专题10 因式分解 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题10 因式分解 暑假预习讲义 ✺知识框架 基础概念，掌握因式分解定义，辨析因式分解与整式乘法的互逆关系，明确变形判定要点； 核心解题方法：包含课内两大基础方法，即提公因式法与公式法，公式法细分为平方差公式、完全平方公式，可根据多项式结构灵活选用； 通用解题准则：熟练掌握“一提、二套、三查”标准解题流程，严格遵守书写规范，确保结果最简、分解彻底 ✺学习目标 知识与技能 1.理解因式分解的定义，清晰区分因式分解与整式乘法，熟练掌握二者互逆变形的核心关系。 2.掌握公因式的查找方法，能够熟练、规范地使用提公因式法分解多项式。 3.熟记平方差、完全平方公式，能够根据多项式结构准确套用公式分解。 4.掌握因式分解的标准解题步骤，规范书写，做到分解彻底、结果最简。 5.熟悉常见易错点，能够独立完成基础因式分解题目。 思路方法 1.结合整式乘法逆向理解因式分解，建立逆向思维。 2.掌握标准化解题流程，有序解题，避免步骤遗漏。 3.通过观察多项式的项数、符号和结构特征，快速匹配对应的分解方法。 素养提升 1.养成细心观察、规范书写、主动检查的良好做题习惯，减少运算错误。 2.掌握代数式恒等变形思想，为后续分式运算、解方程知识打好基础。 3.培养归纳总结的学习能力，提升整式运算的综合数学素养。 ✺题型归纳 题型1.判断是否是因式分解 题型2.已知因式分解的结果求参数 题型3.公因式 题型4.提公因式法分解因式 题型5.判断能否用公式法分解因式 题型6.平方差公式分解因式 题型7.完全平方公式分解因式 题型8.综合运用公式法分解因式 题型9.综合提公因式和公式法分解因式 题型10.因式分解在有理数简算中的应用 题型11.十字相乘法 题型12.分组分解法 题型13.因式分解的应用 题型.14.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、因式分解的定义及与整式乘法的关系 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2.判定要点:变形前为完整多项式，变形后为多个整式乘积形式，等式左右恒等，结果只含整式相乘，不含加减运算、不含分式、不含整式加减混合形式。 3.与整式乘法的关系：二者互为互逆变形，整式乘法是积化和差（整式乘积展开为多项式），因式分解是和差化积（多项式整理为整式乘积）。 知识点二、提公因式法 1.公因式定义：多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式，可以是数字、单项式或简单多项式。 2.查找公因式方法： ◆系数取各项系数的最大公约数；◆字母取各项共有相同字母；◆指数取相同字母的最低次幂。 3.字母表示：ma+mb+mc=m(a+b+c) 注意事项：首项为负时，优先提取负号，括号内所有项统一变号；公因式需提取彻底，不可局部提取；单项式因式完全提出后，剩余项为1，严禁漏写。 知识点三、平方差公式因式分解 1.公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 2.适用条件：多项式为两项式，两项符号一正一负，且两项均可整理为整式平方的形式。 3.公式说明：公式中a、b可代表数字、单项式、多项式。 知识点四、完全平方公式因式分解 1.公式：a2+2ab+b2=(a+b)2； a2-2ab+b2=(a-b)2 2.完全平方式特征：多项式共三项，首尾两项为正的平方项，中间项为首尾两项底数乘积的±2倍。 3.记忆口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央，同号和平方，异号差平方。 知识点五、因式分解通用解题步骤 一提：优先观察式子，提取多项式全部公因式； 二套：提尽公因式后，根据剩余式子结构，套用对应公式分解，二项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式。 三查：逐一检查所有因式，确保无剩余可分解因式，做到分解彻底。 知识点六、因式分解书写规范 ◆最终结果必须为整式乘积形式，不能保留加减运算； ◆相同因式统一整理为幂的形式，简洁规范； ◆所有因式首项系数为正，统一使用小括号，无多余嵌套括号； ◆严格遵循分解彻底原则，所有因式均无法再分解，为最终最简结果。 ✺题型精讲 题型1.判断是否是因式分解 1．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A． 是整式乘法运算，从整式的积展开为多项式，不符合因式分解定义，不符合题意； B． ，左边是单项式，不是多项式，因式分解是对多项式进行变形，不符合要求，不符合题意； C． ，只是等式的恒等变形，没有将多项式化为几个整式的积，不符合要求，不符合题意； D． ，左边是多项式，右边是整式的积，符合因式分解的定义，符合题意． 2．对于①②从左到右的变形中，属于因式分解的是____．（填序号） 【答案】① 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式改写成几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此求解即可． 【详解】解：①是因式分解，符合题意； ②是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； 故答案为：①． 3．下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是因式分解 (2)不是因式分解 (3)是因式分解 (4)不是因式分解 (5)不是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解是针对多项式而言的，因式分解后，右边是整式积的形式． 根据分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式 【详解】（1）解：因式分解是针对多项式来说的，故不是因式分解； （2）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解； （3）解：是因式分解； （4）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解； （5）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解． 题型2.已知因式分解的结果求参数 1．若多项式可分解为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先展开因式分解后的式子，利用多项式相等对应项系数相等求出和的值，再计算即可． 【详解】首先展开因式分解后的式子 又原多项式为，两个多项式相等对应系数相等 ∴， 将代入得 ∴ 故选：C． 2．已知整式分解因式的结果为，则______． 【答案】100 【分析】将分解因式后的结果展开，对比原式对应项的系数即可求得． 【详解】解：， 由题意得， ． 3．1637年，笛卡尔在其《几何学》中首次应用待定系数法进行因式分解．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下．分解因式：． 解：观察可知，当时，原式，所以原式可分解为与另一个整式的积．因为为三次式，且最高次项系数为1，而是一次式，一次项的系数为1．所以可设另一个整式为，即．因为上式对任意恒成立，所以可另取几个方便计算的的值代入上述等式的左右两边，得到方程组，求得，的值，从而完成对的因式分解． (1)取和代入，求，的值． (2)尝试用上述方法分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按要求代入指定的值，得到关于，的方程组求解即可； （2）先试根得到原式的一个一次因式，再用待定系数法求出另一个二次因式，即可完成分解． 【详解】（1）解：已知， 将代入等式两边，得左边， 右边， 因此， 解得， 将，代入等式两边，得左边， 右边， 因此， 解得， 即 （2）对于多项式，当时，原式， 因此原式可分解为与一个二次整式的乘积， 设另一个整式为，可得， 取代入等式，得左边，右边， 因此， 取代入等式，得左边， 右边， 因此， 解得， 因此 题型3.公因式 1．对多项式进行因式分解，可以提取的公因式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出系数的最大公约数与相同字母的最低次幂，再得到公因式． 【详解】解：∵多项式中，两项系数和的最大公约数为，两项共有的字母为和，的最低次数为，的最低次数为， ∴公因式为． 2．多项式的公因式是__________． 【答案】 【分析】本题根据公因式的定义，先计算多项式各项系数的最大公约数，再提取各项共有的相同字母的最低次幂，两者乘积即为所求公因式． 【详解】解：， 因此多项式的公因式为． 3．找出的公因式． 【答案】 【分析】本题考查了公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式，熟记公因式的定义是解题关键．根据公因式的定义求解即可得． 【详解】解：和系数的公因数可取，相同字母的最低次幂是1，相同字母的最低次幂是1， 所以的公因式为． 题型4.提公因式法分解因式 1．下列四个多项式中，能因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将多项式化为几个整式乘积的形式叫做因式分解，可通过提公因式法、公式法判断各选项是否能分解． 【详解】解：选项A，无法继续分解为多个次数不低于1的整式乘积，不能因式分解， 选项B，没有公因式，也不符合常用因式分解公式，不能因式分解， 选项C，没有公因式，也不符合常用因式分解公式，不能因式分解， 选项D，可提取公因式，得到，符合因式分解要求． 2．分解因式： （1）_____ （2）_____． 【答案】 【详解】解：（1）原式， （2）原式． 3．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式即可完成分解； （2）先凑出公因式，然后运用提取公因式法求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 题型5.判断能否用公式法分解因式 1．下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式因式分解的条件，平方差公式因式分解要求多项式能写成两个平方项的差的形式，即的形式，逐个判断四个式子即可得到结果． 【详解】解：① 是两个平方项的和，不符合要求，不能用平方差公式因式分解； ② 符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ③ ，符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ④ ，本质是两个平方项的和的相反数，不符合要求，不能用平方差公式因式分解． 2．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 3．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查公式法因式分解，主要利用平方差公式 或完全平方公式 ，检查各选项是否符合公式形式即可． 【详解】解：选项 A∶ ，两个平方项的符号不一致，不符合完全平方公式，也无法直接应用平方差公式，不能用公式法分解． 选项B∶，整理为，两个平方项的符号不一致，不符合完全平方公式，也无法直接应用平方差公式，不能用公式法分解． 选项C∶，仅为两个平方项相加，不符合平方差公式或完全平方公式，不能用公式法分解． 选项D∶，可改写为，符合平方差公式，，能用公式法分解． 故选D． 题型6.平方差公式分解因式 1．下列多项式可以用平方差公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能用平方差公式分解的多项式需要满足可写成的形式，即两个平方项符号相反，为差的形式，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，是两个平方项的和，符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解； 选项B：，符合的形式，满足平方差公式分解因式的条件； 选项C：，两个平方项符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解； 选项D：，是两个平方项的和，符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解． 2．因式分解：_____． 【答案】 【详解】解：． 3．因式分解：． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ． 题型7.完全平方公式分解因式 1．下列各式中，加上，不能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式，逐一验证各选项即可得到答案． 【详解】解：对选项A：，不符合要求； 对选项B：，，不符合要求； 对选项C：，不符合要求； 对选项D：无法利用完全平方公式分解因式，符合要求． 2．分解因式：______． 【答案】 【分析】先整理原式为，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 3．“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．阅读以下材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得原式． 请你参考上述方法解答下列问题： (1)因式分解：__________________； (2)试说明无论n为何值，的值一定是一个非负数． 【答案】(1) (2)将“”看成整体，令， 则原式 ， 再将“A”还原，得原式， ∵无论n为何值，， ∴无论n为何值，的值一定是一个非负数． 【分析】（1）将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原即可； （2）将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原即可． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令，则原式， 再将“A”还原，得原式； （2） 略． 题型8.综合运用公式法分解因式 1．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 2．在实数范围内因式分解__________． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】 ． 故答案为：． 3．因式分解：． 【答案】 【详解】解：           ． 题型9.综合提公因式和公式法分解因式 1．下列分解因式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、，A错误； B、，B错误； C、，C错误； D、，D正确； 2．因式分解：________． 【答案】 【分析】整理后提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 3．分解因式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式，两个小题都需要先提取公因式，再利用乘法公式继续分解． 【详解】（1）解： （2）解： 题型10.因式分解在有理数简算中的应用 1．下列各数不能整除的是（     ） A．3 B．5 C．7 D．17 【答案】C 【分析】本题运用平方差公式对进行因式分解，得到原式的因数，即可判断出不能整除它的数． 【详解】解：由平方差公式， 含有因数3，5，17，不含因数7， 不能被7整除． 2．计算：______． 【答案】 【详解】解：． 3．用简便方法计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型11.十字相乘法 1．将分解因式正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，即，熟练掌握十字相乘法方法是解答本题的关键． 利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：． 故选A． 2．分解因式：_____． 【答案】 【分析】利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 3．因式分解：． 【答案】 【分析】先提取公因式，再对提取公因式后的二次三项式用十字相乘法完成因式分解． 【详解】解：原式 ． 题型12.分组分解法 1．因式分解的值为（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】利用分组分解法分解因式即可． 【详解】解：原式 ； 故选B． 【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握分组分解法分解因式． 2．分解因式：_______． 【答案】 【分析】先添加，再减去此项，利用分组分解法即可分解因式． 【详解】解：原式 ． 3．已知，，求代数式的值． 【答案】15 【分析】先把所要求值的代数式用分组分解法分解因式，再整体代入即可求解． 【详解】解：原式， ∵，， ∴原式． 题型13.因式分解的应用 1．如图，大长方形的面积为，它可以被分割成2个正方形和4个小长方形，则多项式可因式分解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知，大长方形的宽为，长为， ∴大长方形的面积， 由图可知，大长方形的面积， ∴． 2．若一个长方形的长和宽分别为a，b，其周长为14，面积为12，则的值为______． 【答案】84 【分析】根据长方形的面积和周长得到，，再把因式分解，最后整体代入即可求出答案． 【详解】解：一个长方形的长和宽分别为a，b，其周长为14，面积为12， ∴，， ∴ 3．解决问题 (1)已知为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． (2)已知n为整数，代数式的值一定能被12整除吗？作出判断，并说明理由． 【答案】(1)解：是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴． ，，是的三边长， ， ， ， 即是等腰三角形． (2)解：代数式的值一定能被整除；理由如下： ； ∴代数式的值一定能被12整除. 【分析】（1）观察题中等式可以发现，得，据此能判断出三角形的形状； （2）整理式子得，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 ✺巩固测试 一、单选题 1．将多项式分解因式时，应提取的公因式为（     ） A． B．y C． D． 【答案】C 【分析】先求系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母的最低次幂，两者乘积即为公因式． 【详解】解：∵多项式的系数为和，和的最大公约数是， 又∵两项共有的相同字母为，的最低次幂是，多项式第一项不含字母， ∴应提取的公因式为． 2．因式分解：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查提公因式法因式分解，找出多项式各项的公因式，提取公因式即可得到结果． 【详解】解：． 3．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解要求左边为多项式，右边为几个整式的乘积，据此逐一判断各选项． 【详解】解：A 选项：，右边是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解，故A选项不符合要求； B 选项：，是整式乘法，从乘积化为多项式，不是因式分解，故B选项不符合要求； C 选项：，右边不是整式，结果不是整式乘积，不是因式分解，故C选项不符合要求； D 选项：，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故D选项符合要求． 4．已知多项式能分解因式为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】展开因式乘积，根据多项式对应项系数相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ，， 解得， ∴． 5．下列式子能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】能用平方差公式因式分解的多项式需满足可写成两个平方项的差的形式，即的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、是两个平方项的和，符号相同，不符合要求，因此A错误； B、，是两个平方项的和，符号相同，不符合要求，因此B错误； C、符合两个平方项差的形式，可分解为，能用平方差公式因式分解，因此C正确； D、，本质为两个平方项和的相反数，不符合要求，因此D错误． 二、填空题 6．因式分解：________． 【答案】 【详解】． 7．分解因式：______． 【答案】 【详解】解：． 8．在实数范围内分解因式：__________________ 【答案】 【分析】此题考查分解因式，先配方，然后利用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．分解因式：______． 【答案】 【详解】解：． 10．利用平方差公式计算，结果为______． 【答案】600 【分析】本题考查因式分解在有理数混合运算的应用．正确使用因式分解使运算简便是解题的关键． 先提公因式15，得，再将因式用平方差公式分解，然后再计算即可． 【详解】解：原式 ． 三、解答题 11．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式因式分解后计算； （2）先对式子变形，再用完全平方公式因式分解后计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．分解因式后，求的值． 【答案】169 【分析】把看作一个整体，把多项式乘法和完全平方公式展开即可求得． 【详解】解： ． 13．【阅读材料】乘法公式是代数运算的基石，其中完全平方公式和平方差公式最为常用．它们不仅可以进行整式乘法，还能逆向使用进行因式分解． (1)因式分解：__________，__________； (2)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：__________； (3)参考上面方法，分解因式：． 【答案】(1)， (2)16 (3) 【详解】（1）解：； （2）解：根据完全平方公式可知：是一个完全平方式； （3）解：原式 ． 14．在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼利用这个方法解决了“把分解因式”这个问题： 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)请类比例1的方法补全下列因式分解过程： (2)上述材料中例2括号中应填入_______________________； (3)请类比例2的方法分解因式： 【答案】(1)；；；；； (2) (3) 【分析】（1）仿照例1方法进行作答即可； （2）利用提公因式法进行因式分解后，作答即可； （3）仿照例2的方法进行因式分解即可. 【详解】（1）解： ； （2）解：原式； （3）解：原式. 15．阅读下列分解因式的过程： ① ② 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)已知：，，求代数式的值； (3)已知的三边，，满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：是等腰三角形；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）利用分组分解法分解因式即可； （2）利用分组分解法把分解因式，再代入已知条件计算即可； （3）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出，，的关系，判断三角形形状即可． 【详解】（1）解： . （2）解：∵，， ∴ . （3）解：略． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 因式分解 暑假预习讲义 ✺知识框架 基础概念，掌握因式分解定义，辨析因式分解与整式乘法的互逆关系，明确变形判定要点； 核心解题方法：包含课内两大基础方法，即提公因式法与公式法，公式法细分为平方差公式、完全平方公式，可根据多项式结构灵活选用； 通用解题准则：熟练掌握“一提、二套、三查”标准解题流程，严格遵守书写规范，确保结果最简、分解彻底 ✺学习目标 知识与技能 1.理解因式分解的定义，清晰区分因式分解与整式乘法，熟练掌握二者互逆变形的核心关系。 2.掌握公因式的查找方法，能够熟练、规范地使用提公因式法分解多项式。 3.熟记平方差、完全平方公式，能够根据多项式结构准确套用公式分解。 4.掌握因式分解的标准解题步骤，规范书写，做到分解彻底、结果最简。 5.熟悉常见易错点，能够独立完成基础因式分解题目。 思路方法 1.结合整式乘法逆向理解因式分解，建立逆向思维。 2.掌握标准化解题流程，有序解题，避免步骤遗漏。 3.通过观察多项式的项数、符号和结构特征，快速匹配对应的分解方法。 素养提升 1.养成细心观察、规范书写、主动检查的良好做题习惯，减少运算错误。 2.掌握代数式恒等变形思想，为后续分式运算、解方程知识打好基础。 3.培养归纳总结的学习能力，提升整式运算的综合数学素养。 ✺题型归纳 题型1.判断是否是因式分解 题型2.已知因式分解的结果求参数 题型3.公因式 题型4.提公因式法分解因式 题型5.判断能否用公式法分解因式 题型6.平方差公式分解因式 题型7.完全平方公式分解因式 题型8.综合运用公式法分解因式 题型9.综合提公因式和公式法分解因式 题型10.因式分解在有理数简算中的应用 题型11.十字相乘法 题型12.分组分解法 题型13.因式分解的应用 题型.14.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、因式分解的定义及与整式乘法的关系 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2.判定要点:变形前为完整多项式，变形后为多个整式乘积形式，等式左右恒等，结果只含整式相乘，不含加减运算、不含分式、不含整式加减混合形式。 3.与整式乘法的关系：二者互为互逆变形，整式乘法是积化和差（整式乘积展开为多项式），因式分解是和差化积（多项式整理为整式乘积）。 知识点二、提公因式法 1.公因式定义：多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式，可以是数字、单项式或简单多项式。 2.查找公因式方法： ◆系数取各项系数的最大公约数；◆字母取各项共有相同字母；◆指数取相同字母的最低次幂。 3.字母表示：ma+mb+mc=m(a+b+c) 注意事项：首项为负时，优先提取负号，括号内所有项统一变号；公因式需提取彻底，不可局部提取；单项式因式完全提出后，剩余项为1，严禁漏写。 知识点三、平方差公式因式分解 1.公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 2.适用条件：多项式为两项式，两项符号一正一负，且两项均可整理为整式平方的形式。 3.公式说明：公式中a、b可代表数字、单项式、多项式。 知识点四、完全平方公式因式分解 1.公式：a2+2ab+b2=(a+b)2； a2-2ab+b2=(a-b)2 2.完全平方式特征：多项式共三项，首尾两项为正的平方项，中间项为首尾两项底数乘积的±2倍。 3.记忆口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央，同号和平方，异号差平方。 知识点五、因式分解通用解题步骤 一提：优先观察式子，提取多项式全部公因式； 二套：提尽公因式后，根据剩余式子结构，套用对应公式分解，二项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式。 三查：逐一检查所有因式，确保无剩余可分解因式，做到分解彻底。 知识点六、因式分解书写规范 ◆最终结果必须为整式乘积形式，不能保留加减运算； ◆相同因式统一整理为幂的形式，简洁规范； ◆所有因式首项系数为正，统一使用小括号，无多余嵌套括号； ◆严格遵循分解彻底原则，所有因式均无法再分解，为最终最简结果。 ✺题型精讲 题型1.判断是否是因式分解 1．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．对于①②从左到右的变形中，属于因式分解的是____．（填序号） 3．下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型2.已知因式分解的结果求参数 1．若多项式可分解为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 2．已知整式分解因式的结果为，则______． 3．1637年，笛卡尔在其《几何学》中首次应用待定系数法进行因式分解．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下．分解因式：． 解：观察可知，当时，原式，所以原式可分解为与另一个整式的积．因为为三次式，且最高次项系数为1，而是一次式，一次项的系数为1．所以可设另一个整式为，即．因为上式对任意恒成立，所以可另取几个方便计算的的值代入上述等式的左右两边，得到方程组，求得，的值，从而完成对的因式分解． (1)取和代入，求，的值． (2)尝试用上述方法分解因式：． 题型3.公因式 1．对多项式进行因式分解，可以提取的公因式为（     ）． A． B． C． D． 2．多项式的公因式是__________． 3．找出的公因式． 题型4.提公因式法分解因式 1．下列四个多项式中，能因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．分解因式： （1）_____ （2）_____． 3．因式分解： (1) (2) 题型5.判断能否用公式法分解因式 1．下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 3．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（    ） A．B．C． D． 题型6.平方差公式分解因式 1．下列多项式可以用平方差公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 2．因式分解：_____． 3．因式分解：． 题型7.完全平方公式分解因式 1．下列各式中，加上，不能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 2．分解因式：______． 3．“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．阅读以下材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得原式． 请你参考上述方法解答下列问题： (1)因式分解：__________________； (2)试说明无论n为何值，的值一定是一个非负数． 题型8.综合运用公式法分解因式 1．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在实数范围内因式分解__________． 3．因式分解：． 题型9.综合提公因式和公式法分解因式 1．下列分解因式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．因式分解：________． 3．分解因式： (1)； (2) 题型10.因式分解在有理数简算中的应用 1．下列各数不能整除的是（     ） A．3 B．5 C．7 D．17 2．计算：______． 3．用简便方法计算：． 题型11.十字相乘法 1．将分解因式正确的是（   ） A．B． C． D． 2．分解因式：_____． 3．因式分解：． 题型12.分组分解法 1．因式分解的值为（    ） A．B．C． D． 2．分解因式：_______． 3．已知，，求代数式的值． 题型13.因式分解的应用 1．如图，大长方形的面积为，它可以被分割成2个正方形和4个小长方形，则多项式可因式分解为（    ） A． B． C． D． 2．若一个长方形的长和宽分别为a，b，其周长为14，面积为12，则的值为______． 3．解决问题 (1)已知为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． (2)已知n为整数，代数式的值一定能被12整除吗？作出判断，并说明理由． ✺巩固测试 一、单选题 1．将多项式分解因式时，应提取的公因式为（     ） A． B．y C． D． 2．因式分解：（     ） A． B． C． D． 3．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4．已知多项式能分解因式为，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．下列式子能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．因式分解：________． 7．分解因式：______． 8．在实数范围内分解因式：__________________ 9．分解因式：______． 10．利用平方差公式计算，结果为______． 三、解答题 11．利用因式分解计算： (1)； (2)． 12．分解因式后，求的值． 13．【阅读材料】乘法公式是代数运算的基石，其中完全平方公式和平方差公式最为常用．它们不仅可以进行整式乘法，还能逆向使用进行因式分解． (1)因式分解：__________，__________； (2)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：__________； (3)参考上面方法，分解因式：． 14．在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼利用这个方法解决了“把分解因式”这个问题： 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)请类比例1的方法补全下列因式分解过程： (2)上述材料中例2括号中应填入_______________________； (3)请类比例2的方法分解因式： 15．阅读下列分解因式的过程： ① ② 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)已知：，，求代数式的值； (3)已知的三边，，满足，判断的形状，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $