2.4.2 圆的一般方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以“基础+能力提升”分层设计，通过概念辨析、运算应用到综合探究的进阶路径，培养数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，适配新授课分层巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练习|圆的方程条件判断、圆心半径计算、轨迹方程初步|以选择填空为主，结合教材改编题，强化概念理解与基础运算，如二元二次方程与圆的关系判定| |能力提升练|圆与直线位置关系、最值问题、几何定理应用|含多选与解答题，融入跨情境综合题，如阿波罗尼斯圆、四边形中圆的轨迹，提升逻辑推理与模型应用能力|

2.4.2　圆的一般方程 基础练习 题型一　二元二次方程与圆的关系 1.(2026江苏常州第一中学质量调研)已知点P(1,2)为圆x2+y2+x-4y+m=0外一点,则实数m的取值范围为(　　) A.(2,+∞)　　B.[2,+∞)　　C.　　D. 2.(多选题)(2026安徽淮南第二中学月考)对于方程x2+y2+4mx-2y+5m=0,下列说法正确的为(　　) A.若方程表示圆,则m< B.若方程表示圆,则此圆的圆心一定在直线y=1上 C.若方程不表示任何图形,则-<m<1 D.若方程表示圆,且该圆与x轴的两个交点位于原点的两侧,则m<0 3.(2026上海华东师范大学第二附属中学月考)若方程ax2+by2+bx-3y+a=0表示一个圆,则b的取值范围为　　　　　　　.  题型二　圆的一般方程及其应用 4.(2026四川广安三区联考)设P,Q分别是直线l:4x-3y-11=0和圆C:x2+y2+4x-4y+4=0上的动点,则|PQ|的最小值是(　　) A.1　　B.3　　C.5　　D.7 5.(2026广东佛山段考)圆C的方程是4x2+4y2-4kx-4ky+k2=0,其中k>0.有以下三种说法:①C的圆心的坐标是(2k,2k);②C的面积是;③原点位于C内.其中正确的是(　　) A.②　　B.③　　C.①②　　D.②③ 6.(2026福建泉州南安、晋江联考)已知x,y∈R,且x2+y2-6x-8y+24=0,则x2+y2-11的最大值为　　　　.  7.(2026北京第五中学月考)已知A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2)),C(-1,1)是函数f(x)=x2的图象上不同的三个点. (1)当x1=1时,线段AB的垂直平分线方程为x+4y-22=0,求直线BC的方程; (2)在(1)的条件下,求△ABC外接圆的一般方程. 题型三　与圆有关的动点的轨迹问题 8.(2026浙江精诚联盟月考)点P在圆x2+y2=25上运动,它与点Q(4,0)所连线段的中点为M,则点M的轨迹方程为(　　) A.(x-2)2+y2=　　B.(x+2)2+y2=　　 C.(x-2)2+y2=　　D.(x+2)2+y2= 9.(教材习题改编)已知△ABC的两个顶点为A(0,0),B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,则顶点C的轨迹方程是　　　　　　　.  10.(2026广东东莞四校月考)已知圆C经过点A(0,-1),B(2,1),且圆心在直线y=x+1上. (1)求圆C的标准方程; (2)设点T(4,0),P为圆C上的动点,点M满足=2,求点M的轨迹方程. 能力提升练 题型　圆的方程及其应用 1.(2026吉林实验高级中学月考)已知点O是坐标原点,点M是圆C:x2+y2-6x+8y+24=0上的动点,当动点P在直线x+y+4=0上运动时,|PM|+|PO|的最小值为(　　) A.8　　B.7　　C.6　　D.5 2.(多选题)(2026陕西咸阳月考)已知圆C的方程为x2+y2-8x+12=0,点M(x0,y0)是圆C上任意一点,O为坐标原点,则下列结论正确的是(　　) A.圆C的半径为2 B.满足|OM|=5.5的点M有1个 C.x0+2y0的最大值为4+2 D.若点P在x轴上,则满足|OM|=2|PM|的点P有两个 3.(2026湖南益阳月考)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,AC=2,M为BC的中点,P为平面ABC内一点,且·=0,则(　　) A.|+|的最大值为2 B.|+|的最大值为2 C.·的最大值为 D.·的最大值为 4.(2026山东泰安一中月考)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设过点(3,7)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为　　　　.  5.(2025福建部分优质高中质检)平面几何中有一定理:已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E,且AC⊥BD,过点E分别作边AB,BC,CD,DA的垂线,垂足分别为P1,P2,P3,P4,则P1,P2,P3,P4在同一个圆上,记该圆为圆F.若在四边形ABCD中,直线AB,BC,AC的方程分别为x-y=0,x+2y=0,x=2,点P4(3,1),则圆F的方程为　　　　　　　　.  6.(2026河南信阳固始月考)若点(1,2)在圆C:(x-2)2+y2=4-m外,则实数m的取值范围为　　　　;P,Q两点分别在直线l1:x-y+1=0与直线l2:x-y-1=0上,且PQ⊥l1,当圆C的半径为3时,已知点A(m+1,4),B(4,0),则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为　　　　.  7.(2026湖南长沙期中)有下列四个结论:①曲线x2+y2=|x|+|y|恰好经过9个竖点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线x2+y2=|x|-|y|夹在直线y=和直线y=-之间;③曲线x2+y2=3|x|+3|y|所围成区域的面积是曲线x2+y2=|x|+|y|所围成区域面积的5倍;④曲线x2+y2=4|x|+|y|上任意两点间的距离都不超过2.其中,所有正确结论的序号是　　　　.  8.如图,已知正方形ABCD的四个顶点分别为A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2). (1)求对角线AC所在直线的方程; (2)求正方形ABCD外接圆的方程; (3)若动点P为外接圆上一点,点N(-2,0)为定点,则线段PN的中点M的轨迹是什么?请求出轨迹方程. 9.已知两定点P,Q(m,0),如果动点M与P,Q之间的距离满足=λ(λ>0且λ≠1),那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,若其方程为x2+y2=4,则λ+m=(　　) A.-8　　B.-4　　C.0　　D.4 答案 2.4.2　圆的一般方程 基础练习 1.D　由点P(1,2)在圆外,得12+22+1-8+m>0,得m>2. 又方程x2+y2+x-4y+m=0表示圆, 所以12+(-4)2-4m>0,得m<. 综上,2<m<,即实数m的取值范围为. 2.BD　方程x2+y2+4mx-2y+5m=0可化为(x+2m)2+(y-1)2=4m2-5m+1. 对于A,若方程表示圆,则4m2-5m+1>0,即m<或m>1,故A错误; 对于B,若方程表示圆,则此圆的圆心为(-2m,1),该圆心一定在直线y=1上,故B正确; 对于C,若方程不表示任何图形,则4m2-5m+1<0,即<m<1,故C错误; 对于D,若方程表示圆,且该圆与x轴的两个交点位于原点的两侧, 则4m2-5m+1>0且原点(0,0)在圆的内部, ∴m<或m>1,且m<0,故m<0,故D正确. 3.答案　(-,0)∪(0,) 解析　由题意可得a=b≠0,故方程可变形为x2+y2+x-y+1=0, 因此1+-4>0,所以-<b<且b≠0. 4.B　圆C的方程可化为(x+2)2+(y-2)2=4,故圆心为C(-2,2),半径r=2, ∴圆心C(-2,2)到直线l:4x-3y-11=0的距离d==5, ∴|PQ|的最小值为d-r=3. 5.A　由4x2+4y2-4kx-4ky+k2=0,可得x2+y2-kx-ky+=0, 所以+=,所以圆心C的坐标为,半径为,所以圆C的面积为=,故①错误,②正确; 因为02+02-k×0-k×0+=>0,所以原点位于圆C外,故③错误. 6.答案　25 解析　易知x2+y2-11表示圆上的点到原点的距离的平方与11的差, 圆x2+y2-6x-8y+24=0,即(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为(3,4),半径为1, 则点(0,0)与点(3,4)之间的距离为=5>1, 故点(0,0)与圆(x-3)2+(y-4)2=1上任意一点的距离的最大值为5+1=6, 则x2+y2-11的最大值为62-11=25. 7.解析　(1)当x1=1时, f(1)=1,即A(1,1),由线段AB的垂直平分线方程为x+4y-22=0,可得kAB=4,所以直线AB的方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0, 与y=x2联立,消去y,可得x2-4x+3=0,解得x=1(舍去)或x=3,则B(3,9),所以kBC==2, 所以直线BC的方程为y-9=2(x-3),即2x-y+3=0. (2)由(1)知A(1,1),B(3,9), 设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,又C(-1,1), 故解得 即△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-11y+9=0. 8.A　设M(a,b),由点P与点Q(4,0)所连线段的中点为M,可得P(2a-4,2b), 因为点P在圆x2+y2=25上运动,所以(2a-4)2+(2b)2=25, 即(a-2)2+b2=,故点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=. 9.答案　(x-8)2+y2=36(y≠0) 解析　设C(x,y)(y≠0),则D.∵B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,∴+=9,即(x-8)2+y2=36(y≠0). 10.解析　(1)因为A(0,-1),B(2,1),所以kAB==1, 所以弦AB的垂直平分线的斜率为-1, 又弦AB的中点坐标为(1,0),所以弦AB的垂直平分线的方程为y=-(x-1),即y=-x+1, 将y=-x+1与y=x+1联立,解得x=0,y=1, 所以圆心C的坐标为(0,1),所以圆的半径r=|AC|=2, 则圆C的标准方程为x2+(y-1)2=4. (2)设M(x,y),P(m,n),则有=(x-m,y-n),又T(4,0),故=(4-x,-y),则2=(8-2x,-2y). 由=2,可得 解得 由点P在圆C上,得m2+(n-1)2=4,所以(3x-8)2+(3y-1)2=4, 即+=, 故点M的轨迹方程为+=. 能力提升练 1.C　设点O(0,0)关于直线x+y+4=0对称的点为A(m,n), 则解得m=n=-4, 即A(-4,-4), 圆C:x2+y2-6x+8y+24=0即(x-3)2+(y+4)2=1,其圆心为C(3,-4),半径r=1, 则|PM|+|PO|=|PM|+|PA|≥|PC|+|PA|-1,当且仅当点M在线段PC上时,等号成立, 又因为|PC|+|PA|≥|AC|=7,当且仅当P,A,C三点共线时,等号成立,所以|PM|+|PO|≥7-1=6. 综上所述,|PM|+|PO|的最小值为6. 2.AC　选项A中,圆的方程可化为(x-4)2+y2=4,所以圆心为C(4,0),半径为2,故A正确; 选项B中,由于|OC|=4,所以圆C上任意一点到原点的距离的最大值是4+2=6,最小值是4-2=2,因此满足|OM|=5.5的点M有两个,故B错误; 选项C中,令x0+2y0=t,则x0=t-2y0,所以M(t-2y0,y0), 将点M的坐标代入圆C的方程并整理,得5+(16-4t)y0+(t2-8t+12)=0, 依题意有Δ=(16-4t)2-20(t2-8t+12)≥0,即t2-8t-4≤0, 解得4-2≤t≤4+2,因此x0+2y0的最大值为4+2,故C正确; 选项D中,不妨设P(a,0),由于|OM|=2|PM|,所以=2, 整理得+-x0+=0. 因为点M(x0,y0)在圆C上,所以+-8x0+12=0,则x0+=0, 因为x0为点M的横坐标,且点M为圆C上任意一点, 所以解得a=3, 所以符合要求的点P是唯一的,故D错误. 3.A　如图,以A为坐标原点,AC,AB所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系, 则A(0,0),M(1,2),C(2,0),B(0,4),设P(x,y), 所以=(1,2),=(2,0),=(x-1,y-2),=(x,y-4),=(x-2,y), 因为·=0, 所以x(x-2)+y(y-4)=0,即x2-2x+y2-4y=0,即(x-1)2+(y-2)2=5, 所以P(x,y)为以M(1,2)为圆心,为半径的圆上一点. 对于A,+==(x,y),所以|+|=,其几何意义为P(x,y)到原点的距离, 所以|+|的最大值为圆上一点到原点的距离的最大值, 为原点到圆心M(1,2)的距离加上半径,即+=2,故A正确; 对于B,+=(x+1,y-2),所以|+|=,其几何意义为P(x,y)到点(-1,2)的距离, 所以|+|的最大值为圆上一点到点(-1,2)的距离的最大值, 为点(-1,2)到圆心M(1,2)的距离加上半径,即+=2+,故B错误; 对于C,·=x-1+2(y-2)=x+2y-5,令z=x+2y-5,即x+2y-5-z=0, 易知当直线x+2y-5-z=0与圆M相切时z取得最值,由=, 解得z=±5,所以z的最大值为5,即·的最大值为5,故C错误; 对于D,·=2x-2,因为P(x,y)为以M(1,2)为圆心,为半径的圆上一点,所以x的最大值为1+, 所以·的最大值为2×(1+)-2=2,故D错误. 4.答案　40 解析　圆的方程x2+y2-6x-8y=0可化为(x-3)2+(y-4)2=25,圆心为(3,4),半径为5, 由于点(3,7)到圆心的距离为3,小于半径,所以点(3,7)在圆内, 则最长弦AC是直径,最短弦BD的中点是(3,7),且AC⊥BD, 则|AC|=2×5=10,|BD|=2×=8, 则S四边形ABCD=×|AC|×|BD|=×10×8=40. 5.答案　(x-2)2+= 解析　由得即A(2,2), 由得即C(2,-1), 由得即B(0,0). 因为AC⊥BD,对角线AC与BD相交于点E,所以E(2,0). 根据题意作出大致图形,如图所示, 因为EP1⊥AB,所以EP1所在直线的方程为y=-x+2,与方程x-y=0联立,解得x=y=1,即P1(1,1), 因为EP2⊥BC,所以EP2所在直线的方程为y=2x-4,与方程x+2y=0联立,解得x=,y=-,即P2, 所以线段P1P2的中点为, 又P4(3,1),所以线段P1P4的中点为(2,1),则线段P1P4的垂直平分线方程为x=2,线段P1P2的垂直平分线方程为y-=×,即y=x-, 联立可得 所以F, 又|P1F|==, 所以圆F的方程为(x-2)2+=. 6.答案　(-1,4);+ 解析　因为点(1,2)在圆C外, 所以解得-1<m<4. 由l1和l2的方程可知l1∥l2,又PQ⊥l1,所以两直线间的距离为|PQ|==, 因为圆C的半径为3,所以4-m=32,解得m=-5,则A(-4,4), 过点B作直线l垂直于直线l1,如图, 则直线l的方程为y=-x+4,倾斜角为135°,将点B沿直线l向上平移个单位长度得到点B',则B'(3,1), 连接PB',因为PQ⊥l1,BB'⊥l1,|PQ|=|BB'|=,所以四边形PQBB'为平行四边形,所以|QB|=|PB'|,则|AP|+|QB|的最小值即|AP|+|PB'|的最小值, (解题关键:构造平行四边形PQBB',将|AP|+|QB|的最小值转化为|AP|+|PB'|的最小值,根据两点之间线段最短求最小值) 因为两点之间线段最短, 所以(|AP|+|PB'|)min=|AB'|= =, 所以|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为+. 7.答案　①② 解析　对于①,当x>0,y>0时,有+=, 当x>0,y<0时,有+=, 当x<0,y>0时,有+=, 当x<0,y<0时,有+=, 画出该曲线,如下: 经过的竖点有(0,0),(1,1),(1,0),(0,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1),(-1,0),(0,-1),共9个,故①正确. 对于②,当x>0,y>0时,有+=,记N, 当x>0,y<0时,有+=,记M, 当x<0,y>0时,有+=, 当x<0,y<0时,有+=, 画出该曲线,如下: 连接MN,由上到下交曲线和x轴分别于点P,T,Q, 则|MQ|=|NP|=,|MT|=|NT|=|OT|=, 故|PQ|=|MQ|+|NP|-|MN|=-1,则|PT|=|QT|=, 故曲线x2+y2=|x|-|y|由四个弓形组成,每个弓形的高为, 则该曲线夹在直线y=和直线y=之间,又因为>,>-,所以②正确. 对于③,由①知,x2+y2=|x|+|y|表示的图形可以分解为一个点,一个正方形和四个半圆,如下图, 其中正方形的边长为,半圆的半径为,故曲线x2+y2=|x|+|y|所围成区域的面积为×+4×π=2+π; 同理,曲线x2+y2=3|x|+3|y|也可以分解为一个点,一个正方形和四个半圆, 其中正方形的边长为3,半圆的半径为,所以曲线x2+y2=3|x|+3|y|所围成区域的面积为3×3+4×π=18+9π, 故曲线x2+y2=3|x|+3|y|所围成区域的面积为曲线x2+y2=|x|+|y|所围成区域的面积的9倍,故③错误; 对于④,当x>0,y>0时,有(x-2)2+=, 当x>0,y<0时,有(x-2)2+=,记G, 当x<0,y>0时,有(x+2)2+=,记W, 当x<0,y<0时,有(x+2)2+=, 画出该曲线,如下: 连接WG并双向延长,从左至右分别交曲线于J,K两点, 则|JK|=2|WG|=2>2,故④错误. 综上可知,正确结论的序号是①②. 8.解析　(1)由直线方程的两点式可知,对角线AC所在直线的方程为=,整理得x-y-2=0. (2)设G为正方形ABCD外接圆的圆心,则G为AC的中点,∴G(2,0). 设r为正方形ABCD外接圆的半径,则r=|AC|,又|AC|==4,∴r=2. ∴正方形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8. (3)设P(x0,y0),M(x,y), 则∴ ∵P为外接圆上一点, ∴(2x+2-2)2+(2y)2=8,整理,得x2+y2=2.∴点M的轨迹是以原点为圆心,为半径的圆,轨迹方程为x2+y2=2. 9.B　设M(x,y),由=λ(λ>0且λ≠1),得=λ,所以x2-2mx+m2+y2=λ2x2+λ2x+λ2+λ2y2,所以x2+y2-x=,又M的轨迹方程为x2+y2=4,所以=0且=4,解得m=-(舍去)或m=-8,所以λ2=-2×(-8)=16,所以λ=4,所以λ+m=-4. 7 学科网（北京）股份有限公司 $