第六章 概率的进一步认识（七大题型）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦概率核心方法，以七类题型构建从几何概率到频率估计概率的递进训练体系，强化数学眼光与数据意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何概率|3题|图形面积比计算|从具体图形抽象概率模型，培养几何直观| |列举法|3题|放回/不放回简单计数|基础计数方法，为复杂问题铺垫| |列表/树状图法|3题|多元素/步骤事件分析|系统化解题工具，发展推理意识| |游戏公平性|3题|概率比较与规则设计|应用概率解决实际问题，体现应用意识| |求频率|3题|数据统计与计算|直接应用频率公式，强化数据处理能力| |频率估计概率|3题|大量重复试验数据分析|统计与概率结合，培养数据观念| |综合应用|3题|跨学科与实际情境问题|知识整合应用，提升模型意识|

第六章 概率的进一步认识 题型一 几何概率 1．小狗在如图所示的方砖上走来走去，随意停在黑色方砖上的概率为（   ） A． B． C． D． 2．如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为_________． 3．按要求完成以下问题 (1)如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． (2)若一个小玻璃球在如图2所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌．甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上．乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上．你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 题型二 列举法求概率 4．将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（     ） A． B． C． D． 5．五一期间，某商场举行猜商品价格赢奖品的活动．王先生在事先不知道商品价格的前提下，主持人要求他从下图中的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是230，那么他一次就猜中的概率是__________． 6．（跨语文学科）小明用甲骨文对照表中的四个字：文、明、公、正（如图所示）制作了背面完全相同的四张卡片（依次用字母A，B，C，D表示）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从四张卡片中随机抽取一张，抽取的卡片上的字可近似看作轴对称图形的概率为_______． (2)小明从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩余的卡片中随机抽取一张．请用画树状图的方法，求两人抽取的卡片上的字恰好是“文”“明”的概率． 题型三 列表法或树状图法求概率 7．某校开展“红色研学”“科技探秘”两项实践活动，小红和小星随机选取一项参加，如果选择任意一项可能性都相同，则两人恰好都选择“红色研学”的概率是（     ） A． B． C． D． 8．某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，甲、乙两人选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是______． 9．西安是十三朝古都，留存大量盛唐与秦汉历史遗迹．小方一家计划暑假期间探访四处西安知名人文景区：A 大雁塔（玄奘译经圣地，盛唐佛塔地标）、B 大唐芙蓉园（依托唐代皇家芙蓉苑遗址复建，再现盛唐宫廷园林风貌）、C 陕西历史博物馆（馆藏周秦汉唐国宝，华夏文明宝库）、D 明城墙（我国现存最完整的明代古城垣）． (1)小方从A、B、C、D四处景点随机任选一处游览，恰好选中B大唐芙蓉园的概率是__________； (2)若当日小方一家随机选取两处景区出游，请用列表或画树状图的方法，求恰好同时选中A大雁塔和D明城墙的概率． 题型四 游戏的公平性 10．袋中有形状、大小都相同的8个球，上面依次写着2、3、4、5、6、7、8、9八个数字，小刚和小明两人玩摸球游戏，下面规则中对双方都公平的是（   ） A．任意摸一球，摸到质数小刚胜，摸到合数小明胜 B．任意摸一球，摸到2的倍数小刚胜，摸到3的倍数小明胜 C．任意摸一球，小于5小刚胜，大于5小明胜 D．任意摸一球，小于6小刚胜，大于6小明胜， 11．在的两个空格口中，任意填上“”或“”．若运算结果是3，则丽丽获胜，否则颖颖获胜．这个游戏对双方__________（填“公平”或“不公平”）． 12．如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小晴和小华参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜．猜数的方法有以下两种方案： A方案：猜“是奇数”或“是偶数”； B方案：猜“是大于3的数”或“是小于3的数”． (1)如果小华猜数时，选择了A方案，那么这个方案对双方公平吗？为什么？ (2)如果轮到小晴猜数，为了让小晴更容易获胜，你将建议小晴选择哪一种猜数方案？请写出你的理由． 题型五 求某事件的频率 13．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 14．暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为______． 15．在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共30个．某数学学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)在第（2）题的条件下，现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的白球，搅拌均匀后，若从袋中摸出一个白球的概率为，则取出了多少个黑球？ 题型六 由频率估计概率 16．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（     ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.401 0.410 0.413 0.412 0.413 A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410 17．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子个数 200 400 500 600 700 800 900 1000 发芽种子个数 187 338 435 530 624 718 814 901 发芽种子频率 0.935 0.845 0.870 0.883 0.891 0.898 0.904 0.901 则估计该作物种子发芽的概率为_______（精确到0.1）． 18．某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 优等品频数 优等品频率 (1)这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是________；（精确到） (2)从这批彩色弹力球中选择个黄球、个黑球、个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现向第（2）问所说的袋子中放入若干个黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求放入了多少个黄球？ 题型七 用频率估计概率的综合应用 19．数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有个球，其中有个白球、个红球、个黑球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（  ） A．黑色 B．红色 C．黄色 D．白色 20．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 500 1000 3000 合格频数 49 97 481 960 2880 合格频率 0.980 0.970 0.962 0.960 0.960 根据表中的数据，估计出售5000件衬衣，其中合格产品约有______件． 21．在一个不透明的袋子中装有蓝色和红色小球共个，每个小球除颜色外都相同．小明和小亮做摸球试验，将袋子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作一次试验．不断重复上述过程，大量摸球试验后，累计试验结果，将摸到蓝球的频率绘制成如下折线统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)请估计袋子中蓝球的个数是 ； (2)小明和小亮向袋子中再放入个除颜色以外都相同的红球，开始游戏：将袋子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸到蓝球小明获胜，摸到红球小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请你比较概率大小，加以说明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 概率的进一步认识 题型一 几何概率 1．小狗在如图所示的方砖上走来走去，随意停在黑色方砖上的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知，小狗在如图所示的方砖上走来走去，随意停在黑色方砖上的概率为． 2．如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为_________． 【答案】 【分析】设小方格的边长为，观察图形可知，阴影部分由9个小方格组成，求出阴影部分总面积，再除以方格纸的总面积即可得出概率． 【详解】解：设小方格的边长为，则方格纸的总面积为． 观察图形可知，阴影部分由9个小方格组成， 阴影部分的总面积为， 飞镖落在阴影部分的概率为． 3．按要求完成以下问题 (1)如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． (2)若一个小玻璃球在如图2所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌．甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上．乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上．你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【答案】(1) (2)乙获胜的概率大，理由如下： 图中共有32个小三角形，其中黑色的小三角形有12个，白色的小三角形有20个， ∴甲获胜的概率为：， 乙获胜的概率为：， ， 故乙获胜的概率大． 【分析】（1）根据阴影面积与正方形面积之比得到投中阴影部分的概率； （2）根据黑色、白色小三角形的个数与总共三角形的个数之比确定甲、乙获胜的概率，进而比较大小得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，图中正方形的面积为， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率； （2）略 题型二 列举法求概率 4．将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举出所有等可能的结果，找出满足条件的结果数，再根据概率公式计算得到结果． 【详解】解：∵本次试验为放回摸球，每次摸球都有2种等可能的结果， ∴两次摸球共有种等可能的结果，分别是：(热爱，热爱)，(热爱，奔赴)，(奔赴，热爱)，(奔赴，奔赴)；其中两次摸出词语都为“热爱”的结果只有1种， ∴根据概率公式可得，所求概率为． 5．五一期间，某商场举行猜商品价格赢奖品的活动．王先生在事先不知道商品价格的前提下，主持人要求他从下图中的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是230，那么他一次就猜中的概率是__________． 【答案】 【分析】用列举法求出所有等可能的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：如果拿走标有“2”的卡片，则剩下3、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为330； 如果拿走左边标有“3”的卡片，则剩下2、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为230； 如果拿走右边标有“3”的卡片，则剩下2、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为230； 如果拿走标有“0”的卡片，则剩下2、3、3三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为233； 综上所述，共有四种情况．若商品的价格是230元，那么他一次就能猜中的概率是． 6．（跨语文学科）小明用甲骨文对照表中的四个字：文、明、公、正（如图所示）制作了背面完全相同的四张卡片（依次用字母A，B，C，D表示）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从四张卡片中随机抽取一张，抽取的卡片上的字可近似看作轴对称图形的概率为_______． (2)小明从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩余的卡片中随机抽取一张．请用画树状图的方法，求两人抽取的卡片上的字恰好是“文”“明”的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题意知，共有种等可能的结果，其中抽取的卡片上的字可近似看作轴对称图形的有种，利用概率公式可得答案． （2）通过画树状图，可得共有种等可能结果，其中，两名同学抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有种，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）∵共有种等可能的结果，其中抽取的卡片上的字可近似看作轴对称图形的有种， ∴抽取的卡片上的字可近似看作轴对称图形的概率为：， 故答案为：． （2）根据题意画树状图如图． 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人抽取的卡片上的字恰好是“文”“明”的结果有2种， 两人抽取的卡片上的字恰好是“文”“明”的概率为． 题型三 列表法或树状图法求概率 7．某校开展“红色研学”“科技探秘”两项实践活动，小红和小星随机选取一项参加，如果选择任意一项可能性都相同，则两人恰好都选择“红色研学”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用画树状图法列出两人选择活动的所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两人恰好都选择“红色研学”的结果只有种， 两人恰好都选择“红色研学”的概率是． 8．某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，甲、乙两人选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是______． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】列表如下： 由表可知，一共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好都从同一入口进入的结果有3种， P（甲、乙两人恰好都从同一入口进入）=． 9．西安是十三朝古都，留存大量盛唐与秦汉历史遗迹．小方一家计划暑假期间探访四处西安知名人文景区：A 大雁塔（玄奘译经圣地，盛唐佛塔地标）、B 大唐芙蓉园（依托唐代皇家芙蓉苑遗址复建，再现盛唐宫廷园林风貌）、C 陕西历史博物馆（馆藏周秦汉唐国宝，华夏文明宝库）、D 明城墙（我国现存最完整的明代古城垣）． (1)小方从A、B、C、D四处景点随机任选一处游览，恰好选中B大唐芙蓉园的概率是__________； (2)若当日小方一家随机选取两处景区出游，请用列表或画树状图的方法，求恰好同时选中A大雁塔和D明城墙的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：从A、B、C、D四处景点随机任选一处游览，有4种等可能的结果，恰好选中B大唐芙蓉园的可能结果有1种，则恰好选中B大唐芙蓉园的概率是； （2）解：列表如下： A B C D A B C D 所有等可能的结果有12种，其中恰好同时选中A大雁塔和D明城墙的结果有2种， 则A大雁塔和D明城墙的概率是． 答：恰好同时选中A大雁塔和D明城墙的概率是． 题型四 游戏的公平性 10．袋中有形状、大小都相同的8个球，上面依次写着2、3、4、5、6、7、8、9八个数字，小刚和小明两人玩摸球游戏，下面规则中对双方都公平的是（   ） A．任意摸一球，摸到质数小刚胜，摸到合数小明胜 B．任意摸一球，摸到2的倍数小刚胜，摸到3的倍数小明胜 C．任意摸一球，小于5小刚胜，大于5小明胜 D．任意摸一球，小于6小刚胜，大于6小明胜， 【答案】A 【分析】本题考查游戏公平性的判断，判断游戏规则是否公平，就要计算每个参与者取胜的可能性，可能性相等就公平，否则就不公平． 看游戏规则是否公平，主要看双方是否具有均等的机会，如果机会是均等的，那就公平，否则，则不公平；据此逐项分析后再选择． 【详解】解：A、质数有：2、3、5、7共4个，合数有：4、6、8、9共4个，双方的机会是均等的，所以说这个游戏规则对双方都公平； B、2的倍数有：2、4、6、8共4个，3的倍数有：3、6、9共3个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小明不公平； C、小于5的数有：2、3、4共3个，大于5的数有：6、7、8、9共4个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小刚不公平； D、小于6的数有：2、3、4、5共4个，大于6的数有：7、8、9共3个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小明不公平． 故选：A． 11．在的两个空格口中，任意填上“”或“”．若运算结果是3，则丽丽获胜，否则颖颖获胜．这个游戏对双方__________（填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【分析】本题主要考查了有理数加减运算、简单概率计算等知识，正确计算两人获胜的概率是解题关键．根据题意，可知共有4种运算结果，其中运算结果是3的有2种，结果不为3的有2种，然后分别计算两人获胜概率，比较即可获得答案． 【详解】解：根据题意，在的两个空格口中，任意填上“”或“”， 可有4种结果，如下所示： ，，，， 其中运算结果是3的有2种，结果不为3的有2种， 所以丽丽获胜的概率为，颖颖获胜的概率为， 又因为， 所以，这个游戏对双方公平． 故答案为：公平． 12．如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小晴和小华参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜．猜数的方法有以下两种方案： A方案：猜“是奇数”或“是偶数”； B方案：猜“是大于3的数”或“是小于3的数”． (1)如果小华猜数时，选择了A方案，那么这个方案对双方公平吗？为什么？ (2)如果轮到小晴猜数，为了让小晴更容易获胜，你将建议小晴选择哪一种猜数方案？请写出你的理由． 【答案】(1)解：公平，理由如下： ∵小华猜数时，共有6种等可能的结果，其中，是奇数的结果有3种，是偶数的结果也有3种， ∴A方案猜“是奇数”的概率为，猜“是偶数”的概率为， ∴A方案，小华无论是选择猜“是奇数”，还是选择猜“是偶数”，其获胜的概率均为，小晴获胜的概率也均为，双方获胜概率相等， ∴这个方案对双方公平． (2)解：建议小晴选择A方案，或B方案中的猜“是大于3的数”，理由如下： 同理可得：A方案：小晴无论是选择猜“是奇数”，还是选择猜“是偶数”，其获胜的概率均为， B方案：小晴猜数时，共有6种等可能的结果，其中，猜“是大于3的数”的结果有3种，猜“是小于3的数”的结果有2种， ∴B方案，小晴选择猜“是大于3的数”的概率为，选择猜“是小于3的数”的概率为， ∵， ∴为了让小晴更容易获胜，建议小晴选择A方案，或B方案中的猜“是大于3的数”． 【分析】（1）利用概率公式分别求出A方案中的两种方式，小华获胜的概率，由此即可得； （2）利用概率公式分别求出A方案中的两种方式、B方案中的两种方式，小晴获胜的概率，由此即可得． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 题型五 求某事件的频率 13．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率的知识点，当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率的稳定范围，即可估计的值． 【详解】解：∵当试验次数逐渐增大时，频率会稳定在事件发生的概率附近，观察表格给出的频率，可知发芽频率稳定在附近，范围在之间， ∴时，频率应接近该稳定范围，选项中只有符合要求． 14．暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为______． 【答案】 【分析】本题考查了频率的计算，用“水”字出现的次数除以总的字的个数即可求解，掌握频率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”，共有个字，其中“水”字出现的次数为次， ∴“水”字出现的频率为， 故答案为：． 15．在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共30个．某数学学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)在第（2）题的条件下，现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的白球，搅拌均匀后，若从袋中摸出一个白球的概率为，则取出了多少个黑球？ 【答案】(1)， (2)0.6 (3) 【分析】（1）根据频率的定义，列式计算即可； （2）利用频率估计概率即可解答； （3）先设取出了个黑球，则放入了个白球，再根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，． （2）解：随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.6附近， 故“摸到白球”的概率的估计值为0.6． （3）解：由（2）可知，“摸到白球”的概率约为0.6， 袋中原有白球的数量为：（个）． 设取出了个黑球，则放入了个白球， 根据题意得，， 解得，． 答：取出了个黑球． 题型六 由频率估计概率 16．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（     ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.401 0.410 0.413 0.412 0.413 A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410 【答案】C 【分析】根据大量重复试验中频率逐渐稳定于概率的性质，观察表格中频率的变化趋势即可求解． 【详解】解：观察表格可知，随着累计抽测学生数不断增大，近视学生数与的比值逐渐稳定在， ∴对该区初中生近视概率的估计最合理的是． 17．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子个数 200 400 500 600 700 800 900 1000 发芽种子个数 187 338 435 530 624 718 814 901 发芽种子频率 0.935 0.845 0.870 0.883 0.891 0.898 0.904 0.901 则估计该作物种子发芽的概率为_______（精确到0.1）． 【答案】0.9 【分析】根据多次试验的频率估计概率解答． 【详解】解：由频率估计概率可得所求的概率是0.9． 18．某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 优等品频数 优等品频率 (1)这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是________；（精确到） (2)从这批彩色弹力球中选择个黄球、个黑球、个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现向第（2）问所说的袋子中放入若干个黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求放入了多少个黄球？ 【答案】(1)； (2)； (3)12 【分析】（1）当试验次数足够多时，可以用频率估计概率； （2）用概率公式求解即可； （3）根据概率公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：用频率估计概率为； （2）解：袋子中球的总数量为个， 摸出黄球的概率为； （3）解：设放入个黄球，则此时黄球数量变为个，总球数为个． 根据题意列方程： 解得． 答：放入了12个黄球 题型七 用频率估计概率的综合应用 19．数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有个球，其中有个白球、个红球、个黑球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（  ） A．黑色 B．红色 C．黄色 D．白色 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是理解题意； 由频率图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在， ∵， ∴抽出某个球的颜色最有可能的是黑色； 故选：A． 20．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 500 1000 3000 合格频数 49 97 481 960 2880 合格频率 0.980 0.970 0.962 0.960 0.960 根据表中的数据，估计出售5000件衬衣，其中合格产品约有______件． 【答案】4800 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率的应用．观察表格可知当抽取件数较大时，合格频率稳定在0.960附近，据此用频率估计合格概率，再计算5000件衬衣中的合格产品数量即可． 【详解】解：由表格数据可知，当抽取件数为1000件和3000件时，合格频率均为0.960，且频率逐渐稳定在0.960附近，因此可估计这批衬衣的合格概率约为0.960． 则出售5000件衬衣时，合格产品约有件． 故答案为：4800． 21．在一个不透明的袋子中装有蓝色和红色小球共个，每个小球除颜色外都相同．小明和小亮做摸球试验，将袋子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作一次试验．不断重复上述过程，大量摸球试验后，累计试验结果，将摸到蓝球的频率绘制成如下折线统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)请估计袋子中蓝球的个数是 ； (2)小明和小亮向袋子中再放入个除颜色以外都相同的红球，开始游戏：将袋子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸到蓝球小明获胜，摸到红球小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请你比较概率大小，加以说明． 【答案】(1) (2)游戏对双方公平，理由如下： 共有种等可能的结果，其中摸到蓝球的有种，摸到红球的有种， ∴（小明获胜）；（小亮获胜）； 又∵， ∴游戏对双方公平． 【分析】（1）大量重复试验下摸到蓝球的频率可以估计摸到蓝球的概率，据此求解； （2）确定摸到蓝球的有种，摸到红球的有种，然后根据概率公式计算并比较后即可作出判断． 【详解】（1）解：观察折线统计图发现随着摸球次数的增多摸出蓝球的频率逐渐稳定在附近， 估计袋子中蓝球的个数是：（个）； （2）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $