第22讲 代数式的值小升初衔接 2026-2027学年人教版七年级数学上册

3.2 代数式的值 —— 导 学 案 —— 【 学生版 】 一、学习目标 目标 1　理解「代数式的值」的含义 能说出「代数式的值」是指：用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算得到的结果；能识别代数式的值随字母取值变化的动态特征。 目标 2　掌握「代·算·检」三步求值法 能自觉执行三步：(代) 代入时给负数与分数加括号；(算) 严格按运算顺序（括号→乘方→乘除→加减）；(检) 核验符号、单位与量级。 目标 3　掌握 5 类典型求值场景 + 整体代入思想 能熟练处理：公式类 / 含负数 / 含分数 /整体代入；感性建立函数思想（同一代数式，字母取不同值 → 值不同 → 值随字母变化）。 2、 重难点 类别 具体内容 重点 正确代入具体数值，规范执行「代·算·检」三步；灵活处理 5 类求值场景。 难点 负数与分数代入时的括号处理（★★★）；「先化简再代入」的时机判断；整体代入思想的迁移。 易错点 ① 负数代入不加括号：a=-2 代 -a² → 错算成 4；正解 -a² = -(a²) = -4② 分数代入不加括号：a= 代 2a-1 → 应写 2×-1③ 运算顺序错：先加减后乘除；④ 符号丢失：`-a` 当 a=-3 时应等于 3 不是 -3； ⑤ 单位遗漏：面积 cm²、密度 g/cm³ 等要带上单位。 三、复习回顾（3 分钟启动大脑） 回顾一　§3.1 代数式的书写规范（3 秒速答） 请判断下列代数式的书写是否规范：(规范打 ✓，不规范打 ✗ 并改正) 表达式 判断 改正（若不规范） a × 3 ____ ____________________ 1 · a ____ ____________________ a ÷ b ____ ____________________ (-2) × x² ____ ____________________ 回顾二　运算顺序（小学到七年级贯通） 四步优先级： ① 括号 → ② 乘方 → ③ 乘除 → ④ 加减（同级从左往右）。 速答： 3 + 2 × 4 - (-1)² = ？ 回顾三　情境导入 · 一根 a 米的绳子 一根绳子长 a 米，剪去 a 米后剩下多长？剩下的是原来的几分之几？ 请先列代数式： 剩下长度 = a - a = a 米。 现在思考： 如果 a = 6，剩下多少米？如果 a = 12 呢？如果 a = 0.3 呢？ 四、新知探究（教材第 79~81 页） 探究一★★★　代·算·检 三步求值法（本节灵魂） 代数式的值不是「凑答案」，是有严格套路的。请把以下三步刻在肌肉记忆里： 步骤 关键动作 口诀 / 陷阱防护 ① 代 把字母替换为具体数值 ★ 负数用括号、分数用括号、数值与字母连乘补上乘号 ② 算 严格按运算顺序算完 括号 → 乘方 → 乘除 → 加减（同级左往右） ③ 检 核验结果 看符号是否合理、单位是否带上、量级是否离谱 案例 1（正例）：当 a = 3, b = -2 时，求 3a + 2b 的值 三步演示： 1. ① 代： 3×3 + 2×(-2)　 ← 负数 -2 加了括号！ 1. ② 算： = 9 + (-4) = 5 1. ③ 检： 3×3=9 (合理正数)、2×(-2)=-4 (符号正确)、9-4=5 (量级合理) ✓ 案例 2（负数陷阱★★★）：当 a = -2 时，求 -a² 与 (-a)² 的值 陷阱预警： 这两个式子长得像但结果差 8 倍！ -a² = ________________________________________ (-a)² = _______________________________________ 案例 3（分数陷阱）：当 x = 时，求 2x - 1 的值 2x - 1 = _____________________________________ 探究二　5 类典型求值场景（模式识别） 场景 特征 典型代数式 关键技巧 ① 公式类 题目直接给公式 S=πr² · V=abc · v= 背熟公式，识别字母含义，单位统一 ② 含负数 字母取负值 -a² · 5-3a · a²+b² ★ 负数一律加括号 ③ 含分数 字母是分数或结果为分数 2x-1 · · a²+1 ★ 分数一律加括号，通分需清晰 ④ 化简后求值 式子繁复但可先化简 3(x+2)-2(x-1) → x+8 ★ 先化简再代！避免大数计算 ⑤ 整体代入 字母难求但式子可拆 已知 a+b=3, 求 2(a+b)-5 ★ 把 (a+b) 当整体，直接代 3 ★ 记忆口诀： 公式认字母、负分加括号、繁式先化简、整体拆当值。 探究三★★　整体代入思想（初中三年高频高分技巧） 场景： 有些题目单独求出 a 或 b 会很难（甚至无法求出），但题目里出现的 (a+b) 或 (ab) 可以直接给出。这时用整体代入法。 例题演示： 已知 x + y = 5，求代数式 3(x + y) - 4 的值。 解： _____________________________________________ _____________________________________________ 探究四★★　章节链接 · BMI 计算（列式 + 求值） 背景介绍： BMI（身体质量指数）是国际通用的衡量胖瘦的公式： BMI = = 其中 m 是体重（kg），h 是身高（m），BMI 单位为 kg/m²。 健康分类标准（中国成人）： BMI 区间 分类 建议 BMI < 18.5 偏瘦 增加营养 18.5 ≤ BMI < 24.0 正常 保持 24.0 ≤ BMI < 28.0 超重 适度控制饮食 BMI ≥ 28.0 肥胖 需医学干预 请思考： 小明 m = 60 kg, h = 1.6 m，他的 BMI 是多少？属于哪一类？ 代： BMI = _____________________________________ 算： = _________________________________________ 检： 小明属于 _______________（分类） 五、例题精讲 例 1　三步法求值·6 小题（基本功） 当 a = -3, b = 2 时，求下列代数式的值： (1) 2a + b 解： ______________________________________________ (2) a² - b 解： ______________________________________________ (3) -a² + b² 解： ______________________________________________ (4) 3ab 解： ______________________________________________ (5) (a + b)² 解： ______________________________________________ (6) a² + 2ab + b² 解： ______________________________________________ 例 2　5 类求值场景·各选 1 题 (1) 公式类　长方体体积 V = abc，当 a=5, b=4, c=3 时，V = ？ V = ________________________ (2) 含负数　当 x = -4 时，求 -x² + x - 1 的值 解： ______________________________________________ (3) 含分数　当 a = 时，求 9a² - 6a + 1 的值 解： ______________________________________________ 例 3★★★　章节链接战 · BMI 全流程（列式 + 求值 + 分类） 小红 m = 45 kg, h = 1.55 m；小刚 m = 82 kg, h = 1.75 m。 请分别求出两人的 BMI（保留 2 位小数），并判断分类。 小红：代： _____________________________________ 　　　 算： _____________________________________ 　　　 检： 小红 BMI = ______，分类 __________ 小刚：代： _____________________________________ 　　　 算： _____________________________________ 　　　 检： 小刚 BMI = ______，分类 __________ 六、当堂检测（10 分钟限时） Part 1　基础代入（6 题 · 每题 5 分） 当 a = 2, b = -1 时，求下列代数式的值： (1) 3a + 4b 解： _____________________ (2) a - b² 解： _____________________ (3) ab² 解： _____________________ (4) (ab)² 解： _____________________ (5) -a² + b 解： _____________________ (6) (a + b)(a - b) 解： _____________________ Part 2　整体代入（3 题 · 每题 8 分） (1) 已知 x + y = 6，求 2(x + y) + 5 的值 解： ______________________________________________ (2) 已知 a - b = -2，求 3(a - b) - 1 的值 解： ______________________________________________ (3) 已知 mn = 4，求 -5mn + 3 的值 解： ______________________________________________ Part 3★★★　综合应用 · 物理公式代入（1 题 · 15 分） 已知匀速直线运动路程公式 s = v·t。一辆汽车以 v = 72 km/h 的速度行驶 t = 2.5 h。 (1) 求路程 s（单位 km）； (2) 如果把速度改为 90 km/h，其他不变，路程变为多少？增加了几公里？ (3) ★ 观察两次结果，路程与速度是什么关系？（提示：回顾 §3.1.3 变·恒·断三步法） (1) s = _______________________________________________ (2) s' = ______，增加 _____________ km (3) 关系分析： ______________________________________ ______________________________________ 七、思维导图（ASCII 全景 + 三大黄金口诀） ┌──────────────────────────┐ │ 3.2 代数式的值 │ └────────────┬─────────────┘ │ ┌────────────────┬─────────────┬─────────┴───────┬────────────────┬──────────────┐ │ │ │ │ │ 什么是值 代·算·检 5 类场景 整体代入 3 大陷阱 承前启后 │ │ │ │ │ 用数替字母 代 加括号 公式类·含负 x+y=5 → 3(x+y) 负数不加括号 §3.1 列式 按运算算结果 算 严顺序 数·含分数· 直接代 15 分数不加括号 §3.3 整式 结果就是值 检 符合理 化简·整体 -5 得 10 不先化简套壳 §5 方程 ★ 三大黄金口诀（背下来） 口诀 1（代入护身符）： 负数一律加括号，分数一律加括号，安全永远第一位。 口诀 2（计算护身符）： 括号乘方乘除加减，先高级后低级，同级左往右。 口诀 3（省力护身符）： 能化简先化简，能整体不拆分 —— 巧算比硬算高十倍。 八、作业分层（🅰 基础 · 🅱 提高 · 🅲 挑战） 🅰　基础层（代入 6 + 三步法 3） 🅰-1　基础代入·6 题 当 m = -2, n = 3 时，求下列代数式的值： (1) 2m + n 解： _____________________ (2) m - 2n 解： _____________________ (3) mn² 解： _____________________ (4) m²n 解： _____________________ (5) -m² + n 解： _____________________ (6) (m + n)² 解： _____________________ 🅰-2　三步法演示·3 题（按代·算·检三步写出过程） (1) 当 a = -1 时，求 a³ + a² + a + 1 的值 解： ______________________________________________ ______________________________________________ (2) 当 x = 4, y = -3 时，求 x² - 2xy + y² 的值 解： ______________________________________________ ______________________________________________ (3) 当 a = -0.5 时，求 4a² - 4a + 1 的值 解： ______________________________________________ ______________________________________________ 🅱　提高层 🅱-1　综合应用·3 题 (1) 已知 a + b = 3, ab = 2，求 (a + b)² - 2ab 的值。 解： ______________________________________________ (2) 圆的面积公式 S = πr²。当 r = 4 cm 时（π 取 3.14），求 S。 解： ______________________________________________ (3) ★★ 已知 a² + a = 3，求 2a² + 2a - 5 的值。（提示：把 a² + a 当整体） 解： ______________________________________________ ______________________________________________ 🅲　挑战层（物理公式 + 完全平方结构 + 章节链接总决战） 🅲-1★　物理公式代入 · 落体运动 自由落体的高度公式 h = ·g·t²，其中 g ≈ 9.8 m/s² 是重力加速度。 (1) 一个物体从楼上自由下落 t = 2 s，求下落高度 h。 (2) 如果 t 变为 4 s（2 倍），h 变为原来的几倍？ (3) 观察：h 与 t 是什么关系？（正比例 · 反比例 · 都不是？） (1) h = _______________________________________________ (2) h' = _____ m，是原来的 _____ 倍 (3) 关系判断： ______________________________________ 🅲-2★★★　章节链接总决战 —— 燃油车经济性分析 某型号汽车油耗公式为 y = ，其中 x 是行驶速度（km/h），y 是每公里油耗（L/km），c 为常数（此车 c = 0.08）。已知油价 p = 8 元/L。 (1) 用含 x, c, p 的代数式表示 每 100 km 油费 M。 (2) 求 x = 40 km/h 时，M 的值（保留 3 位有效数字，用科学记数法）。 (3) 求 x = 80 km/h 时，M 的值。 (4) ★ 用变·恒·断（§3.1.3）分析：油价 p、常数 c 不变时，M 与 x 是什么关系？ (1) M = _______________________________________________ (2) x=40 时，M = ______________________________ 元 (3) x=80 时，M = ______________________________ 元 (4) 分析： _____________________________________________ _____________________________________________ 九、学习反思（请学生诚实作答） 反思问题 我的回答 1. 我能用一句话解释「代数式的值」是什么吗？（用数替字母 → 按顺序算 → 得到结果） ________________________________ 2. 我掌握「代·算·检」三步法了吗？代入负数时能自觉加括号吗？ ________________________________ 3. 我能区分 -a² 和 (-a)² 吗？例如 a=-2 时，两者分别等于多少？ ________________________________ 4. 遇到繁式（如 3(x+2)-2(x-1)），我会先化简还是先代入？为什么？ ________________________________ 5. 我理解「整体代入」了吗？知道什么情境下不需要单独求 a 和 b？ ________________________________ 6. 本节我最容易犯的错是什么？下次遇到我如何提醒自己？ ________________________________ ───────────────────────────────────────── 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 代数式的值 —— 导 学 案 —— 【 教师版 】 一、学习目标 目标 1　理解「代数式的值」的含义 能说出「代数式的值」是指：用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算得到的结果；能识别代数式的值随字母取值变化的动态特征。 目标 2　掌握「代·算·检」三步求值法 能自觉执行三步：(代) 代入时给负数与分数加括号；(算) 严格按运算顺序（括号→乘方→乘除→加减）；(检) 核验符号、单位与量级。 目标 3　掌握 5 类典型求值场景 + 整体代入思想 能熟练处理：公式类 / 含负数 / 含分数 /整体代入；感性建立函数思想（同一代数式，字母取不同值 → 值不同 → 值随字母变化）。 二、重难点 类别 具体内容 重点 正确代入具体数值，规范执行「代·算·检」三步；灵活处理 5 类求值场景。 难点 负数与分数代入时的括号处理（★★★）；「先化简再代入」的时机判断；整体代入思想的迁移。 易错点 ① 负数代入不加括号：a=-2 代 -a² → 错算成 4；正解 -a² = -(a²) = -4② 分数代入不加括号：a= 代 2a-1 → 应写 2×-1③ 运算顺序错：先加减后乘除；④ 符号丢失：`-a` 当 a=-3 时应等于 3 不是 -3； ⑤ 单位遗漏：面积 cm²、密度 g/cm³ 等要带上单位。 三、复习回顾（3 分钟启动大脑） 回顾一　§3.1 代数式的书写规范（3 秒速答） 请判断下列代数式的书写是否规范：(规范打 ✓，不规范打 ✗ 并改正) 表达式 判断 改正（若不规范） a × 3 ____ ____________________ 1 · a ____ ____________________ a ÷ b ____ ____________________ (-2) × x² ____ ____________________ 【答案】 1. a×3 ✗ → 改为 3a（数字在前，省略乘号） 1. 1½·a ✗ → 改为 (3/2)a 或 1.5a（带分数化假分数） 1. a÷b ✗ → 改为 a/b（除号用分数线） 1. (-2)×x² ✗ → 改为 -2x²（省略乘号；负号在最前） 回顾二　运算顺序（小学到七年级贯通） 四步优先级： ① 括号 → ② 乘方 → ③ 乘除 → ④ 加减（同级从左往右）。 速答： 3 + 2 × 4 - (-1)² = ？ 【答案】 = 3 + 2×4 - 1 = 3 + 8 - 1 = 10 ★ 特别注意 (-1)² = 1，不是 -1。乘方比减法优先。 回顾三　情境导入 · 一根 a 米的绳子 一根绳子长 a 米，剪去 a 米后剩下多长？剩下的是原来的几分之几？ 请先列代数式： 剩下长度 = a - a = a 米。 现在思考： 如果 a = 6，剩下多少米？如果 a = 12 呢？如果 a = 0.3 呢？ 【学生分组作答，展示计算过程】 a = 6：　剩下 = ×6 = 4 米 a = 12：剩下 = ×12 = 8 米 a = 0.3：剩下 = ×0.3 = 0.2 米 ★ 核心发现： 同一个代数式 a，代入不同的 a 得到不同的结果 —— 这个结果就叫 代数式的值。 【教学提示】 这里悄悄埋下函数思想 —— 一个代数式 a 就是一个「输入 a → 输出结果」的规则。 四、新知探究（教材第 79~81 页） 探究一★★★　代·算·检 三步求值法（本节灵魂） 代数式的值不是「凑答案」，是有严格套路的。请把以下三步刻在肌肉记忆里： 步骤 关键动作 口诀 / 陷阱防护 ① 代 把字母替换为具体数值 ★ 负数用括号、分数用括号、数值与字母连乘补上乘号 ② 算 严格按运算顺序算完 括号 → 乘方 → 乘除 → 加减（同级左往右） ③ 检 核验结果 看符号是否合理、单位是否带上、量级是否离谱 案例 1（正例）：当 a = 3, b = -2 时，求 3a + 2b 的值 三步演示： 1. ① 代： 3×3 + 2×(-2)　 ← 负数 -2 加了括号！ 1. ② 算： = 9 + (-4) = 5 1. ③ 检： 3×3=9 (合理正数)、2×(-2)=-4 (符号正确)、9-4=5 (量级合理) ✓ 案例 2（负数陷阱★★★）：当 a = -2 时，求 -a² 与 (-a)² 的值 陷阱预警： 这两个式子长得像但结果差 8 倍！ 【解答】 求 -a² 时： -a² 表示 -(a²)，先算 a² 再取负。 1. 代：-(-2)² ← 关键：a 被 (-2) 替换，不是 -2² ！ 1. 算： -(-2)² = -(4) = -4 求 (-a)² 时： (-a)² 表示 -a 的平方，先算 -a 再平方。 1. 代：(-(-2))² = (2)² 1. 算： = 4 ★ 核心区别： -a² 中负号在外（不参与平方），(-a)² 中负号在里（参与平方）。这是最容易失分的点，务必反复练习。 案例 3（分数陷阱）：当 x = 1/2 时，求 2x - 1 的值 【解答】 代：2×( ) - 1 ← 分数加括号，防止乘除混淆 算： = 1 - 1 = 0 探究二　5 类典型求值场景（模式识别） 场景 特征 典型代数式 关键技巧 ① 公式类 题目直接给公式 S=πr² · V=abc · v= 背熟公式，识别字母含义，单位统一 ② 含负数 字母取负值 -a² · 5-3a · a²+b² ★ 负数一律加括号 ③ 含分数 字母是分数或结果为分数 2x-1 · · a²+1 ★ 分数一律加括号，通分需清晰 ④ 化简后求值 式子繁复但可先化简 3(x+2)-2(x-1) → x+8 ★ 先化简再代！避免大数计算 ⑤ 整体代入 字母难求但式子可拆 已知 a+b=3, 求 2(a+b)-5 ★ 把 (a+b) 当整体，直接代 3 ★ 记忆口诀： 公式认字母、负分加括号、繁式先化简、整体拆当值。 探究三★★　整体代入思想（初中三年高频高分技巧） 场景： 有些题目单独求出 a 或 b 会很难（甚至无法求出），但题目里出现的 (a+b) 或 (ab) 可以直接给出。这时用整体代入法。 例题演示： 已知 x + y = 5，求代数式 3(x + y) - 4 的值。 【解答】 我们不需要知道 x 和 y 分别是多少！只需要把 (x + y) 当作一个整体： 原式 = 3×(x+y) - 4 = 3×5 - 4 = 11 ★ 关键顿悟： x=2 y=3 是 5，x=4 y=1 也是 5，x=-100 y=105 也是 5 —— 尽管 x, y 无穷组合，(x+y)=5 是恒定的，所以直接代 5 即可。这就叫「守恒代入」！ 探究四★★　章节链接 · BMI 计算（列式 + 求值） 背景介绍： BMI（身体质量指数）是国际通用的衡量胖瘦的公式： BMI = 体重 / 身高² = m / h² 其中 m 是体重（kg），h 是身高（m），BMI 单位为 kg/m²。 健康分类标准（中国成人）： BMI 区间 分类 建议 BMI < 18.5 偏瘦 增加营养 18.5 ≤ BMI < 24.0 正常 保持 24.0 ≤ BMI < 28.0 超重 适度控制饮食 BMI ≥ 28.0 肥胖 需医学干预 请思考： 小明 m = 60 kg, h = 1.6 m，他的 BMI 是多少？属于哪一类？ 【解答】 代： BMI = 60 / (1.6)² = 60 / 2.56 算： ≈ 23.44 kg/m² 检： 23.44 落在 [18.5, 24.0) 区间 → 正常 ★—— 学以致用，走进生活。 五、例题精讲 例 1　三步法求值·6 小题（基本功） 当 a = -3, b = 2 时，求下列代数式的值： (1) 2a + b 【解】 = 2×(-3) + 2 = -6 + 2 = -4 (2) a² - b 【解】 = (-3)² - 2 = 9 - 2 = 7 (3) -a² + b² 【解】 = -(-3)² + 2² = -9 + 4 = -5 【★ -a² 陷阱】 (4) 3ab 【解】 = 3×(-3)×2 = -18 (5) (a + b)² 【解】 = (-3 + 2)² = (-1)² = 1 (6) a² + 2ab + b² 【解】 = 9 + 2×(-3)×2 + 4 = 9 - 12 + 4 = 1 【★ 与 (5) 结果相同：完全平方公式的前奏】 例 2　5 类求值场景·各选 1 题 (1) 公式类　长方体体积 V = abc，当 a=5, b=4, c=3 时，V = ？ 【解】 V = 5×4×3 = 60（立方单位） (2) 含负数　当 x = -4 时，求 -x² + x - 1 的值 【解】 代： -(-4)² + (-4) - 1 算： = -16 - 4 - 1 = -21 ★ -(-4)² 中 -4 先平方为 16，再取负得 -16。 (3) 含分数　当 a = 时，求 9a² - 6a + 1 的值 【解】 代： 9×()² - 6×() + 1 算： = 9×() - 2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 ★ 注意 平方是 ，不是 。 例 3★★★　章节链接战 · BMI 全流程（列式 + 求值 + 分类） 小红 m = 45 kg, h = 1.55 m；小刚 m = 82 kg, h = 1.75 m。 请分别求出两人的 BMI（保留 2 位小数），并判断分类。 【解答】 小红： 　代： BMI = = 　算： ≈ 18.73 kg/m² 　检： 18.73 在18.5 ≤ BMI < 24.0 之间→ 正常 小刚： 　代： BMI = = 　算： ≈ 26.78 kg/m² 　检： 26.78 在24.0 ≤ BMI < 28.0之间→ 超重（建议适度控制饮食） 六、当堂检测（10 分钟限时） Part 1　基础代入（6 题 · 每题 5 分） 当 a = 2, b = -1 时，求下列代数式的值： (1) 3a + 4b 【解】 3×2 + 4×(-1) = 6 - 4 = 2 (2) a - b² 【解】 2 - (-1)² = 2 - 1 = 1 (3) ab² 【解】 2×(-1)² = 2×1 = 2 (4) (ab)² 【解】 (2×(-1))² = (-2)² = 4 (5) -a² + b 【解】 -(2)² + (-1) = -4 - 1 = -5 (6) (a + b)(a - b) 【解】 (2 + (-1))(2 - (-1)) = 1 × 3 = 3 Part 2　整体代入（3 题 · 每题 8 分） (1) 已知 x + y = 6，求 2(x + y) + 5 的值 【解】 2×6 + 5 = 17 (2) 已知 a - b = -2，求 3(a - b) - 1 的值 【解】 3×(-2) - 1 = -7 (3) 已知 mn = 4，求 -5mn + 3 的值 【解】 -5×4 + 3 = -17 Part 3★★★　综合应用 · 物理公式代入（1 题 · 15 分） 已知匀速直线运动路程公式 s = v·t。一辆汽车以 v = 72 km/h 的速度行驶 t = 2.5 h。 (1) 求路程 s（单位 km）； (2) 如果把速度改为 90 km/h，其他不变，路程变为多少？增加了几公里？ (3) ★ 观察两次结果，路程与速度是什么关系？（提示：回顾 §3.1.3 变·恒·断三步法） 【解答】 (1) s = 72 × 2.5 = 180 km (2) s' = 90 × 2.5 = 225 km；增加 225 - 180 = 45 km (3) ★ 变：v 从 72 变到 90；恒：t = 2.5 h 守恒；断：s = v·t，t 恒 → s 与 v 成 正比例。速度增至 1.25 倍，路程也增至 1.25 倍（180 → 225）。 七、思维导图（ASCII 全景 + 三大黄金口诀） ┌──────────────────────────┐ │ 3.2 代数式的值 │ └────────────┬─────────────┘ │ ┌────────────────┬─────────────┬─────────┴───────┬────────────────┬──────────────┐ │ │ │ │ │ 什么是值 代·算·检 5 类场景 整体代入 3 大陷阱 承前启后 │ │ │ │ │ 用数替字母 代 加括号 公式类·含负 x+y=5 → 3(x+y) 负数不加括号 §3.1 列式 按运算算结果 算 严顺序 数·含分数· 直接代 15 分数不加括号 §3.3 整式 结果就是值 检 符合理 化简·整体 -5 得 10 不先化简套壳 §5 方程 ★ 三大黄金口诀（背下来） 口诀 1（代入护身符）： 负数一律加括号，分数一律加括号，安全永远第一位。 口诀 2（计算护身符）： 括号乘方乘除加减，先高级后低级，同级左往右。 口诀 3（省力护身符）： 能化简先化简，能整体不拆分 —— 巧算比硬算高十倍。 八、作业分层（🅰 基础 · 🅱 提高 · 🅲 挑战） 🅰　基础层（代入 6 + 三步法 3） 🅰-1　基础代入·6 题 当 m = -2, n = 3 时，求下列代数式的值： (1) 2m + n 【解】 2×(-2) + 3 = -1 (2) m - 2n 【解】 -2 - 6 = -8 (3) mn² 【解】 -2×9 = -18 (4) m²n 【解】 4×3 = 12 (5) -m² + n 【解】 -4 + 3 = -1 (6) (m + n)² 【解】 (1)² = 1 🅰-2　三步法演示·3 题（按代·算·检三步写出过程） (1) 当 a = -1 时，求 a³ + a² + a + 1 的值 【解】 代：(-1)³ + (-1)² + (-1) + 1；算：-1 + 1 - 1 + 1 = 0；检：符号正确 (2) 当 x = 4, y = -3 时，求 x² - 2xy + y² 的值 【解】 代：4² - 2×4×(-3) + (-3)²；算：16 + 24 + 9 = 49；★ 观察：这是 (x-y)²=(4-(-3))²=49 (3) 当 a = -0.5 时，求 4a² - 4a + 1 的值 【解】 代：4×(-0.5)² - 4×(-0.5) + 1；算：1 + 2 + 1 = 4；★ 观察：这是 (2a-1)²=(-2)²=4 🅱　提高层 🅱-1综合应用·3 题 (1) 已知 a + b = 3, ab = 2，求 (a + b)² - 2ab 的值。 【解】 (a+b)² - 2ab = 3² - 2×2 = 9 - 4 = 5 ★ 说明：(a+b)² - 2ab = a² + b²，是初中常用的整体变形。 (2) 圆的面积公式 S = πr²。当 r = 4 cm 时（π 取 3.14），求 S。 【解】 S = 3.14 × 4² = 3.14 × 16 = 50.24 cm² ★ 单位要带上，「cm²」是面积的单位。 (3) ★★ 已知 a² + a = 3，求 2a² + 2a - 5 的值。（提示：把 a² + a 当整体） 【解】 变形：2a² + 2a - 5 = 2(a² + a) - 5 代入：a² + a = 3，得 2×3 - 5 = 1 ★ 顿悟： 不需要解出 a 是什么（其实 a=(-1±√13)/2 涉及无理数），整体代入直接得答案。 🅲　挑战层（物理公式 + 完全平方结构 + 章节链接总决战） 🅲-1★　物理公式代入 · 落体运动 自由落体的高度公式 h = ·g·t²，其中 g ≈ 9.8 m/s² 是重力加速度。 (1) 一个物体从楼上自由下落 t = 2 s，求下落高度 h。 (2) 如果 t 变为 4 s（2 倍），h 变为原来的几倍？ (3) 观察：h 与 t 是什么关系？（正比例 · 反比例 · 都不是？） 【解】 (1) h = ×9.8×2² = 4.9×4 = 19.6 m (2) h' = ×9.8×4² = 4.9×16 = 78.4 m；78.4÷19.6 = 4 倍（不是 2 倍！） (3) ★ h 与 t 是 平方关系（h = g·t²），不是正比例也不是反比例。t 变 2 倍，h 变 4 倍；t 变 3 倍，h 变 9 倍。 🅲-2★★★　章节链接总决战 —— 燃油车经济性分析 某型号汽车油耗公式为 y = ，其中 x 是行驶速度（km/h），y 是每公里油耗（L/km），c 为常数（此车 c = 0.08）。已知油价 p = 8 元/L。 (1) 用含 x, c, p 的代数式表示 每 100 km 油费 M。 (2) 求 x = 40 km/h 时，M 的值（保留 3 位有效数字，用科学记数法）。 (3) 求 x = 80 km/h 时，M 的值。 (4) ★ 用变·恒·断（§3.1.3）分析：油价 p、常数 c 不变时，M 与 x 是什么关系？ 【解答】 (1) 每公里油耗 y = （L/km），每公里油费 = p·y =（元/km），每 100 km 油费 M = 100· = 100（元） (2) x = 40, c = 0.08, p = 8：M = 100 × 8 × 0.08 ÷40 = 64÷40 = 1.6 = 1.60×10⁰ 元 (3) x = 80：M = 100 × 8 × 0.08 ÷ 80 = 64÷80 = 0.8 元 (4) ★ 变·恒·断：变（x, M），恒（100pc = 100×8×0.08 = 64 恒定），断（M·x = 64 → M 与 x 成反比例关系）。速度加倍，每 100 km 油费减半 —— 但注意实际驾驶中 c 会随 x 增大而增大，本题简化了。 ★ 章节链接： 这道题综合了 科学记数法 · 有效数字 · 代数式书写 · 列代数式 · 反比例关系 · 代数式的值 六节，是本节的巅峰之作。 九、学习反思（请学生诚实作答） 反思问题 我的回答 1. 我能用一句话解释「代数式的值」是什么吗？（用数替字母 → 按顺序算 → 得到结果） ________________________________ 2. 我掌握「代·算·检」三步法了吗？代入负数时能自觉加括号吗？ ________________________________ 3. 我能区分 -a² 和 (-a)² 吗？例如 a=-2 时，两者分别等于多少？ ________________________________ 4. 遇到繁式（如 3(x+2)-2(x-1)），我会先化简还是先代入？为什么？ ________________________________ 5. 我理解「整体代入」了吗？知道什么情境下不需要单独求 a 和 b？ ________________________________ 6. 本节我最容易犯的错是什么？下次遇到我如何提醒自己？ ________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $