13.3 三角形的内角与外角同步练习2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、中档应用、综合探究三层设计，覆盖三角形内角与外角核心知识点，从概念理解到实际应用梯度清晰，适配新授课分层教学，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|内角和定理、基本性质|如填空9直接考查定理，选择6辨析假命题，强化概念理解| |中档应用|平行线/角平分线/折叠与内角和结合|如选择3结合角平分线计算角度，填空10利用平行线性质，提升运算能力| |综合探究|动态问题、实际情境、证明探究|如解答17探究平行线与外角关系，填空11动态折叠分类讨论，发展推理与创新意识|

13.3 三角形的内角与外角 同步练习2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，，点E在上，，以下四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 2．如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 3．如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，点，分别是，上的点，将沿折叠，使得点落在点处，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在五角星ABCDE中，（    ） A． B． C． D． 6．下列命题中，属于假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C．三角形的内角和是 D．两点之间，线段最短 7．一个三角形的两个内角分别为和，且，则这个三角形是（    ）三角形 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 8．如图是某种可调节躺椅的示意图，与的交点为，按规定，，时才合格．而且为了舒适，可以根据需求调整大小，调整时，，保持不变．嘉琪躺在躺椅上时，测得，，关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：该躺椅合格； 结论Ⅱ：若的度数减少，的度数会增加． A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 二、填空题 9．三角形内角和定理：三角形内角和等于_______． 10．如图，有一块含30°的直角三角板，两个顶点放在一张长方形纸片的对边上．若，则的度数为______． 11．在中，，点，分别是，边两个动点．将沿折叠得到，点的对应点为点，的平分线交直线于点．若边与的一条边平行，，则的度数为______． 12．中，是锐角，与的平分线交于点D，过A作交的延长线于点E．当是直角三角形，且与中有一个锐角相等时，的度数是________． 13．凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜，如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线交于点，点为焦点，若，，则的度数是______． 三、解答题 14．证明：三角形的内角和等于． 已知：如图，． 求证：___________． 证明： 15．如图，把沿EF折叠，使点A落在点D处．    (1)若，则的度数为______°； (2)若，试判断与的数量关系，并说明理由． 16．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 17．如图1，，点D，点C分别在射线上，连接，已知． (1)试说明：； (2)如图2，连接AC，作，交于点E，请判断与之间的数量关系，并说明理由． 18．如图，，平分，平分，．求的度数． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A C C B C C 1．【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角的定义、三角形内角和． 根据邻补角的定义求出即可判断①； 根据平行线的性质及等量代换即可判断②； 根据平行线的性质和邻补角的定义即可判断③； 根据三角形内角和求出，再根据平行线的性质及等量代换即可判断④． 【详解】解： ， ，故①成立； ，故②不一定成立； ，故③成立； 由①知， ，故④成立； 故选D． 2．【答案】B 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解的度数，的度数，再利用平行线的性质可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．【答案】A 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】该题考查了三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，结合角平分线求出，根据三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．【答案】C 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题主要考查折叠的性质和三角形定理，由折叠得，求出，由可得结论． 【详解】解：由折叠得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【详解】解：如图，， ∵， ∴. 6．【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、对顶角相等、判断命题真假、三角形内角和定理的应用 【详解】解：∵对顶角相等是对顶角的基本性质，∴A是真命题； ∵只有两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等，本选项未说明两条直线平行，∴B是假命题； ∵三角形内角和定理表明三角形的内角和为180°，∴C是真命题； ∵两点之间线段最短是几何基本事实，∴D是真命题． 7．【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了三角形内角和定理及三角形的分类．利用三角形内角和定理，根据已知条件推导第三个角的大小，从而判断三角形类型． 【详解】解：∵三角形内角和为， 第三个角， ， ， ，即三角形有一个钝角， ∴这个三角形是钝角三角形． 故选：C． 8．【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键． 根据三角形内角和定理和三角形外角的性质逐项判断即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ，， ， 按规定，，， ， 该躺椅不合格， 故结论Ⅰ不正确； ， ， 若的度数减少，的度数也会减少， 故结论Ⅱ不正确； 综上，结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 故选：C ． 9．【答案】180° 【知识点】三角形内角和定理的证明 【解析】略 10．【答案】29° 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】根据平行线的性质求出∠AGF，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵AB∥CD，∠1=31°， ∴∠AGF=∠1=31°， ∵∠E=90°，∠EFG=30°， ∴∠2=180°-∠E-∠EFG-∠AGF=180°-90°-30°-31°=29°， 故答案为：29°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠AGF的度数，注意：两直线平行，内错角相等． 11．【答案】或或 【知识点】角平分线的有关计算、三角形折叠中的角度问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了角平分线的有关计算、三角形内角和定理及平行线的性质．分三种情况，分别作出三种情况下相应图形，并结合平行线的性质求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①如下图： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； ②如下图： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； ③如下图： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：或或． 12．【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查直角三角形的性质，画出图形并熟练运用角平分线的定义是本题的关键．根据题意，画出°和两种三角形，利用角平分线的定义表示出相关角的数量关系，设，每个图形分两种情况讨论，根据三角形外角的性质表示出，列方程求出x的值，即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当时， 设，则， 与的平分线交于点D， ，， ①当时， ， ； ②当时， ，， ， ， ； 如图2所示，当时， 设，则， 与的平分线交于点D， ，， ， ， ， ， ； 综上，或． 故答案为：或． 13．【答案】/155度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，根据三角形的外角性质求得，再根据平行线的性质求得的度数． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．【答案】，证明见解析 【知识点】三角形内角和定理的证明、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明、平行线性质等知识点，正确作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 根据图形以及三角形内角和定理写成求证；如图，过点作，根据平行线性质得出，再根据平角的定义以及等量代换即可解答． 【详解】解：求证：． 证明：如图，过点作， ， （两直线平行，内错角相等）， （平角的定义）， （等量代换）． 15．【答案】(1)100 (2).理由见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形折叠中的角度问题 【分析】（1）运用折叠的性质及四边形的内角和定理即可解决问题； （2）由折叠得，再根据平行线的性质得到，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）∵, ∴. ∵是由翻折得到, ∴. ∴. ∵, ∴， 故答案为：. （2）.理由如下: ∵是由翻折得到， ∴. ∵, ∴. ∴. 【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 16．【答案】 证明：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】略 17．【答案】(1) 证明：， ， ， ， ． (2) ， 证明：， ， ， ， 是的外角， ． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，： （1）根据，可得，从而得到，即可求证； （2）根据，可得，从而得到，再由三角形外角的性质，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 18．【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 如图，连接，首先根据三角形内角和定理求出，然后结合平行线的性质得到，然后利用角平分线的概念得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分，平分， ∴， ∴ ∴ ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $