16.3 乘法公式 知识归纳与题型突破 2026-2027学年人教版八年级上册（七题型）

该初中数学导学案聚焦乘法公式知识，涵盖平方差公式与完全平方公式的归纳，以整式乘法为学习支架，引导学生从具体运算过渡到公式抽象，构建前后知识的逻辑脉络。 资料通过七种题型实现突破，包含公式计算、变形求值、几何应用等，结合图形直观培养数学眼光，借助简便运算提升运算能力，强化模型意识，助力学生深化公式理解，提升综合应用素养。

16.3乘法公式知识归纳与题型突破2026-2027学年 人教版八年级上册（七题型） 知识归纳 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方 差。这个公式叫做平方差公式。 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b。两个数的和（或差）的平方，等于它 们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。 题型突破 题型一：运用完全平方公式进行计算 1.下列计算中，正确的是（) A.(-x-yP=-x-2x-y B.m+2n2=m2+4n C(-3x+y2=3x2-6y+y D.x-=x-x 5 tt 1 1 25 2.(c+6}= 3.若(x+m=r-8x+n,则m+n= 4.化简2x+3yP-(2x-3y3的值是 5计(2x+3x 题型二：通过对完全平方公式变形求值 1.若+y=6,x2+y2=20,求x-y的值是() A.2 B.-2 C.4 D.±2 2若a+b=8a-b=6则a2+b2的值是（） A.6 B.7 C.8 D.9 3.若x2+y2=5,y=2,则x-y= 4.若x-y=3,y=2,则x2+y2=_ 5,已知a+b'=7a-b1=3求： (1)a2+b2; (2)ab的值. 题型三：完全平方公式在几何图形中的应用 1·一个正方形的边长为2acm,若边长增加6cm,则新正方形的面积增加() A·36cm2 B·24acm2 C(36+24acm2D.以上都不正确 2.下列图形阴影部分的面积能够直观地解释X-1=xX-2X+1的是（） A B 3.如图，从边长为4a+b的正方形纸片中剪下一个边长为a+2b的正方形后，剩余部 分可剪拼成一个长方形，则拼成的长方形的面积为() 4a+b a+2b A.15a2-4ab-3b2 B.15a2+4ab-3b2 C.15a2+ab+3b2 D.15a2-7ab-4b2 4.如图，在1块边长为a的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为b的人行道把花圃 分成9块.由此可以得到的乘法公式是 5.以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示. 若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为 6.合探究· 把四块长为α、宽为b的长方形木板围成如图所示的正方形，请解答下列问题： 【初步概括】(1)按要求用含α，b的两种方式表示空心部分的正方形的面积S (结果不要化简，保留原式)： b ①用大正方形面积减去四块木板的面积表示：S=_ ②直接用空心部分的正方形边长的平方表示：S=_； 【深入总结】(2)由(1)可得等式：一，并证明你的结论： 【应用拓展】(3)根据(2)中的等式，解决如下问题： ①已知m+n=8,mn=12,求m-n的值； 2已知2m+n=132m-n=5求mn的值. 题型四：运用平方差公式进行计算 1.下列各整式乘法能用平方差公式计算的是（) A.（m-n)川m+n B.(-m-n)m+n) C.(m-nn-m) D.m+nn+m) 2.下列各式中，能应用平方差公式进行计算的是（) A.(a+b)(a+b)B. c.(a-33-a）D. (2a-b)(-2a+b) (x+2y)(x-2y) 3.若x+mlx-m=x-4则m等于（） A.2 B.±2 C.±4 D.以上都不对 4.计算4X+1(2x+1)2x-1的结果是（） A·16X4+1 B·16x-1 C·(2x+14 D·(2x-14 5.计算： 3x2-5y3x-5y:29r2+10-3w-3x-) 题型五：平方差公式与几何图形 1.观察图，用等式表示图中图形面积的运算为() 6 A.la-bP=d-2ab+b2 B:(a+blla-bl=a2-b C.ala+bl=d+ab D·a+br=d+2ab+b 2.如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为（) A.18 B.24 C.36 D.72 3.图1是长为a+b,宽为a-b的一个长方形，将其进行分割，剪拼，得到如图2所 示的大正方形.通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是() ←b 图1 图2 A·a2-b=a+bla-b B.la+bP-d+2ab+b c·a-b2=a2-2ab+b D.(a+blla-bl=d-b 4.若正方形的边长增加1，其面积增加7，则原正方形的边长是 5,如图①是一张边长为α的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形 然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）· a a-b b 图① 图② (1)请分别用含α、b的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为：-；图2阴影部分面积为：一氵 (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于α、b的恒等式为一； (3)利用(2)中的结论，求643.62-356.42的值. 题型六：运用乘法公式进行简便运算 1.首便计算：-19子×20号 9 2.简便计算：22+4×18+182+193×20 4 4 3.用简便方法计算： (1)186.52-186.5×173+86.52;(2)3002-304×296. 4.运用乘法公式进行简便运算： (1)2012;(2)49×51-2500. 5.用简便方法计算： (1)2022+202×196+982;（2)1232-122×124. 题型七：化简求值 1.先化简.再求值xx+yx-y+yx-y小其中x=2y=1 2.先化简，再求值：40-对++2-2)-2x-广+4r,其中x=3y=3. 3.先化简，再求值：[（3m+n)(m-n)-(2-n)2+(-2n)）(m+2n)]+ 1,其中m=1,n=-2. 4.(a)）如果m2-m=1求代数式m-1P+(m+10m-1)+2026的值. 2)化筒求值：(2x+yP-(2x-y0x+y)-2(x-2y川x+2y)其中x=号y=-2 5化简求值：[(-川-x(3x-2)+(+yx-月]÷(2y),其中x=l,y=-2.16.3乘法公式知识归纳与题型突破2026-2027学年 人教版八年级上册（七题型） 知识归纳 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方 差。这个公式叫做平方差公式。 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和（或差）的平方，等于它 们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。 题型突破 题型一：运用完全平方公式进行计算 1.下列计算中，正确的是（) A.(-x-yP=-x-2x-y B.m+2n2=m2+4n C-3x+y2=3X2-6w+y D. =x2-2 5 5 25 【答案】D 2.(x+6)}= 【答案】x2+12x+36 3.若(x+m=x-8x+n,则m+n= 【答案】12. 4.化简2x+3y-(2x-3yP的值是 【答案】24xy/24yx 5计算： 23xj 2 【答案】13-2w+36 【详解1解原式=4-6+？+9+4+号 9 =13x2-2y 91y 36 题型二：通过对完全平方公式变形求值 1.若Hy=6,x+y=20,求x-y的值是() A.2 B.-2 C.4 D.±2 【答案】D 2若a+b=8a-bf=6则a2+b的值是（） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】B 3.若x2+y2=5,y=2,则x-y= 【答案】±1. 4.若x-y=3,y=2,则x2+y2= 【答案】13. 5.已知a+b=7a-b日=3求： (1)a2+b2; (2)ab的值. 【答案】(1)5(2)1 【详解】 ()解：“a+bP=7a-bl3=3 a2+2ab+b2=7,a2-2ab+b2=3, 上两式子相加得2a2+2b2=7+3=10 a2+b2=5 (2)解：“a+b=71a-b=3 a2+2ab+b2=7,a2-2ab+b2=3, 上两式子相减得4ab=7-3=4, ∴.ab=1 题型三：完全平方公式在几何图形中的应用 1.一个正方形的边长为2acm,若边长增加6cm,则新正方形的面积增加() A·36cm2 B 24acm C(36+24acm2D.以上都不正确 【答案】C 2.下列图形阴影部分的面积能够直观地解释x-1=X-2X+1的是（） 【答案】D 3.如图，从边长为4a+b的正方形纸片中剪下一个边长为a+2b的正方形后，剩余部 分可剪拼成一个长方形，则拼成的长方形的面积为（) 4a+b a+2b A.15a2-4ab-3b2 B.15a2+4ab-3b2 C.15a2+ab+3b2 D.15a2-7ab-4b2 【答案】B 4.如图，在1块边长为α的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为b的人行道把花圃 分成9块·由此可以得到的乘法公式是 I答案】（a-2bP=a2-4ab+4b 5.以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中“字图案，如图所示. 若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为 【答案】6 6.合探究. 把四块长为α、宽为b的长方形木板围成如图所示的正方形，请解答下列问题： 【初步概括】(1)按要求用含α，b的两种方式表示空心部分的正方形的面积S (结果不要化简，保留原式)： ①用大正方形面积减去四块木板的面积表示：S=_; ②直接用空心部分的正方形边长的平方表示：S= 【深入总结】(2)由(1)可得等式：一，并证明你的结论； 【应用拓展】(3)根据(2)中的等式，解决如下问题： ①已知m+n=8,mn=12,求m-n的值 2已知2m+nP=132m-n=5求nn的值 [答案】(1①a+b-4ab2a-b1口22)a+b'-4ab=la-b见 解析；(3)①士4；②1 【详解】解：(1)①由图知，大正方形面积减去四块木板的面积为 S=a+b2-4ab' 2用空心部分的正方形边长的平方表示为：S=a-b口 故答案为：a+bP-4aba-b口2 (2)la+bl2-4ab=la-b) 证明：左边=a2+2ab+b2-4ab=a2-2ab+b2, 右边0-b=a-2ab+b2左边_右边 a+b2-4ab=a-b1□☐2 (3)解：①.m+n=8,mn=12 m-n2=m+m2-4mm=82-4×12=16 m-n=±4. ② 2m+n2-2m-n2=4:2mn=8mn2m+n2=13(2m-n2=5 .13-5=8mn .mn=1 题型四：运用平方差公式进行计算 1.下列各整式乘法能用平方差公式计算的是（) A.（m-n)m+nl B.(-m-n)(m+n) C.(m-n(n-m D (m+n(n+m) 【答案】A 2.下列各式中，能应用平方差公式进行计算的是() A.(a+b)(a+b)B. c.(a-33-a) D. (2a-b)(-2a+b) (x+2y)(x-2y) 【答案】D. 3.若x+mlx-m=-4则nm等于（） m A.2 B.±2 C.±4 D.以上都不对 【答案】B 4.计算4X+12x+1〔2x-1 的结果是() A·16x+1 8·16x-1 C:(2x+1月 D·(2x-14 【答案】B 5.计算： a3r-5v3x-5列：29r+01-3x-3x-） 答案1125y-9 281r-1 【详解】 )解：（3r-5y3x2-5) =(-5y-3x2)(-5y+3x2) =(-5y2-(3x2月 =25y2-9x4 2)(9r+101-3x(-3x-) =(-3x+1)(-3x-1)(9x2+1） =[(-3x)2-1P]9x2+0 =(9x2-10(9x2+1) =(9x2}-1P =81x4-1 题型五：平方差公式与几何图形 1.观察图，用等式表示图中图形面积的运算为() a A.(a-bP=a-2ab+b B.(a+bla-b)-d-b2 C.ala+bl=d+ab D·a+bP=d2+2ab+b 【答案】B 2.如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为（) A.18 B.24 C.36 D.72 【答案】C 3.图1是长为a+b),宽为a-b的一个长方形，将其进行分割，剪拼，得到如图2所 示的大正方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是() a+b ←b 图1 图2 A·a2-b=a+bja-b B·a+bP=d2+2ab+b C:la-bP-q2-2ab+b D:(a+bla-b)=d-b2 【答案】D 4.若正方形的边长增加1，其面积增加7，则原正方形的边长是 【答案】3 5.如图①是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形， 然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）· a 图① 图② (1)请分别用含α、b的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为：-；图2阴影部分面积为：-氵 (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于α、b的恒等式为一； (3)利用(2）中的结论，求643.62-356.42的值. 【答案】(@a-b2,(a+b(a-b 2a-b2=(a+b(a-b) (3)287200 【详解】(1)解：图①中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2-b2, 拼成的图②是长为a+b,宽为a-b的长方形，因此面积为(a+b)(a-b) 故答案为：d-b,(a+b(a-b)/ (2)解：由(1)得，a-b=(a+b)(a-b)' 故答案为： a2-b2=(a+b)(a-b' (3)解：原式=(643.6+356.4)×(643.6-356.4) =1000×287.2 =287200 题型六：运用乘法公式进行简便运算 1.简便计算：-192×20 答1解：原式=-20号×20+号 =-20-号 =-400+ 4 81 =-3977 81 2.简便计算：22+44×18+182+193×20 4 4 【答案】解：原式=(22+18)2+(20-二)×(20+2) =4020-6 =1600+400-16 。15 =1999161 3.用简便方法计算： (1)186.52-186.5×173+86.52:(2)3002-304×296. 【答案】解：(1)186.52-186.5×173+86.52 =186.52-2×186.5×86.5+86.52 =(186.5-86.5)3 =1002 =10000: (2)3002-304×296 =3002-(300+4)×(300-4) =3002-(3002-16) =3002-300+16 =16. 4.运用乘法公式进行简便运算： (1)2012:(2)49×51-2500. 【答案】解：(1)2012=(200+1)？ =2002+2×200×1+12 =40000+400+1 =40401; (2)49×51-2500 =(50-1)(50+1)-2500 =502-1-2500 =2500-1-2500 =-1. 5.用简便方法计算： (1)2022+202×196+982;(2)1232-122×124. 【答案】解：(1)原式=202+2×202×98+982： =(202+98)2 =3002 =90000; (2)原式=1232-(123-1)(123+1) =1232-1232+1 =1. 题型七：化简求值 1,先化简再求值：xx+yx-y+yx-y共中x=2y=1 【答案】x-y3:7 【详解)解：xx+yx-y+yx-y =x(x2-y+(xy2-y3] =x3-xy2+xy2-y3 =x3-y3. 当x=2,y=1时，原式=23-13=8-1=7 2.先化简，再求值：40-)+(x+2x-2)-(2x-y少+4忙，其中x= 2y=3 5 【答案】x2-y2；4 【详解】解： 4y(y-x)+(x+2y)(x-2y)-(2x-y)2+4x2 =4y2-4xy+x2-4y2-(4x2-4xy+y2）+4x2 =4y2-4xy+x2-4y2-4x2+4xy-y2+4x2 =x2-y2 当 4 3.先化简，再求值：[(3+n)(m-n)-(2m-n)2+(m-2n)(+2n)]+ 1,其中m=1,n=-2. 【答案】21-62+1，-27 【详解】解：[(31+n)(m-n)-(2l-n)2+(m-2n）(m+2n)]+1 =(3r2-3m+-r2-42+4n-2+m2-4r2)+1 =2m-6m+1. 当m=1,n=-2时 原式=2×1×(-2）-6×(-2)2+1 =-4-6×4+1 =-4-24+1 =-27 4.()如果m2-m=1 求代数式m-1Y+(m+1(m-1+2026的值. 2)化简求值：2x+yP-(2x-y(x+y列-2(x-2y川x+2y以.其中x=2y=-2. 【答案】(1)2028；(2)3xy+10y2,37 【详解】解：(1)原式=m2-2m+1+m2-1+2026 =2m2-2m+2026 =2m2-m+2026 .m2-m=1, ∴.原式=2028 2)原式4X+4y+y-2x2+y-y1-2×-4y1 =3xy+10y2; 将货中x=号，y=-2代入 原武=3×(-2×2+10×(-2=37 5.化简求值： [(x-y-x(3x-2y)+(x+yx-刃]÷(2，其中x=by=-2. 1 1 【答案】 2x:2 【详解1解，[--x3x-2)++-列小(2x) =(x2-2y+y2-3x2+2xy+x2-y2）÷(2x) =(-x2)÷(2x) 1 2, 把x1代入得：原式=方1=分