专题09分式及其基本性质暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年人教版八年级数学上册

专题09分式及其基本性质暑假预习讲义 1. 概念辨识：掌握分式定义，区分整式与分式；明确分式有意义、无意义、值为0的自变量取值要求。 2. 性质运用：吃透分式基本性质，理解分子分母同乘除整式不能为零，以此作为分式变形核心依据。 3. 符号变形：掌握分式符号法则，灵活调整分子、分母、分式本身符号，熟练将最高次项系数化为正数。 4. 系数化简：利用分式性质，把分子、分母含小数、分数的系数统一化为整数。 5. 约分实操：会找分子分母公因式，多项式先因式分解再约分，化简为最简分式。 6. 取值题型：会求解分式值为正、负数时未知数范围，以及分式值为整数对应的整数解。 7. 易错规避：变形时忽略分母不为零、约分不彻底、符号变换出错。 8. 思想铺垫：类比分数知识理解分式，建立恒等变形思维，为分式四则运算打好基础。 预习必备 知识梳理 1.分式的概念与有理式分类 2.与分式有关的条件问题 3.分式的基本性质 4.分式的变号法则 5.约分与通分 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.分式的判断 2.分式无意义的条件 3.分式有意义的条件 4.分式值为零的条件 5.由分式正负求未知数取值范围 6.分式变形的判断 7.分式变形成立的条件 8.分式值变化判断 9.分式最次项系数转正 10.分式系数化为整数 11.分式取整求未知数整数解 12约分 13.最简分式 14.最简公分母 15.通分 强化题型 解答题5题 知识点 01 分式的概念与有理式分类 1.分式定义 如果A、B都表示整式，并且分母B中含有字母，那么式子叫做分式。 组成说明：A是分子，B是分母； 判定核心两条标准： ① 分子、分母必须都是整式； ② 分母内必须含有字母，二者缺一不可。 2. 整式与分式区分表 代数式 类型 判断依据 整式（单项式） 分母无字母 分式 分母含字母x 整式 分母是常数 分式 分母含字母 5、3a-1 整式 无分母 3 有理式整体分类框架 4 基础判断题高频陷阱 只看分子不看分母、把当作字母、把分子分母含加减的多项式直接判定，都是常错点。 知识点02与分式有关的条件问题 知识点 03 分式的基本性质 1. 文字法则 分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 2. 字母公式 3. 核心三点注意 1.分子、分母同时乘 / 除，不能只单独变分子或分母； 2.乘除的整式M不能为 0，否则分式无意义； 3.性质是分式约分、通分的理论依据。 知识点04:分式的变号法则（性质延伸） 1. 法则内容 分式的分子、分母、分式本身这三个符号中，改变其中任意两个，分式的值不变；改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数。 2. 字母表示 ​ 3. 应用 用于统一分式符号、化简分式，是分式运算的基础。 知识点 05约分（分式基本性质直接应用） 1. 约分定义 把分式分子、分母的公因式同时约去，这种变形叫约分。 2. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 分式化简最终结果必须化为最简分式。 3. 约分完整步骤 步骤 1：因式分解 —— 分子、分母分别完整分解（单项式提公因式；多项式提公因式、平方差、完全平方）； 步骤 2：确定公因式 —— 系数取最大公约数，相同字母 / 多项式因式取最低次幂； 步骤 3：分子分母同时除以公因式； 步骤 4：检验剩余分子分母是否还有公因式，无则为最简分式。 举例 4. 找分子分母公因式方法 （1）系数：取分子分母系数最大公因数； （2）字母 / 多项式因式：取相同因式最低次幂。 知识点 06通分（分式基本性质拓展应用） 1. 通分定义 把几个异分母分式，利用分式基本性质化为同分母分式，分母取各分母的最简公分母。 2. 最简公分母确定方法 组成部分 选取规则 系数 取各分母系数的最小公倍数 字母 / 因式 所有分母中出现的不同字母、因式全部选取 相同字母 / 因式 取最高次幂 举例 分式、 最简公分母：系数最小公倍数6，字母最高次x2，即6x2 3.标准通分解题三步 步骤 1：分解所有分母的因式； 步骤 2：计算最简公分母； 步骤 3：每一个分式分子分母同乘对应因式，统一分母为最简公分母。 知识点 07本节高频易错点 · 区分分式时，误将常数判定为字母； · 分式值为 0 只令分子为 0，忽略分母不能为 0； · 运用分式基本性质时，分子分母不同步乘除； · 混淆加减与乘除，分子分母同加数字变形分式； · 约分、通分前不进行因式分解，直接消项； · 最终计算结果不化为最简分式； · 符号变换只改动一处，分式正负出错； · 找最简公分母时，多项式不分解直接看分母。 题型1.分式的判断 【典例】下列各式中，是分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的定义判断即可． 【详解】解：A、的分母是含字母的整式，符合分式定义，是分式； B、中是常数，分母不含字母，是整式，不是分式； C、是常数，属于整式，不是分式； D、的分母是常数，不含字母，是整式，不是分式． 【跟踪专练1】式子，，，，中，分式有_________个 【答案】3 【分析】根据分母中是否含有字母为标准判断即可． 【详解】∵ ，中，分母不含字母， ∴不是分式； ∵中，分母中含有字母a,b， ∴是分式； ∵中，分母中含有字母y， ∴是分式； ∵中，分母中含有字母x， ∴是分式； 共有3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式的识别，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 【跟踪专练2】在，，，，中，是分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据分式的定义判断即可，分式是形如（B中含字母）的式子． 【详解】解：在，，，，中，是分式的为：，，， 所以共有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 题型2.分式无意义的条件 【典例】若分式无意义，则__________． 【答案】2 【详解】解：根据分式无意义，则分母为0，可得， 解得． 【跟踪专练1】若分式无意义，则的值为（       ） A．1 B． C．或1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件为分母为零可得，计算即可得解． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴或， 故选：C． 【跟踪专练2】若分式无意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式无意义，则需分母为零 ，列出方程，解方程即可． 【详解】∵分式无意义，         ∴， 解得：， 故选：． 【点睛】此题考查了分式无意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式无意义的条件． 题型3.分式有意义的条件 【典例】使得分式有意义的的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据分式有意义时分母不为零，列出不等式即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得． 【跟踪专练1】若分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式有意义时分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴． 【跟踪专练2】若式子有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的意义，掌握分式有意义的条件是解题的关键．根据分式的意义，分母不等于，即可求解． 【详解】解：式子有意义， ， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练3】若分式 有意义，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【详解】由题意得，， 解得:， 故选：． 题型4.分式值为零的条件 【典例】若分式的值为，则__________． 【答案】 【详解】解：分式的值为， ，且， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】若分式的值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的值为零时，需满足分子为零，而分母不为零两个条件，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为， ∴，且， ∴． 【跟踪专练2】若分式的值为0，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据分式值为的条件，先令分子等于求出的可能取值，再根据分母不为排除不符合条件的取值，即可得到的值． 【详解】解：由题意可得：， 由①可得：， 由②可得：， ∴；， ∵恒成立， ∴ 即， 综上可得． 【跟踪专练3】下列分式的值可以为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式值为需满足分子为，且分母不为，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A、分子为，因此分式的值不可能为，故本选项不合题意； B、分子为，因此分式的值不可能为，故本选项不合题意； C、令分子，得，此时分母，分式无意义，因此分式的值不可能为，故本选项不合题意； D、令分子，得，此时分母，分式有意义且值为，故本选项符合题意． 题型5.由分式正负求未知数取值范围 【典例】写出使分式的值为正数的的一个值_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，熟练掌握分式的性质和一元一次不等式的解法是解题的关键．要使分式的值为正，分子为正，因此分母必须为正，由此确定的取值范围，再在范围内找一个值即可． 【详解】解：要使分式的值为正数， 分母必须为正数，即，解得， 任意大于的实数均可，例如取． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】若分式的值为正，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D． 【答案】C 【分析】根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式． 【详解】解：∵，且，分式的值为正， ∴， ∴， ∴且． 故选：C． 【点睛】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 【跟踪专练2】若分式的值大于零，则x的取值范围是 ______． 【答案】且 【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值． 【详解】解：∵分式的值大于零， ∴x+2＞0， ∴x＞﹣2， ∵x﹣1≠0， ∴x≠1， 故答案为x＞﹣2且x≠1． 【点睛】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解题的关键． 【跟踪专练3】分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 题型6.分式变形的判断 【典例】下列分式变形中，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，判断各选项即可． 【详解】解：∵分式的基本性质要求分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式值不变，不能同时加减同一个数，也不能对分子分母分别平方， ∴A中分子分母同时加2，B中分子分母同时减3，均不符合性质，A，B错误； C中对分子分母分别平方，不符合变形规则，C错误； D中的分子分母同时除以不为0的2，得到，符合分式基本性质，D正确． 【跟踪专练1】填空：，括号里应该填_______． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】∵分母 乘 得到 ， ∴分子 也要同乘 ， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】下面三个式子：，其中正确的有_____个． 【答案】1 【分析】此题考查了利用分式的基本性质进行符号的变形，通过分式的化简和比较，判断每个等式的正确性． 【详解】解：对于第一个等式，，故不正确； 对于第二个等式，左边，等于右边，故正确； 对于第三个等式，（除非，但一般情况不成立），故不正确． 因此正确的有1个． 故答案为：1． 【跟踪专练3】下列各式中，从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：A．该变形为分子分母同时减，不符合分式基本性质，变形错误． B．该变形分子分母同乘，未保证，当时变形无意义，变形错误． C．原式分母，分式有意义可推出且，∴分子分母同除以，可得，变形正确． D．，变形错误． 题型7.分式变形成立的条件 【典例】使得等式成立的m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质选择作答即可． 【详解】解：使得等式成立的的取值范围为． 故选：D． 【跟踪专练1】利用分式基本性质变形可得，则整式_________． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分子分母同时乘以一个不为0的数，分式的值不变求解即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】若，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、代数式求值等知识点，掌握等式的基本性质成为解题的关键． 由可得，然后代入运用分式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质逐一进行判断即可，灵活运用分式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能说明，原选项不正确，符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴ ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型8.分式值变化判断 【典例】根据分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入：_________； （2）；括号内应填入：_________． 【答案】 b 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变是解题的关键，根据分式的变化，利用分式基本性质即可求解． 【详解】解：（1）已知等式右边分母 ，且，根据分式的基本性质，给分子分母同乘，得 因此括号内应填入． （2）对等式左边分子因式分解得，变形后分子为，即分子除以，且，根据分式的基本性质，给分子分母同除以，得 因此括号内应填入． 【跟踪专练1】若x、y分别扩大到原来的5倍，分式的值（     ） A．不变 B．扩大到原来5倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的 【答案】C 【分析】将扩大后的x，y代入原分式化简，再和原分式比较即可得到结果 【详解】解：∵ 原分式为，x，y分别扩大到原来的5倍后，得到新分式： ∴ 新分式的值是原分式的，即缩小到原来的 【跟踪专练2】若，则________． 【答案】 【分析】根据已知的比例关系，设参数表示出和，再代入所求分式化简计算即可得到结果． 【详解】解：设，其中， 则，， ∴． 【跟踪专练3】若、均不为，将下列分式中的和都变为原来的倍，分式值保持不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将替换为原来的2倍，化简后与原分式对比，即可判断分式值是否改变. 【详解】解：将各选项中换为，换为，依次化简判断： 选项A：， 替换后和原分式相等，分式值不变，符合题意； 选项B：替换后得，分式值改变，不符合题意； 选项C：替换后得，分式值改变，不符合题意； 选项D：替换后得，分式值改变，不符合题意； 题型9.分式最次项系数转正 【典例】不改变分式的值，使分式的分子分母都不含“”号：______． 【答案】 【分析】根据分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式中的符号法则． 【跟踪专练1】不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 【跟踪专练2】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 题型10.分式系数化为整数 【典例】．将分式的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，则变形后的分式为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，解题关键是掌握分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变． 分式的分子分母都乘以10，可得答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数化为整数，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质将分子分母同乘适当的数，即可在不改变分式值的前提下把系数化为整数． 【详解】解：分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘一个不等于的整式，分式的值不变， 将原分式的分子分母同时乘以，可得：． 【跟踪专练2】不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，分式的化简等知识，逐项计算验证，A、B、C均不成立，D选项化简后成立． 【详解】解：A：∵，， ∴ ，而， ∴，A错误． B：∵， ∴，而， ∴，B错误． C：左边分式分子分母同乘10，得 ，右边为， ∵分母不同， ∴除非，否则不相等，C错误． D：， ∵左边右边， ∴D正确． 故选：D． 题型11.分式取整求未知数整数解 【典例】若分式的值为整数，则正整数__________． 【答案】2或3/3或2 【分析】本题主要考查了分式的值，掌握有理数的整除的性质是解题的关键． 利用已知条件得到的值，进而解答即可． 【详解】解：∵分式的值是整数，m是正整数， ∴的可能值为：1，2， ∴或3． ∴正整数2或3． 故答案为： 2或3． 【跟踪专练1】若分式的值是负整数，则m的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式的值及其性质、解一元一次不等式，先化简原分式为，再根据分式的值为负整数得到m是且的整数，进而根据选项中的数可求解． 【详解】解：∵分式的值是负整数， ∴且的整数， 选项B中的数符号题意，选项A、C、D中的数不符合题意， 故选：B． 【跟踪专练2】分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为______． 【答案】或0或2或8 【分析】本题考查了分式的值，原式变形为，根据题意可得是7的因数，则或，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 要使分式的值是整数，则是7的因数， ∴或， ∴或0或2或8， 故答案为：或0或2或8． 【跟踪专练3】是有理数，则的值不能是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，掌握分式的值为零的条件是解题的关键．根据分式值为零的条件是分子为，分母不为，因为分式的分子不为，所以分式的值不能为，即可解答． 【详解】解：A、当时，，故选项不符合题意； B、当时，，故选项不符合题意； C、因为分式的分子，所以分式值不可能为，故选项符合题意； D、当时，，故选项不符合题意； 故选：C． 题型12约分 【典例】分式化为最简分式的结果是_________ ． 【答案】 【详解】． 【跟踪专练1】约分的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原式． 【跟踪专练2】化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，因式分解，先将分子分母进行因式分解，再约分是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对分式分子分母因式分解，再找公因式约分验证． 【详解】解：A、的分子分母没有公因式，不能约分，选项约分错误； B、，分母为，可得，，选项约分错误； C、，分母为，可得，，选项约分正确； D、，选项约分错误． 题型13.最简分式 【典例】化简___________． 【答案】 【分析】先对分子运用平方差公式因式分解，再约去分子分母的公因式，即可得到结果． 【详解】解：． 【跟踪专练1】下列分式中，最简分式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简分式的概念，最简分式是分子与分母没有公因式的分式，解题思路是对各选项分式的分子因式分解，判断分子分母是否存在公因式，即可得到答案． 【详解】解：选项A：∵，分子分母有公因式， ∴，不是最简分式． 选项B：∵无法在有理数范围内分解因式，分子分母没有公因式， ∴是最简分式． 选项C：∵的分子分母有公因式， ∴，不是最简分式． 选项D：∵，分子分母有公因式， ∴，不是最简分式． 【跟踪专练2】把分式化为最简分式为________． 【答案】 【分析】根据分式的性质，进行约分即可，最简分式定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式或公因数时叫最简分式． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了最简分式，掌握分式的约分，因式分解是解题的关键． 【跟踪专练3】分式，，中，最简分式有（     ）个 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】逐个判断每个分式的分子分母是否存在公因式，统计最简分式的个数即可． 【详解】解：最简分式的定义为：分子与分母没有公因式的分式，逐个判断如下： 对于，分子与分母没有公因式，因此是最简分式． 对于，分子分母有公因式，约分后为，因此不是最简分式． 对于，对分母因式分解得，分子分母有公因式，约分后为，因此不是最简分式． 综上，最简分式共个． 题型14.最简公分母 【典例】分式与分式的最简公分母是______． 【答案】 【分析】根据最简公分母的确定规则，取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式最高次幂的乘积作为最简公分母，即可求解本题. 【详解】解：①确定系数部分，两个分式分母的系数分别为和，系数的最小公倍数为； ②确定字母的幂次，两个分母中的次数分别为和，取最高次幂； ③确定字母的幂次，两个分母中的次数分别为和，取最高次幂； 将系数与各字母最高次幂相乘，得到最简公分母为. 【跟踪专练1】分式与的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定两个分式的分母，第一个分式分母为，第二个分式分母为， 找最简公分母时，相同因式取最高次幂，所有不同因式都要保留，本题中相同因式的最高次幂是，单独出现的因式为，次数为，它们的积即为最简公分母． 【详解】解： 最简公分母是． 【跟踪专练2】将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为__________，_________，_________． 【答案】 【分析】求出分式，，的最简公分母为，即可求解． 【详解】解：分式，，的最简公分母为， ，， 故答案为：；；． 【点睛】本题考查了通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分，通分的关键是确定最简公分母． 【跟踪专练3】把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，通分时分子分母需同乘相应因式，确保变形恒等是解题的关键． 先确定三个分式的最简公分母，再逐一验证每个选项的通分是否正确． 【详解】解：A、最简公分母为， 正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、正确通分应为，但选项D中分子为，错误，符合题意； 故选：D． 题型15.通分 【典例】将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为___________ ． 【答案】，， 【分析】本题主要考查分式的通分，先确定三个分式的最简公分母，然后利用最简公分母除以各自的分母，得到每个分母需乘的单项式． 【详解】分式, , 的分母分别为, , , 最简公分母为． , , ，故分母所乘的单项式依次为, , ． 故答案为：, , 【跟踪专练1】若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通分的基本步骤，先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，计算即可． 【详解】∵分式与分式的最简公分母是， ∴分式的分母变为，则将两分式通分后，分式的分子应变为． 故选C． 【跟踪专练2】把，，通分后，各分式的分子之和为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分． 先将各分式的分母因式分解，确定最简公分母为，再通分得到各分式的分子，最后将分子相加并化简． 【详解】解：各分母分解因式： ， ， ， 可知最简公分母为． 的分子通分后为， 的分子通分后为， 的分子通分后为， 分子之和为： ． 故答案为：． 【跟踪专练3】将通分后，各分式的分子之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了通分，整式混合运算，关键是根据分式的基本性质对分式进行通分． 先找出三个分式的最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分计算，最后把通分后的分式的分子相加，根据整混合法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：A． 解答题 1．已知分式的值为0，求分式的值． 【答案】． 【分析】根据分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．据此列出关于x的不等式和方程进行解答即可． 【详解】解：因为 所以且x+1≠0， 解得x=1． 代入得： ． 2．写出下列各等式中未知的分子或分母： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变，对已知分子或分母因式分解，对比变形前后的变化，即可计算得到未知项． 【详解】（1）解：∵， ∴把左边分式的分子和分母都除以可得右边的分式， ∴； （2）解：∵ ， ∴把的分子和分母都乘以可得左边的分式， ∴； （3）解：∵， ∴把的分子和分母都乘以可得左边的分式， ∴； （4）解：∵， ∴把左边分式的分子和分母都乘以可得右边的分式， ∴． 3．通分： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)， ， (2)，， 【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先对原分式的分母用提公因式法、平方差公式进行因式分解，求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母为， ， ， ； （2）解：，，， 最简公分母为， ， ， ． 4．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了约分，正确将原式分解因式找出公因式是解题关键． （1）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案； （2）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案； （3）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案； （4）首先将分式的分子与分母分解因式，进而约分得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 5．【阅读理解】仔细阅读下面的材料并解答问题：例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意得，则有①或②， 解不等式组①得，解不等式组②得不等式组无解，故． 所以当时，分式的值为正． 依照上面方法解答问题： (1)当取何值时，分式的值为负？ (2)当取何值时，分式的值为负？ 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集； （2）由题意分式的值为负，先对分母分解因式，再分两种情况讨论，然后根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集； 【详解】（1）解：依题意，得， 则有①或②， 解不等式组①得：不等式无解； 解不等式组②得：， 不等式的解集是：， 当时，分式的值为负； （2）解：， ， 依题意得， ， 则有①，或②， 解不等式组①得且， 解不等式组②得不等式组无解， 故且， 所以当且时，分式的值为负． 【点睛】本题主要考查分式的值为正的条件和解一元一次不等式组，注意分情况讨论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09分式及其基本性质暑假预习讲义 1. 概念辨识：掌握分式定义，区分整式与分式；明确分式有意义、无意义、值为0的自变量取值要求。 2. 性质运用：吃透分式基本性质，理解分子分母同乘除整式不能为零，以此作为分式变形核心依据。 3. 符号变形：掌握分式符号法则，灵活调整分子、分母、分式本身符号，熟练将最高次项系数化为正数。 4. 系数化简：利用分式性质，把分子、分母含小数、分数的系数统一化为整数。 5. 约分实操：会找分子分母公因式，多项式先因式分解再约分，化简为最简分式。 6. 取值题型：会求解分式值为正、负数时未知数范围，以及分式值为整数对应的整数解。 7. 易错规避：变形时忽略分母不为零、约分不彻底、符号变换出错。 8. 思想铺垫：类比分数知识理解分式，建立恒等变形思维，为分式四则运算打好基础。 预习必备 知识梳理 1.分式的概念与有理式分类 2.与分式有关的条件问题 3.分式的基本性质 4.分式的变号法则 5.约分与通分 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.分式的判断 2.分式无意义的条件 3.分式有意义的条件 4.分式值为零的条件 5.由分式正负求未知数取值范围 6.分式变形的判断 7.分式变形成立的条件 8.分式值变化判断 9.分式最次项系数转正 10.分式系数化为整数 11.分式取整求未知数整数解 12约分 13.最简分式 14.最简公分母 15.通分 强化题型 解答题5题 知识点 01 分式的概念与有理式分类 1.分式定义 如果A、B都表示整式，并且分母B中含有字母，那么式子叫做分式。 组成说明：A是分子，B是分母； 判定核心两条标准： ① 分子、分母必须都是整式； ② 分母内必须含有字母，二者缺一不可。 2. 整式与分式区分表 代数式 类型 判断依据 整式（单项式） 分母无字母 分式 分母含字母x 整式 分母是常数 分式 分母含字母 5、3a-1 整式 无分母 3 有理式整体分类框架 4 基础判断题高频陷阱 只看分子不看分母、把当作字母、把分子分母含加减的多项式直接判定，都是常错点。 知识点02与分式有关的条件问题 知识点 03 分式的基本性质 1. 文字法则 分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 2. 字母公式 3. 核心三点注意 1.分子、分母同时乘 / 除，不能只单独变分子或分母； 2.乘除的整式M不能为 0，否则分式无意义； 3.性质是分式约分、通分的理论依据。 知识点04:分式的变号法则（性质延伸） 1. 法则内容 分式的分子、分母、分式本身这三个符号中，改变其中任意两个，分式的值不变；改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数。 2. 字母表示 ​ 3. 应用 用于统一分式符号、化简分式，是分式运算的基础。 知识点 05约分（分式基本性质直接应用） 1. 约分定义 把分式分子、分母的公因式同时约去，这种变形叫约分。 2. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 分式化简最终结果必须化为最简分式。 3. 约分完整步骤 步骤 1：因式分解 —— 分子、分母分别完整分解（单项式提公因式；多项式提公因式、平方差、完全平方）； 步骤 2：确定公因式 —— 系数取最大公约数，相同字母 / 多项式因式取最低次幂； 步骤 3：分子分母同时除以公因式； 步骤 4：检验剩余分子分母是否还有公因式，无则为最简分式。 举例 4. 找分子分母公因式方法 （1）系数：取分子分母系数最大公因数； （2）字母 / 多项式因式：取相同因式最低次幂。 知识点 06通分（分式基本性质拓展应用） 1. 通分定义 把几个异分母分式，利用分式基本性质化为同分母分式，分母取各分母的最简公分母。 2. 最简公分母确定方法 组成部分 选取规则 系数 取各分母系数的最小公倍数 字母 / 因式 所有分母中出现的不同字母、因式全部选取 相同字母 / 因式 取最高次幂 举例 分式、 最简公分母：系数最小公倍数6，字母最高次x2，即6x2 3.标准通分解题三步 步骤 1：分解所有分母的因式； 步骤 2：计算最简公分母； 步骤 3：每一个分式分子分母同乘对应因式，统一分母为最简公分母。 知识点 07本节高频易错点 · 区分分式时，误将常数判定为字母； · 分式值为 0 只令分子为 0，忽略分母不能为 0； · 运用分式基本性质时，分子分母不同步乘除； · 混淆加减与乘除，分子分母同加数字变形分式； · 约分、通分前不进行因式分解，直接消项； · 最终计算结果不化为最简分式； · 符号变换只改动一处，分式正负出错； · 找最简公分母时，多项式不分解直接看分母。 题型1.分式的判断 【典例】下列各式中，是分式的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】式子，，，，中，分式有_________个 【跟踪专练2】在，，，，中，是分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2.分式无意义的条件 【典例】若分式无意义，则__________． 【跟踪专练1】若分式无意义，则的值为（       ） A．1 B． C．或1 D．0 【跟踪专练2】若分式无意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型3.分式有意义的条件 【典例】使得分式有意义的的取值范围是__________． 【跟踪专练1】若分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若式子有意义，则的取值范围是________． 【跟踪专练3】若分式 有意义，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 题型4.分式值为零的条件 【典例】若分式的值为，则__________． 【跟踪专练1】若分式的值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若分式的值为0，则的值为__________． 【跟踪专练3】下列分式的值可以为的是（     ） A． B． C． D． 题型5.由分式正负求未知数取值范围 【典例】写出使分式的值为正数的的一个值_____． 【跟踪专练1】若分式的值为正，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D． 【跟踪专练2】若分式的值大于零，则x的取值范围是 ______． 【跟踪专练3】分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 题型6.分式变形的判断 【典例】下列分式变形中，正确的是（） A． B． C． D． 【跟踪专练1】填空：，括号里应该填_______． 【跟踪专练2】下面三个式子：，其中正确的有_____个． 【跟踪专练3】下列各式中，从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 题型7.分式变形成立的条件 【典例】使得等式成立的m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【跟踪专练1】利用分式基本性质变形可得，则整式_________． 【跟踪专练2】若，则的值为__________． 【跟踪专练3】若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 题型8.分式值变化判断 【典例】根据分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入：_________； （2）；括号内应填入：_________． 【跟踪专练1】若x、y分别扩大到原来的5倍，分式的值（     ） A．不变 B．扩大到原来5倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的 【跟踪专练2】若，则________． 【跟踪专练3】若、均不为，将下列分式中的和都变为原来的倍，分式值保持不变的是（     ） A． B． C． D． 题型9.分式最次项系数转正 【典例】不改变分式的值，使分式的分子分母都不含“”号：______． 【跟踪专练1】不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 题型10.分式系数化为整数 【典例】．将分式的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，则变形后的分式为________． 【跟踪专练1】不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数化为整数，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 【跟踪专练3】下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 题型11.分式取整求未知数整数解 【典例】若分式的值为整数，则正整数__________． 【跟踪专练1】若分式的值是负整数，则m的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【跟踪专练2】分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为______． 【跟踪专练3】是有理数，则的值不能是（　　） A．1 B． C．0 D． 题型12约分 【典例】分式化为最简分式的结果是_________ ． 【跟踪专练1】约分的结果是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】化简：______． 【跟踪专练3】下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 题型13.最简分式 【典例】化简___________． 【跟踪专练1】下列分式中，最简分式是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】把分式化为最简分式为________． 【跟踪专练3】分式，，中，最简分式有（     ）个 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 题型14.最简公分母 【典例】分式与分式的最简公分母是______． 【跟踪专练1】分式与的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为__________，_________，_________． 【跟踪专练3】把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 题型15.通分 【典例】将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为___________ ． 【跟踪专练1】若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】把，，通分后，各分式的分子之和为________． 【跟踪专练3】将通分后，各分式的分子之和为（   ） A． B． C． D． 解答题 1．已知分式的值为0，求分式的值． 2．写出下列各等式中未知的分子或分母： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．通分： (1)，，； (2)，，． 4．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．【阅读理解】仔细阅读下面的材料并解答问题：例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意得，则有①或②， 解不等式组①得，解不等式组②得不等式组无解，故． 所以当时，分式的值为正． 依照上面方法解答问题： (1)当取何值时，分式的值为负？ (2)当取何值时，分式的值为负？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $