16.3乘法公式 暑期讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上

16.3乘法公式 学习目标导航 · 1、推导与几何直观：经历平方差公式和完全平方公式的推导过程，能结合几何图形（面积模型）解释公式的算理，发展几何直观与推理能力。 · 2、公式的结构与应用：准确把握乘法公式的结构特征，能灵活运用公式进行简便运算及简单的代数推理，体会从一般到特殊的数学思想。 洞悉◆教材知识 知识点01 平方差公式 1. 平方差公式： ＝ 。即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方的差。 2. 平方差公式的特征： 两个二项式相乘。若他们其中一项 相同 ，另一项 互为相反数 ，则他们的结果等于相同项的平方减去互为相反数项的平方。 3. 平方差公式的几何意义： 如图：将图①的蓝色部分移到图②的位置。 图①的面积为：；图②的面积为：； 图①与图②的面积相等。所以 知识点02 完全平方公式 4. 完全平方公式： ①完全平方和公式： 两个数的和的平方，等于这两个数的 平方 的和 加上 这两个数乘积的两倍。 即： 。可以是两个数，也可以是两个式子。 ②完全平方差公式： 两个数的差的平方，等于这两个数的 平方 的和 减去 这两个数的乘积的两倍。 即： 。可以是两个数，也可以是两个式子。 5. 完全平方公式的式子特点： ：一个二项式的平方，等于这个二项式的两项的 平方的和 加上这两项的 两倍 。注意每一项都包含前面的符号。 6. 完全平方公式的几何背景： 图1中面积的整体表示为： 用各部分面积之和表示为： 所以 用同样的方法表示图2的面积即可得到： 。 7. 完全平方和公式与完全平方差公式的转化： ， ∵ ∴ 知识点03 添括号法则 1. 添括号法则： 在添加括号时，若括号前面是正号，括到括号里面的每一项都 不变号 ，若括号前面是负号，则括到括号里面的每一项都要 变号 。 即：＝（）；＝（ ） 核心题型◆归纳 题型01 利用平方差公式计算 题型02 利用平方差公式求值 题型03 利用平方差公式简便运算 题型04 平方差公式的几何意义 题型05 利用完全平方公式计算 题型06 利用完全平方公式简便运算 题型07 利用完全平方公式变形求值 题型08 利用完全平方公式的特点求值 题型09 完全平方公式的几何意义 题型10 乘法公式的综合应用 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 利用平方差公式计算 【典例1】不能用平方差公式运算的是（　　） A．（x+2）（x﹣2） B．（2m+n）（﹣2m﹣n） C．（﹣2a+b）（2a+b） D．（y﹣x）（﹣y﹣x） 【答案】B 【解答】解：（x+2）（x﹣2）满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则A不符合题意， （2m+n）（﹣2m﹣n）＝﹣（2m+n）（2m+n），它不满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则B符合题意， （﹣2a+b）（2a+b）＝（b﹣2a）（b+2a），它满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则C不符合题意， （y﹣x）（﹣y﹣x）＝﹣（y﹣x）（y+x），它满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则D不符合题意， 故选：B． 【变式1】下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（　　） A．（3y﹣x）（﹣3y﹣x） B．（x+3y）（﹣x﹣3y） C．（x﹣5y）（﹣x+3y） D．（﹣x﹣3y）（﹣x﹣3y） 【答案】A 【解答】解：A、（3y﹣x）（﹣3y﹣x）＝﹣（3y﹣x）（3y+x）＝﹣9y2+x2，能用平方差公式计算，符合题意； B、（x+3y）（﹣x﹣3y）＝﹣（x+3y）2，不能用平方差公式计算，不符合题意； C、（x﹣5y）（﹣x+3y），不能用平方差公式计算，不符合题意； D、（﹣x﹣3y）（﹣x﹣3y）＝（x+3y）2，不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：A． 题型02 利用平方差公式求值 【典例1】若（x+m）（x﹣m）＝x2﹣4，则m等于（　　） A．2 B．±2 C．±4 D．以上都不对 【答案】B 【解答】解：∵（x+m）（x﹣m）＝x2﹣m2，（x+m）（x﹣m）＝x2﹣4， ∴x2﹣m2＝x2﹣4， ∴m2＝4， 解得：m＝±2． 故选：B． 【变式1】已知x+y＝5，x﹣y＝2，则x2﹣y2的值为（　　） A．10 B．﹣10 C．7 D．﹣7 【答案】A 【解答】解：∵x+y＝5，x﹣y＝2， ∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝5×2＝10． 故选：A． 题型03 利用平方差公式简便运算 【典例1】简便运算：2025×2023﹣20242＝ 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：原式＝（2024+1）×（2024﹣1）﹣20242 ＝20242﹣1﹣20242 ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【变式1】用简便方法计算5002﹣499×501的结果是　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：依题意，5002﹣499×501＝5002﹣（500﹣1）×（500+1）＝5002﹣5002+1＝1， 故答案为：1． 题型04 平方差公式的几何意义 【典例1】如图①，已知正方形ABCD的边长为a，正方形EFHD的边长为b，长方形AEFG和GBCH为阴影部分，将这两个长方形剪下来，拼成如图②所示的长方形，比较两个图中阴影部分的面积，可得等式（　　） A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2﹣ab＝a（a﹣b） 【答案】C 【解答】解：根据题意可知，图①阴影部分的面积为：a2﹣b2， 图②阴影部分面积为：AH•CH＝（a+b）（a﹣b）， ∵这两个长方形剪下来，拼成如图②所示的长方形， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：C． 【变式1】以下四种方法中能够验证公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的有　①②③　 （填序号）． 【答案】①②③． 【解答】解：图①中，阴影部分的面积可以表示为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的平行四边形的底为a+b，高为a﹣b，所以面积为（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 图②中，阴影部分的面积可以表示为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的长方形的长为a+b，宽为a﹣b，所以面积为（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 图③中，阴影部分的面积可以表示为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的平行四边形的底为a+b，高为a﹣b，所以面积为（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 图④中，阴影部分的面积可以表示为两个正方形的面积差，即（a+b）2﹣（a﹣b）2，拼成的长方形的长为2a，宽为2b，所以面积为4ab，因此有（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 综上所述，能够验证公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的有①②③， 故答案为：①②③． 题型05 利用完全平方公式计算 【典例1】下列等式一定成立的是（　　） A．（x+y）2＝x2+y2 B．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2 C．（﹣x﹣y）2＝（x﹣y）2 D．（x﹣y）2＝（y﹣x）2 【答案】D 【解答】解：A．（x+y）2＝x2+2xy+y2，因此选项A不符合题意； B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，因此选项B不符合题意； C．（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2＝（x+y）2，因此选项C不符合题意； D．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝（y﹣x）2，因此选项D符合题意． 故选：D． 【变式1】运用完全平方公式计算： （1）（4m+n）2； （2）； （3）（﹣a﹣b）2； （4）（﹣a+b）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（4m+n）2 ＝16m2+8mn+n2； （2） ＝y2﹣y； （3）（﹣a﹣b）2； ＝a2+2ab+b2； （4）（﹣a+b）2 ＝a2﹣2ab+b2． 题型06 利用完全平方公式简便运算 【典例1】用简便方法计算20252﹣4050×2024+20242的结果是　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：原式＝20252﹣2×2025×2024+20242 ＝（2025﹣2024）2 ＝12 ＝1． 故答案为：1． 【变式1】用简便方法计算： （1）10.12﹣2×10.1×0.1+0.01； （2）2022+202×196+982． 【答案】（1）100；（2）90000． 【解答】解：（1）10.12﹣2×10.1×0.1+0.01＝10.12﹣2×10.1×0.1+0.12＝（10.1﹣0.1）2＝100； （2）2022+202×196+982＝2022+2×202×98+982＝（202+98）2＝3002＝90000． 题型07 利用完全平方公式变形求值 【典例1】已知x+y＝7，xy＝2，则x2+y2的值为　45　 ． 【答案】45． 【解答】解：∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy， ∴x2+y2＝72﹣2×2＝45． 故答案为：45． 【变式1】若（a﹣b）2＝9，a2﹣b2＝15，且a＜b，则ab的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6 【答案】A 【解答】解：∵a2﹣b2＝15， ∴（a+b）（a﹣b）＝15， ∵（a﹣b）2＝9， ∴a﹣b＝±3， ∵a＜b， ∴a﹣b＜0， ∴a﹣b＝﹣3， ∴a+b＝﹣5， ∴（a+b）2＝25， ∴4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝25﹣9＝16， ∴ab＝4， 即ab的值为4， 故选：A． 题型08 利用完全平方公式的特点求值 【典例1】如果x2+ax+4是一个完全平方式，那么a是（　　） A．2 B．4 C．±2 D．±4 【答案】D 【解答】解：∵x2+ax+4是一个完全平方式， ∴x2+ax+4＝x2±2x×2+22， ∴a＝±2×2＝±4． 故选：D． 【变式1】x2﹣（m+1）x+49是完全平方式，求m的值是（　　） A．6或﹣8 B．13 C．﹣8 D．13或﹣15 【答案】D 【解答】解：∵x2﹣（m+1）x+49是完全平方式， ∴﹣（m+1）＝±14， 即m+1＝﹣14或m+1＝14， 解得：m＝13或﹣15， 故选：D． 题型09 完全平方公式的几何意义 【典例1】如图所示的图形可以直接验证的乘法公式是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【答案】C 【解答】解：图中左下角的正方形面积可以表示为：（a﹣b）2，也可以表示为a2﹣2ab+b2， ∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， 故选：C． 【变式1】如图，小星用如图①所示的四张长方形纸片，拼成了如图②所示的一个正方形，该正方形可直观地表示a+b，a﹣b与ab之间的关系，则这个关系是（　　） A．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab B．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝2ab C．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝﹣2ab D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝﹣4ab 【答案】A 【解答】解：图②中，大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，中间小正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，四个图①长方形的面积和为4ab， 所以有（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 故选：A． 题型10 乘法公式的综合应用 【典例1】计算： （1）（2x+y﹣3z）2； （2）（x﹣y+4）（x+y+4）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（2x+y﹣3z）2 ＝[（2x+y）﹣3z]2 ＝（2x+y）2﹣2•（2x+y）•3z+9z2 ＝4x2+4xy+y2﹣12xz﹣6yz+9z2； （2）（x﹣y+4）（x+y+4） ＝[（x+4）﹣y][（x+4）+y] ＝（x+4）2﹣y2 ＝x2+8x+16﹣y2． 【变式1】计算题： （1）（a﹣2b﹣3c）2； （2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝（a﹣2b）2﹣2×（a﹣2b）×3c+9c2 ＝a2+4b2﹣4ab﹣6ac+12bc+9c2 ＝a2+4b2+9c2﹣4ab﹣6ac+12bc； （2）原式＝[（x﹣z）+2y][（x﹣z）﹣2y]﹣[（x﹣z）+y]2 ＝（x﹣z）2﹣4y2﹣（x﹣z）2﹣2（x﹣z）y﹣y2 ＝﹣5y2﹣2xy+2yz． ABC分层训练 1．下列各式中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差：．根据平方差公式的结构特征进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合平方差公式，错误，不符合题意； B、，不符合平方差公式，错误，不符合题意； C、，符合平方差公式，正确，符合题意； D、，不符合平方差公式，错误，不符合题意． 故选：C． 2．下列各式，从左到右的变形，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算、添括号 【分析】本题考查添括号法则及乘方的意义，掌握互为相反数的两个代数式，其乘方的符号法则是本题的解题关键． 按照添括号分法则和乘方的意义进行判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法正确，符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：C． 3．下列式子不可以运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的灵活运用，理解平方差公式是解答关键． 根据平方差公式，分别将各项化为与平方差公式相同的形式，能化的即能用平方差公式计算，反之不然． 【详解】解：A．，此项不能用平方差公式，符合题意； B．，此项能用平方差公式，不符合题意； C．，此项能用平方差公式，不符合题意； D．，此项能用平方差公式，不符合题意． 故选：A． 4．已知，则代数式的值为（ ） A．2025 B． C．2024 D． 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、添括号 【分析】本题考查代数式求值，根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵ ∴当时， ． 故选：A． 5．计算的结果为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式：进行计算． 【详解】解： ． 故选：A． 6．用乘法公式计算的结果（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，解题关键是掌握利用平方差公式计算． 多次利用平方差公式计算，最终得到结果． 【详解】解： ， 故选：B． 7．计算： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：，，，． 8．添括号（填空）： （1）（____________________）； （2）（____________________）； （3）（____________________）． 【答案】 / 【知识点】添括号 【分析】本题考查了添括号，根据添括号法则：所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都不变符号；所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都改变符号． （1）根据添括号法则进行添括号，即可求解． （2）根据添括号法则进行添括号，即可求解． （3）根据添括号法则进行添括号，即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：． （2）； 故答案为：． （3）； 故答案为：． 9．运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】积的乘方运算、运用平方差公式进行运算、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查平方差公式． （1）直接利用平方差公式计算即可． （2）直接利用平方差公式计算即可． （3）先提负号，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 10．计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】根据平方差公式，完全平方公式展开，合并同类项计算即可． 本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ． 11．如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，数形结合是解决问题的关键． 通过题意，分别表示出图1和图2中阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置成为边长为的正方形， 图1中阴影部分的长方形长为、宽为，则面积为； 图2中阴影部分的是边长为的大正方形面积减掉边长为的小正方形面积，则面积为； 由于两个阴影部分面积相等，则得， 故选：C． 12．下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【详解】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 根据完全平方公式的几何背景，结合面积之间的和差关系进行判断即可． 【解答】解：选项A中的阴影部分的面积可以用来解释， 故选：A． 13．下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点是解题的关键； 根据平方差公式逐一判断即可． 【详解】解：A．，能用平方差公式计算； B．，能用平方差公式计算； C．，不能用平方差公式计算； D．，能用平方差公式计算； 故选：C． 14．如果，那么a、b的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． 根据完全平方公式展开，然后对比求解即可． 【详解】解：∵， ， ∴． 故选D． 15．若x2-y2=100，x+y=-25，则x-y的值是（　　） A．5 B．4 C． D．以上都不对 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】由已知条件，利用平方差公式将x2－y2因式分解，再x＋y＝－25代入求x－y的值． 【详解】∵x2－y2＝（x＋y）（x－y）＝100， 将x＋y＝－25代入，解得x－y＝－4． 故选C． 【点睛】本题考查了平方差公式的运用，解题关键是熟练运用公式解题． 16．已知，则_______． 【答案】11 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、添括号 【分析】本题考查了代数式的代入求值，掌握整体思想是关键． 根据题意，，代入求值即可． 【详解】解：，且， ∴原式， 故答案为：11 ． 17．若实数满足，则的值为______． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是完全平方公式应用及平方的非负性的应用，先把原方程化为，根据平方的非负性求出，即可求出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．已知，求的值为___________ 【答案】3 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式和代数式求值，正确展开、准确计算是解题的关键； 先根据完全平方公式和平方差公式展开，再去括号合并同类项，然后将已知的式子变形后整体代入求解即可. 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴原式； 故答案为：3. 19．“替换方法”贯穿代数学习的始终，为我们快速学习代数运算提供方便，如将中的“b”换成“”得到．类似的，已知，则_______________ ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 依据，将b换作，即可得到计算结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式． （1）根据平方差公式计算即可； （2）根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式． 21．先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【知识点】整式的混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查整式化简求值，涉及平方差公式、单项式乘以多项式等知识，熟记整式乘法公式是解决问题的关键． 先由平方差公式、单项式乘以多项式展开，再合并同类项即可得到化简结果，再将代入化简结果计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查整式的混合运算，乘法公式的运用，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）运用乘法公式展开，再根据整式的混合运算法则计算即可； （2）将原式变形得，运用乘法公式展开，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到 (1)写出由图2所表示的数学等式：________． (2)根据上面的等式，如果将看成，直接写出的展开式（结果化简）；若求的值． (3)已知实数、、，满足以下两个条件：且，求的值． 【答案】(1) (2)1 (3)2或6 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了运用完全平方式进行计算，解题关键是掌握完全平方式． （1）把几何面积和完全平方式结合起来，便可求出相应关系式； （2）灵活运用公式，尤其是符号变换； （3）运用换元法，简化计算，有助于快速解出题目． 【详解】（1）解：由图2所表示的数学等式为， 故答案为：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）解：， ， 令，，，可得， ∴，，， ∴， 变形得， ． ∴ ， ∴或2， ∴或6． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3乘法公式 学习目标导航 · 1、推导与几何直观：经历平方差公式和完全平方公式的推导过程，能结合几何图形（面积模型）解释公式的算理，发展几何直观与推理能力。 · 2、公式的结构与应用：准确把握乘法公式的结构特征，能灵活运用公式进行简便运算及简单的代数推理，体会从一般到特殊的数学思想。 洞悉◆教材知识 知识点01 平方差公式 1. 平方差公式： ＝ 。即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方的差。 2. 平方差公式的特征： 两个二项式相乘。若他们其中一项 相同 ，另一项 互为相反数 ，则他们的结果等于相同项的平方减去互为相反数项的平方。 3. 平方差公式的几何意义： 如图：将图①的蓝色部分移到图②的位置。 图①的面积为：；图②的面积为：； 图①与图②的面积相等。所以 知识点02 完全平方公式 4. 完全平方公式： ①完全平方和公式： 两个数的和的平方，等于这两个数的 平方 的和 加上 这两个数乘积的两倍。 即： 。可以是两个数，也可以是两个式子。 ②完全平方差公式： 两个数的差的平方，等于这两个数的 平方 的和 减去 这两个数的乘积的两倍。 即： 。可以是两个数，也可以是两个式子。 5. 完全平方公式的式子特点： ：一个二项式的平方，等于这个二项式的两项的 平方的和 加上这两项的 两倍 。注意每一项都包含前面的符号。 6. 完全平方公式的几何背景： 图1中面积的整体表示为： 用各部分面积之和表示为： 所以 用同样的方法表示图2的面积即可得到： 。 7. 完全平方和公式与完全平方差公式的转化： ， ∵ ∴ 知识点03 添括号法则 1. 添括号法则： 在添加括号时，若括号前面是正号，括到括号里面的每一项都 不变号 ，若括号前面是负号，则括到括号里面的每一项都要 变号 。 即：＝（）；＝（ ） 核心题型◆归纳 题型01 利用平方差公式计算 题型02 利用平方差公式求值 题型03 利用平方差公式简便运算 题型04 平方差公式的几何意义 题型05 利用完全平方公式计算 题型06 利用完全平方公式简便运算 题型07 利用完全平方公式变形求值 题型08 利用完全平方公式的特点求值 题型09 完全平方公式的几何意义 题型10 乘法公式的综合应用 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 利用平方差公式计算 【典例1】不能用平方差公式运算的是（　　） A．（x+2）（x﹣2） B．（2m+n）（﹣2m﹣n） C．（﹣2a+b）（2a+b） D．（y﹣x）（﹣y﹣x） 【变式1】下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（　　） A．（3y﹣x）（﹣3y﹣x） B．（x+3y）（﹣x﹣3y） C．（x﹣5y）（﹣x+3y） D．（﹣x﹣3y）（﹣x﹣3y） 题型02 利用平方差公式求值 【典例1】若（x+m）（x﹣m）＝x2﹣4，则m等于（　　） A．2 B．±2 C．±4 D．以上都不对 【变式1】已知x+y＝5，x﹣y＝2，则x2﹣y2的值为（　　） A．10 B．﹣10 C．7 D．﹣7 题型03 利用平方差公式简便运算 【典例1】简便运算：2025×2023﹣20242＝ 　 　 ． 【变式1】用简便方法计算5002﹣499×501的结果是　 　 ． 题型04 平方差公式的几何意义 【典例1】如图①，已知正方形ABCD的边长为a，正方形EFHD的边长为b，长方形AEFG和GBCH为阴影部分，将这两个长方形剪下来，拼成如图②所示的长方形，比较两个图中阴影部分的面积，可得等式（　　） A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2﹣ab＝a（a﹣b） 【变式1】以下四种方法中能够验证公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的有　 　 （填序号）． 题型05 利用完全平方公式计算 【典例1】下列等式一定成立的是（　　） A．（x+y）2＝x2+y2 B．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2 C．（﹣x﹣y）2＝（x﹣y）2 D．（x﹣y）2＝（y﹣x）2 【变式1】运用完全平方公式计算： （1）（4m+n）2； （2）； （3）（﹣a﹣b）2； （4）（﹣a+b）2． 题型06 利用完全平方公式简便运算 【典例1】用简便方法计算20252﹣4050×2024+20242的结果是　 　 ． 【变式1】用简便方法计算： （1）10.12﹣2×10.1×0.1+0.01； （2）2022+202×196+982． 题型07 利用完全平方公式变形求值 【典例1】已知x+y＝7，xy＝2，则x2+y2的值为　 　 ． 【变式1】若（a﹣b）2＝9，a2﹣b2＝15，且a＜b，则ab的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6 题型08 利用完全平方公式的特点求值 【典例1】如果x2+ax+4是一个完全平方式，那么a是（　　） A．2 B．4 C．±2 D．±4 【变式1】x2﹣（m+1）x+49是完全平方式，求m的值是（　　） A．6或﹣8 B．13 C．﹣8 D．13或﹣15 题型09 完全平方公式的几何意义 【典例1】如图所示的图形可以直接验证的乘法公式是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【变式1】如图，小星用如图①所示的四张长方形纸片，拼成了如图②所示的一个正方形，该正方形可直观地表示a+b，a﹣b与ab之间的关系，则这个关系是（　　） A．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab B．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝2ab C．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝﹣2ab D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝﹣4ab 题型10 乘法公式的综合应用 【典例1】计算： （1） （2x+y﹣3z）2； （2）（x﹣y+4）（x+y+4）． 【变式1】计算题： （1）（a﹣2b﹣3c）2； （2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2． ABC分层训练 1．下列各式中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式，从左到右的变形，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列式子不可以运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则代数式的值为（ ） A．2025 B． C．2024 D． 5．计算的结果为（   ） A．0 B． C． D． 6．用乘法公式计算的结果（　　） A． B． C． D． 7．计算： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 8．添括号（填空）： （1）（____________________）； （2）（____________________）； （3）（____________________）． 9．运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)． 10． 计算：． 11．如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 12．下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（　　） A． B． C． D． 13．下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 14．如果，那么a、b的值分别是（    ） A． B． C． D． 15．若x2-y2=100，x+y=-25，则x-y的值是（　　） A．5 B．4 C． D．以上都不对 16．已知，则_______． 17．若实数满足，则的值为______． 18．已知，求的值为___________ 19．“替换方法”贯穿代数学习的始终，为我们快速学习代数运算提供方便，如将中的“b”换成“”得到．类似的，已知，则_______________ ． 20．计算： (1)； (2)． 21．先化简，再求值：，其中． 22．计算： (1)； (2)． 23．【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到 (1)写出由图2所表示的数学等式：________． (2)根据上面的等式，如果将看成，直接写出的展开式（结果化简）；若求的值． (3)已知实数、、，满足以下两个条件：且，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $