专题4.11 解三角形（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形核心考点，涵盖正弦定理、余弦定理及其变形应用，三角形面积计算，以及测量距离、高度、角度等实际问题。知识点按热点问题、测量类型、综合应用策略系统架构，通过考点梳理、方法总结、真题演练及分层变式训练，帮助学生构建解题框架，突破边角互化、解的个数判断等难点。 资料突出高考命题规律分析，结合近三年真题统计明确五大考查方向，采用题型分类教学（如余弦定理应用、三角形形状判断、最值范围问题）培养学生数学思维与建模能力。设计例+变式分层练习，如实际测量问题中引导学生抽象几何模型，提升逻辑推理与运算能力，为教师把控复习节奏、学生高效备考提供有力支持。

专题4.11 解三角形（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)掌握正弦定理、余弦定理及其变形 (2)理解三角形的面积公式并能应用 (3)能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题 (4)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 解三角形 新课标I卷：第15题，13分 新课标Ⅱ卷：第15题，13分 全国甲卷（文数）：第12题，5分 全国甲卷（理数）：第11题，5分 全国二卷：第5题，5分 全国一卷：第16题，15分 全国二卷：第17题，15分 命题规律分析 1、解三角形 解三角形是高中数学重要内容，是高考必考核心考点，衔接三角恒等变换、三角函数与平面向量知识，突出数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模等数学核心素养。 从近三年的高考情况来看，高考对解三角形的考查较为稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，在单选题、填空题、解答题中都有考查，具体题型/分值分布如下：单选题第5~12题中考查，分值5分；填空题第11~13题中考查，分值5分；一般在解答题第15~17题中考查，分值13分或15分；试题整体难度中等或偏下。 从近三年的高考考情来看，高考对解三角形的考查方向比较稳定，主要有五大考查方向：①利用正、余弦定理解三角形，求解边、角基本量；②三角形的面积、周长的计算；③三角形形状的判断；④三角形中的最值与范围问题，常结合基本不等式或三角函数性质求解；⑤距离、高度、角度测量问题。 在选择、填空题中主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，试题难度较易；在解答题中①②③④这四大考查方向都有考查，其中三角形面积问题是高频核心考点，有时也会与三角恒等变换、平面向量等知识结合考查，难度中档，需要学生灵活求解。 考点1 解三角形 知识点1 解三角形的几类热点问题及其解题思路 1．正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素. (2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系. 2．判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 3．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三角形 内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 4．与三角形面积有关问题的解题策略： (1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积； (2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量. 知识点2 测量问题的基本类型和解决方案 1．测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. 2．测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. 3．测量角度问题的解决方案 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 知识点3 解三角形的应用的解题策略 1．平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 2．解三角形与三角函数的综合应用 解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面： (1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形； (2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用. 【方法技巧与总结】 1．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A+B)=sinC； (2)cos(A+B)=-cosC； (3)； (4). 2．三角形中的射影定理 在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB. 3．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， . 【题型1 余弦定理解三角形】 【例1】（2026·广东广州·模拟预测）在钝角中，内角的对边分别为，若，则（   ） A．2 B．3或5 C．5 D．3 【变式1-1】（2026·陕西商洛·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·四川绵阳·模拟预测）在钝角中，，，，则（    ） A．2 B．3或5 C．5 D．3 【变式1-3】（2026·四川成都·模拟预测）在中，角所对的边分别为，是边上一点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【题型2 正弦定理解三角形】 【例2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，，，则角B的大小为（     ） A． B．或 C． D．或 【变式2-1】（2026·山西运城·一模）在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·山西临汾·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·云南红河·模拟预测）在中，，，，则为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型3 三角形的形状判断】 【例3】（2026·浙江·二模）记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形 【变式3-1】（2026·内蒙古赤峰·三模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定的 【变式3-2】（2026·山西晋城·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，的面积为． (1)求角； (2)若外接圆的半径为2，判断的形状． 【变式3-3】（2026·贵州黔西南·二模）已知三个内角，，所对的边分别为，，，且. (1)证明：是等腰三角形； (2)若，，求的面积. 【题型4 三角形的面积与周长问题】 【例4】（2026·贵州遵义·模拟预测）记的内角，，的对边分别为 ，， ，已知 ． (1)求角； (2)若，，求的面积． 【变式4-1】（2026·重庆·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足：． (1)证明：； (2)若，且，求的面积． 【变式4-2】（2026·重庆·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，其中，，且. (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长． 【变式4-3】（2026·云南·模拟预测）已知在中，角所对的边分别为为的角平分线，，，且． (1)求角A； (2)求的面积． 【题型5 三角形中的最值与范围问题】 【例5】（2026·广东广州·模拟预测）记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·陕西榆林·三模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【变式5-3】（2026·河南·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若，求的周长的取值范围． 【题型6 三角形的高、中线和角平分线】 【例6】（2026·黑龙江吉林·模拟预测）在中，已知是边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·山东青岛·二模）在中，角所对的边分别为，，，则边上的高为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式6-2】（2026·甘肃定西·一模）在中，角所对的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)已知，求边上的中线的长. 【变式6-3】（2026·河南新乡·三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)若，点为边BC的中点，的角平分线交BC于，求. 【题型7 距离、高度、角度测量问题】 【例7】（2026·广东珠海·模拟预测）龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底B所在的水平地面上选取C，D两点，测得米，， ，在点处测得塔顶的仰角为，则龙辰塔的高度约为（   ）（参考数据：取，） A．46米 B．48米 C．50米 D．52米 【变式7-1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距n mile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4n mile．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A．6n mile B．7n mile C．n mile D．n mile 【变式7-2】（2026·重庆万州·三模）重庆市南山文峰塔坐落于黄桷垭之巅，是重庆市的一座名塔，据《巴县志》记载：文峰塔峭立山巅，凡七级，高逾十丈，万松围护，攒天一碧.某中学社会实践小组为测量重庆市南山文峰塔的高度，开展了一次实地测量活动，他们在塔底所在的水平地面上选取两点，测得米，，在点处测得塔顶的仰角为，则文峰塔的高度约为（   ）(参考数据：取） A．26米 B．28米 C．30米 D．32米 【变式7-3】（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，设的长度分别为.为了测出隧道的长度，还需直接测出（    ）的值. A．和 B．和 C．和 D．三者 【题型8 解三角形与其他知识的交汇问题】 【例8】（2026·河南开封·模拟预测）已知的外接圆半径为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·新疆·一模）在中，内角所对的边分别是．若，且，则的面积为（   ） A．3 B． C． D． 【变式8-2】（2026·湖南·三模）在中，内角所对的边分别为，已知函数，且． (1)求角的大小； (2)若，的周长为，求的面积． 【变式8-3】（2026·四川眉山·模拟预测）已知向量.设. (1)求函数的最小正周期； (2)记的内角所对的边分别是，已知的面积为，求的长. 一、单选题 1．（2026·山东聊城·二模）在中，已知，则（ ） A． B． C． D．4 2．（2026·湖南湘西·三模）在中，内角的对边分别为，已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏苏州·三模）已知钝角三角形的三边分别为，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北张家口·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，AD为BC边上的中线，且，则c=（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南株洲·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 6．（2026·山东德州·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，三角形面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆·模拟预测）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动．如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（    ） A．5小时后 B．10小时后 C．15小时后 D．20小时后 8．（2026·江苏苏州·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·江西南昌·三模）已知内角所对的边分别为.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形. B．若，则为等腰三角形 C．在锐角中，不等式恒成立 D．若，则的取值范围为 10．（2026·陕西西安·模拟预测）在 中，，，，则（    ） A．外接圆的半径为 B． C．是钝角三角形 D．内切圆的半径为 11．（2026·西藏日喀则·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知，，为边上的中线，且，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 三、填空题 12．（2026·湖南长沙·模拟预测）在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知，，，则____________． 13．（2026·云南昆明·模拟预测）已知中，，，角A的平分线与交于点D，且，则____________． 14．（2026·陕西榆林·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为____________. 四、解答题 15．（2026·河北秦皇岛·二模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求; (2)若，，为的中点，求的长. 16．（2026·安徽合肥·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若点为的中点，，，求的面积． 17．（2026·北京大兴·三模）在中，. (1)证明：为等腰三角形； (2)若AC边上的高与BC边上的高之比为1:3，求. 18．（2026·山东聊城·一模）记的内角的对边分别为，已知，的面积为，． (1)求； (2)求的周长. 19．（2026·山西运城·模拟预测）已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.11 解三角形（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)掌握正弦定理、余弦定理及其变形 (2)理解三角形的面积公式并能应用 (3)能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题 (4)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 解三角形 新课标I卷：第15题，13分 新课标Ⅱ卷：第15题，13分 全国甲卷（文数）：第12题，5分 全国甲卷（理数）：第11题，5分 全国二卷：第5题，5分 全国一卷：第16题，15分 全国二卷：第17题，15分 命题规律分析 1、解三角形 解三角形是高中数学重要内容，是高考必考核心考点，衔接三角恒等变换、三角函数与平面向量知识，突出数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模等数学核心素养。 从近三年的高考情况来看，高考对解三角形的考查较为稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，在单选题、填空题、解答题中都有考查，具体题型/分值分布如下：单选题第5~12题中考查，分值5分；填空题第11~13题中考查，分值5分；一般在解答题第15~17题中考查，分值13分或15分；试题整体难度中等或偏下。 从近三年的高考考情来看，高考对解三角形的考查方向比较稳定，主要有五大考查方向：①利用正、余弦定理解三角形，求解边、角基本量；②三角形的面积、周长的计算；③三角形形状的判断；④三角形中的最值与范围问题，常结合基本不等式或三角函数性质求解；⑤距离、高度、角度测量问题。 在选择、填空题中主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，试题难度较易；在解答题中①②③④这四大考查方向都有考查，其中三角形面积问题是高频核心考点，有时也会与三角恒等变换、平面向量等知识结合考查，难度中档，需要学生灵活求解。 考点1 解三角形 知识点1 解三角形的几类热点问题及其解题思路 1．正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素. (2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系. 2．判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 3．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三角形 内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 4．与三角形面积有关问题的解题策略： (1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积； (2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量. 知识点2 测量问题的基本类型和解决方案 1．测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. 2．测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. 3．测量角度问题的解决方案 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 知识点3 解三角形的应用的解题策略 1．平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 2．解三角形与三角函数的综合应用 解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面： (1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形； (2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用. 【方法技巧与总结】 1．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A+B)=sinC； (2)cos(A+B)=-cosC； (3)； (4). 2．三角形中的射影定理 在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB. 3．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， . 【题型1 余弦定理解三角形】 【例1】（2026·广东广州·模拟预测）在钝角中，内角的对边分别为，若，则（   ） A．2 B．3或5 C．5 D．3 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用余弦定理列出方程求解并验证即得. 【解答过程】在中，由余弦定理得， 整理得，解得或，显然，即角为最大角， 由是钝角三角形，得，即， 当时，，不符合要求； 当时，，符合题意， 所以. 故选：D. 【变式1-1】（2026·陕西商洛·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】使用余弦定理结合条件与三角函数值即可求解. 【解答过程】由余弦定理得. 因为，所以. 故选：C. 【变式1-2】（2026·四川绵阳·模拟预测）在钝角中，，，，则（    ） A．2 B．3或5 C．5 D．3 【答案】D 【解题思路】根据余弦定理求解即可. 【解答过程】在钝角中，，，， 则，即， 解得或. 当 时：，为钝角，符合要求； 当 时：，为锐角，此时三角形为锐角三角形，不符合要求. 故. 故选：D. 【变式1-3】（2026·四川成都·模拟预测）在中，角所对的边分别为，是边上一点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用余弦定理，结合建立等量关系，联立方程求解即可. 【解答过程】如图，设，则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 又，则，代入化简得①， 在中，由余弦定理可得， 化简整理得②，联立①②，解得. 故选：A． 【题型2 正弦定理解三角形】 【例2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，，，则角B的大小为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解题思路】根据正弦定理求解，再结合三角形边角关系求解. 【解答过程】由正弦定理：，代入，，可得： ， 则或， 由，得， 故. 故选：A. 【变式2-1】（2026·山西运城·一模）在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由同角三角函数关系式及正弦定理可得. 【解答过程】因为，且，所以. 又因为中，，由正弦定理得， 所以. 故选：D. 【变式2-2】（2026·山西临汾·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用正弦定理求解即可. 【解答过程】 由正弦定理得： 又因为在中，所以 所以 所以 所以 所以又因为 所以 所以 所以 故选:A. 【变式2-3】（2026·云南红河·模拟预测）在中，，，，则为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】利用正弦定理可求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，然后检验即可. 【解答过程】由正弦定理，得，即． 又因为，所以或． 经检验：当时，；当时，，均符合题意． 故选：D． 【题型3 三角形的形状判断】 【例3】（2026·浙江·二模）记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形 【答案】C 【解题思路】应用正弦定理得出，再应用余弦定理计算得出两角和余弦值即可得出角的范围判断形状. 【解答过程】因为，由正弦定理得，又，故， 由余弦定理得，故， 得，所以， 得， 所以，或，，所以为钝角三角形. 故选：C. 【变式3-1】（2026·内蒙古赤峰·三模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定的 【答案】A 【解题思路】根据，，利用余弦定理得到，再结合判断. 【解答过程】由余弦定理可得， 则. 因为，所以，所以是等腰三角形. 故选：A. 【变式3-2】（2026·山西晋城·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，的面积为． (1)求角； (2)若外接圆的半径为2，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等边三角形 【解题思路】（1）利用已知的余弦定理形式 和面积公式，通过两式相除消去 ，直接求出 ，进而确定 . （2）利用外接圆半径和正弦定理将边长用角度的正弦表示，代入已知的面积和边的关系式，得到关于 和 的方程组，解出 ，从而判断三角形为等边三角形. 【解答过程】（1）由余弦定理，得①， 由三角形的面积公式，得②． ②÷①，得，即． 由，得． （2）由题意，得外接圆的直径为4，则由正弦定理，得， 所以． 因为的面积为， 所以，化简得．③ 因为，所以， 化简得．④ 因为，所以由③④，得， 所以．⑤ 由③⑤解得，又， 所以，故必有， 所以，所以是等边三角形. 【变式3-3】（2026·贵州黔西南·二模）已知三个内角，，所对的边分别为，，，且. (1)证明：是等腰三角形； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）由正弦定理得，即可求解， （2）由余弦定理求解，由同角关系求解正弦值，即可由面积公式求解. 【解答过程】（1）由可得， 由正弦定理可得， 由于，故，即是等腰三角形. （2）由余弦定理可得，解得， 而为三角形内角，故， 故. 【题型4 三角形的面积与周长问题】 【例4】（2026·贵州遵义·模拟预测）记的内角，，的对边分别为 ，， ，已知 ． (1)求角； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用余弦定理与正弦定理，将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和化简求解； （2）利用余弦定理与面积公式，通过“和平方”将转化为，即可计算面积. 【解答过程】（1）已知， 由余弦定理，则， 代入可得：. 由正弦定理（为外接圆半径）， 可得，，， 代入上式得：， 整理得：， 根据两角和的正弦公式，即， 因为，所以得，解得， 又因为，所以. （2）已知，，， 由余弦定理，代入得， 所以， 则面积为：. 【变式4-1】（2026·重庆·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足：． (1)证明：； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理结合三角恒等变形化简得，进而可得； （2）利用二倍角公式化简得，进而得到，，，再求，求出面积即可． 【解答过程】（1）证明：， 由正弦定理可得 ， 即 ， ，， 即； （2） 解得，又，所以， ，， 又，所以， ． 【变式4-2】（2026·重庆·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，其中，，且. (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示及余弦定理求解. （2）由（1）的信息，利用三角形面积公式求解. 【解答过程】（1）由，，得， 在中，由余弦定理得，整理得， 因此，而，所以. （2）由（1）知，由的面积为， 得，则， 得到，由（1）得，解得， 所以的周长为. 【变式4-3】（2026·云南·模拟预测）已知在中，角所对的边分别为为的角平分线，，，且． (1)求角A； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先根据正弦定理边化角，再求解； （2）根据角平分线性质定理和余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解. 【解答过程】（1）因为，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以； （2）因为AD为的角平分线，所以， 所以， 又，所以， 所以. 【题型5 三角形中的最值与范围问题】 【例5】（2026·广东广州·模拟预测）记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据三角形内角和得，结合正弦定理计算，利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简式子，结合锐角三角形角的范围解得的取值范围． 【解答过程】因为，所以． 由正弦定理，有所以． 因为． 又， 所以． 因为是锐角三角形，所以 所以，所以． 所以，即的取值范围是， 故选：D． 【变式5-1】（2026·陕西榆林·三模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先求出角的范围，利用二倍角的正弦公式和正弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等变换得，最后得到周长表达式，再利用二次函数的性质即可得到周长的取值范围. 【解答过程】因为是锐角三角形，所以， 又，所以，所以，由，得， 所以，所以，解得，所以. 由，，，得， ， 所以的周长为． 令，则， 则， 函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以， 所以周长的取值范围为． 故选：C. 【变式5-2】（2026·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据正弦定理角化边，再根据余弦定理求角； （2）根据（1）和余弦定理可得 ，再利用三角形的面积公式和基本不等式求解. 【解答过程】（1）在中，由正弦定理，得 ，整理得， 由余弦定理，得， 又，所以． （2）由（1）及余弦定理知，， 故，当且仅当时等号成立， 即面积的最大值为． 【变式5-3】（2026·河南·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先将转化为，化简求出的值即可求出； （2）利用余弦定理结合基本不等式，先求出的取值范围，再结合三角形三边的关系，最终求出三角形周长的取值范围. 【解答过程】（1）在中，，则， 所以， 因为，所以， 则，所以， 又因为，所以，因此，即， 因为，所以； （2）由（1）知，又， 由余弦定理可得，即， 由基本不等式（当且仅当时等号成立），则， 所以，即，所以， 又因为在三角形中，，所以， 因此周长. 【题型6 三角形的高、中线和角平分线】 【例6】（2026·黑龙江吉林·模拟预测）在中，已知是边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用两次余弦定理即可求解. 【解答过程】 由余弦定理得：， 再由余弦定理得：， 则， 故选：B. 【变式6-1】（2026·山东青岛·二模）在中，角所对的边分别为，，，则边上的高为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解题思路】利用正弦定理求，利用余弦定理求，然后结合面积公式可得解. 【解答过程】由正弦定理和可得， 又，， 所以， 因为，所以， 所以，得，即， 由余弦定理可得，即， 记边上的高为，则由面积公式得，得. 故选：B． 【变式6-2】（2026·甘肃定西·一模）在中，角所对的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)已知，求边上的中线的长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理及进行化简，得到，从而得到； （2）利用余弦定理得到的值，由中线向量求得的长. 【解答过程】（1）由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 因为，所以. （2）在中，由余弦定理得， 代入数值得，解得（舍去）或， 因为是的中点，所以， 所以， 所以，即边上的中线的长为. 【变式6-3】（2026·河南新乡·三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)若，点为边BC的中点，的角平分线交BC于，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据正弦定理得边的关系，根据余弦定理得的大小； （2）根据余弦定理和中线向量可求，再根据面积关系可求的长. 【解答过程】（1）由正弦定理得，即， 由余弦定理得. 因为，所以. （2）由（1）得，即.① 因为，所以， 即，所以.② 由①②得， 所以，所以. 因为，且， 所以，即， 所以. 【题型7 距离、高度、角度测量问题】 【例7】（2026·广东珠海·模拟预测）龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底B所在的水平地面上选取C，D两点，测得米，， ，在点处测得塔顶的仰角为，则龙辰塔的高度约为（   ）（参考数据：取，） A．46米 B．48米 C．50米 D．52米 【答案】D 【解题思路】利用正弦定理求出，再由直角三角形边角关系求解. 【解答过程】依题意，， 在中，由正弦定理得， 即， 在中，， 所以（米）. 故选：D. 【变式7-1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距n mile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4n mile．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A．6n mile B．7n mile C．n mile D．n mile 【答案】D 【解题思路】先在中，利用正弦定理求得AC，再在中，利用余弦定理求解BC即可. 【解答过程】在中，， 由正弦定理得 n mile， 在中，， 由余弦定理得 ， 所以 n mile. 故选：D. 【变式7-2】（2026·重庆万州·三模）重庆市南山文峰塔坐落于黄桷垭之巅，是重庆市的一座名塔，据《巴县志》记载：文峰塔峭立山巅，凡七级，高逾十丈，万松围护，攒天一碧.某中学社会实践小组为测量重庆市南山文峰塔的高度，开展了一次实地测量活动，他们在塔底所在的水平地面上选取两点，测得米，，在点处测得塔顶的仰角为，则文峰塔的高度约为（   ）(参考数据：取） A．26米 B．28米 C．30米 D．32米 【答案】B 【解题思路】先在中用正弦定理求出，再在中利用仰角的正切值即可求出塔高. 【解答过程】在中，因为，所以， 又因为，根据正弦定理：，即， 所以， 在中，， 所以米. 故选：B. 【变式7-3】（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，设的长度分别为.为了测出隧道的长度，还需直接测出（    ）的值. A．和 B．和 C．和 D．三者 【答案】D 【解题思路】在中用已知条件和正弦定理表示的长，再在中用正弦定理表示的长最后即可表示的长，即可知道为了测出隧道的长度，还需直接测出哪些值. 【解答过程】在中， 由正弦定理有：，所以， 在中， 由正弦定理有：， 所以， 因为， 所以为了测出隧道的长度，还需直接测出三者的值. 故选：D. 【题型8 解三角形与其他知识的交汇问题】 【例8】（2026·河南开封·模拟预测）已知的外接圆半径为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用正弦定理求出，，利用平面向量数量积的运算性质、三角恒等变换并结合角的取值范围可求得的最大值. 【解答过程】由正弦定理可得，则，， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以， 故当时，取最大值. 故选：B. 【变式8-1】（2026·新疆·一模）在中，内角所对的边分别是．若，且，则的面积为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据正弦定理化角为边，然后根据余弦定理求出，然后根据向量的数量积定义求出，最后根据三角形面积公式求出结果. 【解答过程】根据正弦定理得，化简得. 根据余弦定理知，，所以. 因为，所以. 因为，所以，解得， 所以的面积为. 故选：D. 【变式8-2】（2026·湖南·三模）在中，内角所对的边分别为，已知函数，且． (1)求角的大小； (2)若，的周长为，求的面积． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）利用辅助角公式化简函数后代入即可求解； （2）利用正余弦定理及三角形的面积公式即可求解. 【解答过程】（1），       已知，即，∵，∴，        ∴或，解得或． （2）由题意知：，周长，∴， ①当时，由余弦定理：， 代入，，，得， 即．由完全平方公式，且， 代入得：，即，解得．           的面积；         ②当时，由正弦定理：，∵，， ∴，∴，． ∵，∴，又，∴， 展开化简： ∴，因此不符合题意， 综上得，的面积为． 【变式8-3】（2026·四川眉山·模拟预测）已知向量.设. (1)求函数的最小正周期； (2)记的内角所对的边分别是，已知的面积为，求的长. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）利用降幂公式及辅助角公式将函数化简，从而可求得函数的最小正周期； （2）根据，求得，再根据的面积为，求得，再利用余弦定理即可得出答案. 【解答过程】（1）由题意， ， 所以函数的最小正周期； （2）由得， 因为，所以，解得， 因为，所以， 由余弦定理得，所以. 一、单选题 1．（2026·山东聊城·二模）在中，已知，则（ ） A． B． C． D．4 【答案】A 【解题思路】设，由条件结合余弦定理列方程可求. 【解答过程】在中，设， 因为，所以， 根据余弦定理可得，，又， 所以，故， 求解可得， 所以. 故选：A. 2．（2026·湖南湘西·三模）在中，内角的对边分别为，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用同角三角函数关系式以及正弦定理求解即可. 【解答过程】因为，所以，所以， 在中，由以及正弦定理得：，得． 故选：A. 3．（2026·江苏苏州·三模）已知钝角三角形的三边分别为，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据三角形三边长关系，结合余弦定理列不等式组即可得解. 【解答过程】由题意可知钝角三角形的三边分别为，，， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 4．（2026·河北张家口·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，AD为BC边上的中线，且，则c=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用等腰三角形性质求出底角的余弦，再利用余弦定理列式求解. 【解答过程】在中，，则， 在中，，， 由余弦定理得. 故选：C. 5．（2026·湖南株洲·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【解题思路】利用余弦定理将角的余弦转化为边的表达式，化简后得到两边相等即可判断三角形形状. 【解答过程】由余弦定理得，由题意得， 即，因为，整理得， 即，即，故一定是等腰三角形. 故选：B. 6．（2026·山东德州·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，三角形面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用三角形面积公式和余弦定理即可求解. 【解答过程】根据三角形面积公式 ，代入已知，； ，解得：， 根据余弦定理 ，代入，， 对式子变形： ，代入， 得： ，即 ，所以， 三角形周长为. 故选：D. 7．（2026·重庆·模拟预测）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动．如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（    ） A．5小时后 B．10小时后 C．15小时后 D．20小时后 【答案】B 【解题思路】由题意km，根据方位角关系可得，利用余弦定理建立关于的方程求解即可. 【解答过程】设小时后台风中心移动到点，此时城市开始受到台风侵袭，即km， 已知，台风速度为，因此， 根据方位角关系可得， 在中，由余弦定理：， 代入数值， ， 化简得：，解得或， 依题意开始受到侵袭的时间，取较小值. 故选：B. 8．（2026·江苏苏州·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由正弦定理角化边得到，再由三角形面积公式、基本不等式即可求解. 【解答过程】根据正弦定理 （为外接圆半径）， 得 ​， 代入已知等式： ， ， 整理得： ，即 ， 又 的面积公式为 ， 将代入得： ，​ 因此，当且仅当时，取等号， 即面积的最大值为. 故选：D. 二、多选题 9．（2026·江西南昌·三模）已知内角所对的边分别为.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形. B．若，则为等腰三角形 C．在锐角中，不等式恒成立 D．若，则的取值范围为 【答案】AD 【解题思路】利用余弦定理边化角判断A；由题设，结合三角形内角性质判断B；利用正弦函数单调性推理判断C；利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及正切函数性质求解判断D. 【解答过程】对于A，由及余弦定理，得，为钝角，故为钝角三角形，A正确； 对于B，由中，则，故或， 所以或，均不能说明为等腰三角形，B错误； 对于C，在锐角中，则， 所以，即，C错误； 对于D，由，，得，，， 由正弦定理得，D正确. 故选：AD. 10．（2026·陕西西安·模拟预测）在 中，，，，则（    ） A．外接圆的半径为 B． C．是钝角三角形 D．内切圆的半径为 【答案】ABD 【解题思路】先求出，对于A，根据正弦定理即可求解；对于B，根据余弦定理即可求解；对于C，根据最大边对应的角为最大角即可判断；对于D，根据三角形的面积公式，及等面积法即可求解． 【解答过程】在 中，由，则， 对于A，设 外接圆的半径为 ， 则由正弦定理有，即，故A正确； 对于B，由余弦定理有， 即， 化简整理得， 解得，或（舍去），故B正确； 对于C，结合选项B知为最大边，且其对应的角为最大角， 又，所以的最大角为锐角， 所以 是锐角三角形，故C错误； 对于D，设 内切圆的半径为 ，结合选项B有， 则， 即，解得，故D正确． 故选：ABD. 11．（2026·西藏日喀则·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知，，为边上的中线，且，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】ACD 【解题思路】先通过正余弦定理边角互化求得角的大小，再结合中线的条件，分别在,中利用正弦定理、余弦定理、面积公式逐一验证选项。 【解答过程】因为，所以由正弦定理得，所以，所以由余弦定理得，所以，所以由正弦定理得 ，又，所以，又，所以． 在中，由正弦定理得，即，所以，又，所以，A正确； 由得，所以，则，B错误； 的面积为，C正确； 在中，由余弦定理得，所以，D正确；故选ACD． 三、填空题 12．（2026·湖南长沙·模拟预测）在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知，，，则____________． 【答案】 【解题思路】由正弦定理可得，代入已知数值可求. 【解答过程】根据正弦定理知，， 又，，， 所以. 故答案为：. 13．（2026·云南昆明·模拟预测）已知中，，，角A的平分线与交于点D，且，则____________． 【答案】 【解题思路】在△中利用正弦定理求解出，再在△中利用正弦定理求解出. 【解答过程】△中，由正弦定理得：， 因为为锐角，所以，从而，所以， 从而，△中，由正弦定理，所以. 故答案为：. 14．（2026·陕西榆林·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为____________. 【答案】 【解题思路】先应用余弦定理计算，再结合基本不等式计算得出，最后应用面积公式计算求解. 【解答过程】在中，,，故, 由余弦定理，得. 又（当且仅当时取等号），所以， 所以， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·河北秦皇岛·二模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求; (2)若，，为的中点，求的长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1)利用正弦定理边化角，经过三角恒等变换得到，再利用三角形中角的范围得到的值. (2)根据余弦定理得到的值，然后利用爪形定理得到三角形边长与中线的关系即可求解. 【解答过程】（1）由正弦定理得 由，得. 因为，所以 ，故. 即.又因为 ，所以， 所以，故. （2）在中，由余弦定理得， 所以 ，又，所以. 因为为的中点，， 则， 所以. 16．（2026·安徽合肥·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若点为的中点，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦边角关系、和角正弦公式化条件为，再由三角形内角和性质求得，最后应用二倍角余弦公式求值； （2）利用余弦定理及得、，从而得，再由平方关系求得，最后应用三角形面积公式求面积. 【解答过程】（1）由及正弦定理，得， 所以，即， 因为，，所以，    所以； （2）在中，由余弦定理，得，     在中，由余弦定理，得，    因为，所以， 所以，     在中，由余弦定理，得， 所以， 综上，，又，，所以， 所以. 17．（2026·北京大兴·三模）在中，. (1)证明：为等腰三角形； (2)若AC边上的高与BC边上的高之比为1:3，求. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）将写成并展开，与已知等式相减得，推出； （2）由面积公式得高之比等于对应底边之比的倒数，从而得到边长关系，再利用余弦定理求 . 【解答过程】（1）因为，所以， 所以， 所以，即， 又因为，所以， 所以，即， 所以为等腰三角形； （2）设AC边上的高为边上的高为，则， 因为，所以， 所以， 由余弦定理可知. 18．（2026·山东聊城·一模）记的内角的对边分别为，已知，的面积为，． (1)求； (2)求的周长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理对边化角，即可求解； （2）由三角形面积公式先求得，再结合余弦定理得到，即可求解. 【解答过程】（1），由正弦定理知， 因为，， 所以，即． 又因为，所以． （2）因为的面积为，所以． 由（1）知，所以，所以． 由余弦定理知，， 所以， 所以，所以， 所以的周长为． 19．（2026·山西运城·模拟预测）已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理、同角三角函数关系式、两角和的正弦公式及诱导公式化简所给等式，即可求得，从而求得； （2）利用正弦定理及三角恒等变换，求出的取值范围，再由面积公式求得面积的取值范围. 【解答过程】（1）因为，且为锐角，所以， 所以， 即. 由正弦定理，得， 所以， 所以， 所以. 因为是锐角，所以， 所以，. （2）因为，所以， ，得. 由正弦定理可得，， 因为，所以， 由，可知，所以，所以. 所以，所以， 即的面积的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $