2.4.2圆的一般方程同步练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学同步练（圆的一般方程），采用三级分层设计，基础巩固→能力提升→素养创新递进，覆盖从概念理解到实际应用的知识路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|圆的一般方程与标准方程转化、方程表示圆的条件、圆心半径计算|含基础选择填空，如第1题考圆心半径，第5题考三角形外接圆，夯实运算能力与推理意识| |B级|圆与坐标轴公共点、最值问题、定点问题、综合解答|如第12题考圆上点到定点距离最值，第14题综合考查角平分线与外接圆，培养逻辑思维与问题解决能力| |C级|实际问题数学建模|第15题通过三角形面积最大值问题，考查用数学眼光观察、用数学语言表达现实世界的素养|

2.4.2　圆的一般方程 A级　必备知识基础练 1.圆x2+y2+2x-4y-6=0的圆心坐标和半径分别是(　　) A.(-1,-2),11 B.(-1,2),11 C.(-1,-2), D.(-1,2), 2.(2026浙江高二期中)下列方程一定表示圆的是(　　) A.x2+y2-2x-4y-6=0 B.x2+xy+y2-5=0 C.x2+y2+2ax+2by=0(a,b∈R) D.x2+y2+2x+4y+6=0 3.(2026河南高二期中)已知圆x2+y2-2ax+4a=0的圆心在x轴的正半轴上,则实数a的取值范围为(　　) A.(0,4) B.(-∞,0) C.(4,+∞) D.(-∞,0)∪(4,+∞) 4.若点A(0,1)在圆O:x2+y2-2x+4my+2m2-1=0外,则实数m的取值范围为(　　) A.(-1,-) B.(-2,0) C.(-∞,-1)∪(-,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,+∞) 5.△ABC三个顶点的坐标分别是A(-1,-5),B(2,4),C(5,-5),则△ABC外接圆的方程是(　　) A.x2+y2-4x-2y-20=0 B.x2+y2+4x-2y-20=0 C.x2+y2-4x+2y-20=0 D.x2+y2+4x+2y-20=0 6.(2026江西南昌期中)已知圆C:x2+y2-2mx+(2m-4)y-1=0,当圆心到原点的距离最小时,圆C的面积为(　　) A.4π B.3π C.2π D.π 7.(多选题)(2026河南高二期中)已知方程x2+y2-kx-3ky-1=0,则下列说法正确的有(　　) A.该方程一定是圆的方程 B.该方程一定能表示过坐标原点的圆 C.若该方程表示圆,则圆心在定直线上 D.若该方程表示圆,则圆上总存在两点到原点的距离为1 8.(2026北京高二期中)已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0与直线l:y=k(x+1),则圆心C的坐标为　　　　　;若圆C关于直线l对称,则k=　　　　　.  9.(2026重庆高二期中)曲线C与曲线x2+y2-3x+5y=1关于直线y=-x对称,则曲线C的一般式方程为　　　　　　　　　　　　.  10.(2026天津高二期中)已知点P(2,0),圆C的圆心在直线x-y-5=0上且圆C与y轴切于点M(0,-2). (1)求圆C的方程; (2)设点Q在圆C上运动,求线段PQ的中点N的轨迹方程. B级　关键能力提升练 11.若圆x2+y2-4x+2y+a=0与x轴、y轴均有公共点,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,1] B.(-∞,0] C.[0,+∞) D.[5,+∞) 12.(2026广西高二期中)已知实数x,y满足圆的方程(x-2)2+y2=4,则的最大值为　　　　　.  13.(2026河南高二期中)若圆x2+y2+mx+5y+2m=0(m∈R)恒过两个不同的定点A,B,则|AB|=　　　　　.  14.(2026天津南开期中)已知△ABC的三个顶点是A(3,4),B(0,8),C(-2,-8). (1)求∠BAC的平分线所在直线l1的方程; (2)若直线l经过点C,且点A,B到直线l的距离相等,求l的方程; (3)求△ABC外接圆的方程. C级　学科素养创新练 15.(人教B版教材习题)已知△ABC中,AB=3,AC=2BC,求△ABC的面积的最大值. 答案 1.D 2.A　对于A,x2+y2-2x-4y-6=0即(x-1)2+(y-2)2=11,表示圆,故A正确;对于B,x2+xy+y2-5=0含xy项,不表示圆,故B不正确;对于C,x2+y2+2ax+2by=0(a,b∈R),易知当a=b=0时,方程不表示圆,故C不正确;对于D,x2+y2+2x+4y+6=0,D2+E2-4F=22+42-4×6=-4<0,不表示圆,故D不正确.故选A. 3.C　因为圆x2+y2-2ax+4a=0的标准方程为(x-a)2+y2=a2-4a,所以圆心为点(a,0),半径r=,由题意,得解得a>4, 即实数a的取值范围是(4,+∞).故选C. 4.D　圆O化成标准方程为(x-1)2+(y+2m)2=2m2+2,点A(0,1)在圆O外,则有(0-1)2+(1+2m)2>2m2+2, 即2m2+4m>0,解得m<-2或m>0.故选D. 5.C　设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0. 因为A(-1,-5),B(2,4),C(5,-5)三点都在圆上, 所以解得 故所求圆的方程为x2+y2-4x+2y-20=0.故选C. 6.B　由圆C:x2+y2-2mx+(2m-4)y-1=0可知圆心C(m,-m+2),半径r=. 设原点为O,则|OC|=, 设t=2m2-4m+4,则函数t=2m2-4m+4图象的对称轴为直线m=1,开口向上,则t=2m2-4m+4在m=1处取得最小值,即在m=1处圆心到原点的距离最小,此时圆C的半径为r=,圆C的面积S=πr2=3π.故选B. 7.ACD　对于A,由x2+y2-kx-3ky-1=0得(x-)2+(y-)2=1+, 显然该方程表示圆心为(),半径为的圆,故A正确; 对于B,将点(0,0)代入圆的方程得-1=0,显然该圆不过坐标原点,故B错误; 对于C,圆心()始终在直线y=3x上,故C正确; 对于D,由x2+y2-kx-3ky-1=0得x2+y2-1-k(x+3y)=0, 所以解得 所以该方程表示的圆恒过(,-),(-)两点,因为这两点到原点的距离都为1,所以圆上总存在两点到原点的距离为1,故D正确.故选ACD. 8.(1,2)　1　圆C:x2+y2-2x-4y+1=0,即(x-1)2+(y-2)2=4,所以圆心为C(1,2).若圆C关于直线l对称,则点C(1,2)在直线l上,即2=k×(1+1),解得k=1. 9.x2+y2-5x+3y-1=0　在曲线C上任取一点P(x,y),则点P关于直线y=-x的对称点为Q(-y,-x), 因为点Q在曲线x2+y2-3x+5y=1上,则有(-y)2+(-x)2-3·(-y)+5·(-x)=1,即为x2+y2-5x+3y=1. 故曲线C的方程为x2+y2-5x+3y-1=0. 10.解 (1)设圆心坐标为C(a,b), ∵圆C的圆心在直线x-y-5=0上且圆C与y轴切于点M(0,-2), ∴解得 ∴圆心C(3,-2),半径r=|MC|==3, 故圆C的方程为(x-3)2+(y+2)2=9. (2)设点N的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x0,y0). ∵点P(2,0),又N为PQ的中点,∴x=,y=, ∴即点Q的坐标为(2x-2,2y). ∵点Q在圆C上运动,∴(2x-2-3)2+(2y+2)2=9, 即(2x-5)2+(2y+2)2=9, ∴点N的轨迹方程为(x-)2+(y+1)2=. 11.A　圆x2+y2-4x+2y+a=0,即(x-2)2+(y+1)2=5-a,圆心(2,-1),半径r=. ∵圆与x轴、y轴都有公共点,∴解得a≤1. 12.2+表示圆(x-2)2+y2=4上的点到定点(0,1)的距离,而圆(x-2)2+y2=4的圆心为(2,0),半径为2,所以的最大值为+2=2+. 13.3　x2+y2+mx+5y+2m=0(m∈R)变形得到x2+y2+5y+m(x+2)=0(m∈R), 令解得 不妨设A(-2,-1),B(-2,-4),所以|AB|==3. 14.解 (1)因为A(3,4),B(0,8),C(-2,-8),所以=(-3,4),=(-5,-12), 所以与同向共线的单位向量分别为·(-3,4)=(-), ·(-5,-12)=(-,-), 所以∠BAC的平分线所在直线的方向向量为=(-)+(-,-)=(-,-), 所以∠BAC的平分线的斜率为k=, 所以∠BAC的平分线所在直线l1的方程为y-4=(x-3),即x-8y+29=0. (2)当直线l的斜率存在时,设其方程为y+8=k(x+2), 即kx-y+2k-8=0, 因为点A,B到直线l的距离相等, 所以,解得|5k-12|=|2k-16|,解得k=-或k=4, 所以直线l的方程为-x-y+2×(-)-8=0或4x-y+2×4-8=0,即4x+3y+32=0或4x-y=0; 当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=-2,可得点A,B到直线l的距离不相等. 综上所述,l的方程为4x+3y+32=0或4x-y=0. (3)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则解得 所以△ABC外接圆的方程为x2+y2+x-y-=0. 15.解 首先设定坐标系,把AB放在x轴上, 令A(0,0),B(3,0),设点C的坐标为(x,y). 根据条件AC=2BC,得到=2,即(x-4)2+y2=4,这说明点C在以(4,0)为圆心、2为半径的圆上(不包括与x轴的交点). 而△ABC的面积S=×AB×|y|=|y|,|y|的最大值就是圆的半径2, 因此面积的最大值为×2=3. 4 学科网（北京）股份有限公司 $