第6章 概率的进一步认识 单元检测 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学概率单元检测卷，以生活、科技、文化情境为载体，覆盖概率计算、频率估计概率等核心知识，通过基础到综合题梯度设计，培养运算能力与数据意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题/36分|两步事件概率、古典概型|结合“天问”“九章”科技素材，《对子歌》文化情境| |填空题|6题/18分|频率估计概率、随机分组概率|通过摸球实验、电路开关等真实情境，渗透数据意识| |解答题|7题/46分|树状图/列表法、统计与概率综合|“田忌赛马”策略分析、睡眠调查统计，体现推理能力与数学语言表达|

第6章 概率的进一步认识 单元检测 一、单选题 1．妙妙上学经过两个路口，如果每个路口可直接通过和需等待的可能性相等，那么妙妙上学时在这两个路口都直接通过的概率是（　　） A． B． C． D． 2．学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（　　） A． B． C． D． 3．同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（　　） A． B． C． D． 4．现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（　　） A． B． C． D． 5．小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（　　） A． B． C． D． 6．工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男工人的概率为（　　） A． B． C． D． 7．有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数.将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是（　　） A． B． C． D． 8．某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等。某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（　　） A． B． C． D． 9．经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为（　　） A． B． C． D． 10．柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（　　） A． B． C． D． 11．有一首《对子歌》中唱到：天对地，雨对风，大陆对长空.现将“天，雨，大，空”四个字书写在材质、大小完全相同的卡片上，在暗箱搅匀后，随机抽取两张，恰为“天”、“空”二字的概率为（　　） A． B． C． D． 12．如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程.整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是　 　（填“黑球”或“白球”）. 14．贵阳市2025年中考物理实验操作技能测试中，要求学生两人一组合作进行，并随机抽签决定分组.有甲、乙、丙、丁四位同学参加测试，则甲、乙两位同学分到同一组的概率是　 　. 15．从-1， ，2中任取两个不同的数作积，则所得积的中位数是　 　. 16．不透明的布袋中有红､黄､蓝3种只是颜色不同的钢笔各1支，先从中摸出1支，记录下它的颜色，将它放回布袋并搅匀，再从中随机摸出1支，记录下颜色，那么这两次摸出的钢笔为红色､黄色各一支的概率为　 　. 17．我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和如图1， 是该三角形的顺序旋转和， 是该三角形的逆序旋转和.已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是　 　. 18．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关 ， ， 中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是　 　． 三、解答题 19．如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子， 分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口 处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内.用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率. 20．第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球．这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率． 21．如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y．请用树状图或列表法求点 落在平面直角坐标系第一象限内的概率． 22．小华有三张卡片，小明有两张卡片，卡片除正面上的数字不同外其它都相同，卡片上的数字如图所示．小华从自己的三张卡片中随机抽取一张，之后小明也从自己的两张卡片中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张卡片上的数字和为7的概率． 23．某中学举行“中国梦•我的梦”演讲比赛．九年级（1）班的小明和小刚都想参加．现设计了如下游戏规则：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去，这个游戏规则是否公平？并说明理由． 24．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒.该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马 ，田忌也有上、中、下三匹马 ，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下： （注： 表示A马与B马比赛，A马获胜）.一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（ ）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例. 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率. 25．学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长 （单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（A： ；B： ；C： ；D： ），并绘制成如下两幅不完整的统计图. 根据以上信息，解答下列问题： （1）小明一共抽样调查了　 　名同学；在扇形统计图中，表示D组的扇形圆心角的度数为　 　； （2）将条形统计图补充完整； （3）小明所在学校共有I400名学生，估计该校最近一周大约有多少名学生睡眠时长不足8小时? （4）A组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和I名女生的概率. 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意画树形图得， 由树形图得共有4种等可能性，其中在这两个路口都直接通过的概率是P= ． 故答案为：A 【分析】根据题意先画出树状图得出所有等可能的结果数和在这两个路口都直接通过的结果数，再根据概率公式即可得出答案。 2．【答案】C 【解析】【解答】解：画树状图如图： 共有12种等可能的结果，恰好选出是一男一女两位选手的结果有8种，俗好选出是一男一女两位选手的概率为 . 故答案为：C. 【分析】由题意画出树状图，由树状图的信息可知共有12种等可能的结果，恰好选出是一男一女两位选手的结果有8种，然后根据概率公式可求解. 3．【答案】B 【解析】【解答】 解： 　 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 同时掷两枚质地均匀的骰子 ，可能出现的情况共36种，其中点数和为7的次数为6， 故概率为 故答案为：B． 【分析】考查概率的计算，可以用列表法将所有可能出现的点数情况列出来，然后计算和为7的情况占总情况的几分之几即为所求概率。 4．【答案】A 【解析】【解答】解：把印有“北斗”、“天问”、“高铁”和“九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、D， 画树状图如图： 共有12种等可能的结果，所抽中的恰好是B和D的结果有2种， ∴所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的概率为 . 故答案为：A. 【分析】把印有“北斗”、“天问”、“高铁”和“九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、D，画出树状图，找出总的情况数以及所抽中的恰好是B和D的情况数，然后根据概率公式进行计算. 5．【答案】C 【解析】【解答】分别用r、b代表红色帽子、黑色帽子，用R、B、W分别代表红色围巾、黑色围巾、白色围巾，列表如下： 　 R B W r rR rB rW b bR bB bW 则所有可能的结果数为6种，其中恰好为红色帽子和红色围巾的结果数为1种，根据概率公式，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是 ． 故答案为：C． 【分析】根据题意，利用列表法求出所有可能的情况，利用概率公式求出概率。 6．【答案】C 【解析】【解答】解：设三名男工人编号为1、2、3，两名女工人编号为4、5，则有树状图如图所示： ∴这两名工人恰好都是男工人的概率为 ； 故答案为：C. 【分析】利用树状图列举出共有20种等可能情况，其中两名工人恰好都是男工人的有6种，然后利用概率公式计算即可. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意，画树状图如下： 由此可知，投掷两次的所有可能的结果共有36种，它们每一种出现的可能性都相等；其中，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的结果有4种， 则所求的概率为 ， 故答案为：A. 【分析】由题意，画出树状图，由树状图的信息可知：投掷两次的所有可能的结果共有36种，其中，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的结果有4种，根据概率公式计算即可求解. 8．【答案】C 【解析】【解答】解：将3节车厢分别记为1号车厢，2号车厢，3号车厢，用树状图表示所有等可能的结果， 共有9种等可能的结果，其中，甲和乙从同一节车厢上车的有3可能， 即甲和乙从同一节车厢上车的概率是 ， 故答案为：C. 【分析】利用已知条件可知此事件是抽取放回，列出树状图，再根据树状图求出所有等可能的结果数及甲和乙从同一节车厢上车的情况数，然后利用概率公式进行计算. 9．【答案】A 【解析】【解答】解：画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中恰有一车直行，另一车左拐的结果数为2， 所以恰有一车直行，另一车左拐的概率＝ ． 故答案为：A． 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果数，其中恰有一车直行，另一车左拐的结果数为2，再由概率公式求解即可。 10．【答案】A 【解析】【解答】解：设两双鞋的型号分别为： ， 其中A1，A2为一双，B1，B2为一双， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，取出的鞋是同一双的有4种， 则取出的鞋是同一双的概率为： ， 故答案为：A． 【分析】先画树状图求出共有12种等可能的结果，取出的鞋是同一双的有4种，再求概率即可。 11．【答案】D 【解析】【解答】解：画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰为“天”、“空”的有2种结果， 恰为“天”、“空”的概率为 ， 故答案为：D. 【分析】首先画树状图得出所有等可能结果，然后从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得. 12．【答案】B 【解析】【解答】解：列表得： 　 1 2 3 4 5 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） 8 （1，8） （2，8） （3，8） （4，8） （5，8） 9 （1，9） （2，9） （3，9） （4，9） （5，9） 所以两个转盘的组合有20种结果，其中有6种指针都落在奇数， 所以指针都落在奇数上的概率是6÷20= ， 故答案为：B． 【分析】利用列表法或树状图法求解即可。 13．【答案】白球 【解析】【解答】解：由图可知：摸出黑球的频率是0.2， 根据频率估计概率的知识可得，摸一次摸到黑球的概率为0.2， ∴可以推断盒子里个数比较多的是白球， 故答案为：白球. 【分析】利用统计图可知摸一次摸到黑球的概率为0.2，由此可判断出盒子里个数比较多的是白球. 14．【答案】 【解析】【解答】解：画树状图如图： 共有12种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有2种， ∴甲、乙两位同学分到同一组的概率为2÷12＝ ， 故答案为： . 【分析】利用树状图列举出共有12种等可能的结果，其中甲、乙两位同学分到同一组的结果有2种，然后利用概率公式计算即可. 15．【答案】 【解析】【解答】从-1， ，2三个数中任取两个不同的数作积，分别是 ， ， ，把 ，-2，1这三个数按大小排列，则中间的数为 ，则中位数为 . 故答案为： . 【分析】列举出任取两个不同的数作积的所有情况： ，-2，1，然后将这三个数从小到大排列，中间位置的数即为中位数. 16．【答案】 【解析】【解答】解：将红､黄､蓝3种只是颜色不同的钢笔分别记为 、 、 ， 由题意，画出树状图如下： 由图可知，这两次摸出的钢笔的所有可能的结果共有9种，它们每一种出现的可能性都相等；其中，这两次摸出的钢笔为红色､黄色各一支的结果有2种， 则所求的概率为 ， 故答案为： . 【分析】将红､黄､蓝3种只是颜色不同的钢笔分别记为A、B、C ，画出树状图，找出总情况数以及两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的情况数，接下来根据概率公式计算. 17．【答案】 【解析】【解答】解：画树状图如下： 所以一共有 种等可能的结果， 又三角形的顺序旋转和与逆序旋转和分别为： ＜ 恒成立， 为正整数， 满足条件的 有： 共 种情况， 所以此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是： 故答案为： 【分析】由题意画树状图，由树状图的信息可知共有 种等可能的结果，满足条件的x、y共9种情况，再根据概率公式计算即可求解. 18．【答案】 【解析】【解答】解：画树状图得 ， 由树状图得共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光应同时闭合 ， ，故有2种等可能性，所以概率为 ． 故答案为： 【分析】因为随机闭合开关 ， ， 中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光，即可得到发光的概率。 19．【答案】解：画树状图得： 所以圆球下落过程中共有8种路径，其中落入③号槽内的有3种，所以圆球落入③号槽内的概率为 【解析】【分析】 利用树状图列举出圆球下落过程中共有8种等可能路径，其中落入③号槽内的有3种，然后利用概率公式计算即可. 20．【答案】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 　 白 黑 白 白、白 黑、白 黑1 白、黑1 黑1、黑 黑2 白、黑2 黑、黑2 共有6种等可能出现的结果情况，其中两球都是白球的有1种， 所以取出的2个球都是白球的概率为 ． 答：取出的2个球都是白球的概率为 ． 【解析】【分析】先列表求出共有6种等可能出现的结果情况，其中两球都是白球的有1种，再求概率即可。 21．【答案】解：由题意可知，x，y的所有取值情况如下所示： 转盘甲 转盘乙 2 -4 6 1 （2， 1） （-4， 1） （6， 1） 5 （2，5） （-4，5） （6，5） -3 （2，-3） （-4，-3） （6，-3） 共有9种可能的情况，其中点 落在平面直角坐标系第一象限内的可能情况有(1，2)，(5，2)，(1，6)，(5，6)共4种， 故P(点 落在平面直角坐标系第一象限内)= ． 【解析】【分析】话树状图，共有9种等可能的结果，点（x，y)落在平面直角坐标系第一象限内的结果有4种，再由概率公式求解即可。 22．【答案】解：画树状图如图： 共有6种等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字和为7的结果有3种， 抽取的两张卡片上的数字和为7的概率为 ． 【解析】【分析】先画树状图求出共有6种等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字和为7的结果有3种，再求概率即可。 23．【答案】这个游戏规则不公平，理由如下： 画树状图得： ∵从树状图可以看出所有可能的结果有12种，数字之和为奇数的有8种，偶数有4种， ∴小明参加的概率为： ，小刚参加的概率为： ， ∵ ， ∴游戏规则不公平． 【解析】【分析】画出树状图，利用概率公式分别求出小明、小刚获胜的概率，比较即可得答案． 24．【答案】（1）解：田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜. 此时，比赛的所有可能对阵为： ， ， ， ，共四种. 其中田忌获胜的对阵有 ， ，共两种， 故此时田忌获胜的概率为 . （2）解：不是. 齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ； 齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ； 齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ； 齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ； 齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ； 齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 . 综上所述，田忌获胜的所有对阵是 ， ， ， ， ， . 齐王的出马顺序为 时，比赛的所有可能对阵是 ， ， ， ， ， ， 共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵， 所以，此时田忌获胜的概率 . 【解析】【分析】（1） 田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜. 然后列出比赛的所有可能对阵有4种，其中田忌获胜的对阵有2种，利用概率公式求解即可； （2）根据（1）中的一种情况，推出共18种对阵情况， 只要 对阵田忌获胜，然后求出概率即可. 25．【答案】（1）40；18° （2）解：C组人数为：40-4-22-2=12（名） 补全条形统计图如下： （3）解： （名） 所以，该校最近一周大约有140名学生睡眠时长不足8小时 （4）解：用A和B表示男生，用C和D表示女生，画树状图如下， 因为共有12种等可能的情况数，其中抽到1名男生和1名女生的有8种， 所以抽到1名男生和1名女生的概率是： 【解析】【解答】解：（1）22÷55%=40（名） 所以，小明一共抽样调查了40名同学； D组的扇形圆心角的度数为： 故答案为：40，18°； 【分析】（1）利用B组人数除以其百分比，即得样本容量；利用D组百分比乘以360°即得结论； （2）先求出C组人数，再补图即可； （3）利用样本中A组人数百分比乘以全校总人数即得结论； （4）利用树状图列举出共有12种等可能的情况数，其中抽到1名男生和1名女生的有8种，然后利用概率公式计算即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $