小专题02：命题中含参问题—【从0到1的暑假自学手册】2026年新高一数学暑假优学讲练（人教A版 必修第一册）

从0到1的暑假自学手册 小专题02：命题中含参问题 内容导航 01 知识导航 02 知识溯源 03 新知讲解 题型1：根据条件求参 题型2：根据充分不必要条件求参数 题型3：根据必要不充分条件求参数 题型4：根据全称量词命题的真假求参数 题型5：根据存在量词命题的真假求参数 04 过关检测 一、相关知识 1．充分条件与必要条件的定义 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可以推出q，记作，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件． 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． 2．充要条件的定义 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． 3．充分条件、必要条件的四种类型 关系式 结论 ，且 p是q的充分不必要条件 ，且 p是q的必要不充分条件 ，且 p是q的充要条件 ，且 p是q的既不充分也不必要条件 名师点拨 从集合角度看充分条件、必要条件 记法 p：，q： 关系 且 图示 或 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 3．全称量词和存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）全称量词命题 ①定义：含有全称量词的命题叫作全称量词命题。 ②符号表示：通常，将含有变量x的语句用，，，…表示，变量x的取值范围用M表示.那么，全称量词命题“对M中任意一个x，成立”可用符号简记为，. （3）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （4）存在量词命题 ①定义：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. ②符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，成立”可用符号简记为，. （名师点拨：常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.） 4．全称量词命题和存在量词命题的否定 （1） （2） （3）全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题. 5．判断全称量词命题、存在量词命题的真假 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x，证明成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能找出集合M中的一个元素，使得不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）. （2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个元素，使成立即可.如果在集合M中，使成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题. （3）一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 二、解题步骤 1．利用含量词问题的真假求参数范围的技巧 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意. （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组）求参数的取值范围. 具体如下： ①对于全称量词命题“(或)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值)，即(或). ②对于存在量词命题“（或）”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值），即(或). 【注意事项】 （1）全称量词命题求参数范围的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围； （2）存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立.解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数. 【典例讲解1】若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】B 【套用解题步骤】 第一步：阅读题目，找出题干中的条件与结论并分析 由题意可知，该题目的条件为，结论即为 第二步：判断条件p是否可以得出结论q ∵是的充分不必要条件 ∴条件可以推出结论 第三步：判断结论q是否可以得出条件p ∵是的充分不必要条件 ∴结论不能推出条件 第四步：根据已得结论对所求t的取值范围求解 ∴但， 故得，即的取值范围是. 故选：B. 【典例分析2】若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A.    B.    C.    D. 【答案】A 【套用解题步骤】 第一步：判断命题为全称量词命题还是存在量词命题 由题可得，题目原命题是假命题，且为全称量词命题 ∴原命题的否定应是真命题，且为存在量词命题 第二步：观察题目，找出命题的量词和结论 观察可得，原量词为全称量词，原命题结论为对于任意均成立 第三步：变换原量词，并否定原结论 ∴由原命题可得，“，”既是对原命题的否定，也是真命题 即方程有实数根，则，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A. 题型1：根据条件求参 【例1】（25-26高一上·上海松江·阶段检测）若“”是“”的必要条件，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由题意可得集合是集合的子集，进而可求解. 【详解】因为“”是“”的必要条件，则集合是集合的子集， 所以，所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式1】（25-26高一上·贵州贵阳·期中）若集合 （1）若，写出的子集的个数； （2）设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)8个 (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据并集的定义求得，进而写出子集个数； （2）由题意可得，进而分，两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， ， ，其子集个数为个; （2）由题意，是的充分条件，则， 当时，此时，解得：，符合题意； 当时，则： 若为单元素集，则，解得 此时，符合题意； 若为双元素集，则 则有，无解. 综上所述，实数的取值范围为． 【变式2】（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知集合，集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1)实数的取值范围为； (2)实数的取值范围为. 【分析】（1）由题设条件先得，接着分和两种情况列关于m的不等关系即可求解； （2）先假设存在得到是的子集，进而列出不等式组求解即可得解. 【详解】（1）若是的必要条件，则， 当即时，，满足； 当时，则可得. 综上，若是的必要条件，则实数的取值范围为. （2）假设存在实数，使是的充分条件，则， 则由题意得. 所以存在实数，使是的充分条件，实数的取值范围为. 【变式3】（25-26高一上·四川泸州·期中）已知：，：． （1）是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的范围； （2）是否存在实数，使是的必要条件，若存在，求出的范围． 【答案】(1)存在，； (2)存在，． 【分析】（1）直接根据充分条件的定义可得； （2）直接根据必要条件的定义可得. 【详解】（1）由，得. 若是的充分条件，则，如图： 所以，解得：． 故的取值范围是． （2）若是的必要条件，则，因，所以，如图： 所以，解得：． 故的取值范围是． 题型2：根据充分不必要条件求参数 【例2】（25-26高三·全国·一轮复习）若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 【答案】 / 【详解】（1）由已知可得， 当时，，与矛盾， 当，，与矛盾， 当时，， 结合可得，解得； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，，得， 故的取值范围是. 【变式1】（25-26高一上·江西九江·期末）已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为，所以，分和两种情况求解即可； （2）由是的充分不必要条件，得到A是B的真子集，再根据题目列不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以； 当时，则 ，得到； 当时，需满足，解得， 这三个条件没有交集，因此时无解； 综上所述，的取值范围为. （2）因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集； 则或，解得. 实数的取值范围是. 【变式2】（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． （1）求实数的取值范围； （2）命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）因为命题为真命题，所以，解得 所以实数的取值范围是． （2）令，， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，解得， 综上所述，存在符合条件的实数，且实数的取值范围是． 【变式3】（25-26高一上·湖南娄底·期末）设全集，集合，. （1）若，求集合； （2）命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据补集的定义和并集的定义进行求解即可； （2）根据充分不必要的定义进行求解即可. 【详解】（1），， 所以或，； （2）因为是的充分不必要条件，所以且， 所以，其中等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是. 题型3：根据必要不充分条件求参数 【例3】已知集合和集合，已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】先将“q是p的必要不充分条件”转化为集合是集合的真子集，再根据集合真包含关系列不等式组，求解实数的取值范围. 【详解】∵q是p的必要不充分条件，∴⫋， 则或，解得， 故实数的取值范围为. 【变式1】（25-26高一上·江西抚州·期末）已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 【答案】 【分析】解方程，把集合具体化，然后利用集合间的关系可得答案. 【详解】由，得或，故； 由，得：，故； “ 是 的必要条件但不是充分条件”等价于 且 ， 或 ， 解得：或. 故答案为： 【变式2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合和集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的交集运算讨论，，列不等式即可得实数的取值范围； （2）根据必要不充分条件得⫋，从而列不等式组即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由，得： ①若，即时，，符合题意； ②若，即时，此时，要满足， 则需或，解得； 综上，实数的取值范围为； （2）∵q是p的必要不充分条件， ∴⫋， 则或，解得：， 故实数的取值范围为. 【变式3】（25-26高一上·广东佛山·期中）已知集合，集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过和两类情况讨论即可； （2）由题意得到是的真子集，再通过和两类情况讨论即可. 【详解】（1）， 因为， 所以当时，， 解得， 当时，，解得,此时或， 解得. 综上所述，实数的取值范围为. （2）由若命题是命题的必要不充分条件，可化为命题是命题的必要不充分条件， 即是的真子集， 所以当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立）， 解得. 综上所述，实数的取值范围为. 题型4：根据全称量词命题的真假求参数 【例4】（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，集合或，全集. （1）若，求，； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先求出集合，再根据交集和并集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而根据包含关系求解. 【详解】（1）当时，，而或， 则，. （2）若命题“，都有”是真命题，则， 由，所以或，即或， 故的取值范围为或. 【变式1】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）若命题：，为假命题，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】由全称量词命题为真求出的范围，再取其补集得答案. 【详解】，而，则， 由命题为假命题，得，所以实数a的取值范围是. 故答案为： 【变式2】已知命题且，命题，恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】求出与同时为真命题的参数范围，然后再求补集． 【详解】为真命题，则， 为真命题，则，， 所以与同时为真命题时，， 从而与不同时为真命题时，的范围是， 故答案为：． 【变式3】（25-26高一上·山东烟台·阶段检测）已知集合. （1）若命题，都有“为真命题，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据子集的定义和性质进行求解即可； （2）根据交集的性质进行求解即可. 【详解】（1）由命题：”，都有"为真命题，则， ①当时，，解得； ②当时，则， 综上所述，实数的取值范围为； （2）因为， 所以，或，或， 解得或或， 所以实数的取值范围为. 题型5：根据存在量词命题的真假求参数 【例5】（25-26高一上·黑龙江辽宁·阶段检测）已知命题p: 若命题p 是假命题，则实数a的取值可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】CD 【分析】由题意可知命题的否定为真命题进而转化为二次函数无解的问题. 【详解】因为命题是假命题，所以可知为真命题， 判别式，解得. 故选：CD. 【变式1】若命题“”是假命题，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据题意，得到是真命题，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】由命题p：是假命题， 可得命题是真命题， 当时，不等式为，显然恒成立； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式2】（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）已知命题关于的方程有两个不相等的正实数根，命题，. （1）若是真命题，求实数的取值范围； （2）若，均为假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题真假，以及一元二次方程判别式，列出不等式组，求出参数范围； （2）根据命题真假，分别求出两个命题为假的参数范围，进而求出同时为假的参数范围即可. 【详解】（1）若是真命题，则，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由题意可知命题为真命题等价于在上的最小值小于等于0， 所以，解得， 所以若命题为假命题，则， 由（1）知，若是假命题，则或， 若，均为假命题，则， 即实数的取值范围是. 【变式3】（25-26高一上·安徽安庆·期中）设集合，. （1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，”为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据必要不充分条件得出集合间的包含关系，分集合为空集和非空集合两种情况讨论，即可求解； （2）根据存在性命题为真命题得出集合交集非空，同样结合集合非空进行分析即可. 【详解】（1）因为“”是“”的必要不充分条件，所以， 当时，则，解得， 当时，则或，解得， 综上所述，实数的取值范围为. （2）因为命题“，”为真命题，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 1．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）若是的必要不充分条件，则实数a的可能取值为（   ） A．2 B．3 C．0 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义，结合集合的包含关系列不等式求解即可. 【详解】依题意，，，由p是q的必要不充分条件，得是的真子集， 则，解得，所以实数a的可能取值为0. 故选：C 2．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）若“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的真假求参数的取值范围.可把问题转化为求解. 【详解】因为“，”是真命题，所以，. 所以. 故选：A 3．（多选）（25-26高一上·福建厦门·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】根据集合之间的包含关系可得. 【详解】由题意可知，是的真子集， 故的取值可以是. 故选：BCD 4．（25-26高三上·河北沧州·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由必要不充分条件的定义，结合集合关系即可判断. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集， 所以． 即的取值范围是， 故答案为： 5．（25-26高三上·江西·阶段检测）若“，”为真命题，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据命题为真命题列不等式，解不等式即可. 【详解】由题可知，，解得， 故答案为：. 6．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）命题“”为真命题，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【分析】将问题转化为“” ，然后根据的取值范围可求结果. 【详解】因为“”为真命题，所以， 因为，所以，即，所以， 故答案为：. 7．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）已知集合或，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，按照和分类讨论，列出相应不等关系，求解即可； （2）由题意可判断B是A的子集，按照和分类讨论，列出相应不等关系，求解即可. 【详解】（1）因或，，且， 故当时，，解得，符合题意； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为； （2）因为“”是“”的充分条件，所以， 当时，有，解得，满足； 当时，则有或，解得或， 综上，实数的取值范围为； 8．（25-26高一上·四川泸州·期中）已知：，：． （1）是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的范围； （2）是否存在实数，使是的必要条件，若存在，求出的范围． 【答案】(1)存在，； (2)存在，． 【分析】（1）直接根据充分条件的定义可得； （2）直接根据必要条件的定义可得. 【详解】（1）由，得. 若是的充分条件，则，如图： 所以，解得：． 故的取值范围是． （2）若是的必要条件，则，因，所以，如图： 所以，解得：． 故的取值范围是． 9．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． （1）若， ，求实数的取值范围； （2）设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意可得，解出即可得； （2）由题意可得 ，再分及计算即可得. 【详解】（1）若 ，则A的所有元素都不在B中，可得不等式组， 解得 ，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则 ，即A的所有元素都属于B， ①，此时 ，解得； ②，此时，解得； 综上，的取值范围是或． 10．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知全集，集合，. （1）若，求和； （2）设：，：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合间的运算法则直接计算； （2）根据命题的充分必要性可知，分情况讨论和，列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）全集，集合， 若，则， 则，或， 则； （2）设：，：，若是成立的必要不充分条件，则， 当时，，即，符合题意； 当时，则需满足，且两等号不能同时取得，解得， 故实数的取值范围为. 11．（22-23高一上·河南洛阳·阶段检测）已知 . （1）是否存在实数，使是的充要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由; （2）是否存在实数，使是的必要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)不存在 (2) 【分析】（1）根据两集合相等，形成方程组，无解，可判断不存在满足题意的实数. （2）要使是的必要条件，则，根据集合关系可求得实数的范围. 【详解】（1）要使是的充要条件，则 即，此方程组无解. 所以不存在实数，使是的充要条件. （2）要使是的必要条件，则， 当时，，解得 当时，，解得 要使，则有，解得，所以 综上可得，当时，是的必要条件. 12．设集合或，或. （1）设，，且是的充分而不必要条件，求实数的取值范围； （2）是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】(1)根据给定条件求出与所对集合，再借助集合的包含关系列式求解即得. (2)根据充要条件的定义直接分析判断作答. 【详解】（1）因集合或，或，且，， 则中的取值构成的集合为，中的取值构成的集合为， 又是的充分而不必要条件，于是得，则有，解得：， 所以实数的取值范围为. （2）根据充要条件的定义知，“”是“”的充要条件当且仅当， 而集合A中可以取到端点值-2，3，集合B中不能取到端点值2a，-a， 于是得无论取何值，都有， 所以不存在实数，使得“”是“”的充要条件. 13．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知命题：，，命题：，． （1）若是真命题，求实数的最大值； （2）若，一个为真命题，一个为假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）为真命题可转化为对于恒成立，由此可求的范围，再求的最大值即可， （2）由为真命题可得，由此可求的范围， 【详解】（1）要使：，为真命题， 只需对于恒成立， 则，所以实数的最大值为1． （2）若：，为真命题， 则，即，解得或． 当真假时，只需，解得； 当假真时，只需或，解得． 综上所述，实数的取值范围为． 14．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）已知命题：，，命题：，. （1）若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； （2）若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）根据全称命题的性质，结合存在命题的性质进行求解即可； （2）根据题意，分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）命题为真命题时，，当时，代数式， 要想，恒成立，只需即可； 命题为真命题时，有，或， 因为两个命题都是真命题， 所以实数应同时满足上述条件，即， 因此实数的取值范围； （2）由（1）可知：当命题为假命题时，， 当命题为假命题时，， 当命题为真命题时，命题为假命题时，有， 当命题为假命题时，命题为真命题时，有，或，解得， 综上所述：实数的取值范围，或. 15．（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）已知集合，. （1）若全集，写出集合的补集； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （3）若命题“，”是假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)； (3)或. 【分析】（1）由补集的定义求解； （2）根据求解； （3）根据，为真命题求解. 【详解】（1）由题意或； （2）若“”是“”的充分条件，则，所以，解得； （3）若命题“，”是假命题，则命题“，”为真命题， 所以①，解得， ②时，或，解得或， 综上，或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $从0到1的暑假自学手册 小专题02：命题中含参问题 内容导航 01 知识导航 02 知识溯源 03 新知讲解 题型1：根据条件求参 题型2：根据充分不必要条件求参数 题型3：根据必要不充分条件求参数 题型4：根据全称量词命题的真假求参数 题型5：根据存在量词命题的真假求参数 04 过关检测 一、相关知识 1．充分条件与必要条件的定义 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可以推出q，记作，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件． 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． 2．充要条件的定义 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． 3．充分条件、必要条件的四种类型 关系式 结论 ，且 p是q的充分不必要条件 ，且 p是q的必要不充分条件 ，且 p是q的充要条件 ，且 p是q的既不充分也不必要条件 名师点拨 从集合角度看充分条件、必要条件 记法 p：，q： 关系 且 图示 或 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 3．全称量词和存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）全称量词命题 ①定义：含有全称量词的命题叫作全称量词命题。 ②符号表示：通常，将含有变量x的语句用，，，…表示，变量x的取值范围用M表示.那么，全称量词命题“对M中任意一个x，成立”可用符号简记为，. （3）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （4）存在量词命题 ①定义：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. ②符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，成立”可用符号简记为，. （名师点拨：常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.） 4．全称量词命题和存在量词命题的否定 （1） （2） （3）全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题. 5．判断全称量词命题、存在量词命题的真假 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x，证明成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能找出集合M中的一个元素，使得不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）. （2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个元素，使成立即可.如果在集合M中，使成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题. （3）一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 二、解题步骤 1．利用含量词问题的真假求参数范围的技巧 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意. （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组）求参数的取值范围. 具体如下： ①对于全称量词命题“(或)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值)，即(或). ②对于存在量词命题“（或）”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值），即(或). 【注意事项】 （1）全称量词命题求参数范围的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围； （2）存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立.解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数. 【典例讲解1】若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】B 【套用解题步骤】 第一步：阅读题目，找出题干中的条件与结论并分析 由题意可知，该题目的条件为，结论即为 第二步：判断条件p是否可以得出结论q ∵是的充分不必要条件 ∴条件可以推出结论 第三步：判断结论q是否可以得出条件p ∵是的充分不必要条件 ∴结论不能推出条件 第四步：根据已得结论对所求t的取值范围求解 ∴但， 故得，即的取值范围是. 故选：B. 【典例分析2】若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A.    B.    C.    D. 【答案】A 【套用解题步骤】 第一步：判断命题为全称量词命题还是存在量词命题 由题可得，题目原命题是假命题，且为全称量词命题 ∴原命题的否定应是真命题，且为存在量词命题 第二步：观察题目，找出命题的量词和结论 观察可得，原量词为全称量词，原命题结论为对于任意均成立 第三步：变换原量词，并否定原结论 ∴由原命题可得，“，”既是对原命题的否定，也是真命题 即方程有实数根，则，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A. 题型1：根据条件求参 【例1】（25-26高一上·上海松江·阶段检测）若“”是“”的必要条件，则的取值范围是__________. 【变式1】（25-26高一上·贵州贵阳·期中）若集合 （1）若，写出的子集的个数； （2）设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【变式2】（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知集合，集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【变式3】（25-26高一上·四川泸州·期中）已知：，：． （1）是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的范围； （2）是否存在实数，使是的必要条件，若存在，求出的范围． 题型2：根据充分不必要条件求参数 【例2】（25-26高三·全国·一轮复习）若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 【变式1】（25-26高一上·江西九江·期末）已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【变式2】（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． （1）求实数的取值范围； （2）命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【变式3】（25-26高一上·湖南娄底·期末）设全集，集合，. （1）若，求集合； （2）命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 题型3：根据必要不充分条件求参数 【例3】已知集合和集合，已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式1】（25-26高一上·江西抚州·期末）已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 【变式2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合和集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式3】（25-26高一上·广东佛山·期中）已知集合，集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 题型4：根据全称量词命题的真假求参数 【例4】（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，集合或，全集. （1）若，求，； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数a的取值范围. 【变式1】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）若命题：，为假命题，则实数a的取值范围是______. 【变式2】已知命题且，命题，恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是_____. 【变式3】（25-26高一上·山东烟台·阶段检测）已知集合. （1）若命题，都有“为真命题，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 题型5：根据存在量词命题的真假求参数 【例5】（多选）（25-26高一上·黑龙江辽宁·阶段检测）已知命题p: 若命题p 是假命题，则实数a的取值可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】若命题“”是假命题，则实数a的取值范围为__________． 【变式2】（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）已知命题关于的方程有两个不相等的正实数根，命题，. （1）若是真命题，求实数的取值范围； （2）若，均为假命题，求实数的取值范围. 【变式3】（25-26高一上·安徽安庆·期中）设集合，. （1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，”为真命题，求实数的取值范围. 1．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）若是的必要不充分条件，则实数a的可能取值为（   ） A．2 B．3 C．0 D．4 2．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）若“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一上·福建厦门·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高三上·河北沧州·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是______． 5．（25-26高三上·江西·阶段检测）若“，”为真命题，则的取值范围为______． 6．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）命题“”为真命题，则实数的取值范围是_____ 7．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）已知集合或，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 8．（25-26高一上·四川泸州·期中）已知：，：． （1）是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的范围； （2）是否存在实数，使是的必要条件，若存在，求出的范围． 9．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． （1）若， ，求实数的取值范围； （2）设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 10．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知全集，集合，. （1）若，求和； （2）设：，：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 11．（22-23高一上·河南洛阳·阶段检测）已知 . （1）是否存在实数，使是的充要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由; （2）是否存在实数，使是的必要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由. 12．设集合或，或. （1）设，，且是的充分而不必要条件，求实数的取值范围； （2）是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 13．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知命题：，，命题：，． （1）若是真命题，求实数的最大值； （2）若，一个为真命题，一个为假命题，求实数的取值范围． 14．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）已知命题：，，命题：，. （1）若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； （2）若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 15．（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）已知集合，. （1）若全集，写出集合的补集； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （3）若命题“，”是假命题，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $