解三角形大题复习讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形核心考点，涵盖正弦定理、余弦定理、面积公式及三角形性质等，按“基础知识-基本题型”逻辑架构系统梳理，通过考点清单梳理、解题方法指导、典型真题训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破边角关系转化、面积最值求解等难点。 讲义突出分层教学与能力培养，设置求角平分线、中线、边长范围等五大题型，引导学生自主推导三角形重要结论，强化数学思维与模型意识。例如在解中线长问题时，结合中线长定理构建方程，提升学生逻辑推理与数学表达能力，为教师精准把控复习进度、提升学生应考效率提供有力支持。

解三角形大题复习讲义答案 一、基础知识 1. 正弦定理： 变式：（1），， （2），， （3） （4），， 注意：, ， 2.余弦定理：，， 变式： 3.射影定理：，， 在中，，， 4．三角形常用面积公式 : （1） （，，分别为边上的高） （2） (是外接圆的半径) （3） (是内切圆的半径) （4）若，则 （5） ， 5. 三角形的几个重要心 重心：中线交点 垂心：高交点 内心：角平分线交点 外心：中垂线交点 6.在中， 7.重心的性质： （1） 若是重心，则 （2） （3） 若、、，则点坐标 8.向量共线定理 特别地，（1）若中点，则 （2）若，则 9.实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角中，目标视线在水平线上方的 叫做仰角.目标视线在水平线下方的叫做俯角（如图（a）所示）. （3）方位角 方位角是指从某点的正北方向顺时针转到目标方向线的水平角， 如点的方位角为（如图（b）所示）. （4）坡角 坡角是指坡面与水平面所成的锐二面角 10.解三角形类型（知三求三） （1）已知两角及一边，用正弦定理，有解时，只有一解 （2）已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，有解时可分为几种情况， 在中，已知和角,解的情况如下： 11.中几个重要结论(自己推一遍） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 或 (7) (8) (9) 或 (10) (11) ,,, , (12) 锐角 (13) 在斜中， (14) （三角形中余弦可以为0，正弦必大于0） 12.直角三角形中的结论： （1）角所对直角边等于斜边的一半，（2）斜边上的中线等于斜边的一半 13.平行四边形对角线平方和定理(对角线平方和等于四边平方和）： 14.中线长定理:为的中线,则 15. 与角平分线有关结论 在中，为的角平分线 (1)角平分线定理： (2)库斯顿定理： 16. 张角定理 二、基本题型 题型一、求角平分线及中线 1．中，内角所对的边为，． (1)若，试确定的形状； (2)若，是的平分线，求长． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2) 【解】（1）， 因为，所以， 又， 又，故， 化简得， 又，故为等边三角形； （2）由（1）知，， 又， 在中，由余弦定理得， 故， 由于，故为直角三角形，其中， 又是的平分线，故， 故，即，    故的长为 2．在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，，求边上中线的长. 【答案】(1)；(2)若，则边上中线长为；若，则边上中线长为； 【解】（1）因为， 所以，所以， 由余弦定理可得，又，所以， （2）由可得， 所以，， 所以或，所以或， 若，则， 又，所以， 设的中点为，所以边上中线的长为，    若，则，为等边三角形， 因为，所以， 设的中点为，所以边上中线的长为.    3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角A的大小. (2)若，求AC边上的中线BD的长. 【答案】(1)(2) 【解】（1）因为，由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得，且，所以. （2）因为，且，可知， 可得， 由正弦定理可得，则， 又因为BD为AC边上的中线，则， 可得， 所以AC边上的中线BD的长为. 题型二、 求边长的值及范围 4．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若点D在边BC上，且，，求的值． 【答案】(1)(2) 【解】（1）在中，因为， 所以，所以， 因为，,结合题意知， 所以，所以， 因为，所以 （2） 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 化简得，因为， 所以，所以. 5．在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解】（1）因为，且， 所以 利用正弦定理化简得：即， 由余弦定理可得， 又因为，所以； （2）由（1）得，即， 又因为三角形为锐角三角形， 所以解之得：， 因为，由正弦定理得：， 所以， 所以 因为，所以，所以，则的取值范围为 6．在中，角的对边分别是，且 (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解】（1）根据余弦定理得， 由正弦定理可得，即. 因为，所以. 又，所以，又，所以. （2）由（1）得，因，由正弦定理，， 则， ， 因为且， 所以，所以，所以的取值范围为. 题型三、 求三角函数值及最值 7．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求B； (2)若，求． 【答案】(1)(2) 【解】（1），故， 因为，所以； （2）设，代入中， ，故，解得， 由余弦定理得， 则，故. 8．在锐角中，其内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1)(2) 【解】（1）因为，则， 由余弦定理， 由正弦定理，则， 在中，， 所以， 则，则，所以. （2）由（1），则， 则， 在锐角中，有， 故， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 题型四、 求面积的值及最值 9．在中，角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)(2) 【解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 又，所以，所以， 又，所以. （2）由余弦定理，即， 又，解得（负值已舍去）， 所以. 10．记内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求的值； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)(2) 【解】（1）因为，由余弦定理可得， 又，所以， 又因为，由正弦定理可得，则，所以为锐角， 又，所以， 所以 ，所以． （2）由（1）可得，，且， 因为， 所以， 所以，，所以． 11．在中，D为线段BC的中点，若，，求： (1)线段AD的长； (2)的面积． 【答案】(1)(2)1 【解】（1）由题意可得：，所以线段AD的长为. （2）由题意可得：，， 则，且，则， 所以的面积. 12．在中，角，，的对边分别为，，，且 (1)求角； (2)若，求面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【解】（1）由，得到， 则由正弦定理得，，即，， ， （2）由余弦定理得，， 则，当且仅当“”时，取“＝”号，即． ，则，当且仅当“”时取得最大值． （3）由正弦定理得， 则， ，由于为锐角三角形， 则， .. 题型五、求线段的值及最值 13．在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解】（1）由正弦定理知，在中，， 在中，， 由，， 所以，所以； （2）在中，由余弦定理可得， 所以，由（1）可得，所以， 因为是边上的中线，所以， 所以. 14．如图，在平行四边形中，，垂足为P，E为中点，    (1)若·=32，求的长； (2)设||＝，||＝，＝－，＝x＋y，求的值． 【答案】(1)4(2)－ 【解】（1）,∴是在方向上的投影向量, ∴·＝,即； 法二：，∴·||·||||·||， 即； （2）在中，＝， 所以， ＝＝， 因为，所以，, 以P为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，建系如图:    易知因为E为中点， 所以， ，，, ∵＝x＋y,∴    ，解得：，所以： 15．在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求的大小； (2)若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长. 【答案】(1)(2) 【解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 所以，又，所以， 所以，即，又，所以； （2）因为的面积为，即，即，则，， 因为，所以， 在中， 即，当且仅当，即，时取等号， 所以，即的最小值为，此时，， 则，所以，即. 16．在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若的面积为，为的中点，求的最小值. 【答案】(1)(2) 【解】（1）因为 ， 由正弦定理可得， 又，，故，， 所以，又，故. （2），又， 在中，由余弦定理， ， 当且仅当时取等号， 的最小值为． 17．在锐角中，角，，的对边为，，，若，. (1)求角的大小； (2)若为的中点，且，求的面积； (3)如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值. 【答案】(1)(2)(3) 【解】（1）因为，， 所以，即，由余弦定理得， 又，∴． （2）因为是的中点，所以，两边平方可得， 即， 又，所以， 面积为. （3）设，当DC与外接圆相切时，可得，则， 则， 在中，，所以， 在中，，所以 因为，所以 又，所以，所以当，即时，有最大值，最大值为. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形大题复习讲义答案 一、基础知识 a b a+b+c 1.正弦定理： =2R(R为△ABC外接圆半径) sin A sin B sin C sin A+sin B+sinC 变式：(1)a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C (2)sinA=2R,sinB=、0 2R:sin C (3)a:b:c=sin A:sin B:sinC (4)asin B=bsin A,bsinC=csin B asinC=csin A 注意：a≠sinA,b≠sinB,c≠sinC 2.余孩定里：a=b+c2-2bcc0sA.B2=a2+c2-2 accosB c2=a2+b2-2 abcosC 2hc0,c0s8=0+c2-b2 变式：cosA=+c2-a2 2ac C,coSC=a+b2-c2 2ab 3.射影定理：a=bcosC+ccos B,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA 在RIAABC中，AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,DC2=DA·DB 4.三角形常用面积公式： )S唤4(h,么，h分别有ab.c边上的高) 2)5= absin Cacsin B-besin A=abe 4R（R是外接圆的半径) （3)S=a+b+o)r(,是内切圆的半径 ④若花=k1,4C=xy,则S204C可-(BA©-y- 5）S=ap-ap-p-9,P=++ 2 5.三角形的几个重要心 重心：中线交点 垂心：高交点 内心：角平分线交点 外心：中垂线交点 6在Rt△4BC中西=a+b-C 2 7.重心O的性质： C0_2 (1)若O是△4BC重心，则D01 (2) OA+0B+OC=0 (3》若A,)小B,）C,,剥O点坐标（百+年+5，乃++凸） 3 3 8.向量共线定理 A,D,B三点共线台 CD=AC+uCB=1 CDVCA+μC +u=1 特别地，(1)若D是AB中点，则4，D,B三点共线台CD=CA+C5 2 2 北 (2)若DB行.则cD=m1C AD m 一目标视线 m+n 仰角 俯角 水平线 9.实际问题中的常用角 目标视线 南 (1)仰角和俯角 图(a 图6) 与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角中，目标视线在水平线上方的 叫做仰角.目标视线在水平线下方的叫做俯角（如图()所示)· (3)方位角 方位角是指从某点的正北方向顺时针转到目标方向线的水平角， 如B点的方位角为（如图(b)所示). (4)坡角 坡角是指坡面与水平面所成的锐二面角 10.解三角形类型（知三求三) (1)已知两角及一边，用正弦定理，有解时，只有一解 (2)已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，有解时可分为几种情况， 在△ABC中，已知a,b和角A,解的情况如下： 2/13 A是锐角 A是直角或钝角 a≥b a<bsinA a=bsinA bsinA <a<b a≥b a<b 一解 无解 一解 两解 一解 无解 11.△ABC中几个重要结论（自己推一遍） (1)A+B+C=元 (2)4,B,C等差台A+C=2B台B= 3 (3)a-b<c<a+b (4)A>B台a>b台sinA>sinB台cosA<cosB (5)sinA=sinB→A=B (6)sin2A=sin2B→2A=2B或2A+2B=π (7)COsA=cosB→A=B (8)cos2A=cos2B24=2B (9)cosA=sinB→A=7-B或B=T+A 2 2 (10)cosA=-sinB→A=交+B 2 sin(A+B)=sin C cos(A+B)=-cosC tan(+B)=-tan C (11) Si.A+B。CeA+B=mn =cOs- cos- 2 2, 2 (12)锐角A4BC→A+B> 2 sin A>cos B (I3)在斜△ABC中，tanA+tanB+tanC=tan Atan Btan C sin AcosA=sin Bcos A→cosA(sinA-sinB)=0→cosA=0或sinA=sinB (14) （三角形中余弦可以为0，正弦必大于0) 3/13 12.直角三角形中的结论： (1)30 角所对直角边等于斜边的一半，(2)斜边上的中线等于斜边的一半 13.平行四边形对角线平方和定理（对角线平方和等于四边平方和）： m2+n2=a2+b2+a2+b2 14,中线长定里：AD为BC的中线，则1B+AC2=2(AD2+DC2) 15.与角平分线有关结论 在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线 AB BD (1)角平分线定理：ACDC AD2=ABx AC-BDx CD (2)库斯顿定理： 16.张角定理 sinβ+sina=sin(a+B) AB AC AD 二、基本题型 题型一、求角平分线及中线 1.△ABC中，内角AB,C所对的边为a,b,c,a2+b2-c2=ab」 (1)若2 cos Asin B=sinC,试确定△ABC的形状； (2)若a=2,b=1,CM是∠ACB的平分线，求CM长. 4/13 b a-c 2,在△4BC中，内角A,B'C的对边分别为a'b,c,且sinA+sinC sin Bsin A+sinC: (1)求角A的大小： (2)若a=2 bcos B,a=3,求BC边上中线的长. a-b sin C-sin B 3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c sin 4+sinB (1)求角A的大小. (2)若cosB=7,AB=5,求AC边上的中线BD的长. 题型二、求边长的值及范围 4.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 知an4+-tan B=_v3c acos B. (1)求A: 23 (2)若点D在边BC上，且AD=9,BD:DC=2c:3b,求6+。的值. 5/13 5.在△BC中，角4B,C所对的边分别为a,6c,m=(6i血4smB-smC),i=(c+6,b-a）,且m∥元 (1)求角C的值： (2)若△ABC为锐角三角形，且C=1,求a+b的取值范围. 2b-c a2+b2-c2 6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且cb+c2-a (1)求A; 6/13 (2)若a=2,求b2+c2的取值范围. 题型三、求三角函数值及最值 7.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,a2+c2=b2+V2ac. (1)求B: ,尖anc 2)若c=2V2a 7/13 8.在锐角△ABC中，其内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2b2=2c2-a2. tanB (1)求tanC的值； a球+品的绿小做 题型四、求面积的值及最值 9.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,C,且2 ccosB=acosB+bcosA. (1)求角B的大小： 2房b=店，3a=c,求△MBC的面积. 8/13 10.记△1BC内角N,B,C的对边分别为“，b,c,已知+c-a=c,sm1=V7snC (1)求c的值； 2若CD=2Di 且BD=2,求△MBC , 的面积. 11.在△AB 中，D为线段BC的中点，若丽=亿，C=),求： (1)线段AD的长： (2)△ABC的面积. 9/13 12.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 csinA=atanC (1)求角C: (2)若c=2,求△ABC面积的最大值； (3)在(2)的条件下，若△ABC为锐角三角形，求2a-b的取值范围。 题型五、求线段的值及最值 13.在△ABC中，AD是△BAC的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上. AB BD (1用正弦定理证明ACCD: (2)若AB=4,AC=3,∠BAC=60°，求DE的长. 10/13 14.如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BC,垂足为P,E为CD中点， A D E B 诺P.4C32,求P的长： V10 (2)设1AB|=V2,|AC|=V5,cos/BAC=一10，AP=xAE+yAC,求y的值. 5.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a=beosC3 3 bsinC (1)求B的大小： 2屠△BC的面积为35，且BC=3BD,当线段4D的长最短时，求4C的长. 11/13 16.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且满足 2csin Bcos A=b(sin Acos B+cos Asin B) (1)求A: (2)若4ABC 面积 为6W5,D为1C的中点，求BD的最小值 17.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边为a,b,C,若C=2, (b+2)(sinC-sinB)=(a-b)sinA (1)求角C的大小： 12/13 (2)若E为AB的中点，且CE=V5,求△ABC的面积S; B如图.过A点在△BC所在平面内作AD LAR:且满足∠ADC=T. 3求线段AD+DC的最大值 13/13