第七章 课时作业2 空间几何体的表面积与体积-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦空间几何体表面积与体积计算，覆盖基本几何体及组合体，通过真题与模拟题构建从公式应用到实际建模的知识逻辑链，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本几何体|单选1-2、多选7|公式直接应用，圆柱圆锥关系|从底面半径、母线长等基本量推导表面积体积公式| |组合体|单选4、6、填空12|陀螺、双耳罐等组合结构|分解为基本几何体，叠加表面积体积计算| |综合应用|单选3、5、解答14|结合二面角、线面垂直求体积侧面积|空间几何元素与度量公式融合，体现逻辑推理|

课时2 空间几何体的表面积与体积 一、单选题 1．已知圆锥的表面积为12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　 　) A．1cm B．2cm C．3cm D． cm 2、（2024·新高考全国I卷） 已知一个圆柱和圆锥的底面半径圆相等，侧面积相等，且它们的高均为，则改圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 3．(2026·河北邢台市质检)正四棱台中，上底面边长为2，下底面边长为4，若侧面与底面所成的二面角为60°，则该正四棱台的侧面积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 4．(2026·云南玉溪市期末)陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示为一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积(单位：)是（   ）    A． B． C． D． 5．在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该三棱锥的体积为(　 　) A．1　 B． C．2　 D．3 6．(2026·山西临汾市模拟)宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图(1)，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图(2)所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12cm，中间圆的直径是20cm，上底面圆的直径是8cm，高是14cm，且上、下两圆台的高之比是3∶4，则该汝窑双耳罐的体积是(　 　) 图① 图② A． cm3 B． cm3 C． cm3 D． cm3 二、多选题 7．已知一个圆柱的底面直径为2，其侧面展开图为一个正方形，则有（ ） A．该圆柱的母线长为 B．该圆柱的侧面积为 C．该圆柱的体积为 D．该圆柱的表面积为 8．如图，四边形为正方形，平面，，．记三棱锥，，的体积分别为，，，则有　　 A． B． C． D． 9、在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，AA1＝2，则关于该正四棱台，下列说法正确的有(　 　) A．∠A1AB＝　 B．高为 C．体积为　 D．表面积为12 三、填空题 10、（2026秋·上海高考）如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的体积为　 　 ． 11、在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为(　 　) 12、　(2024·九省联考)若轴截面为等边三角形的圆锥MM′的高与球O的直径相等，则圆锥MM′的体积与球O的体积的比值是__ _，圆锥MM′的表面积与球O的表面积的比值是__ __． 四、解答题 13．如图，在正方体中，棱长，过点的平面与正方体的面相交，交线围成一个等边三角形． （1）在图中作出这个等边三角形（不必说明画法和理由）； （2）平面将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表面积． 14．如图，在四棱锥中，已知，且． （1）证明：平面平面； （2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积． 课时2 空间几何体的表面积与体积参考答案 1．B【解析】设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l.因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2(cm)．故选B. 2、B【解析】设圆柱的底面圆半径为，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以即，故，故圆锥的体积为.故选B. 3．C【解析】如图： 取棱的中点，作截面，则，为正四棱台的斜高.在等腰梯形中，易知，，，所以.所以四棱台的侧面积为.故选C. 4．A【解析】由题意可知：圆锥的母线长为，所以这个陀螺的表面积是.故选A. 5．A【解析】如图，取AB中点E，连接PE，CE．因为△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，所以PE⊥AB，CE⊥AB．又PE，CE⊂平面PEC，PE∩CE＝E，所以AB⊥平面PEC．又PE＝CE＝2×＝，PC＝，所以PC2＝PE2＋CE2，即PE⊥CE，所以V＝VB－PEC＋VA－PEC＝S△PEC·AB＝××××2＝1．故选A. 6．D【解析】上、下两圆台的高之比是3∶4，故上圆台的高为14×＝6(cm)，下圆台的高为14×＝8(cm)，故上圆台的体积为V1＝6×＝312π(cm3)，下圆台的体积为V2＝8×＝(cm3)，故该汝窑双耳罐的体积为V1＋V2＝312π＋＝(cm3)．故选D. 7．BC【解析】设底面圆半径为r，母线长为l.因为圆柱的底面圆直径为2，所以r =1.又其侧面展开图为一个正方形，所以母线长为，圆柱的侧面积为，圆柱的体积为，圆柱的表面积为.故选BC. 8．CD【解析】设，则，.如图所示. 连接，交于点，连接，则，，.故，.C，D正确，A，B错误．故选CD． 9、 BC【解析】如图，过点A1分别作底面ABCD，AB的垂线，垂足分别为M，N，则AM＝AC＝，AN＝AB＝1，可得A1M＝＝，A1N＝＝．对于选项A，在Rt△AA1N中，sin∠A1AN＝＝，且∠A1AN为锐角，则∠A1AB＝，故A错误； 对于选项B，正四棱台的高即为A1M＝，故B正确； 对于选项C，正四棱台的体积V＝×(4×4＋2×2＋)×＝，故C正确； 对于选项D，四棱台的表面积S＝4×4＋2×2＋4×＝20＋12，故D错误．故选BC. 10、112【解析】由题知，底面为正方形，所以，所以.因为四棱柱为正四棱柱，所以底面.因为底面，所以，所以，所以，所以该正四棱柱的体积为． 11、【解析】设圆柱和圆锥底面圆半径分别为r，R.因为圆锥轴截面顶角为直角，所以圆锥母线长为R．设圆柱高为h，则＝，h＝R－r．由题得π×R×R＝2πr2＋2πr×(R－r)，得＝． 12、；1【解析】设圆锥MM′的底面圆半径为r，球O的半径为R.因为圆锥MM′的轴截面为等边三角形，所以圆锥MM′的高h＝r，母线l＝2r，圆锥MM′的体积V1＝πr2h＝πr3．由题可知h＝2R，所以球O的半径R＝r，球O的体积V2＝R3＝π×3＝πr3，所以＝＝．圆锥MM′的表面积S1＝πrl＋πr2＝3πr2，球O的表面积S2＝4πR2＝4π×2＝3πr2，所以＝＝1． 13．【解】（1）连接，则△A1BD为所求三角形（做法不唯一），如图所示. （2）平面将正方体截成三棱锥和多面体两部分， ，，因此体积较大的几何体是多面体，其体积为.由，得.又，，故多面体的表面积为． 14．（1）【证明】在四棱锥中，，所以，，又，所以.又，PA,PD平面PAD,所以平面.平面，平面平面． （2） 【解】 设，取中点，连结.因为，，平面平面，所以底面，且，.又四棱锥的体积为，由平面，得，所以，解得，所以，，，所以，则该四棱锥的侧面积： ． . 学科网（北京）股份有限公司 $