第13讲 代数式的值（讲义，新教材人教版全国通用）数学小升初衔接

第13讲 代数式的值 · 预习目标 · 新课轻松学 · 新知速通 · 题型探究 · 题型1、已知字母的值，求代数式的值 · 题型2、已知式子的值，求代数式的值（整体代入） · 题型3、程序流程图与代数式求值 · 题型4、数字类规律探索 · 题型5、图形类规律探索 · 基础通关 · 拓展提优 1、理解代数式的值的概念，掌握求代数式值的一般步骤。 2、掌握“整体代入法”求代数式的值，体会转化思想。 3、能通过程序流程图理解运算顺序并求值。 4、能探索数字与图形的排列规律，并用代数式表示。 【生活情境引入】 想象你正在玩一款闯关游戏，游戏里有一个“能量转换器”。规则是：投入一个数字，机器会按照的程序进行运算，然后吐出一个新的数字作为你的能量值。如果你投入，机器就会计算，你就获得了11点能量；如果你投入，机器计算，你就获得1点能量。这个“能量转换器”就是一个代数式，而你每次投入数字后得到的结果，就是这个代数式的“值”。 【思考互动】 【思考1】当是负数或分数时，代入时要注意什么？ 提示：这是最容易出错的地方！当字母的值是负数或分数，且该字母在代数式中需要进行乘方运算或作为乘法因子时，代入后必须加上括号。例如：代数式，当时，应写作，结果是9；如果不加括号写成，结果就变成了-9，这就大错特错了！ 【思考2】求值的步骤可以颠倒吗？ 提示：不可以。必须先“化简”再“代入”，或者严格按照“代入”后“计算”的顺序。特别是当原代数式比较复杂时，先利用整式加减法则化简，再代入数值计算，可以大大减少计算量，降低出错的概率。 【课外阅读：代数之父韦达】 求代数式的值，其实就是一种最简单的“算法”过程。在计算机科学中，我们经常看到流程图：输入数据->处理数据（代入公式）->输出结果。这种思想在现代科技中无处不在。当你用手机计算器计算复杂公式时，手机内部就在飞快地执行着“代入求值”的过程。学好这一节，不仅是为了做数学题，更是为了培养严谨的逻辑思维，为将来学习编程打下基础。 1.已知字母的值，求代数式的值 概念：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 步骤： 代入：将字母的值代入代数式。注意：负数或分数代入时要加括号。原式中省略的乘号，代入数值后要补上乘号。 计算：严格按照有理数混合运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内）进行计算。 2.已知字母求代数式的值（整体代入法） 在求代数式的值时，有时已知条件不是直接给出字母的值，而是给出某个式子的值。此时不需要解出单个字母的值，而是将这个式子看作一个整体代入。 技巧：观察已知式子与所求代数式之间的倍数关系或结构相似性。例如，已知x-2y=3，求2x-4y+1的值。观察到2x-4y=2(x-2y)，直接整体代入即可。 整体代入核心：不求个体求整体，变形凑配是关键。 3.程序流程图与代数式求值 程序框图本质上是规定了运算顺序的代数式。 读图方法：从“输入”开始，顺着箭头方向，依次进行方框内的运算，直到“输出”。 注意：注意判断框（菱形）的条件分支，满足条件走一条路，不满足走另一条路。 4.代数式表示的实际意义 同一个代数式在不同的情境下可以表示不同的含义。例如： 情境一：苹果每千克元，香蕉每千克元，买2千克苹果和3千克香蕉共需元。 情境二：长方形长为，宽为，两个这样的长方形面积加上三个边长为的正方形面积…。 题型1、已知字母的值，求代数式的值 【解题技巧】 1.抄写原式：避免抄错符号。2.规范代入：特别是负数代入乘方运算时，如，则应写为。3.细心计算：按部就班，不要跳步。 【例题1】（25-26七年级·全国·暑假作业）当，时，求多项式的值． 【例题2】（22-23七年级下·吉林·阶段检测）若，则=__________． 题型2、已知式子的值，求代数式的值（整体代入） 【解题技巧】 1.对比结构：比较已知条件和所求式子中相同字母部分的系数比。 2.恒等变形：通过提取公因数、通分、平方等手段，构造出已知条件的结构。 3.降次法：若已知，则，高次项可用低次项表示。 【例题3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）已知与互为相反数，求的值． 【例题4】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3，则=_____． 题型3、程序流程图与代数式求值 【解题技巧】 1.模拟运行：把自己当成计算机，一步步执行指令。 2.循环结构：注意循环的终止条件，不要多算或少算一次。 3.分段函数：流程图往往对应分段函数，先判断输入值属于哪一段。 【例题5】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)当输入的值为时，求输出的值． 【例题6】（25-26七年级上·浙江温州·期末）根据下边的数值转换器，当输入的x、y满足时，求输出的结果_______． 题型4、数字类规律探索 【解题技巧】 1.作差法：计算相邻两项之差，若差相等则为一次函数型；若差的差相等则为二次函数型。 2.拆分法：将数字拆分为符号部分、分子部分、分母部分分别找规律。 3.常见数列：熟记奇偶数数列、平方数列、斐波那契数列等特征。 【例题7】（1）（25-26七年级下·云南玉溪·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，第个代数式是（） A． B． C． D． （2）（2023七年级下·云南保山·竞赛）我校七年级共有学生332人，如果全部排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数，则最后一名学生所报的数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 题型5、图形类规律探索 【解题技巧】 1.列表法：列出序号与对应的数量，寻找函数关系。 2.增量分析：看每增加一个图形，增加了多少个元素（火柴棒、点数等）。 3.几何直观：尝试从图形的拼接、分割角度理解公式的来源。 【例题8】（2026·重庆巴南·模拟预测）如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，…按此规律，第7个图案中基本图形的个数为（） A．16 B．19 C．22 D．25 （26-27七年级·全国·小升初衔接）用半径为1厘米的圆组合图形，第4幅图的阴影面积是__________平方厘米．根据前4幅图的规律，第n幅图的阴影面积是__________平方厘米． 1．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知，则代数式的值为（） A． B． C． D． 2．（2026·海南海口·二模）已知，则代数式的值是（） A． B． C．2 D．3 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值为（） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·安徽六安·期末）若，则代数式的值为（） A． B． C． D．不确定，与k值大小有关 5．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）若，则的值是（） A．5 B．1 C． D． 6．（25-26九年级下·广东汕头·期中）若m，n互为倒数，则的值为（） A． B． C．2 D．4 7．（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（） A． B．1 C．3 D． 8．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在计算机上设置运算程序，输入数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”，下面是一个“数值转换机”，下列输入的数据中，输出的结果为33的是（） A．， B．， C．， D．， 9．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）按照如图所示的运算程序，若，，则输出结果为（） A．9 B．11 C． D． 10．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）放成一排的2026个袋子里共有4276颗糖果，其中最左端的袋子里放了m颗糖果，最右端的袋子里放了n颗糖果，如果任意相邻的9个袋子里的糖果共有19颗，则（） A． B． C．， D．， 11．（2026·云南昆明·模拟预测）有一列按规律排列的代数式：，，，，，，相邻两个代数式的差都是同一个整式，则第个代数式是（） A． B． C． D． 12．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）我们规定一个新数“i”，使其满足并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有则值为（） A．i B． C． D．1 13．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知，，则______． 14．（2026·山西长治·三模）在中等配速（约6～7分钟/公里）的长跑中，当步幅（单位：）与身高（单位：）满足公式时，通常能获得较省力、高效舒适的跑步节奏．若小明同学身高，他长跑时应将步幅调整至________左右更省力． 15．（24-25六年级上·上海·阶段检测）若，，且．则的值为____________． 16．（24-25六年级上·上海·阶段检测）当时，代数式的值为____________． 17．（26-27七年级·全国·小升初衔接）陈叔叔在快递公司上班，每日基本工资元，每送一件快递另加元．如果陈叔叔每天送件快递，一天拿到工资__________元．6月日，陈叔叔送快递件，这一天他可拿到工资__________元． 18．（23-24七年级上·上海·阶段检测）若，则_____________． 19．（2026·福建南平·二模）若，则________． 20．（2022·北京·模拟预测）若，则的值为______． 21．（2026·陕西榆林·三模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据如图所示的计算程序，当输入时，输出的结果为__________． 22．（2026·山西朔州·模拟预测）如图是一个运算程序，若开始输入x的值为25，则第2025次输出的结果为__________． 23．（25-26八年级下·北京·期中）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值为_____． 24．（25-26七年级上·山东滨州·期末）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，则最后输出的结果是______． 25．26．（2026·广东揭阳·二模）“数学好玩”兴趣小组做一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步，算出的各位数字之和得，计算得；…………以此类推，则______． 27．（2026·河南平顶山·三模）将黑白两色棋子按如图所示的规律摆成若干个图形，则第个图形中黑色棋子的个数为____________（用含n的代数式表示）． 28．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）天气符号是代表各种天气现象、云状等的专用符号．如图，将形状大小完全相同的云朵符号按以下规律进行摆放，其中第1个图形中有5个云朵符号，第2个图形中有6个云朵符号，第3个图形中有7个云朵符号，第4个图形中有8个云朵符号，…，依此规律，第7个图形中云朵符号有____个． 29．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，则________． 30．（22-23七年级下·吉林·阶段检测）某中学八年级（1）班5名老师决定带领本班x名学生去迁西景忠山旅游参观．该景区每张门票的票价为40元，现有A、B两种购票方案可供选择：方案A：教师全价，学生半价；方案B：不分教师与学生，全部六折优惠． (1)请用含x的代数式分别表示：A方案所需的费用为______元，B方案所需的费用为_____元 (2)当学生人数时，且只选择其中一种方案购票，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 31．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）某公园的门票价格如下：成人20元，学生10元，满40人可以购买团体票（8折），设一个旅游团共有x人，其中学生有y人． (1)用含x，y的整式表示该旅游团购买团体票应付的门票费． (2)如果该旅游团有46个成人，12个学生，那么他们购买团体票需付的门票费是多少？ 32．（2026·江西上饶·模拟预测）按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ (1)填写表内空格； 输入x 5 4 … 输出答案 … (2)你发现的规律是______，并证明该规律的正确性． 输入x 5 4 … 输出答案 0 0 0 0 … 34．（2026·山东聊城·模拟预测）若，，且，则的值等于（） A．或 B．或 C．或 D．或 35．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（） A． B． C． D． 36．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）当时，代数式的值是2005，则当时，代数式的值为（） A．2002 B．1999 C． D． 37．（2026·湖南长沙·三模）数学家欧拉最先把关于x的多项式用符号表示，并把当时的多项式的值用表示．对于多项式，若，则的值等于（） A．6 B． C．7 D． 38．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）若（其中可取任意实数），则下列选项中不正确的是（） A． B． C． D． 39．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）定义一种新运算：，例如．则的值为________ 40．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为明文，对应的密文为，．例如：明文1，2对应的密文是，4，当明文是2，5时，密文应是______，______． 41．（25-26七年级下·上海虹口·期末）据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，每条径赛跑道的起跑线是不同的，径赛规则规定，第跑道的弯道半径长=弯道最内侧半径跑道宽度测量规定．其中第1跑道的测量规定为，其余各条跑道的测量规定为．如图，已知米，每条跑道宽米，共有8条跑道，那么第4跑道的起跑线与第1跑道的起跑线相差____________米．（结果保留） 42．（25-26七年级下·重庆忠县·期末）对于一个四位正整数，各数位数字，，，互不相等，若，则称为“等比数”，如各数位数字互不相等，且，所以是“等比数”，那么最小的“等比数”为__________；将“等比数”分成，，若的算术平方根为整数，则的最大值为__________． 43．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）在数学上，图形可以通过一种特殊的方式进行“生长”．以一个正三角形为例，将它的三条边分别进行三等分，然后以每条边中间的一段为底边，向外再画出一个等边三角形，并擦去原来中间的那一段，这时，图形就完成了一次“生长”变形，成为了一个新图形（如图中①②）． （1）如果一个边长是厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形（如图③）周长是_______厘米． （2）如果一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是_______厘米．（用含有的式子表示） 44．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是4，是最小的正整数，求的值． 45．（26-27七年级·全国·小升初衔接）奥地利数学家皮克（）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积S可以由多边形内部格点数i和边界格点数b计算得到，请你观察下列图形，探索S与i和b之间的关系． (1)观察图形，补全表格． 图形 ① ② ③ ④ ⑤ i 0 2 2 6 ______ b 6 10 6 6 ______ S 2 6 4 ______ 12 (2)观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加______． 观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加______． 根据上述发现，可得：______．（用含i和b的式子表示） (3)根据你发现的结论计算图形的面积． 图形 ① ② ③ ④ ⑤ i 0 2 2 6 6 b 6 10 6 6 14 S 2 6 4 8 12 试卷第2页，共18页 12/26 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 代数式的值 · 预习目标 · 新课轻松学 · 新知速通 · 题型探究 · 题型1、已知字母的值，求代数式的值 · 题型2、已知式子的值，求代数式的值（整体代入） · 题型3、程序流程图与代数式求值 · 题型4、数字类规律探索 · 题型5、图形类规律探索 · 基础通关 · 拓展提优 1、理解代数式的值的概念，掌握求代数式值的一般步骤。 2、掌握“整体代入法”求代数式的值，体会转化思想。 3、能通过程序流程图理解运算顺序并求值。 4、能探索数字与图形的排列规律，并用代数式表示。 【生活情境引入】 想象你正在玩一款闯关游戏，游戏里有一个“能量转换器”。规则是：投入一个数字，机器会按照的程序进行运算，然后吐出一个新的数字作为你的能量值。如果你投入，机器就会计算，你就获得了11点能量；如果你投入，机器计算，你就获得1点能量。这个“能量转换器”就是一个代数式，而你每次投入数字后得到的结果，就是这个代数式的“值”。 【思考互动】 【思考1】当是负数或分数时，代入时要注意什么？ 提示：这是最容易出错的地方！当字母的值是负数或分数，且该字母在代数式中需要进行乘方运算或作为乘法因子时，代入后必须加上括号。例如：代数式，当时，应写作，结果是9；如果不加括号写成，结果就变成了-9，这就大错特错了！ 【思考2】求值的步骤可以颠倒吗？ 提示：不可以。必须先“化简”再“代入”，或者严格按照“代入”后“计算”的顺序。特别是当原代数式比较复杂时，先利用整式加减法则化简，再代入数值计算，可以大大减少计算量，降低出错的概率。 【课外阅读：代数之父韦达】 求代数式的值，其实就是一种最简单的“算法”过程。在计算机科学中，我们经常看到流程图：输入数据->处理数据（代入公式）->输出结果。这种思想在现代科技中无处不在。当你用手机计算器计算复杂公式时，手机内部就在飞快地执行着“代入求值”的过程。学好这一节，不仅是为了做数学题，更是为了培养严谨的逻辑思维，为将来学习编程打下基础。 1.已知字母的值，求代数式的值 概念：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 步骤： 代入：将字母的值代入代数式。注意：负数或分数代入时要加括号。原式中省略的乘号，代入数值后要补上乘号。 计算：严格按照有理数混合运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内）进行计算。 2.已知字母求代数式的值（整体代入法） 在求代数式的值时，有时已知条件不是直接给出字母的值，而是给出某个式子的值。此时不需要解出单个字母的值，而是将这个式子看作一个整体代入。 技巧：观察已知式子与所求代数式之间的倍数关系或结构相似性。例如，已知x-2y=3，求2x-4y+1的值。观察到2x-4y=2(x-2y)，直接整体代入即可。 整体代入核心：不求个体求整体，变形凑配是关键。 3.程序流程图与代数式求值 程序框图本质上是规定了运算顺序的代数式。 读图方法：从“输入”开始，顺着箭头方向，依次进行方框内的运算，直到“输出”。 注意：注意判断框（菱形）的条件分支，满足条件走一条路，不满足走另一条路。 4.代数式表示的实际意义 同一个代数式在不同的情境下可以表示不同的含义。例如： 情境一：苹果每千克元，香蕉每千克元，买2千克苹果和3千克香蕉共需元。 情境二：长方形长为，宽为，两个这样的长方形面积加上三个边长为的正方形面积…。 题型1、已知字母的值，求代数式的值 【解题技巧】 1.抄写原式：避免抄错符号。2.规范代入：特别是负数代入乘方运算时，如，则应写为。3.细心计算：按部就班，不要跳步。 【例题1】（25-26七年级·全国·暑假作业）当，时，求多项式的值． 【答案】 【分析】直接把，分别代入计算，即可作答． 【详解】解：∵， 则 ． 【例题2】（22-23七年级下·吉林·阶段检测）若，则=__________． 【答案】 【分析】根据平方与绝对值的非负性，几个非负数的和为时，每个非负数均为，先求出和的值，再代入计算即可. 【详解】解：∵，， 且， ∴，， 解得，， 将，代入得：. 题型2、已知式子的值，求代数式的值（整体代入） 【解题技巧】 1.对比结构：比较已知条件和所求式子中相同字母部分的系数比。 2.恒等变形：通过提取公因数、通分、平方等手段，构造出已知条件的结构。 3.降次法：若已知，则，高次项可用低次项表示。 【例题3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据相反数的定义，代入即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 原式． 【例题4】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3，则=_____． 【答案】 或 【分析】先根据相反数、倒数、绝对值的定义求出，，的值，再分情况代入代数式计算即可． 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是， ，，， 当时，； 当时，； 综上，或． 题型3、程序流程图与代数式求值 【解题技巧】 1.模拟运行：把自己当成计算机，一步步执行指令。 2.循环结构：注意循环的终止条件，不要多算或少算一次。 3.分段函数：流程图往往对应分段函数，先判断输入值属于哪一段。 【例题5】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)当输入的值为时，求输出的值． 【答案】(1) (2)输出的值为 【分析】本题考查程序框图与代数式求值： （1）根据程序框图，列出代数式即可； （2）把代入（1）中的代数式进行求解即可． 【详解】（1）解： ． 所以用含的代数式表示输出的结果为． （2）解：当输入的值为时，输出的值为． 【例题6】（25-26七年级上·浙江温州·期末）根据下边的数值转换器，当输入的x、y满足时，求输出的结果_______． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据非负数的性质求出，，再代入计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， 代入可得， 故答案为：． 题型4、数字类规律探索 【解题技巧】 1.作差法：计算相邻两项之差，若差相等则为一次函数型；若差的差相等则为二次函数型。 2.拆分法：将数字拆分为符号部分、分子部分、分母部分分别找规律。 3.常见数列：熟记奇偶数数列、平方数列、斐波那契数列等特征。 【例题7】（1）（25-26七年级下·云南玉溪·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，第个代数式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】所有代数式都含字母，找出系数的变化规律，即可推出第个代数式． 【详解】解：∵第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， ……， ∴以此类推，第个代数式的系数为，即第个代数式是． （2）（2023七年级下·云南保山·竞赛）我校七年级共有学生332人，如果全部排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数，则最后一名学生所报的数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先找出报数的循环周期，再通过计算总人数除以周期长度得到的余数，根据余数确定最后一名学生所报的数. 【详解】解：观察报数规律可得：报数按重复出现， ∴该规律的循环周期长度为， ∵总共有名学生，计算得， ∴最后一名学生对应循环周期中的第个数， ∵循环周期中第个数为， ∴最后一名学生所报的数是. 题型5、图形类规律探索 【解题技巧】 1.列表法：列出序号与对应的数量，寻找函数关系。 2.增量分析：看每增加一个图形，增加了多少个元素（火柴棒、点数等）。 3.几何直观：尝试从图形的拼接、分割角度理解公式的来源。 【例题8】（2026·重庆巴南·模拟预测）如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，…按此规律，第7个图案中基本图形的个数为（） A．16 B．19 C．22 D．25 【答案】C 【详解】解：观察图形可知：第1个图案由个基本图形组成，； 第2个图案由个基本图形组成，； 第3个图案由个基本图形组成，； ∴第个图案中基本图形的个数为； 当时，基本图形的个数为． （26-27七年级·全国·小升初衔接）用半径为1厘米的圆组合图形，第4幅图的阴影面积是__________平方厘米．根据前4幅图的规律，第n幅图的阴影面积是__________平方厘米． 【答案】 【分析】先列举前3幅图的阴影的面积，以此类推可得第4幅图的阴影面积，然后再归纳规律即可解答． 【详解】解：第1幅图的阴影面积是：； 第2幅图的阴影面积是：； 第3幅图的阴影面积是：； 由此可知，第4幅图的阴影面积是：（平方厘米）； 规律：第n幅图的阴影面积是（平方厘米）； 填空如下：第4幅图的阴影面积是平方厘米．根据前4幅图的规律，第n幅图的阴影面积是平方厘米． 1．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知，则代数式的值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为代数式求值题，只需将已知的的值代入所求代数式，通过有理数加法计算即可得到结果． 【详解】解：当时，． 2．（2026·海南海口·二模）已知，则代数式的值是（） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知等式得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·安徽六安·期末）若，则代数式的值为（） A． B． C． D．不确定，与k值大小有关 【答案】A 【分析】本题运用整体代入法求解代数式的值，先对所求代数式提取公因式变形，再结合已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：， ， 对所求代数式变形得：， 将代入得：原式，因此代数式的值为． 5．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）若，则的值是（） A．5 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． 6．（25-26九年级下·广东汕头·期中）若m，n互为倒数，则的值为（） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】解：∵，互为倒数， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】把代入运算程序中，计算可得，根据，那么需再次代入得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴需把再次代入，可得， ∵， ∴输出的结果为． 8．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在计算机上设置运算程序，输入数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”，下面是一个“数值转换机”，下列输入的数据中，输出的结果为33的是（） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据程序求解即可． 【详解】解：当输入，，，此时， ，两个结果不相等，无法输出，不符合要求； 当输入，，不满足，此时无法计算，无法输出，不符合要求； 当输入，，，此时， ，两个结果相等，可以输出，符合要求； 当输入，，，此时， ，两个结果不相等，无法输出，不符合要求． 9．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）按照如图所示的运算程序，若，，则输出结果为（） A．9 B．11 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图与求代数式的值． 根据将，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：C． 10．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）放成一排的2026个袋子里共有4276颗糖果，其中最左端的袋子里放了m颗糖果，最右端的袋子里放了n颗糖果，如果任意相邻的9个袋子里的糖果共有19颗，则（） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】根据相邻9个袋子糖果总和相等，可推导出袋子糖果数按周期9重复，再利用周期性质得到与的关系，最后结合总糖果数计算得和的值． 【详解】解：设从左到右第个袋子的糖果数为． 由题意得，， ∵任意相邻9个袋子糖果和为， ∴每9个数记为一组， ∵， ∴，即， ∵共有4276颗糖果， ∴， 解得， ． 11．（2026·云南昆明·模拟预测）有一列按规律排列的代数式：，，，，，，相邻两个代数式的差都是同一个整式，则第个代数式是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察已知代数式的排列规律，根据规律写出第个代数式． 【详解】解：观察已知代数式可得： 第个代数式：， 第个代数式：， 第个代数式：， 第个代数式为． 12．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）我们规定一个新数“i”，使其满足并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有则值为（） A．i B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据给定规则可得的幂次以为周期循环，先计算每个连续项的和，再分组计算剩余项即可得到最终结果． 【详解】解：∵，，，，， ∴，，，，， ∴算式中的项以循环， ∵，， ∴ ． 13．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知，，则______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 14．（2026·山西长治·三模）在中等配速（约6～7分钟/公里）的长跑中，当步幅（单位：）与身高（单位：）满足公式时，通常能获得较省力、高效舒适的跑步节奏．若小明同学身高，他长跑时应将步幅调整至________左右更省力． 【答案】 【详解】解：当时，． 15．（24-25六年级上·上海·阶段检测）若，，且．则的值为____________． 【答案】 【分析】先根据平方根的定义求出的值，再根据绝对值的定义求出的值，结合，得到与异号，分情况计算，即可得到结果． 【详解】解：由，可得； 由，可得． ， 与异号，故分两种情况讨论： 当时，，； 当时，，， 综上，的值为． 16．（24-25六年级上·上海·阶段检测）当时，代数式的值为____________． 【答案】 【分析】将代入代数式，再按照含乘方有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解∶将代入，得． 17．（26-27七年级·全国·小升初衔接）陈叔叔在快递公司上班，每日基本工资元，每送一件快递另加元．如果陈叔叔每天送件快递，一天拿到工资__________元．6月日，陈叔叔送快递件，这一天他可拿到工资__________元． 【答案】 【分析】根据题意可列代数式，再把代入中，求解即可． 【详解】解：根据题意可得陈叔叔每天送件快递，一天拿到工资元， ∴当时，， ∴陈叔叔送快递件，这一天他可拿到工资元． 18．（23-24七年级上·上海·阶段检测）若，则_____________． 【答案】2024 【分析】利用已知条件得到，对所求多项式进行降次变形，再整体代入计算，运用整式的变形和整体代入的思想求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 19．（2026·福建南平·二模）若，则________． 【答案】5 【分析】由得到，再将代入即可． 【详解】解：∵，且， 将代入可得． 20．（2022·北京·模拟预测）若，则的值为______． 【答案】 【分析】对原式进行因式变形，再将整体代入计算，即可求得结果． 【详解】解：， ∴ ． 21．（2026·陕西榆林·三模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据如图所示的计算程序，当输入时，输出的结果为__________． 【答案】1 【分析】利用程序图中的程序将代入计算即可． 【详解】解：当输入时，原式， 将代入得：． 故输出结果为1． 22．（2026·山西朔州·模拟预测）如图是一个运算程序，若开始输入x的值为25，则第2025次输出的结果为__________． 【答案】5 【分析】根据运算程序图可知输出结果按5和1一循环，然后问题可求解． 【详解】解：由运算程序图可知： 第一次输出结果为，第二次输出结果为，第三次输出结果为，第四次输出结果为，…..；由此可知：输出结果按5和1一循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为5． 23．（25-26八年级下·北京·期中）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值为_____． 【答案】 【分析】观察程序计算图，根据输入的值，找出与的关系式，将其值代入即可求出答案，计算过程需要注意的是有理数的加减法法则（减一个数等于加上这个数的相反数；同号两数相加，取相同的符号并将绝对值相加）． 【详解】解：输入的值是， 将代入中， ． 24．（25-26七年级上·山东滨州·期末）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，则最后输出的结果是______． 【答案】 【分析】根据运算步骤输入，按照逻辑图逐步计算至输出结果，得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴计算， ∵， ∴当时， ∵， ∴计算， ∵， ∴当时， ∵， ∴计算， ∵， ∴结果为． 25． 26．（2026·广东揭阳·二模）“数学好玩”兴趣小组做一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步，算出的各位数字之和得，计算得；…………以此类推，则______． 【答案】26 【分析】根据题意分别求出以及的值，由此发现以26，65，122三个数为一个循环，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ……， 由此发现，以26，65，122三个数为一个循环， ∵， ∴． 27．（2026·河南平顶山·三模）将黑白两色棋子按如图所示的规律摆成若干个图形，则第个图形中黑色棋子的个数为____________（用含n的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】根据前几个图形中黑色棋子的变化规律可得答案． 【详解】解：根据图形，第1个图形黑色棋子有个 第2个图形黑色棋子有个， 第3个图形黑色棋子有个， 第4个图形黑色棋子有个， …… 以此类推，第n个图形黑色棋子有个． 28．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）天气符号是代表各种天气现象、云状等的专用符号．如图，将形状大小完全相同的云朵符号按以下规律进行摆放，其中第1个图形中有5个云朵符号，第2个图形中有6个云朵符号，第3个图形中有7个云朵符号，第4个图形中有8个云朵符号，…，依此规律，第7个图形中云朵符号有____个． 【答案】 【分析】根据图形的变化寻找规律即可求解． 【详解】解：由图可知，第1个图形中含有的云朵符号是个， 第2个图形中含有的云朵符号是个， 第3个图形中含有的云朵符号是个， 第4个图形中含有的云朵符号是个， 归纳可得：第n个图形中含有的云朵符号是个，（其中n为正整数）， 则第7个图形中含有的云朵符号是个． 29．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，则________． 【答案】 【分析】根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积进行计算即可得解． 【详解】解：由题意知，，，，…，， 剩下部分面积为， ∴． 30．（22-23七年级下·吉林·阶段检测）某中学八年级（1）班5名老师决定带领本班x名学生去迁西景忠山旅游参观．该景区每张门票的票价为40元，现有A、B两种购票方案可供选择：方案A：教师全价，学生半价；方案B：不分教师与学生，全部六折优惠． (1)请用含x的代数式分别表示：A方案所需的费用为______元，B方案所需的费用为_____元 (2)当学生人数时，且只选择其中一种方案购票，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 【答案】(1)方案：，方案： (2)选择方案更为优惠 【分析】（1）根据两种方案分别列代数式即可； （2）将分别代入计算即可； 【详解】（1）解：由题意得：A方案所需的费用为元， B方案所需的费用为元； （2）解：当学生人数时， A方案所需的费用为元， B方案所需的费用为元 ； ∴选择方案更为优惠． 31．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）某公园的门票价格如下：成人20元，学生10元，满40人可以购买团体票（8折），设一个旅游团共有x人，其中学生有y人． (1)用含x，y的整式表示该旅游团购买团体票应付的门票费． (2)如果该旅游团有46个成人，12个学生，那么他们购买团体票需付的门票费是多少？ 【答案】(1)元 (2)他们购买团体票需付的门票费是832元 【分析】（1）根据（学生总门票费+成人总门票费）得出代数式； （2）代入相关数据求解，即可得出答案． 【详解】（1）解：成人门票费为元，学生门票费为元， 所以旅游团应付的总费用为元； （2）解：旅游团有46个成人，12个学生， 所以（元）． 答：他们购买团体票需付的门票费是832元． 32．（2026·江西上饶·模拟预测）按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ (1)填写表内空格； 输入x 5 4 … 输出答案 … (2)你发现的规律是______，并证明该规律的正确性． 【答案】(1) 输入x 5 4 … 输出答案 0 0 0 0 … (2)输入的x为任何数结果都为0． 证明：∵， ∴无论x取任何值，结果都为0，即结果与字母x的取值无关． 【分析】（1）把各数值代入程序中计算出结果即可，特别要注意运算顺序； （2）由前几项都为0可得出规律：输入任何数结果都为0．然后根据程序写出关于x的方程式，求得此方程式的值为0，所以无论x取任何值，结果都为0． 【详解】（1）略 （2）略 34．（2026·山东聊城·模拟预测）若，，且，则的值等于（） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题先根据绝对值的定义得到的所有可能取值，再根据判断同号，分情况计算即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴与同号， 分两种情况讨论： ①当，时，， ②当，时，， ∴的值等于或． 35．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期的规律．先根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：由题意知，第1次输出的结果为10， 第2次输出的结果为5， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为， 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， …… 这列数除前2个数外，每4个数为一个周期， ∵， ∴第2026次计算输出的结果是， 故选：D． 36．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）当时，代数式的值是2005，则当时，代数式的值为（） A．2002 B．1999 C． D． 【答案】D 【分析】当时，代数式的值为2005，可先求出的值；当时，和的值为时的相反数，进而求出代数式的值． 【详解】解：当时，，则， 当时，，，则所求代数式为：， ∴当时，． 37．（2026·湖南长沙·三模）数学家欧拉最先把关于x的多项式用符号表示，并把当时的多项式的值用表示．对于多项式，若，则的值等于（） A．6 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】先根据求出的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 38．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）若（其中可取任意实数），则下列选项中不正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用赋值法，给代入不同特殊值，结合等式变形计算各选项的结果，然后再判断正误即可． 【详解】解：A．令，代入原式得，即，故A正确． B．令，得； 令，得，即； 得，整理得，故B正确． C．由的等式，移项得，故C正确； D．令，代入原式得即，整理得，故D错误． 39．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）定义一种新运算：，例如．则的值为________ 【答案】 【分析】根据题目给出的新运算规则，代入对应数值，按照有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：由题意得，， 将，代入， 得 ． 40．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为明文，对应的密文为，．例如：明文1，2对应的密文是，4，当明文是2，5时，密文应是______，______． 【答案】9 【分析】根据给定的加密规则，将明文的值代入对应密文计算即可． 【详解】解：由题意得，明文，，将，代入加密规则得： 第一个密文：， 第二个密文：． 41．（25-26七年级下·上海虹口·期末）据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，每条径赛跑道的起跑线是不同的，径赛规则规定，第跑道的弯道半径长=弯道最内侧半径跑道宽度测量规定．其中第1跑道的测量规定为，其余各条跑道的测量规定为．如图，已知米，每条跑道宽米，共有8条跑道，那么第4跑道的起跑线与第1跑道的起跑线相差____________米．（结果保留） 【答案】 【分析】根据题意可知，跑道周长由两条直道和两个半圆弯道组成，直道长度相等，故起跑线的差值等于弯道周长之差；两个半圆弯道合起来即为一个圆，根据题目给出的第跑道弯道半径计算公式，分别表示出第跑道和第跑道的弯道半径，求出半径之差，再利用圆周长公式计算即可； 【详解】解：根据题意，（米）， 第跑道的弯道半径为：（米）， 第跑道的弯道半径为：（米）， ∵直道长度相等， ∴第跑道与第跑道的起跑线差值等于两跑道弯道周长之差， 差值． 42．（25-26七年级下·重庆忠县·期末）对于一个四位正整数，各数位数字，，，互不相等，若，则称为“等比数”，如各数位数字互不相等，且，所以是“等比数”，那么最小的“等比数”为__________；将“等比数”分成，，若的算术平方根为整数，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】第一问求最小的“等比数”，需从高位到低位依次取最小的符合条件的数字，结合“等比数”定义和各数位互不相等的条件推导．第二问求满足条件的最大“等比数”，需从高位到低位依次从大到小尝试，结合“等比数”定义，各数位互不相等和乘积为完全平方数的条件验证推导． 【详解】解：对于四位正整数，由得，，且互不相等，． 要求最小的“等比数”要使最小，千位取最小正整数，百位从小到大尝试：，与相等，舍去； ，由得， 十位从小到大尝试：（与重复），（与重复），，得， 四个数字互不相等，此时， 故最小的“等比数”为． 要求满足条件的最大“等比数”要使最大， 千位从大到小尝试：当，得，为的倍数， 百位从大到小尝试，所有可能组合得到的， 均不是完全平方数，故无符合条件的数． 当，得，百位从大到小尝试：，为的倍数，与重复，舍去； ，得到，，不是完全平方数，舍去； ，，从大到小尝试：，，得，，不是完全平方数，舍去； ，，得，四个数字互不相等，满足，，，，符合条件． 故满足条件的的最大值为． 43．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）在数学上，图形可以通过一种特殊的方式进行“生长”．以一个正三角形为例，将它的三条边分别进行三等分，然后以每条边中间的一段为底边，向外再画出一个等边三角形，并擦去原来中间的那一段，这时，图形就完成了一次“生长”变形，成为了一个新图形（如图中①②）． （1）如果一个边长是厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形（如图③）周长是_______厘米． （2）如果一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是_______厘米．（用含有的式子表示） 【答案】/ 【分析】（1）根据每次“生长”的图形周长比原来的图形周长多，即可求解； （2）根据题意可推出第次“生长”，得到图形的周长是厘米，即可求解． 【详解】（1）边长是厘米的等边三角形，周长是（厘米）， 第一个“生长”得到图形的周长是（厘米）， 第二次“生长”得到图形的周长是（厘米）， 因此一个边长是厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形周长是厘米； （2）边长为厘米的等边三角形，周长是厘米， 第一次“生长”得到图形的周长是（厘米）， 第二次“生长”得到图形的周长是（厘米）， 第三次“生长”得到图形的周长是（厘米）， ， 以此类推，第次“生长”得到图形的周长是（厘米） 第四次“生长”得到图形的周长是（厘米）， 因此一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是厘米． 44．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是4，是最小的正整数，求的值． 【答案】 【分析】根据相反数、倒数、绝对值、最小的正整数的定义，先求出相关量的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：由题意得，互为相反数，因此，互为倒数，因此． 的绝对值是，因此． 是最小的正整数，因此． 所以． 45．（26-27七年级·全国·小升初衔接）奥地利数学家皮克（）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积S可以由多边形内部格点数i和边界格点数b计算得到，请你观察下列图形，探索S与i和b之间的关系． (1)观察图形，补全表格． 图形 ① ② ③ ④ ⑤ i 0 2 2 6 ______ b 6 10 6 6 ______ S 2 6 4 ______ 12 (2)观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加______． 观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加______． 根据上述发现，可得：______．（用含i和b的式子表示） (3)根据你发现的结论计算图形的面积． 【答案】(1) 图形 ① ② ③ ④ ⑤ i 0 2 2 6 6 b 6 10 6 6 14 S 2 6 4 8 12 (2)1；； (3)图形的面积为21． 【分析】（1）先观察图形⑤，数出内部格点数i和边界格点数b；观察前几个图形，可以把图形④当作是两个相等的梯形，上底是1，下底是3，高是2，计算图形④的面积S； （2）对比①、③、④的i和S的变化量，得出每增加i时面积的变化值；对比②和③、④和⑤的b和S的变化量，得出b每增加1时面积的变化值；再结合这两个变化规律，推导S关于i和b的表达式； （3）先确定目标图形的内部格点数i和边界格点数b，再代入（2）中推导的公式计算面积． 【详解】（1）略 （2）解：①：图形①、③、④的边界格点b都是6，每增加i，面积对应增加1； 即观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加1， ②：图形②和③的内部格点i都是2，b增加4时面积增加2，因此b每增加1，面积增加​； 观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加； ③：， ， ， 根据上述发现，可得：； （3）解：由图可知： 答：图形的面积为21． 试卷第2页，共18页 12/26 学科网（北京）股份有限公司 $