核心素养系列(二)三角函数与解三角形高考中档大题的规范问题-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 所以△CBD为等腰三角形，即CB[例2][解](1)f(x)=2V5sin(π-z) =CD. sin -(sin z-cos x) 在△CBD中，由正弦定理 BD in∠BCD =23sin'x-(1-2sin xcos x) CD =√3(1-cos2x)十sin2x-1 sin∠CBD =sin2x-√5cos2x十√3-1 得CD=BD·sin∠CBD 5X 5 =2sim(2x-号）十5-1. sin∠BCD 4 5 由2km-5≤2x 2 ≤2k元十 3 灭(k 4,所以SAD ∈)，得x-危≤x≤x+登（∈ 1 Z),所以∫(x)的单调递增区间是 [kx-危x+]e (2)由(1)知f(x)= 核心素养系列（二） 2sim(2x-号）+5-1 [例1][解]（方法一）选①：cosB 把y=f(x)的图像上所有点的横坐 2W 3,=3. 标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 因为cosB=2 得到y=2sin(-晋）十5-1的 3 ,0Bπ， 图像， 所以sinB=3: 再把得到的图像向左平移晋个单 1 由SAAx= 2acsin B=. ×a×3× 位，得到y=2sinx十√3-1的图像， 3 即g(x)=2sinx十√3-1. =√2，解得a=2√2 由余弦定理得b=a2十c2-2 accos B 所以g(）=2sin+5-1=5. =8+9-2X22×3×22 例3][解](1)证明：在△ABC中， 3 =1,所以 c0sB=-cos(A十C). b=1. 由已知，得(1-sinB)-cos(A十C) (方法二)选②：cosA= 3,sin(A+ =1-cos Acos C, .'.-sin'B-(cos Acos C-sin Asin C) B)=3sin B. =-cos Acos C, 因为co5A= 30<A<π， 化简，得sinB=sin Asin C. 由正弦定理，得b=ac, 所以sinA=22 a,b,c成等比数列. 3 (2)由(1)及题设条件，得ac=4. 因为A十B十C=π，所以sin(A十B) =sin C. cos B-atbia'tac 2ac 2ac 所以sinC=3sinB,由正弦定理可得 c=3b. ≥2aac2- 2ac 所以S△Ax= 1 2besin A=2Xbx3b 当且仅当a=c时，等号成立 x9-E ,0<B<π，.sinB=√/1-cosB≤ 所以b=1. (方法三)选③：ab=2√2，cosA ∴.S△Awc= 2 acsin B≤ X4× 2 2 =√5. 因为Sw=2 inC=之×2厄 △ABC的面积的最大值为V. [例5][解](1)因为A十B=C,所 X sin C=√2， 以A十B=3(π一A-B),所以A十B 得sinC=l. -职，所以C=子 又图为0<C<,所以C=登 另外，由题意得： 因为cosA= 0<AK 2sin(A-C)=sin(A十C), p2sin Acos C-2cos Asin C 2E,且sinB =sin Acos C+cos Asin C, 所以sinA 3 所以sinA=3cosA,变形得sinA= =im(径-A）=cosA= 1 9(1-sinA). b 根据正孩定理AB 故sinA=3√o 10 (2)由sinA=3cosA, 可得a=2√2b. 所以ab=2√2b=2√2，解得b=1. 得cosA=子sinA=, 10, ·434· 所以sinB=sin(A+C)=3@× 10 -×竖-5由品 2 10 2 汽解得AC=2而 所以Sw=合X5X2V而X 30=15, 10 设AB边上的高为A,则号AB·A 15,解得h=6.故AB边上的高为6. [例6][解](1)，m=(cosB,cosC), n=(2a十c,b),且m⊥n, .'(2a+c)cos B+bcos C=0, ∴.cosB(2sinA+sinC)十sin Bcos C =0, .2cos Bsin A+cos Bsin C+ sin Bcos C=0. 2cos Bsin A =-sin (B+C) =-sin A. :A∈(0，π)，∴.sinA≠0， .cos B=-2. 1 0<B<π，B=2 3 (2)由余弦定理得b2=a十c2 2accos 2-a+e+ac=(a+c)'- 3 ac≥(a十c)2- (告)）=子a+ c),当且仅当a=c时取等号. .(a十c)”≤4，故a十c≤2. 又a十c>b=√3，a+c∈(W3,2]. 即a十c的取值范围是(W3,2]. 变式训练 1.解：1)证明：因为分<c0sA,由正孩 定理可得出合A在三角形中. sin C=sin (A+B)=sin Acos B+ cos Asin B,且sinB>0, 所以不等式整理为sin Acos B十 cos Asin B<sin Bcos A,sin Acos B <0,在三角形中可得sinA>0, 所以cosB0, 所以得证B为钝角. (2)(i)若满足①②③，则正弦定理可 得snA-sinC 即2 W/2sm石·所以snC气2 2 又a>c,所以A>C,在三角形中，sinA 号，所以A=平或A=子，而由 3 4 1)可得A=平， 所以可得C=6,B=π一A一C=π 7 所以b=√Ja+c2-2 accos B '.'sin(A+C)=sin B, .sinA十sinC=2sinB, 4+2-2×2X√2× 6-√2 N 即a十c=2b, ∴a、b、c成等差数列. =√3+1： (i)若满足①②④，由(1)B为钝角， 2:s=rn台= 4ac=4V5, A,C为锐角，及sinA= 2,sin C= .ac=16. b=a'c2-2accos B=a2+c2 号可得A-兰，C-号所以B 5 ac=(a十c)2-3ac, 由(1)得a十c=2b,∴.b=4b-48, 不符合B为钝角，故这种情况不 .b2=16,即b=4. 成立； ()若满足②③④，由B为钝角， 4,解：(1)因为(b-)sinB十 sC=誓所以C=而>,所 (-合)sinC-asinA=0,由正孩 以A>C,这时B<号，不特合B为 定理，得(6)b+(-合)-a 钝角的情况，所以这种情况不成立； =0, 化筒得b+c2-a2-bc=0, 综上所述，只有满足①②③时b=√3 +1. 即cosA=+c-a2=1 2bc 21 2.解：(1)f(x)=√3 sin xcos x 1 所以A=子 9m2 cos 2x （2)由正孩定理，可得nB一simC =sim(2z-吾)】 sin A sin3 令2z-晋-受+mke五， 所以b=2sinB,c=2sinC, b十c=2(sinB+sinC) 解得x=晋+经，k∈乙 -2[mB+s(号-] ∴函数f(x)图像的对称轴方程为x =3sinB+√3cosB (2)把fx)=合sim(2a-晋)的图 =25sim(B+) 像向右平移于个单位，可得g(x) 因为0<B<经， sim(2x-号)：xe[0,受] 所以<B+晋<晋 2x-晋[] 即2<sin(B+晋)1， m(2:-)【-1] 所以b+c∈(W5,2√. 5.解：如图： D 22 g(x)= (1)在△ABD 之m(:等）)[] 中，由正弦定 5 即当r∈[0，受]时，通数)的值 理得：sn45 2 城为[] sin∠ADB ∴.sin∠ADB= 9:∠ADB<90 3.解：（1)证明：由正弦定理， 得Acos号+sin Coo心号 ∴.cos∠ADB=√1-sin∠ADB =V23 sin B. 5 即sinA· 1+cosC+sinC· (2):∠ADB+∠BDC= 2 2 gA-号nB ∴.cos∠BDC= cos(受-∠ADB) 2 =sin∠ADB, .'sin A+sin C+sin Acos C+cos A sin C=3sin B, cos∠BDC= DC+BD:-BC2 2·BD·DC 即sinA十sinC+sin(A+C)= 3sin B. 2-8+25-B 5 ..BC=5. 2·5·2√5 ·435· 参考答案 6.解：(1)由已知条件得f(x)=a·b= 2 sin xcos十V5cos2x =sim2z+5os2z=2sn(2z+号） 由2km-受≤2x+号≤2k+受， 得饭一晋<kx十音ke五， 所以函数f(x)的单调递增区间为 [a-登低+]kez (2)由f(含)=2sin(A+号)=2， 即sin(A+号)-1 0<A<,<A+吾<，可 得A=晋， 由C=经，知B=吾，因为△ABC外 接圆的面积为4π， 所以△ABC外接圆的半径r=2, 由正弦定理知△ABC的周长为l=a 十b十c=2 rsin A+2 rsin B+2 rsin C =(+9)=426 第四章 第1节 夯实·必备知识必备知识 1.方向任意的0相等相同相 等相反2.(1)b十a(2)a十(b十c) (1)λa(2)相同相反0 思考辨析(1)×(2)×(3)× (4)/(5)×(6)×(7)/ 小题查验 1.BCD2.B3.B4.25.-3 跃升·关键能力考点1 1.B2.②③ 考点2 [典例](I)ABD[AC-=AD+D元=AD 十ABA正确 MC=MA+AC=号BA+AC 2 子（成-d)+A花=花中 吉配.B正珠， MN=MA+AD+D成=-子A店 AD+1A店=AD-1A店，C错误： BC=BA+AD十DC=-AB+AD+ 合访-访-2A成.D正疏] 2汇解析]D元-D成+B成=2A店 +号C-合+号耐+) =一石丽+号花所以=一石， =子即入十= [答案]合第三章三角函数、解三角形 核心素美系列 （二)三角函数与解三角形高考中档大题的规范问题 [命题动向] 三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具.高考命题者常在三 角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题.对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的 形式出现，难度中等.备考中注意与平面向量的加法、减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的 定义相结合来寻找解题突破口，三角函数与数列相交汇时，常常用到数列的基本性质 [热点1]解三角形中的结构不良问题 [例」在①cosB-22=,②sA-方 ①snA-号：@a-2:@c=E,0nc-号 请指出这三个条件，说明理由，并求出b的值， sin(A+B)=3inB,@d6-2E,oasA=号三组条 件中任选一组补充在下面问题中，并加以解答. 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c,若△ABC的面积为√2，，求b. ◆[学审题]若选①：利用同角三角函数基本关 系式可求sinB的值，利用三角形的面积公式可 求α的值，进而根据余弦定理可求b的值；若选 ②：利用同角三角函数基本关系式可求sinA的 值，利用正弦定理可求得c=3b,根据三角形的面 积公式可求b的值；若选③：根据三角形的面积 公式可求sinC=1,结合范围0<C<π，可求C= 受，利用同角三角函数基本关系式可求snA的 值，由sinB的值，根据正弦定理可得a=2√2b, 进而解得b的值. [尝试解答] [热点2了“三角函数的图像和性质（规范解答） [例2]设f(x)=23sin(π-x)sinx-(sinx cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间： (2)把y=f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来 的2倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移号个 单位，得到函数)一x)的图像，求()的值 ◆[学审题](1)将f(x)化为Asin(wx+o)+b 的形式后，利用y=sinx的单调递增区间得出关 于x的不等式，不等式的解集即为所求；(2)根据 三角函数图像变换的方法，得出y=g(x)的图像 ◆通技法]本题考查解三角形、正弦定理和余 对应的解析式，再进行计算. 弦定理的应用，考查了计算能力和转化思想，属 ◆[学规范] 于中档题，解答此类题目应熟练掌握正、余弦定 [尝试解答] 理及三角形面积公式等知识，并做到灵活运用. 1变式训练 1.(2024·昌平区模拟)已知△ABC中，分<c0sA, (1)求证：B是钝角； (2)若△ABC同时满足下列四个条件中的三个： ·105 高考总复习人教数学B版（新教材） 为a,b,c,已知cos2B+cosB=1-cos Acos C. (1)求证：a,b,c成等比数列： (2)若b=2,求△ABC的面积的最大值 ◆[学审题](1)根据正弦定理将角的问题转化 为边的问题，由数列的概念得证；(2)利用均值不 等式解决三角形中的面积最值问题 [尝试解答] ◆[防失误] 化asin x+bcos x=√a2+bsin(x 十g)时9的求法：①tane=名；@p所在象限由 a (a,b)点确定， ◆[通技法]利用辅助角公式asin x十bcos x= √a2+形·sin(x+o),把形如y=asin x+bcos x 十k的函数化为一个角的一种函数的一次式，可 以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对 称轴对称中心等.其一般步骤： 第一步：将f(x)化为asin x十bcos x的形式； 第二步：构造f(x)= cos sinx·a b √a2+b2 √a2+b2 ◆[通技法了纵观近年的高考试题，许多新颖别 致的三角函数解答题就是以数列为出发点设计 第三步：和差公式逆用f(x)=√a2十b2sin(.x十 的.在这类试题中数列往往只是起到包装的作 9)(其中9为辅助角)； 用，实质是考查考生利用三角函数的性质、三角 第四步：利用f(.x)=√a2+bsin(x十o)研究三 恒等变换与正、余弦定理来解决问题的能力，解 角函数的性质； 决这类问题的基本思路是脱掉数列的外衣，抓住 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题 问题的实质，选择合理的解决方法，灵活地实现 规范. 问题的转化 ①化简时公式的准确应用是灵魂；②研究三角函 1变式训练 数性质时注意整体思想的应用· 3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,面 日变式训练 2.(2024·合肥市模拟)已知函数f(x) 积为s,已知acos号+cos号-多6 2 3sin rcos 2os(2x-) (1)求证：a、b、c成等差数列； (1)求函数f(x)图像的对称轴方程： (2)若B=号，S=45,求6. (2)将函数f(x)图像向右平移元个单位，所得图 像对应的函数为g(.当x∈[0，]时，求函数 g(x)的值域 [热点3灯解三角形与数列的综合问题 例3]在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 ·106 第三章三角函数、解三角形 [热点4幻三角变换与解三角形的综合 [例412分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,已知十snA十cosB cOs A sin 2B 1)若C=求B: (2)2+6的最小值. c2 [答题模板 (1)因为C= 经，所以A,B∈（0，号) 所以cosB>0①，(1分)则 3 cos A sin 2B 1+sin A 1+cos 2B sin Bcos B=B②，(3分) 2cos2B P[得分点①]正 sin B=cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B) 确判断cosB的正 即 ③，(5分) 负得1分 因为0<B<答，所以B=吾.(6分) [得分，点②]正 (2)第1步：变形化简 确利用二倍角的 由1)可得sinB=-cosC>0,所以受<C<元，0<B<受， 正、余弦公式化 简等式得2分 又sinB=-cosC=sim(C-),所以B=C-, P[得分点③]正 即C=2+B,所以A=元-B-C=5-2B.⑤(7分) 确将sinB转化 第2步：选用定理 为关于cosC的 故由正弦定理可得2+_sin2A十sin2Bcos2B+1-c0s2B 等式得2分 c2 sin2C cos2B (2c0s2B-1)2+1-cos2B=4c0s2B+ 2 -5⑥(9分) [得分点④]正 cos2B cos2B 确求得B得1分 ≥2√⑧-5=4√2-5⑦.(10分) 当且仅当c0sB=号时，等号成立. 2 P[得分点⑤]正 第3步：得出结论 确利用诱导公式 所以2+ -的最小值为4√2-5⑧.(12分) 将A,C用B表 c2 [教材知识迁移与运用 示得1分 sin 2B 1+cos 2B 条件 P[得分点⑥]正 a2+b2 确利用正弦定 理、诱导公式、二 倍角的余弦公式 sin 2a=2sin acos a;cos 2a=2cos2 a-1 化简等式得2分 教材 知识 在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等， D[得分点⑦]正 即 sin A sin B sin C 确利用均值不等 式得所求式子的 sin 2B 2sin Bcos B sin B 取值范围得1分 迁移与 1+cos 2B 2cos2B cos B 运用 由正弦定理可得Q+6 sin2A+sin2B [得分点⑧]正确 sin2C 得到结论得2分 ·107 高考总复习人教数学B版（新教材） 变式训练 [热点5]平面几何中的三角函数求值 4.已知在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b, [例5](2023·新课标I卷)已知在△ABC中，A c,且b-号)inB+（-2)mC-asin A=o, +B=3C,2sin(A-C)=sin B. (1)求sinA; (1)求角A的大小： (2)设AB=5,求AB边上的高， (2)若a=√3，求b+c的取值范围。 [尝试解答] 破题策略 平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角 度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到 三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加 以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量， 如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用 所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方 程，解之，若研究最值，常使用函数思想. ·108 第三章三角函数、解三角形 变式训练 5.在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A 45°，AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=2√2，求BC. 破题策略 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通 常是用向量的数量积运算或性质转化成三角 函数问题。 (2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦 定理进行转化，注意角的范围对变形过程的 影响 1变式训练 6.(2024·凯里市模拟)已知a=(2sinx,cos2x), b=(cosx,W3),函数f(x)=a·b. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、 6若 =2,C=2,且△ABC外接圆的面 3 积为4π，求△ABC的周长 [热点6]三角函数与平面向量相结合 [例6]已知△ABC的三内角A,B,C所对的边分 别是a,b,c,向量m=(cosB,cosC),n=(2a+c, b),且m⊥n. (1)求角B的大小； (2)若b=√5，求a+c的范围， [尝试解答] C温馨提店 学习至此，请完成配套训练 课时冲关31 ·109