（小升初衔接）3.1 代数式 讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

初中数学预备课（7上） （预习）第18天 列代数式表示数量关系 知识点1 代数式 思考： 观察式子：16×a，，(a+1)×a−a²．找出它们的共同特征． 可以发现，上述式子都是数与表示数的字母用运算符号连接而成．把数或表示数的字母用运算符号连接起来的式子叫作代数式．单独一个数或字母也是代数式，例如，5，t 都是代数式． 代数式中，数字与字母相乘时，“×”通常省略不写，例如 16×a 写成 16a；字母与字母相乘时，“×”通常省略不写或写成“·”，例如 a×b 可以写成 ab 或 a·b．字母和数字相乘的结果，数字写在字母的前面，例如 a×2=2a． 【例1】下列式子中：①0；②a；③x+y=2；④x−5；⑤2a；⑥a²+1；⑦a≠1； ⑧x≤3. 属于代数式的有 5 个. 分析：①0 是代数式；②a 是代数式；③x+y=2 含等号，不是代数式；④x−5 是代数式；⑤2a 是代数式；⑥a²+1 是代数式；⑦a≠1 含不等号，不是代数式；⑧x≤3 含小于号，不是代数式. 练一练 1. 下列各式中，不是代数式的是(  ) A.vt   B. 5   C.   D. 2x+y=1 【例2】下列各式符合代数式书写规范的是（ C ） A. a9　　　B. 3÷a　　　C. 　　　D. 2 分析：A：数字放在字母前面，a9 应写成 9a，故选项 A 不符合题意； B：3÷a 应写成 ，故选项 B 不符合题意；C：符合代数式书写要求，故选项 C 符合题意；D：带分数要写成假分数，2 应写成，故选项 D 不符合题意．故选：C． 练一练 2. 下列代数式符合书写要求的是(　　) A. 1 B. m × 3 C. m ÷ 2n D. 3mn 【例3】说出下列代数式的意义： 点拨：正确识别各种运算，并用严谨的语言叙述代数式表示的数量关系 (1) 2a + 3； (2) 2(a + 3)； (3) ； (4) x² + 2x + 8. 解： (1)2a+3 的意义是 a 的 2 倍与 3 的和； (2)2(a+3)的意义是 a 与 3 的和的 2 倍； 思考：举例说明 2a + 3, 2(a + 3) 所表示的实际问题中的数量关系. (3)的意义是 c 除以 a，b 的积的商； (4) x² + 2x + 8 的意义是 x 的平方，x 的 2 倍，与 8 的和。 练一练 3. 说出下列代数式的意义： (1) 2a + 3c；　　(2) 3(m − n)；　　(3) a² + 1；　　(4) 。 知识点 2 列代数式 在解决一些数学问题与实际问题时，往往需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是要列代数式。 思考： 如何用代数式表示 a,b 两数的和与差的积？ 可以按下面的步骤列代数式： 所以 a,b 两数的和与差的积为(a+b)(a−b)。 【例4】用代数式表示： (1)购买 2 个单价为 a 元的面包和 3 瓶单价为 b 元的饮料所需的钱数。 (2)把 a 元钱存入银行，存期 3 年，年利率为 1.9%，到期时的利息是多少元？ (3)某商品的进价为 x 元，先按进价的 1.1 倍标价，后又降价 80 元出售，现在的售价是多少元？ 分析：(1)总钱数＝2 个面包的总价＋3 瓶饮料的总价；(2)利息＝本金×年利率×存期；(3)现在的售价＝原来的标价－降价数。 解 (1)购买 2 个单价为 a 元的面包和 3 瓶单价为 b 元的饮料所需的钱数为(2a+3b)元. (2)根据题意,得 a×1.9%×3=5.7%a,因此到期时的利息为 5.7%a 元. (3)现在的售价为 (1.1x−80)元. 练一练 4.如图,圆形方孔钱是我国古钱币的突出代表,一枚 圆形方孔钱的外圆半径为r,中间方孔的边长为a,则 圆形方孔钱的面积可表示( ) A.πr²−a² B.πr²+a² C.2πr−a² D.2πr+a² 知识点 3 反比例关系 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的 乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系． 只有当两个量的乘积一定时，才称它们为成反比例的量，若是和或差一定，则不叫成反比例的量． 如果用字母 x 和 y 表示两个相关联的量，用 k 表示它们的积（k 是一个确定的值，且 k≠0），反比例关系可以用 xy=k 来表示． 【例5】如图，四个圆柱形容器内部的底面积 分别为10 cm²，20 cm²，30 cm²，60 cm²．分 别往这四个容器中注入 300 cm³ 的水． （1）四个容器中水的高度分别是多少厘米？ （2）分别用 x（单位：cm²）和 y（单位：cm）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示 y 与 x 的关系，y 与 x 成什么比例关系？ 分析：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系： 圆柱的体积＝底面积×高，高＝． 解 (1)四个容器中水的高度分别为 （cm）,（cm）,（cm）,（cm） (2)xy=300. y 与 x 成反比例关系. 练一练 5. 判断下列各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由. (1) 一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱的质量； (2) 长方体的体积一定，长方体的底面积与高； (3) 购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用与中性笔的费用. 思考·交流 小学阶段我们已经学习了用字母表示数，请根据下列实际问题列出含字母的代数式，你能说出这些式子的共同特点吗？请试着总结一下． 1. 甲、乙两地相距 10 km，小亮以 a km/h 的速度从甲地出发到乙地，则小亮需要______ h 到达乙地． 2. 体育用品商店的每个排球的价格为 x 元，每个篮球的价格为 y 元，学校到体育用品商店购买 9 个排球，8 个篮球一共需要费用______元． 注意！ 运算符号包括＋，－，×，÷等，不含＝，＞，＜等关系符号. 其他注意点： ①数字与数字相乘时，乘号“×” 不能省略． ②如果式子中出现除法，例如 s ÷ v，一般写成 的形式． ③带 分数与字母相乘时，需 化成假分数． 方法指导： 根据代数式的概念,用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 同 如无特别说明，a,b 两数的差， a 与 b 的差，都指“a−b”。 知识链接： 在数学中，我们可以用 （k是一个定值，且 k≠0）来表示正比例关系，其中 y和 x分别 表示两个变量的值。 课堂总结 1. 代数式中不能含有表示相等或不等关系的符号，如“＝”“＞”“＜”等． 2. 把问题中的一些数量关系用代数式表示出来，其实质就是把文字语言转化为数学语言，这个过程就是列代数式． 3. 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系． 同步练习 1．下列各式中，符合代数式书写规范的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法中，不能表示代数式“”意义的是（　　） A．的5倍 B．5与的积 C．5个相加 D．5个相乘 3．某地冬季一天的温差是，这天的最高气温是，那么这天的最低气温是（　　） A． B． C． D． 4．一件商品进价元，按进价提高标价，再打八折销售，则售价为（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 5．对代数式“”，我们可以这样来解释：某人以3米秒的速度走了小时，他一共走的路程是米．请你对“”再给出另一个实际生活方面的解释：　　 ． 6．甲种食品每袋元，9折出售；乙种食品每袋元，8折出售．小明两种食品各买了1袋，那么他一共需要支付　　 元． 7．如图所示的阴影部分面积用代数式表示为　　 ． 8．某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如表所示． 每天运输的吨数 500 250 100 50 运输的天数 1 2 5 10 （1）这批货物共有多少吨？ （2）运输的天数是怎样随着每天运输的吨数的变化而变化的？ （3）用表示运输的天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示与的关系．与成什么比例关系？ 9．直接写出表示下列语句的代数式： （1）的平方的4倍与5的差； （2）比的倒数与的倒数的和大2的数； （3），两数的平方和减去他们乘积的2倍； （4），两数的平方差除以，两数的和的平方． 参考答案 讲义答案 练一练 1、D 2、D 3、解：(1)2a＋3c 的意义是 a 的 2 倍与 c 的 3 倍的和； (2)3(m－n) 的意义是 m 与 n 的差的 3 倍； (3)a²＋1 的意义是 a 的平方与 1 的和； (4) 的意义是 a 的 3 倍除以 b 的 5 倍的商。 4、A 5、解：(1)装箱数与每箱的质量成反比例关系。 (2)长方体的底面积与高成反比例关系。 (3)荧光笔的费用与中性笔的费用不成反比例关系。 成反比例的是(1)(2). 同步练习答案 1．解：带分数作系数时需要化为假分数，选项使用带分数，不符合书写规范． 除法运算需要写成分数形式，选项保留除号，不符合书写规范． 数字与字母相乘时，乘号需要省略且数字要写在字母前方，选项保留乘号，不符合书写规范． 符合代数式书写规范，因此正确， 故选：． 2．解：的5倍可以表示为，故选项不符合题意； 5与的积可以表示为，故选项不符合题意； 5个相加可以表示为，故选项不符合题意； 5个相乘可以表示为，故选项符合题意； 故选：． 3．解：某一天的温差是，最高气温是， 最低气温是． 故选：． 4．解：根据题意可知标价为（元， 再打八折销售，打八折即按标价的销售， 售价为（元． 故选：． 5．解：符合的倍数关系即可，例如香蕉每千克3元，某人买了千克，共付款元． 故答案为：香蕉每千克3元，某人买了千克，共付款元（答案不唯一，合理即可） 6．解：由题意得，甲种食品每袋售价为元，乙种食品每袋售价为元，所以两种食品各买1袋，一共需要支付元， 故答案为：． 7．解：长方形的面积是，两个扇形的圆心角是， 这两个扇形是半径为的圆面积的四分之一． 阴影部分面积为． 故答案为：． 8．解：（1）每天运输的吨数与运输的天数乘积一定为500， 这批货物共有500吨； （2）根据表格可得：运输的天数随着每天运输的吨数的减少而增加； （3）， ， 因为乘积一定，所以与成反比例关系． 9．解：（1）由题知， 的平方的4倍与5的差可表示为：； （2）由题知， 比的倒数与的倒数的和大2的数可表示为：； （3）由题知， ，两数的平方和减去他们乘积的2倍可表示为：； （4）由题知， ，两数的平方差除以，两数的和的平方可表示为：． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $