式得：，则， 则抛物线的表达式为：， 当时，， 故选：A． 8．如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．当球运行的水平距离为时达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离是，则此时抛物线的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的应用．设抛物线的表达式为，根据题意得，抛物线过点，由此可得的值，即可求解． 【详解】解：∵当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米，   ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为． 根据题意得，抛物线过点． ∴， 解得∶， ∴抛物线的表达式为． 故选∶ B． 9．一小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），按如图所示的图象，小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系式是，当小球的速度最大时，弹簧的长度是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数解析式求出速度最大时弹簧被压缩的长度，再利用弹簧长度等于初始长度减去压缩长度求解即可 【详解】解：∵小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系式是 ∴该函数图象是开口向下的抛物线， 当时，取得最大值， ∵， 当时，小球的速度最大，此时弹簧被压缩了， ∵弹簧的初始长度为， ∴此时弹簧的长度为 10．某经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度与时间满足二次函数，其图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（     ） A．该图象的对称轴是直线 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为 C．当时，该无人机飞行的高度为 D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是 【答案】B 【分析】先根据图象可得，和时，，即可求解对称轴，即可判断A；再将点代入求解抛物线表达式，继而进行判断B、C、D． 【详解】解：由图象可得，和时，， ∴对称轴为直线，故A错误，不符合题意； 将点代入，则 解得 ∴抛物线表达式为， ∵， ∴当时，，故B正确，符合题意； 当时，，故C错误，不符合题意； 当时，则，解得或 ∴该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是，故D错误，不符合题意． 11．电暖气（如图1）可以通过旋钮开关调节电路的总电阻来控制电流的变化，从而实现功率的改变．在额定功率范围内，电暖气电路的电流I（单位：A）与实际功率P（单位：W）的二次函数图象如图2所示，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．P与I的函数关系式是 C．在额定功率范围内，P随I的增大而增大 D．I每增加，P的增加量相同 【答案】D 【分析】根据图像中提供的信息可以判断A；待定系数法求出函数解析式即可判断B；根据函数性质进行求解，即可判断C；根据函数性质进行求解． 【详解】解：由题图2可知，当时，，故选项A中结论正确，不符合题意； 根据题意，设P与I的函数关系式为（，），把点代入，得， ， ∴P与I的函数关系式是，故选项B中结论正确，不符合题意； 由题图2可知，在额定功率范围内，P随I的增大而增大，故选项C中结论正确，不符合题意； I每增加，P的增加量不相同，故选项D中结论错误，符合题意． 12．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象开口方向、对称轴、特殊点坐标与系数关系是解答的关键，根据二次函数的图象与性质，结合对称轴、特殊点的函数值及最值性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，， 即，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③． 13．如图1，四边形是矩形，动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿折线向点运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示．当点运动到的中点时，的值为（     ） A．9 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据题意得：，，当点P运动到点A处时，，此时，结合面积得出，，当点Q运动到的中点时，画出图形，然后利用面积和差求解即可． 【详解】解：根据题意得：，． 当点P运动到点A处时，， 此时， ∴，解得（负值已舍去）． ∴，． 当点Q运动到的中点时，如图所示： 运动时间为：秒， ∴， ∴， ∴． ∴ ． 14．如图，在菱形中，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线 运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当P、Q分别在上运动时，；当P、Q分别在上运动时，同理可得：，即可求解． 【详解】解：当、分别在、上运动时， 是菱形，，则、 为边长为2的等边三角形， 过点作 于点， ， 函数最大值为，符合条件的A、B、C、D； 当、分别在、上运动时，过点作 于点， 则， 即，时，， 符合条件的有A． 15．如图1，中，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以 的速度沿运动，、两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为（），的面积为（），关于的函数图象由两段组成，如图2所示，下列结论中错误的是（   ） A． B． C．图象段的函数表达式为 D．面积的最大值为8 【答案】D 【分析】过点作于点，分段求得的解析式，结合函数图象求得根据二次函数的性质求得最值，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：过点作于点， 当点在上运动时， ， 当时，则， 解得：，故A正确； 由图象可知，， 当点在上时，如图 ， 当时，则， 解得：，故B正确； 图象段的函数表达式为，故C正确； 当，，故D错误． 二、填空题 1．某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 【答案】3.75 【分析】根据二次函数的最值问题进行求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴当时，y取得最大值， ∴最佳加工时间为3.75分钟． 2．中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价________元，才能使每日利润最大． 【答案】8 【分析】设每件模型涨价元，每日利润为元，根据总利润等于每件利润乘以销售量列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设每件模型涨价元，每日利润为元， 则， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值， 即每件模型应涨价8元，才能使每日利润最大． 3．如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线顶点坐标是___． 【答案】 【详解】解：根据题意，选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是， 则选取点B为坐标原点时的抛物线相当于把原抛物线向左平移12个单位， ∵原抛物线的顶点为， ∴根据平移的性质，平移后的抛物线的顶点为． 4．为了让初三学子以更好的状态迎接体考，川大附中在3.20号安排了针对性模拟．小明参加了跳远测试，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化(如图)，若重心高度与起跳后时间的函数表达式为，当时，所对应的重心高度分别记为，则的大小关系为__________．(用“”连接) 【答案】 【分析】分别将代入二次函数表达式计算出对应的值，利用有理数大小比较法则即可得出结论． 【详解】解：当时，． 当时，． 当时，． 5．如图，一次函数与二次函数交于和两点，则当时，的取值范围是_______． 【答案】或 【分析】本题考查图象交点与不等式的解集，掌握数形结合思想是解题的关键．当时的取值范围是一次函数图象在二次函数图象下方对应的自变量的取值范围． 【详解】解：∵一次函数与二次函数交于和两点由函数图象可得， 当或者时，一次函数在二次函数下方，即， ∴或者时，． 故答案为：或． 6．如图，一根铝合金型材长为，用它制作一个“日”字型窗户的框架，如果恰好用完整条铝合金型材，则窗户的最大面积是_______． 【答案】 【分析】设为，则，根据矩形的面积求得面积与的函数关系，根据二次函数的性质求解即可求得答案． 【详解】解：设为，则， 则窗户的面积 当时，取得最大值为． 7．景区喷泉以出水口为原点建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 【答案】米 【分析】由题意易得该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，然后可得，当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度，进而问题可求解． 【详解】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系， ∴该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形通道， ∴矩形关于抛物线的对称轴对称， ∵通道宽为2米， ∴，即， ∵通道顶部到水柱的竖直距离均不小于2米， ∴，即， 即当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度， 当时，则有， ∴通道顶端到地面的最大高度为（米）． 8．如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓乡，是甘肃省黄河上游的第一座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称．如图2是它的部分示意图，可近似地用抛物线的一部分表示，若当水面宽度为时，水面到拱顶的高度为，当水位在此基础上继续上涨时，水面的宽度为______m（结果保留根号）． 【答案】 【详解】根据图示建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为顶点式，利用已知条件求出点的坐标并代入解析式求出的值，确定函数解析式，再根据水位上涨后的高度求出对应的值，再列式求出水面宽度，即可作答． 【点睛】解：设抛物线的解析式为. 由题意可知，抛物线顶点为原点，对称轴为轴， ∵，，且点在第四象限， 根据抛物线的对称性，点的横坐标为，纵坐标为， 即； 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当水位上涨时，水面到拱顶的距离变为． 此时水面上点的纵坐标为， 把代入，得， 解得，， ∴水面的宽度：． 9．兰州牛肉面（如图1），以“汤清者镜，肉烂者香，面细者精”的独特风味和“一清二白三红四绿五黄”，赢得了国内乃至全世界顾客的好评，并被中国烹饪协会评为三大中式快餐之一，被誉为“中华第一面”．如图2，是一个盛放兰州牛肉面面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口BC宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为______（碗的厚度不计）． 【答案】16 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为顶点式，利用碗口宽度和深度求出抛物线上一点的坐标，代入求出解析式，再根据汤面下降的高度求出此时液面的纵坐标，代入解析式求出横坐标，进而求出宽度． 【详解】设抛物线的解析式为， 由题意可知，碗口宽，碗深，且抛物线关于轴对称， 所以点的横坐标为 ，纵坐标为，即点的坐标为， 将点代入，得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 当满碗汤面的竖直高度下降时，汤面的高度为， 令，则， ∴， 解得， 此时碗中汤面的水平宽度为． 10．如图①是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，A是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，B是羽毛球落地点．．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为 ，羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度__________． 【答案】2.25 【分析】将，两点坐标代入解析式，求得、的值，用顶点公式求最大值即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， 解得， ， ∵， ∴当时，， 羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度为． 三、解答题 1．有一根长为的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】 当矩形框的长和宽均为时，矩形面积最大，最大面积是 【分析】先利用矩形周长公式，用长表示出宽，再根据面积公式得到面积关于长的二次函数，最后配方求二次函数的最大值即可，用到矩形周长、面积公式和二次函数的最值性质． 【详解】解：设矩形框的长为，矩形的面积为，已知铁丝总长为，因此矩形框的宽为，可得自变量取值范围为， 根据矩形面积公式得： 二次项系数 当时，取得最大值， 此时矩形的宽为 答：当矩形框的长、宽都为时，矩形面积最大，最大面积是． 2．掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． (1)求满足条件的抛物线的关系式； (2)根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【答案】(1) (2)小明在这次投掷中得到了满分， 理由如下： 当时，则， 解得或（舍去）， ∵， ∴小明在这次投掷中得到了满分． 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标，把关系式设为顶点式，再代入即可求出对应的关系式； （2）把代入，即可求出x的值，再与比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的关系式是， 把点代入得 解得， ∴ 抛物线的关系式为； （2）略 3．将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示． (1)求水流的最高点到地面的距离； (2)求左、右两条水流最高点之间的距离． 【答案】(1)水流的最高点到地面的距离为10米 (2)左、右两条水流最高点之间的距离为6米 【分析】（1）将二次函数转化为顶点式进行求解即可； （2）根据点关于轴对称的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流最高点到地面的距离为10米； （2）解：∵左、右两条抛物线关于轴对称， ∴左边抛物线的顶点为，其关于轴的对称点即为右边抛物线的顶点， ∴左、右两条水流最高点之间的距离为：米． 4．如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为． (1)求y与x的关系式； (2)球能否越过球网？ 【答案】(1) (2)球能越过球网 【分析】（1）把点代入关系式，求出a的值，即可求出y与x的关系式； （2）把代入解析式求得y的值，若则球能越过球网，反之则不能，把代入解析式求得y的值，若则会出界，反之则不会． 【详解】（1）解：把点代入关系式得：， 解得：， 则y与x的关系式为：； （2）∵当时，， ∴球能越过球网． 5．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元．市场调查发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月可少销售5个．设每个双肩包涨价元（为正整数），每月的销售量为个． (1)直接写出与的函数关系式： ； (2)当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（，为正整数） (2)当售价定为110元时，商店每月获得利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，审清题意，列出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意，列出函数解析式即可； （2）设每月获得利润元，根据题意，可得，整理得，，再根据二次函数的性质取最值即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，涨价元，则每月可少销售个， 每月的销售量为个， 销售量要大于或等于0， ，解得，则； 故答案为：（，为正整数）； （2）解：设每月获得利润元， 由题可得，， 整理得，， ， 当时，取得最大值，为元， ， 答：当售价定为110元时，商店每月获得利润最大，最大利润是元 6．如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)坐标为或 【分析】（1）将、代入求出、的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出最大值； （3）求出，设，则，即可求解． 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，y的最大值为． （3）解： 、， ， 设， 则， 即， 解得， 当时，此时或， 当时，此时方程无解， 坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，二次函数与图形面积的综合，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． 7．排骨藕汤，作为湖北的传统特色美食，以其独特的风味和丰富的营养深受全国人民的喜爱．某商家准备在市场上销售排骨藕汤，市场调查发现：排骨藕汤的成本为每罐45元；若每罐以60元销售，平均每天可销售40罐；价格每降低1元，平均每天多销售10罐；若设每罐降价x元（x为整数），每天的销售量为y罐． (1)直接写出每天销售量y与x之间的函数关系式 ；（不写x的取值范围） (2)若元旦当天，商家销售排骨藕汤的利润为880元，为了让消费者获得更多实惠，该店每罐排骨藕汤的定价为多少元? (3)为了促进市场良性竞争，排骨藕汤的销售单价不得高于56元，不得低于47元，求该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润． 【答案】(1) (2)53元 (3)900元 【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用，根据已知条件列出函数表达式是解题的关键． （1）根据销售数量与销售单价之间的关系建立等式，得到y与x之间的函数关系式； （2）根据题意列出方程，解方程，从而确定当天的售价； （3）先根据单价确定的取值范围，再列出利润的二次函数表达式，根据二次函数的单调性求解最大值即可． 【详解】（1）解：设每罐降价x元，则平均每天多销售罐， 因此每天的销售量y与x之间的关系式为：， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得或， 当时，每罐排骨藕汤的定价为元， 当时，每罐排骨藕汤的定价为元， 为了让消费者获得更多实惠， 则每罐排骨藕汤的定价为元； （3）解：根据题意得：， 解得， 设商店销售排骨藕汤的总利润为w元， 则， 由于， 则抛物线开口向下， 由于对称轴为直线，且x为整数， 当或时，w取最大，w的最大值为元， 则该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润为900元． 8．2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目．篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．如图，机器人站立点为，篮球抛出点为，当篮球运行的水平距离为时，达到最大高度．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若篮球与轴水平距离处的竖直高度满足，视为有效投篮，请你通过计算说明机器人此次投篮是否有效？ 【答案】(1) (2)机器人此次投篮有效 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，求得函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）求出的函数值，若在范围内，则投篮有效；否则无效． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴机器人此次投篮有效． 9．如图为某拱桥的示意图，桥面平行于水面，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点与桥面的距离为米，当水面距离桥面时，拱孔横跨水面宽度为米．若以水面所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (2)若从桥面向下挂一条宽为米的长方形横幅，横幅上边沿与桥面重合，、恰好落在拱孔上，求横幅的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据得，根据桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为，可设抛物线解析式为，求解即可； （2）根据题意，得当时，，求解即可； 【详解】（1）解：根据得，桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为， 故、、， 设抛物线为      解得， ∴桥洞所对应的抛物线的解析式为； （2）解： ∴当时，， 解得， ∴横幅长为：米； 10．如图1，将一钢球从斜槽的点A处静止释放，钢球在点O处被向右水平抛出后，用频闪相机观察到钢球在下落过程中的几个位置如图2所示，并以点O为原点，钢球运动的水平方向为x轴建立平面直角坐标系，得到钢球的位置坐标为，钢球的运动轨迹为抛物线．根据运动的原理，可知x，y（单位：）与钢球下落运动时的时间t（单位：s）的关系式分别为（为钢球在水平方向上的速度，g为重力加速度）．根据钢球的运动位置，测量数据如下： 0.1 0.2 0.3 0.8 1.6 2.4 (1)根据测量数据，钢球在水平方向上的速度 ______，重力加速度 _____ (2)求钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式 (3)若点O距离地面的高度为，钢球被水平抛出的正前方地面上有一个高为的无盖的正方体箱子（箱子厚度忽略不计），若要使钢球落到箱子里，则箱子左侧到点O的水平距离最远是多少？ 【答案】(1)8，1000 (2) (3) 【分析】（1）取，代入可求；取，代入，可求； （2）由（1）知，求出，消去即可； （3）把代入二次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得； 把，代入，得：， 解得：； （2）解：由（1）知，． ． ． 钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式为． （3）解：当钢球恰好落到箱子里，且从箱子左侧进入，此时箱子左侧到点O的水平距离最远． ． 当，即，解得（负值已舍去）． 箱子左侧到点O的水平距离最远是． 11．综合与实践： 【问题情境】关注眼健康，共筑“睛”彩大视界．某电商为积极响应爱眼日活动宣传，计划销售一款护眼贴．已知该款护眼贴的进价为50元/盒，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量（盒）与销售单价（元/盒）的情况如图所示： 销售单价（元/盒） 月销售量（盒） 65 1300 60 1400 70 1200 (1)【数据整理】请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 销售单价（元/盒） 60 ________ ________ 月销售量（盒） ________ ________ ________ (2)【模型建立】分析数据的变化规律，求出月销售量与销售单价之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (3)【拓广应用】该电商规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的．设销售这种护眼贴每月获利（元），当销售单价为多少元/盒时，每月获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)65，70，1400，1300，1200 (2) (3)当销售单价为85元/盒时，每月获利最大，最大利润是31500元 【分析】（1）根据题意即可填写； （2）利用待定系数法求解即可； （3）列出二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：根据销售单价从小到大排列得下表： 销售单价x（元/盒） 60 65 70 月销售量y（盒） 1400 1300 1200 （2）解：观察表格可知月销售量y是关于销售单价x的一次函数， 设月销售量y与销售单价x之间的函数关系式为， 将，分别代入， 得， 解得， 月销售量y与销售单价x之间的函数关系式为； （3）解：由题意得 ， ∵规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的． ∴， ， 抛物线开口向下， 对称轴为直线， 当时，w随x的增大而增大， 当时，w有最大值，（元）． 答：当销售单价为85元/盒时，每月获利最大，最大利润是31500元． 12．跳绳是民间常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同步甩动绳子．当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距．现在以两人的站立点所在的直线为轴，过小明拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式． (1)求绳子所对应的抛物线的解析式． (2)身高为的君君站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由． (3)身高为的小红站在绳子的下方，设她距离小明拿绳子的手为，为保证绳子甩到最高处时过她的头顶，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)绳子不能过他的头顶，理由见详解 (3) 【分析】（1）由题意可知抛物线经过点，建立方程组即可解答； （2）先理解题意，分析身高为的君君站在绳子的正下方，再把代入抛物线计算，即可作答． （3）令，求出，再结合二次函数的图象性质，求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据题意，抛物线经过点， 解得， ∴绳子所对应的抛物线的解析式为； （2）解：身高为的君君站在绳子的正下方，绳子不能过他的头顶．理由如下： 由（1）得抛物线的解析式为， 对称轴为直线， ∵身高为的君君站在绳子的正下方， ∴把代入，得， ∵， ∴绳子不能过他的头顶． （3）解：由（1）得抛物线的解析式为， 依题意，当时， 解得或， ∵函数的， ∴函数的开口方向向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ． 13．如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着陆．已知起跳点与着陆坡上的计分参照点的竖直距离为，水平距离为．按如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线． (1)求的值和该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度； (2)请通过计算，判断着陆时他能越过点吗？ 【答案】(1)，该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度为 (2)运动员着陆时他能越过点 【分析】（1）由题意可得，，将其代入抛物线解析式即可得到的值，进而求出抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式，利用函数的性质即可求解； （2）在函数解析式中令，求出的值，再与比较，即可判断． 【详解】（1）解：由题意可得，， 将代入，得， 解得， ， 化为顶点式为， ， 当时，有最大值，最大值为， ，该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度为； （2）由（1）可得，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线， 令，则， 解得，， ，且， ，舍去， ， ， ， ， 即运动员着陆时他能越过点． 14．2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． (1)请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； (2)若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 【答案】(1)y与x的函数关系式为； (2)当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． 【分析】（1）根据题目给出销售量y与销售单价x的一次函数，且提供了两组对应数据，可设函数表达式为，代入数据解出k和b，从而得到函数关系式； （2）根据“总利润=单件利润×销售量”，结合（1）中得到的销量表达式，列出总利润W关于x的二次函数，再利用二次函数的顶点式，求出利润最大值及对应的销售单价． 【详解】（1）解：设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为， 把，；，代入得， ， 解得． ∴y与x的函数关系式为． （2）解：设销售这种吉祥物玩具的利润为W元，则 ∵，∴抛物线开口向下，W有最大值， ∴当时，W最大，W最大（元）． 答：当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． 15．如图1是一个花坛，将其抽象为如图2所示的平面图，图2中花坛的外轮廓可看作由抛物线和线段组成，已知，是的中点，花坛的最大深度，，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点、是花坛下方支架与花坛的两个接触点（即点、在抛物线上），且、关于轴对称，若点到水平地面的距离为，、两点之间的距离为，轴，求点到水平地面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先根据题意 点C的横坐标为，把代入，求出点C到的距离为，根据点到水平地面的距离为，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，，， 设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点、在抛物线上，且、关于轴对称，、两点之间的距离为， ∴点C的横坐标为， 把代入得：， ∴点C到的距离为， ∵轴， ∴， ∵点到水平地面的距离为， ∴点到水平地面的距离为． 16．如图1是一款摇椅，其底座的侧面示意图可抽象为如图2所示的抛物线，已知，抛物线最低点到的距离为，以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，该抛物线的对称轴与轴垂直． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若、两点是该摇椅的扶手与底座的接触点（即点、均在抛物线上），且点、到的距离均为，求、两点之间的水平距离． 【答案】(1) (2)、两点之间的水平距离 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）把代入解析式求的值，再作差即可求解. 【详解】（1）解：∵，抛物线最低点到的距离为， ∴， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得：， 解得：， 即：； （2）解：当时，， 解得：， ∴， 答：、两点之间的水平距离． 17．为探究三峡水电站的发电过程，某兴趣小组计划制作水电站的模型，模型包含多个水轮发电机等组件，如图，制作一个水轮发电机需配备个铜线圈、组叶片和若干其他基础配件．已知购买一个铜线圈需元，购买一组叶片需元（其它基础配件库存充足，无需购买）． (1)现有经费元全部用于购买铜线圈和叶片来制作水轮发电机，该兴趣小组最多能制作多少个水轮发电机？ (2)由于模型储水能力有限，所有水轮发电机不能同时运行．兴趣小组测试时发现：若同时工作的发电机不超过个，每个发电机发电功率为每秒焦耳；若超过个，每增加个发电机同时工作，每个发电机的功率每秒将减少焦耳．（总发电功率工作的发电机个数每个发电机的功率） 设同时工作的发电机有个，当时，求总发电功率（单位：焦耳秒）关于的函数关系式； 在（）的条件下，模型的总发电功率最大是每秒多少焦耳？ 【答案】(1)； (2) ； ． 【分析】设兴趣小组最多能制作个水轮发电机，根据题意，得，然后解不等式即可； 当时，每个发电机每秒的发电功率，则； 分为当时和当时两种情况，然后通过二次函数的性质分别求出的最大值，再比较即可． 【详解】（1）解：设兴趣小组最多能制作个水轮发电机，根据题意，得， 解得， ∴兴趣小组最多能制作个水轮发电机； （2）解：当时，每个发电机每秒的发电功率， ∴； 当时，， ∵，， ∴时，总发电功率最大值：（焦耳秒）， 当时，最大总发电功率（焦耳秒）， ∵， ∴模型的总发电功率最大是每秒焦耳． 18．如图，一光点M从原点O出发，其路径为抛物线L的一部分，在点处达到最高，并落在x轴上的点P处，并在点P处向右侧弹起，路径为抛物线的一部分，其中抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同，线段的端点，． (1)直接写出点P的坐标，并求出抛物线L的解析式； (2)若抛物线G经过点，求抛物线G的函数解析式； (3)将抛物线L向右平移个单位长度使它与线段有交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先由题意可知，抛物线L的顶点为，且经过原点，根据抛物线的对称性，求出点P的坐标．再设抛物线L的解析式为：，将代入，求出a的值，即可求出抛物线L的解析式； （2）由“抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同”，可知，由此可得抛物线G的解析式为：，根据抛物线G经过点和点，运用待定系数法，将点和点代入抛物线G的解析式中，求出b和c的值，从而求出抛物线G的解析式； （3）由抛物线L的解析式，先写出平移后的解析式，再结合题意，将点A坐标与点B坐标分别代入平移后解析式中，求出k的值，最后结合函数图象分析出k的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线L的顶点为，且经过原点，根据抛物线的对称性，点O与点P关于对称轴对称， 设， 则， 解得：， ∴点P的坐标为． 设抛物线L的解析式为：，将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线L的解析式为：， 即． （2）解：∵抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同， ∴抛物线G的二次项系数与抛物线L的二次项系数相同， 即， ∴抛物线G的解析式为：， ∵抛物线G经过点和点， ∴将点和点代入抛物线G的解析式中， 得：， 解得：， ∴抛物线G的解析式为：． （3）解：∵抛物线L的解析式为：， ∴将其向右平移k个单位后，解析式为：， ∵，， ∴当平移后的抛物线经过点A时， 可得：， 解得：或． 同理，当平移后的抛物线经过点B时， 可得：， 解得：或． 结合图象分析，要使平移后的抛物线与线段有交点， 则k的范围为：． 19．【问题背景】为落实2026年深圳峰会“开放创新，绿色发展”的办会理念，会议通信保障中心发现，现场设备分为两类：媒体设备（记者用于直播、传输视频，占总设备数的 ，每台需带宽2单位）和普通设备（占 ，每台需带宽1单位）．每个通信基站带宽容量为600单位．会议通信保障中心的目标是在保障期的任意时刻，现场总带宽需求不超过基站总容量． 【模型构建】在会议开始前40分钟启动通信保障，现场总设备数y（台）与保障时间x（分钟）满足： ． 【模型应用】 (1)第______分钟，现场总设备数达到1400台． (2)请求出第 分钟时的现场总带宽需求 的表达式． (3)为满足带宽需求，至少需要部署多少个基站？请说明理由． (4)通信中心考虑优化方案：媒体设备区必须保证 带宽供应，普通设备区可接受“弹性保障”（当带宽不足时，可降速至0.5单位/台）．若普通设备区降速策略生效的阈值为：当 （总带宽容量）时启动．请通过计算说明采用此策略后，所需基站数能否减少． 【答案】(1) (2) (3)解：至少需要部署4个基站，理由如下： ， ∵，函数图象开口向下，对称轴为， ∴当时，p随x增大而增大， 当时p取得最大值： ， 单个基站带宽容量为单位，所需基站总数为，基站数量为正整数，向上取整得到至少需要部署4个基站； (4)解：假设部署3个基站，总带宽容量为单位： 弹性策略启动阈值为，即当原始总带宽需求时，普通设备单台带宽降为单位， 此时调整后的总带宽需求为： ， 当时y取得最大值， 代入得调整后最大带宽需求，满足验证阈值触发区间； 令原始， 即， 解得， 对应x的取值范围约为，该区间内调整后的带宽需求始终小于，所有时刻带宽需求均可被3个基站覆盖， ∴采用该策略后，所需基站数可以从4减少到3，能够实现基站数减少． 【分析】（1）将给定的总设备数代入已知的设备数和时间的关系式，得到一元二次方程，求解后结合x的取值范围舍去超出定义域的解，得到符合要求的时间； （2）根据两类设备的占比和单台带宽需求，先推导出总带宽p和总设备数y的函数关系式，再将y关于x的表达式代入，展开整理得到p关于x的最终表达式，标注对应的x的取值范围； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴位置，找到p的最大值，用最大总带宽除以单个基站的容量，向上取整得到最少需要部署的基站数量； （4）先假设部署比原方案少1个的基站，计算该配置下的总容量和弹性策略触发阈值，推导弹性策略生效后的总带宽需求表达式，计算调整后的最大带宽需求，验证其是否小于该配置的总容量，确认所有时刻的带宽需求都可以被覆盖，即可判断基站数是否可以减少． 【详解】（1）解：将代入总设备数关系式： 整理得： 解得， ∵， ∴； （2）解：∵媒体设备占总设备数，单台带宽2单位，普通设备占总设备数，单台带宽1单位， ∴， 代入， ； （3）解：略； （4）解：略． 20．【问题提出】某班开展课外锻炼，有7位学生组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？ 【实践活动】在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践： 步骤一：收集身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳； 步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中高、两低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全； 步骤四，如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳； 根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图2： （2）9名跳绳同学身高如表． 身高（） 人数 素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒服； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． (1)任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． (2)任务2：确定排列方案，该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． 【答案】(1) (2)当绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学 【分析】（1）根据题意得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意确定最边侧同学的横坐标，纵坐标，代入计算函数值进行比较即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∴， 设绳子摇至最高点时的抛物线为，把代入得， ， 解得，， ∴； （2）解：9名同学中，身高最小的是，在最右（左）边， ∵将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距， ∴最右则同学的横坐标为， ∵当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，头顶到地面的高度是身高的， ∴此时，头顶到地面的高度是， 在抛物线中， 当时，， ∵， ∴当绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学． 21．根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校将组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班男、女生组各需要报9名跳绳同学； （2）每班另选2名摇绳同学； （3）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）如图2，在跳长绳时，绳子摇至最高处的形状可以近似地看作抛物线．甲、乙两名同学负责摇绳，当绳子摇至最高处时，最高点距离地面，摇绳位置之间的水平距离为，且摇绳位置，到地面的距离均为．以地面上的点为坐标原点，线段所在直线为轴，线段所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （2）观察跳绳同学的姿态（如图3），当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 问题解决 (1)任务一确定长绳形状 根据素材，求出图2中长绳摇至最高处时抛物线对应的函数表达式． (2)任务二探究站位碰绳问题 该班男生组选取9名代表身高见下表，若该班体育委员决定：以长绳的最高点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时人与人之间保持的间距．当长绳摇至最高处时，同学们正屈膝落地，长绳会触碰到最右侧的同学吗？为什么？ 身高（） 人数 2 4 2 1 (3)任务三拟定位置方案 该班女生组挑选出身高都为的9名女生参加跳绳．跳绳时，同样采用一路纵队的方式安排选手位置，但人与人之间保持的间距．当9名女生正屈膝落地时，若要保证跳绳正常进行（绳子超过头顶），请求出左边第一位同学离点的水平距离的取值范围． 【答案】(1) (2)不会，理由如下： 由（1）知，抛物线对应的函数表达式为，对称轴为直线． 由题意知，最右侧的同学身高为，且所站位置在直角坐标系中，对应的横坐标为． 将代入中得：， 当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 即为， ∵， ∴当绳子在最高点时，同学们正屈膝落地，长绳不会触碰到最右侧的同学； (3) 【分析】（1）由题意知，点，，在抛物线上，点C为最高点，抛物线顶点的坐标为，设抛物线对应的函数表达式为，然后利用待定系数法代入求解即可； （2）由题意知，最右侧的同学身高为，且所站位置在直角坐标系中，对应的横坐标为．将代入中得：，然后得出当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．即为，进行比较即可求解； （3）由（2）知，身高为的同学，此时头顶到地面的高度是，令，解出方程，然后列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，点，，在抛物线上，点C为最高点， ∴抛物线顶点的坐标为． 设抛物线对应的函数表达式为． 将代入，得， 解得． ∴长绳摇至最高处时抛物线对应的函数表达式为； （2）略 （3）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地， 由（2）知，身高为的同学，此时头顶到地面的高度是， 令，则， 解得：，． 由题意知，左边第一位同学离点O的水平距离d， ∴右边第一位同学离点O的水平距离为， ∵要保证跳绳正常进行（绳子超过头顶）， ∴， 解得：， ∴左边第一位同学离点的水平距离的取值范围为：． 22．综合与实践 【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥——如意桥与圆梦桥． 如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬空的玉如意．主拱和副拱轮廓近似抛物线． 综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转，得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱．这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成和谐的视觉平衡． 【模型建立】 (1)如图1，实践小组记主拱所在抛物线为，副拱所在抛物线为，以它们的对称中心为原点建立平面直角坐标系，它们的交点所在直线为轴，即和关于原点中心对称．通过测量得知和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，则的顶点的坐标为（0，____），左交点的坐标为（____，0），抛物线的解析式为________，抛物线的解析式为________； 【模型应用】 (2)实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱不变的情况下，改成两条关于轴对称的副拱和，如图2，和所在抛物线关于点对称，且恰好经过的顶点，请求出左副拱所在抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索，所在直线为，如图3，要求斜拉索和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线至少要与，和各有一个交点，求出的取值范围． 【答案】(1)16，，， (2) (3) 【分析】（1）由题意和对称性质即可求出顶点坐标和交点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线，的解析式； （2）由和所在抛物线关于点对称可得和，再将代入解析式即可得解； （3）先确定直线与最高点时，由此确定此时直线与必有交点，最后再确定和直线有交点时，进而即可得解． 【详解】（1）解：∵和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，顶点在轴上， ∴即，即， 设抛物线的解析式为， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵和关于原点中心对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， （2）解：设所在抛物线为 和所在抛物线关于点对称， ， 且的顶点和顶点也关于点对称， 即， 恰好经过的顶点， ，即， 解得， 在轴左侧， ， 所在抛物线为； （3）解：观察图3可知， 和直线至少要有一个交点， 直线与最高可交于点， 和直线的交点坐标满足方程组， ， 消得，即 ， 当时，， ， 当时，和直线的必有交点， 和直线的交点坐标满足方程组， ， 消得 ，即 ， ，解得， 的取值范围为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $