专题7.1 空间几何体的结构、表面积与体积（7题型+高考真题）专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以高考真题与分层题型为载体，系统整合空间几何体结构、表面积与体积的判定方法及运算技巧，强化空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |结构特征|4题|构建模型法、反例验证法|从平面图形到空间结构的转化| |表面积|7题|展开图法、组合体衔接处理|多面体与旋转体表面积公式的推导应用| |体积|7题|公式法、割补法、等体积法|规则与不规则几何体体积的转化计算| |直观图与展开图|7题|斜二测面积比、立体-平面转化|平面直观图与立体图形的互化逻辑| |最短路径|6题|侧面展开为平面线段最短|空间路径问题的平面化处理| |外接球|5题|球心定位法、半径计算|几何体与外接球的空间关系构建| |内切球|6题|相切关系转化、体积表面积关联|球与几何体的位置关系推理|

专题7-1 空间几何体的结构、表面积与体积 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.68 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】分别求出棱台的上底面面积和下底面面积，再根据棱台的体积公式求得该棱台的体积. 【详解】由题意，得棱台的上底面面积为， 下底面面积为， 所以该棱台的体积为. 2．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（    ）. A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、证明面面垂直、棱锥的结构特征和分类 【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面平面，可知平面，利用等体积法求点到面的距离. 【详解】如图，底面为正方形， 当相邻的棱长相等时，不妨设， 分别取的中点，连接， 则，且，平面， 可知平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 由题意可得：，则，即， 则，可得， 所以四棱锥的高为. 故选：D. 3．（2024·天津·高考真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可. 【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合， 因为，且两两之间距离为1．， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为， . 故选：C. 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（    ）． A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为 C． D．的面积为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、二面角的概念及辨析、由二面角大小求线段长度或距离、圆锥表面积的有关计算 【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性. 【详解】依题意，，，所以， A选项，圆锥的体积为，A选项正确； B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误； C选项，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，C选项正确； D选项，，所以，D选项错误. 故选：AC.    5．（2026·北京·高考真题）已知三棱锥，，，，则它的底面的面积为________，体积为________．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】先由底面三角形的边长求面积；再由，可知点在底面上的投影为的外心，由此求出三棱锥的高. 【详解】    法一：底面三角形中，，. 取中点，连接，则，. 在中，， 故底面面积. 由可知，点在底面上的投影为的外心. 在中，由余弦定理得， 且，故. 由正弦定理，的外接圆半径， 则高， 三棱锥的体积. 综上，底面面积为，体积为. 法二：在中，已知，. 由余弦定理得， 且，故，. 所以底面面积. 由可知，点在底面上的投影为的外心. 由正弦定理，的外接圆半径， 则高， 三棱锥的体积. 综上，底面面积为，体积为. 6．（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 【答案】 【难度】0.55 【知识点】多面体与球体内切外接问题、三角形面积公式及其应用 【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组求解. 【详解】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. 7．（2025·上海·高考真题）如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________．    【答案】 【难度】0.94 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】求出侧棱长和底面边长后可求体积. 【详解】因为且四边形为正方形，故， 而，故，故， 故所求体积为， 故答案为：. 8．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】球的截面的性质及计算、圆柱的结构特征辨析 【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径； 【详解】 圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即，， 故答案为：. 重难点题型1 空间几何体的结构特征 空间几何体结构特征的判断技巧： （1）紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． （2）说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可． 1．（2026·广西·模拟预测）如下图所示，“木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板，而不取决于构成木桶的长木板，这常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度．某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水．根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为4，若按照图②的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，过N的母线与水平面所成的角大小为45°，且MN为该椭圆水面的长轴．此时图②的盛水方式比图①的盛水方式多盛水的体积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.42 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】作出图②的轴截面，求出以木桶面为底面，以缺口最低处与桶口距离为高的圆柱的体积，然后可求出图②的方式盛水比图①盛水方式多盛的水体积. 【详解】由题意可知，图②的方式盛水比图①盛水方式多盛的水部分是以木桶底面为底面， 以缺口最低处与桶口距离为高的圆柱体积的一半. 作出图②的轴截面，如图所示： 因为左边缺口最低处和右侧桶口齐平，过的母线与水平面所成的角大小为， 所以，又，. 以木桶面为底面，以缺口最低处与桶口距离为高的圆柱的体积， 图②的方式盛水比图①盛水方式多盛的水的体积为. 2．（2026·海南三亚·一模）有一个3D打印的摆件可看成边长为6的正三角形挖去其内切圆，再以过该圆心与一顶点的直线为轴旋转一周，最后沿平行于底面且过圆心的平面截取，保留截面与底面间部分（如图所示），则该几何体的体积为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.64 【知识点】球的体积的有关计算、台体体积的有关计算、求旋转体的体积 【分析】根据等边三角形的几何性质分析球的半径以及圆台的结构特征，结合体积公式运算求解即可. 【详解】如图，为的中点，，    则等边的内切圆O的半径，，， 可知圆台的上、下底面半径分别为，高为， 所以该几何体的体积为. 3．（2026·山东聊城·二模）如图，在三棱柱中，底面，且，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为_________.    【答案】 【难度】0.42 【知识点】球的截面的性质及计算、点到平面距离的向量求法、多面体与球体内切外接问题 【分析】将三棱锥补成直三棱柱，由题设易得三棱锥的外接球的半径为，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离为，进而求解即可. 【详解】如图所示，将三棱锥补成直三棱柱， 分别取的中点，连接，取的中点，连接， 由底面，， 则分别为的外心，，， 由题意知，三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，为球心， 则外接球的半径为. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    易知，，， 则. 设平面的一个法向量为， 则，令，得，又， 所以点到平面的距离为， 则平面截三棱锥的外接球的截面圆的半径， 所以截面圆的面积为. 4．（2026·广西河池·模拟预测）如图，已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，且，则该棱台的体积为__________． 【答案】/ 【难度】0.42 【知识点】面面垂直证线面垂直、棱台的结构特征和分类、台体体积的有关计算 【分析】根据给定条件，结合正四棱台的结构特征求出该正四棱台的高，再求出其体积. 【详解】在正四棱台中，连接，取中点，连接， 由，得四边形为平行四边形， 则，而，于是， 则，由正四棱台的结构特征知平面平面， 平面，平面平面，得平面， 所以该棱台的体积. 重难点题型2 空间几何体的表面积 （1）多面体的表面积是各个面的面积之和． （2）旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和． （3）组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理． 1．（2026·北京朝阳·模拟预测）如图所示，经过正三棱柱底面一边，作与底面成角的平面，已知截面三角形的面积为32，且点是棱柱所在侧棱的中点，则棱柱的侧面积为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】正棱柱及其有关计算 【分析】作的高 连接，利用截面三角形的面积，求出底面棱长以及侧棱长，利用棱柱侧面积公式即可求解. 【详解】因为这个三棱柱是正三棱柱，所以是正三角形，且所在直线与所在的平面垂直，则,如图：    作的高CE，连接DE，则平面，而平面，所以， 所以是二面角 的平面角，，，， 用S表示的面积，则，， ， ， 因为点是棱柱所在侧棱的中点，所以侧棱长为， 所以正三棱柱的侧面积为 2．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则该圆台的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】圆台的结构特征辨析、圆台表面积的有关计算 【分析】根据已知条件结合图形求出圆台母线长，再利用圆台侧面积公式计算即可. 【详解】设圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，高为，如图所示： 则， 所以圆台的侧面积为. 3．（2026·山东日照·模拟预测）如图，圆台的下底面与圆柱的下底面重合，圆台的上底面与圆柱的上底面共面．已知圆台存在一个内切球（球与圆台的上、下底面及侧面均相切），该内切球的半径为2．在圆柱与圆台之间的空隙中，能放入的最大小球（与圆柱侧面、圆台侧面以及圆柱的上底面均相切）的半径为1，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.32 【知识点】圆台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】由题可得圆台的高,圆台的母线长，根据内切圆的半径公式化简可得，结合勾股定理化简可得，联立方程求出，利用圆台的侧面积公式求解. 【详解】已知圆台有内切球，且内切球半径为，因此圆台的高, 设圆台的上底面半径为，下底面半径为，根据圆台内切球的性质，圆台的母线长，且圆柱的底面半径等于圆台的下底面半径, 所以 空隙中最大小球的半径为，则内切圆的半径为， 所以，则， 由，化简得：， 联立：，解得：（负值舍去）； 所以圆台的上底面半径，圆台的下底面半径 所以圆台的侧面积 4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】球的截面的性质及计算、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】利用圆锥的体积公式求出圆锥的高，进而求出母线长，利用几何法求出球的半径，最后利用球的表面积公式求解． 【详解】已知圆锥底面半径，体积为，设圆锥的高为，则 ，解得， 设圆锥母线长为，则， 设圆锥内切球半径为，则截面图如下： 则，，， ，即， ， 该内切球的表面积为． 5．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.6 【知识点】圆台表面积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】根据球体内切于圆台的两个底面与侧面可知上下底面半径之和为圆台母线长，利用圆台侧面积公式、球体的表面积公式分别求出圆台的侧面积和球体表面积，再作比值即可. 【详解】由已知得球与圆台都是旋转体，则取过轴的任意一个截面来分析均可. 如图，于，则，， 由切线长相等可知，，， 所以， 故圆台侧面积， 再算球的半径，在中由勾股定理求解即可. 设球的半径为，则， 在中，，即， 所以球的表面积， 故该圆台的侧面积与球的表面积之比为． 6．（2026·山东青岛·三模）已知正四棱台的体积为，，，则该正四棱台的侧面积为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】台体体积的有关计算、棱台表面积的有关计算 【详解】设正四棱台的高为，斜高为， 由该正四棱台的体积为，得，解得， 因此，所以该正四棱台的侧面积为. 7．（2026·浙江金华·三模）已知一个圆台的轴截面为梯形，若，则该圆台的侧面积为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】圆台表面积的有关计算 【分析】根据题意得到圆台上下底面半径及母线长，再利用圆台侧面积公式求解． 【详解】 易知上底面圆的半径，下底面圆的半径， 母线长， 所以该圆台的侧面积． 重难点题型3 空间几何体的体积 求空间几何体的体积的常用方法 公式法 规则几何体的体积，直接利用公式 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 1．（2026·河北秦皇岛·二模）母线长相等的两个圆锥，侧面展开图的圆心角之和为，若它们的侧面积之比为，则体积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.55 【知识点】锥体体积的有关计算、弧长的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】由侧面积比得半径比，由侧面展开图圆心角之和及弧长公式得母线长等于两半径之和，联立解得半径，结合勾股定理求高，代入体积公式求比. 【详解】设两个圆锥的母线长都为，底面半径分别为，侧面展开圆心角分别为，高分别为. 圆锥侧面积公式为，已知，母线相等，因此，即. 侧面展开弧长等于底面周长，得，即. 已知，代入得， 结合，解得. 圆锥的高满足，因此， 圆锥体积公式，体积比为. 因此体积比为. 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，该正四棱台的体积为（    ） A．518 B． C．350 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正棱台及其有关计算、台体体积的有关计算 【分析】先根据正四棱台的几何特征求出高，再代入棱台体积公式计算即可． 【详解】求上下底面的对角线长度：正四棱台上下底面均为正方形，上底面边长为，故上底面对角线长为；下底面边长为，故下底面对角线长为； 上底面顶点在下底面的射影落在下底面的对角线上，可得侧棱在底面的投影长度为； 已知侧棱长为，由勾股定理得棱台的高； 计算体积： 上底面面积，下底面面积， 代入棱台体积公式 ． 3．（2026·陕西西安·三模）已知一圆台上底面直径为，下底面半径为，母线长为上底面半径的二倍，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】圆台的结构特征辨析、台体体积的有关计算 【分析】先根据题干条件求出圆台的上下底面半径、母线长，再通过勾股定理计算圆台的高，最后代入圆台体积公式求解即可. 【详解】已知一圆台上底面直径为，则半径，下底面半径为，即，母线， 圆台的轴截面如图所示，其中，， 由题意可知圆台的高， 则根据圆台的体积公式得圆台的体积，故D正确. 4．（2026·吉林·三模）已知圆柱和圆锥的高均为3，侧面积之比为，底面半径之比为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】锥体体积的有关计算、圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【详解】设圆锥、圆柱的底面半径为，，则圆锥的母线长为， 则圆锥、圆柱的侧面积分别为、， 则，得，则圆锥的体积为. 5．（2026·山西忻州·模拟预测）一个五面体满足，且这三条平行线两两之间的距离均为1.已知，，，则该五面体的体积为________________. 【答案】 【难度】0.35 【知识点】柱体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】采用“补形法”，将五面体补为三棱柱，通过三棱柱的体积和五面体体积的关系，计算体积. 【详解】用一个完全相同的五面体和已有的五面体拼接，拼接为一个三棱柱， 因为，且两两之间的距离均为1，且，，， 故该三棱柱与侧棱垂直的截面为边长为1的等边三角形，且侧棱长为， 因此. 6．（2026·广东广州·三模）在正四棱台中，，若侧面与底面的夹角为，则该四棱台的体积为__________. 【答案】 【难度】0.55 【知识点】正棱台及其有关计算、求二面角、台体体积的有关计算 【分析】根据题意，证得平面，得到，由侧面与底面的夹角为，得到，结合，求得，结合棱台的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，设正四棱台的上、下底面中心分别为，连接，则平面， 取的中点，连接， 可得，且， 过作交于，则平面， 又因为平面，则， 因为，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 由侧面与底面的夹角为，则， 又因为，则，， 由，得到，即， 又由且， 所以四棱台的体积为. 7．（2026·西藏日喀则·模拟预测）如图，在多面体中，平面，，，，则多面体的体积为_________． 【答案】1 【难度】0.55 【知识点】锥体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】结合题干给出的线面垂直关系与各棱长条件，采用补形法将多面体补为长方体，通过长方体体积减去多余的三个三棱锥的体积，计算得到目标多面体的体积。 【详解】根据多面体的结构特征，将其补成长方体，所以多面体的体积为 ． 重难点题型4 空间几何体的直观图与展开图 （1）斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：． （2）多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状． 1．（2025·河南·三模）某公司研发的一不规则益智玩具如下图所示，其配套的玩具收纳箱表面有不同形状的孔洞，可以通过旋转严丝合缝地将玩具通过孔洞塞进收纳箱中，则以下四个形状的孔洞不会出现在该玩具收纳箱的表面的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【难度】0.85 【知识点】几何体三视图的概念及辨析 【分析】由题意可知若玩具在水平面上的投影形状通过旋转可与选项中孔洞的形状相同，则该玩具可以通过旋转严丝合缝地通过孔洞塞入收纳箱中，由此可以判断各个选项正误. 【详解】由题意在玩具旋转过程中，若其在水平面上的投影形状与孔洞的形状相同， 则该玩具可以通过旋转严丝合缝地通过孔洞塞入收纳箱中， 将A，B，C选项中三个形状的孔洞以如图所示形式摆放，可以得到形状相同的结果， 此时图示玩具可以通过旋转严丝合缝地塞入.    对于D选项，无法找到合适的情况使其可以严丝合缝地塞入，故其不会出现在该玩具收纳箱的表面. 故选：D. 2．（24-25高三下·重庆·阶段检测）已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、锥体体积的有关计算 【分析】利用直观图和原图面积关系求出底面积，结合正三棱锥体积公式建立方程，求解高即可. 【详解】设底面三角形面积为，三棱锥的高为， 由直观图的性质得，解得， 因为正三棱锥的体积为，所以，解得，故A正确. 故选：A 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（    ）    A． B． C．24 D．48 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】由直观图得到平面图形，再求出相应的线段长，最后由面积公式计算可得. 【详解】由直观图可得如下平面图形： 其中，，，轴，且， 所以. 故选：D    4．一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】异面直线的判定、棱柱及其有关计算 【分析】将正方体的展开图还原，即可根据正方体的性质逐一求解. 【详解】以所在平面作为下底面还原，还原成如图所示的正方体， 由图可得与异面，A错误． 显然B正确． 与异面，C错误． 连接，则为等边三角形，D错误．    5．（2026·上海长宁·二模）将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】棱锥的展开图、棱锥的结构特征和分类 【详解】该几何体上的点是一条棱的两端点.对于A，C，D项，在折叠时，这两点会被带到几何体的两个不同顶点，所有面可以无重叠地闭合，形成完整的双三棱锥. 而对于B，折叠后，点和点是相对的两个顶点. 6．（2026·山东·一模）水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于______．    【答案】4 【难度】0.75 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算、斜二测画法辨析、斜二测法画平面图形的直观图 【详解】由题意知， 则， 为直角三角形，，高， ． 7．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 则原图形的面积为________. 【答案】 【难度】0.87 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【详解】在直观图中，， 直观图面积， 原图形面积. 重难点题型5 最短路径问题 此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题． 1．在正方体中，，P、Q分别为棱，BC的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】将正方体沿着不同的方向展开，得到展开图，化曲（折）为直，再利用勾股定理计算可得. 【详解】如图，在正方体中，P、Q分别为棱，BC的中点， 按照下列方式展开，； 按照下列方式展开，； 按照下列方式展开，. 综上所述，最短路径. 故选：D. 2．如图，某圆柱体的高为，是该圆柱体的轴截面.已知从点出发沿着圆柱体的侧面到点的路径中，最短路径的长度为，则该圆柱体的体积是（    ）    A．3 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】柱体体积的有关计算、圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】根据圆柱侧面展开图，先求出圆柱底面半径，再根据体积公式求圆柱体的体积. 【详解】    设圆柱体底面圆的半径为，将侧面展开后四边形为矩形， 则依题意得：， 所以，即， 所以该圆柱体的体积为：， 故选：D. 3．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，关于的对称点为，则的最小值为，计算得到答案. 【详解】如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，关于的对称点为， 则的最小值为，易知，，故. 故选：. 【点睛】本题考查了立体几何中的最短距离问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 4．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】图形的性质、图形的变化 【分析】求出圆锥的底面圆的周长，再求圆锥的侧面展开图的圆心角的大小，结合展开图求结论. 【详解】由已知，圆锥的底面圆的半径为，所以底面圆的周长为， 设圆锥的侧面展开后的扇形的圆心角为， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得， 解得：，所以展开图中， 由勾股定理可得， 所以该蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点的最短路径长是， 故答案为： 5．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4.已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】利用侧面展开结合图形求解最短距离. 【详解】P为圆台母线AB的中点，分别为上下底面的圆心，把圆台扩成圆锥，如图所示， 则，，， 由，有，，， 圆锥底面半径，底面圆的周长为，母线长， 所以侧面展开图的扇形的圆心角为，即，如图所示， 质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P， 连接，，，有. 此时点到的距离为，则运动的最短路径为展开图中弦， 所以该质点运动的最短路径长为. 故答案为：. 6．某迷宫隧道猫爬架如图所示，，C为一个长方体的两个顶点，，是边长为3米的大正方形的两个顶点，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小猫从点沿着图中的线段爬到点，再从点沿着长方体的棱爬到点，则小猫从点爬到点可以选择的最短路径共有_______________条.    【答案】 【难度】0.85 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】应用乘法原理计算即可. 【详解】小猫要从点爬到点，需要先从点爬到点，需要走3横3竖，则可选的路径共有条， 再从点爬到点的路径共6条，用分步乘法计数原理可得小猫可以选择的最短路径有20×6=120条. 故答案为：120. 重难点题型6 空间几何体的外接球问题 1．（2026·四川自贡·模拟预测）已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.8 【知识点】圆锥中截面的有关计算、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【详解】由题意得：正三角形内切圆半径，就是圆锥内切球的半径， 且边长为4的正三角形内切圆半径为：， 所以圆锥内切球的表面积为：. 2．已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】根据给定条件，利用圆台的结构特征，结合球的截面圆性质列式求出球半径，再求出球的表面积. 【详解】设球的半径为，球心到上底面圆距离为，而球心在圆台两底面圆圆心确定的直线上， 则球心到下底面圆距离为，因此，解得， 所以球O的表面积为. 3．（2026·陕西西安·模拟预测）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形，，，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.55 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】取中点，判断点到三棱锥的距离都相等，得到外接球半径，代入求解即可. 【详解】 因为为等边三角形，所以. 在等腰中，，则. 在中，，，， 则，所以. 同理可得，. 取中点，连接，. 在中，有；在中，有， 则点到三棱锥的距离都相等，则点即为三棱锥的外接球的球心， 显然，的外接球的半径为. 所以球的表面积. 4．（2026·云南·模拟预测）已知正六棱锥的侧面积为，，则该正六棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【难度】0.55 【知识点】棱锥表面积的有关计算、正棱锥及其有关计算、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】根据正六棱锥的性质结合勾股定理求出外接球半径，代入球的表面积公式求解即可. 【详解】如图， 设为底面正六边形的中心，为的中点，连接，，. 设为正六棱锥外接球的球心. 由题意知为等腰三角形，因为正六棱锥的侧面积为， 所以，解得，所以， 因为为正六边形，为底面中心，所以， 所以. 设，所以，所以，解得. 所以正六棱锥外接球的表面积为． 5．（2025·河北邯郸·一模）已知三棱锥中，，为的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】取线段的中点，根据长度关系求出点为三棱锥的外接球球心，再根据的关系求出的最小值即可. 【详解】取线段的中点，连接， 因，，， 则由勾股定理可知，，，则， 则点为三棱锥的外接球球心，外接球半径为 因，则由勾股定理可知，， 因为的中点，则， 设球心到过点的三棱锥外接球的截面的距离为，截面圆的半径为， 则， 欲使截面面积最小，即最小，则要求最大， 当垂直截面时，最大，最大值为， 则的最小值为，则截面面积的最小值为. 故答案为： 重难点题型7 空间几何体的内切球问题 1．（24-25高三下·重庆渝中·阶段检测）已知高为 4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】圆台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】借助圆台轴截面及内切圆的性质，求出圆台的两底半径及母线长，进而求得表面积. 【详解】依题意，圆台的轴截面截其内切球得球的大圆，且该大圆是圆台轴截面等腰梯形的内切圆， 等腰梯形为圆台轴截面，其内切圆与梯形切于点， 其中分别为上、下底面圆心，如图， 设圆台上底半径为，则下底半径为，， 而等腰梯形的高，因此，解得， 所以该圆台的表面积为. 故选：D 2．（24-25高三上·天津·期末）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为，则下列说法正确的是（    ） A．正八面体的体积为 B．正八面体的表面积为 C．正八面体的外接球体积为 D．正八面体的内切球表面积为 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】把正八面体补形为正方体，求得正方体的棱长为，利用正八面体和正方体的关系即可求解. 【详解】 把正八面体补形为如图所示正方体，因为正八面体棱长为，则正方体的棱长为 选项A，正八面体的体积，设四棱锥的高为， 则，所以，A错误； 选项B，正八面体的表面积为八个面面积和，故，B错误； 选项C，正八面体的外接球半径为正方体棱长的一半，故， 所以外接球体积，C错误； 选项D，设内切球半径为，则根据正八面体体积相等，， 所以所以内切球表面积为.D正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：补形法是解决正多面体的体积表面积外接球内切球问题的常用方法，本题把正多面体补形为正方体，找到正多面体和正方体的关系，利用正方体和正多面体的棱长的关系，即可解决所求正多面体的体积表面积外接球和内切球问题. 3．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）如图，圆锥的底面半径为，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】画出轴截面，根据列方程求解即可. 【详解】画出圆锥的轴截面如图    设内切球的球心为，半径为， 则，， 所以， 又， 即， 解得， 故选：B. 4．（2024·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.15 【知识点】面面垂直证线面垂直、锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】过点作出四棱锥的内切球截面大圆，确定球半径表达式，再借助四棱锥体积求出球半径计算作答. 【详解】如图，取中点，中点，连接，，， 因是正三角形，则，又是矩形，有， 而平面平面，平面平面，平面，平面， 因此平面，平面， 又，则平面，平面，则，， ，平面，则平面，又平面， 所以，而，则，显然， 由球的对称性和正四棱锥的特征知，平面截四棱锥的内切球得截面大圆， 此圆是的内切圆，切，分别于，，有四边形为正方形， 设，又，，则球的半径， 又四棱锥的表面积为， 由得： ， 即， 故即，解得， 故， ，， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是过点作出四棱锥的内切球截面大圆，利用等体积法求出内切球半径和. 5．（24-25高三上·河北保定·开学考试）如图，已知球内切于圆台（即球与该圆台的上､下底面以及侧面均相切），且圆台的上､下底面半径，则球与圆台侧面的切痕所在平面分圆台上下两部分体积比为__________.    【答案】 【难度】0.65 【知识点】台体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】作出该几何体的轴截面，利用平面几何知识，分别计算出切痕所在平面圆的半径和上下两个圆台的高和，即可代入圆台体积公式计算即得. 【详解】    如图为该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上､下底分别切于点， 圆台上､下底面的半径为.则. ，于是，在直角梯形中，易得 ，则， 设与交于点，则， ， . 故圆台体积为， 圆台体积为， 故切痕所在平面分圆台上下两部分体积比为. 故答案为：. 6．如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为____ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】把正四面体分割成以内切球球心为顶点的4个小三棱锥，利用等体积法求出内切球半径，进一步计算即可. 【详解】如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为3，高为，的中点为， 连接，，，，，， 由 则， 正四面体的高. 因为，所以， 所以； 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高，同理； 故该模型中5个球的表面积之和为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于借助等体积求出大球，小球的半径，由此结合表面积公式即可求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7-1 空间几何体的结构、表面积与体积 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为（     ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（    ）. A．1 B．2 C． D． 3．（2024·天津·高考真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（    ）． A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为 C． D．的面积为 5．（2026·北京·高考真题）已知三棱锥，，，，则它的底面的面积为________，体积为________．    6．（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 7．（2025·上海·高考真题）如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________．    8．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 重难点题型1 空间几何体的结构特征 空间几何体结构特征的判断技巧： （1）紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． （2）说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可． 1．（2026·广西·模拟预测）如下图所示，“木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板，而不取决于构成木桶的长木板，这常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度．某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水．根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为4，若按照图②的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，过N的母线与水平面所成的角大小为45°，且MN为该椭圆水面的长轴．此时图②的盛水方式比图①的盛水方式多盛水的体积为（    ）． A． B． C． D． 2．（2026·海南三亚·一模）有一个3D打印的摆件可看成边长为6的正三角形挖去其内切圆，再以过该圆心与一顶点的直线为轴旋转一周，最后沿平行于底面且过圆心的平面截取，保留截面与底面间部分（如图所示），则该几何体的体积为（     ）    A． B． C． D． 3．（2026·山东聊城·二模）如图，在三棱柱中，底面，且，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为_________.    4．（2026·广西河池·模拟预测）如图，已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，且，则该棱台的体积为__________． 重难点题型2 空间几何体的表面积 （1）多面体的表面积是各个面的面积之和． （2）旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和． （3）组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理． 1．（2026·北京朝阳·模拟预测）如图所示，经过正三棱柱底面一边，作与底面成角的平面，已知截面三角形的面积为32，且点是棱柱所在侧棱的中点，则棱柱的侧面积为（     ）    A． B． C． D． 2．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则该圆台的侧面积为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·山东日照·模拟预测）如图，圆台的下底面与圆柱的下底面重合，圆台的上底面与圆柱的上底面共面．已知圆台存在一个内切球（球与圆台的上、下底面及侧面均相切），该内切球的半径为2．在圆柱与圆台之间的空隙中，能放入的最大小球（与圆柱侧面、圆台侧面以及圆柱的上底面均相切）的半径为1，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·山东青岛·三模）已知正四棱台的体积为，，，则该正四棱台的侧面积为__________． 7．（2026·浙江金华·三模）已知一个圆台的轴截面为梯形，若，则该圆台的侧面积为______． 重难点题型3 空间几何体的体积 求空间几何体的体积的常用方法 公式法 规则几何体的体积，直接利用公式 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 1．（2026·河北秦皇岛·二模）母线长相等的两个圆锥，侧面展开图的圆心角之和为，若它们的侧面积之比为，则体积比为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，该正四棱台的体积为（    ） A．518 B． C．350 D． 3．（2026·陕西西安·三模）已知一圆台上底面直径为，下底面半径为，母线长为上底面半径的二倍，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·吉林·三模）已知圆柱和圆锥的高均为3，侧面积之比为，底面半径之比为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山西忻州·模拟预测）一个五面体满足，且这三条平行线两两之间的距离均为1.已知，，，则该五面体的体积为________________. 6．（2026·广东广州·三模）在正四棱台中，，若侧面与底面的夹角为，则该四棱台的体积为__________. 7．（2026·西藏日喀则·模拟预测）如图，在多面体中，平面，，，，则多面体的体积为_________． 重难点题型4 空间几何体的直观图与展开图 （1）斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：． （2）多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状． 1．（2025·河南·三模）某公司研发的一不规则益智玩具如下图所示，其配套的玩具收纳箱表面有不同形状的孔洞，可以通过旋转严丝合缝地将玩具通过孔洞塞进收纳箱中，则以下四个形状的孔洞不会出现在该玩具收纳箱的表面的是（    ）    A．   B．   C．   D．   2．（24-25高三下·重庆·阶段检测）已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（    ）    A． B． C．24 D．48 4．一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则（   ）    A． B． C． D． 5．（2026·上海长宁·二模）将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是（    ）. A． B． C． D． 6．（2026·山东·一模）水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于______．    7．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 则原图形的面积为________. 重难点题型5 最短路径问题 此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题． 1．在正方体中，，P、Q分别为棱，BC的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为（    ） A． B． C．3 D． 2．如图，某圆柱体的高为，是该圆柱体的轴截面.已知从点出发沿着圆柱体的侧面到点的路径中，最短路径的长度为，则该圆柱体的体积是（    ）    A．3 B． C． D． 3．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（    ） A． B． C． D． 4．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是______． 5．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4.已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为_____. 6．某迷宫隧道猫爬架如图所示，，C为一个长方体的两个顶点，，是边长为3米的大正方形的两个顶点，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小猫从点沿着图中的线段爬到点，再从点沿着长方体的棱爬到点，则小猫从点爬到点可以选择的最短路径共有_______________条.    重难点题型6 空间几何体的外接球问题 1．（2026·四川自贡·模拟预测）已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形，，，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·云南·模拟预测）已知正六棱锥的侧面积为，，则该正六棱锥外接球的表面积为______． 5．（2025·河北邯郸·一模）已知三棱锥中，，为的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为______. 重难点题型7 空间几何体的内切球问题 1．（24-25高三下·重庆渝中·阶段检测）已知高为 4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·天津·期末）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为，则下列说法正确的是（    ） A．正八面体的体积为 B．正八面体的表面积为 C．正八面体的外接球体积为 D．正八面体的内切球表面积为 3．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）如图，圆锥的底面半径为，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·河北保定·开学考试）如图，已知球内切于圆台（即球与该圆台的上､下底面以及侧面均相切），且圆台的上､下底面半径，则球与圆台侧面的切痕所在平面分圆台上下两部分体积比为__________.    6．如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为____ 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $