第四章 投影与视图 重难点训练--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以投影概念为基础，通过11类题型系统构建从投影原理到三视图应用的知识体系，强化空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |投影基础|题型1-4（约12题）|正投影、中心投影、平行投影的概念辨析与实际应用|从投影定义出发，结合视点视角盲区，形成“概念-辨析-应用”逻辑链| |三视图应用|题型5-11（约21题）|三视图判断、作图及表面积体积计算|从简单组合体到非实心几何体，再到已知视图求参数，体现“基础判断-作图表达-综合计算”递进，培养推理意识|

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第四章 投影与视图 题型1 正投影 题型2 中心投影 题型3 平行投影 题型4 视点，视角和盲区 题型5 判断简单组合体的三视图 题型6 判断非实心几何体的三视图 题型7 已知一种或两种视图，判断其他视图 题型8 画简单组合体的三视图 题型9 已知三视图求侧面积或表面积 题型10 已知三视图求体积 题型11 由三视图，判断小立方体的个数 【正投影】 1．空间观念如图，望远镜调节好后，摆放在水平地面上．观测者用望远镜观测物体时，眼睛（点）到水平地面的距离，沿方向观测物体的仰角，望远镜前端（点）与眼睛之间的距离（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）．求： (1)点到水平地面的距离的长． (2)在水平地面上的正投影的长． 【答案】(1)点到水平地面的距离的长约为173.6cm (2)在水平地面上的正投影的长约为128.5cm 【分析】本题考查了正投影，解直角三角形的应用--仰角和俯角问题，熟悉仰角和俯角的概念，构造出直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点．构造，利用三角函数求出的长，进而求出的长； （2）由图形可知在地面的正投影长即的长，所以求出问题得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，， ， ． 故点到水平地面的距离的长约为173.6cm． （2）解：在中，， ， ． 故在水平地面上的正投影的长约为128.5cm． 2．一面积为S的矩形纸片在水平面的正投影面积为，则它在竖直面的正投影面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，投影问题，解题的关键是熟练掌握三角函数定义．设矩形纸片与水平面的夹角为θ，根据面积为S的矩形纸片在水平面的正投影面积为，得出，根据三角函数定义得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：设矩形纸片与水平面的夹角为θ，根据题意得：， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得：， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形在竖直面的正投影面积为： ． 故选：A． 3．下列说法正确的有（   ） ①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点；②长方形的对角线垂直于投影面，则长方形在投影面上的正投影是平行四边形；③正方体的一侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是投影的含义，由投影的含义结合图形的形状逐一分析判断即可． 【详解】解：①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点，正确； ②当长方形的对角线垂直于投影面时，其正投影是一条线段；错误； ③正方体的一侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；正确； ④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形．正确； 故选：C 【中心投影】 4．【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： (1)太阳光下形成的投影属于 ；（填“平行投影”或“中心投影”）； (2)在图中画出在阳光下的投影； (3)求立柱的长． 【答案】(1)平行投影 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据投影的定义进行判断即可； （2）连接，过D作即可完成作图； （3）证，根据对应线段成比例即可求解． 【详解】（1）解：太阳光下形成的投影属于平行投影； （2）解：连接，过D作交延长线于F， 如图，即为在阳光下的投影： （3）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得： 5．如图，地面上竖立着电线杆和标杆（均与地面垂直）．某一时刻电线杆在阳光下的影子为线段． (1)尺规作图：作出同一时刻标杆在地面的影子； (2)已知标杆的高度为．实验小组测得电线杆、标杆的影长分别为和．电线杆的高度为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质，平行投影，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）连接，过点D作直线交于点M，在的上方作，直线交于点F，线段即为所求； （2）利用相似三角形的性质构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：根据题意得，，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：电线杆的高度为． 6．如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 【答案】 【分析】本题是在平行投影下考查了相似三角形的知识在实际中的应用，证明相似三角形并根据“相似三角形的对应边成比例”确定树高与两个影长的数量关系是解题的关键. 根据题意，画出示意图，证明，进而可得，即，代入数据可得答案. 【详解】解：根据题意，作， 树高为，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 代入数据可得， （负值舍去）． 故答案为：． 【平行投影】 7．如图，花丛中有一路灯杆在灯光下，小明在点处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小明的影长米．如果小明的身高为米，求： (1)直接写出图中两组相似三角形（不能添加新的字母）； (2)路灯杆的高度． 【答案】(1)和 (2)米 【分析】本题主要涉及相似三角形的判定和性质． （1）根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似来找出相似三角形． （2）利用相似三角形对应边成比例的性质，列出关于路灯杆高度和相关线段长度的方程，进而求解路灯杆的高度． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ； （2）解：由题可知，，，， ， ， ， 即①， ， ， 即②， 联立①②解得，； 答：路灯杆的高度米． 8．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A走到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4米恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，经过测量发现长为6米． (1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置； (2)估计路灯的高． 【答案】(1)见解析 (2)路灯的高是4.5米 【分析】此题考查了中心投影作图、相似三角形的判定与性质，熟练掌握投影的特点与相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）由题意可得，进而得到，即，解得，再结合即可求解． 【详解】（1）解：如图： 点O和点Q即为所求： （2）由题意可知：， ， ，， 又， ，则， 即：， 解得：， ， ， ， 所以路灯的高是4.5米． 9．如图，广场上有一路灯，路灯下一墙墩的影子是，小明身高的影子是，在处有一棵大树，它的影子是． (1)在图中确定路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在图中画出表示大树的线段（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了中心投影，解题的关键是熟练掌握中心投影的性质． （1）连接并延长与的延长线交于点P，点P即路灯的位置； （2）连接，作垂直于与交于点G，线段即为表示大树的线段． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求， ； （2）解：如图，线段即为所求． 【，视角和盲区】 10．随着社会车辆的增多，儿童安全问题成为社会关注的焦点，建议司机和行人时刻“警惕汽车视线盲区，谨防看不见的安全隐患”．如图，在某小区内住宅楼拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被住宅楼遮挡的拐角另一侧的处驶来，已知，汽车从处前行多少米才能发现处的儿童．（结果保留到，参考数据： 【答案】汽车从处前行米才能发现处的儿童． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用；连接，并延长交于点，证明得出，在中，求得，进而即可求解． 【详解】解：连接，并延长交于点， 由图知：， ， ，即， ． 在中， ，即， ， ． 答：汽车从处前行米才能发现处的儿童 11．如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】（1）连接并延长交于点P，连接并延长交于F，点P和即为所求； （2）先求出米，证明，得到，即，则米． 【详解】（1）解：如图所示，点P和即为所求； （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，，即， ∴， ∴，即， ∴米， ∴路灯灯泡距地面的高度为米． 12．“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（    ） A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度 【答案】B 【分析】根据站的越高，人的视角就越大，对于圆形地球可视面就越大，盲区越小进行判断即可． 【详解】解∶选项A，站的越高，人的视角就越大，不是增大盲区，错误； 选项B，减少盲区，正确； 选项C，不可能改变光点，错误； 选项D，不是增加亮度，选项错误． 故选：B． 【判断简单组合体的三视图】 13．如图所示的几何体是由个大小相同的小正方体搭成的，将小正方体移走后，新的几何体的主视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从正面看得到的图形是正视图，可判断将移走后，新的几何体的正视图． 【详解】解：将小正方体移走后，从正面看，最左边有上下两个正方形，右边有一个正方形，故A符合． 14．下面是荔枝包装盒搭成的立体图形，其主视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据主视图是从物体的正面看到的图形解答即可． 【详解】解：从正面看，图形有两层，上层有两个小正方形，下层有三个小正方形，且下层左面有一个小正方形， ∴其主视图如下： ， ∴A选项符合题意． 15．河北博物院收藏的错金铜博山炉（如图1所示）是汉代颇具代表性的香薰器物．将它近似地看成由圆锥、半球和圆柱组成的几何体（如图2所示），则这个几何体的主视图中没有出现的图形是（     ） A．三角形 B．矩形 C．半圆 D．菱形 【答案】D 【分析】根据三视图的定义，分别分析圆锥、半球、圆柱的主视图形状，即可得出结论． 【详解】解：该几何体上部是圆锥，中部是半球，下部是圆柱 ∴圆锥的主视图是三角形，半球的主视图是半圆，圆柱的主视图是矩形 ∴这个几何体的主视图中出现的图形有三角形、半圆、矩形，没有菱形． 【判断非实心几何体的三视图】 16．一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图定义解答即可． 【详解】解：从左面观察几何体，看不见的孔洞轮廓要用虚线表示，零件左侧整体为矩形，前后贯通的圆孔在左视图中呈现两条水平虚线，下方还有底座矩形，对应选项A． 17．如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线，确定通孔位置的左视图为虚线；再求解通孔的底面正方形的对角线长即可确定． 【详解】解：通孔底面正方形的对角线长为， 该零部件的左视图及其尺寸标注如B选项所示． 18．如图是空心圆柱的主视图与俯视图，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：空心圆柱的主视图与俯视图为： ． 【已知一种或两种视图，判断其他视图】 19．已知某个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三视图的投影规律“长对正，高平齐，宽相等”进行分析，由主视图和俯视图确定几何体的形状及内部结构的位置，进而推断左视图的形状． 【详解】解：∵主视图为矩形且内部有两条竖直虚线，俯视图为大圆内部有一个小圆， ∴该几何体为大圆柱，中间挖去了一个圆柱形的孔， ∵主视图中虚线左右对称，俯视图中内部小圆左右居中， ∴小圆柱孔在左右方向上位于大圆柱中心， ∵俯视图中内部小圆靠下（即靠近观察者，位于前方）， ∴根据“宽相等”及左视图的投影规律（左视图的右侧对应几何体的前方），左视图中表示小圆柱孔的虚线应靠右， ∴左视图应为 20．如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，其中正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】左视图是从物体的左面看得到的视图，其列数对应俯视图的行数，每列小正方形的个数对应俯视图中该行数字的最大值 【详解】解：由俯视图可知，该几何体在前后方向上共有3行，因此左视图应有3． 从左面看，左视图的每一列对应俯视图的每一行（从上到下）：第一列对应俯视图的第一行，该行只有数字3，故左视图第一列高度为3； 第二列对应俯视图的第二行，该行数字为2和3，最大值为3，故左视图第二列高度为3； 第三列对应俯视图的第三行，该行只有数字1，故左视图第三列高度为1 综上所述，左视图从左到右小正方形的个数依次为3，3，1． 观察选项，只有C选项符合． 21．已知有一个由几个小立方块所搭成的几何体，如图是从上面看到的这个几何体的形状图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)分别画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； (2)若要保持该几何体从正面、左面、上面看到的形状图都不变，则还能增加小立方块的个数为_______个． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查几何体的三视图； （1）直接利用俯视图中所标数字进而得出主视图以及左视图； （2）直接利用主视图、左视图、俯视图得出还能增加小立方块的个数． 【详解】（1）解：从正面看，左边有3个小正方形，中间有2个，右边有1个；从左面看，左边有2个小正方形，中间有3个，右边有2个，如图所示： （2）解：∵在空白处添加会改变从上面看到的形状，在前面的正方体上添加会改变从正面看到的形状，从左边的正方体上添加会改变从左面看到的形状， ∴只能在最中间的一个小正方体上添加，并不能超过前面和左面的高度， ∴还能增加1个小立方块，如图所示： 故答案为：1． 【画简单组合体的三视图】 22．请画出如下图所示的几何体的三视图． 【答案】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的前提． 根据简单组合体的三视图的画法画出从正面、左面、上面看所得到的图形即可． 【详解】解：这个几何体的三视图如下： 23．请画出如图所示的立体图形的三视图． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查了物体的三视图，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的轮廓线画成虚线，不能漏掉．分别从物体正面、左面和上面看，画出所得到的图形即可． 【详解】解：如图所示． 24．（1）已知，求的值． （2）画出下面几何体的主视图、左视图和俯视图． 【答案】（1），（2）见解析 【分析】本题考查比例的性质，作图-三视图，解题的关键是掌握比例的性质，理解三视图的定义． （1）设，则，，再代入计算即可 （2）根据三视图的定义画图即可． 【详解】（1）解：设，则，， ∴； （2）解：如图所示． 【已知三视图求侧面积或表面积】 25．一个几何体的三视图如图所示，请先写出这个几何体的名称，再根据三视图画出它的平面展开图，并求其表面积S． 【答案】三棱柱，图见解析； 【分析】本题考查三视图，棱柱的表面积，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 有2个视图的轮廓是长方形，那么这个几何体为棱柱，另一个视图是三角形，那么该几何体是三棱柱；根据勾股定理求出等腰三角形的腰长，再根据三棱柱的表面积公式求解即可． 【详解】解：这个几何体的名称是三棱柱，其平面展开图如图①所示(画法不唯一)．由三视图，可知三棱柱的底面是等腰三角形，如图②，过点A作于点D． 由题意，得， ∴ ∴． 26．某几何体的三视图如图所示，若它们均是直角边长为1的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查三视图的应用，利用三视图，将几何体进行还原，得到该几何体为底面是直角三角形侧棱和底面垂直的三棱锥，然后根据三棱锥的表面积公式求表面积． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面为直角三角形，侧棱垂直于底面． 所以，所以侧面三角形为边长为的正三角形．如图，过点P作于点D， 则， ∴， 所以三角形的面积为，其余三角形的面积之和为， 所以该几何体的表面积为． 故答案为：． 27．如图是某几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)根据有关数据计算几何体的表面积和体积． 【答案】(1)三棱柱 (2)它的表面积为，它的体积为． 【分析】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积，体积等相关知识，考查学生的空间想象能力． （1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个三棱柱； （2）根据直三棱柱的表面积以及体积公式计算即可． 【详解】（1）解：这个几何体为三棱柱． （2）解：它的表面积为：； 它的体积为：． 所以，它的表面积为：，它的体积为：． 【已知三视图求体积】 28．由相同（棱长为1）的小正方体搭成的几何体如图． (1)请在如图的方格中画出该几何体的三视图； (2)图中几何体的体积为_________； (3)若再添加个小正方体，使新得到的几何体的左视图和俯视图保持不变，则的最大值为_________． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)2 【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题关键． （1）主视图有3列，每列小正方形的数目分别为2，1，1；左视图有2列，每列小正方形的数目分别为2，1；俯视图有3列，每列小正方形的数目分别为1，2，1；据此画出图形即可； （2）由题图可知，该几何体由5个小正方体搭成，据此计算即可． （3）根据新得到的几何体的左视图和俯视图保持不变，添加小正方体即可． 【详解】（1）解：如图所示该几何体的三视图为所求： （2）解：由题图可知，几何体的体积为， 故答案为：5； （3）解：可以在①和②的位置上各添加一个小正方体，这个几何体的左视图和俯视图都不变， 即最多添加2个， 故答案为：2． 29．某长方体的主视图、左视图如图所示，则该长方体的体积是_________． 【答案】 【分析】本题考查了长方体的三视图与体积计算，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据长方体的主视图和左视图确定长方体的长、宽、高，再利用长方体体积公式计算体积． 【详解】由主视图可知，长方体的长为，高为， 由左视图可知，长方体的宽为，高为， 长方体的体积为：． 故答案为． 30．如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体从上面看到的图形，图中所示数字为该位置小正方体的个数． (1)请画出这个几何体从正面看和从左面看得到的形状图； (2)若小正方体的棱长为4，求该几何体的体积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，正方体的体积． （1）由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，2；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为1，3，2．据此可画出图形． （2）根据题意可得出几何体的小正方体个数，即可求解. 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：该几何体的小正方体个数为个， 故该几何体的体积为. 【由三视图，判断小立方体的个数】 31．用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如下图所示，如果需要的小正方体个数最多为个，最少为个，则的值为_____________． 【答案】22 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，解题的关键是发展空间想象能力． 根据从正面看到的图形易得这个几何体共有3层，由从上面看到的图形可得第一层立方体的个数，由从正面看到的图形可得第二层立方体的可能的个数，从而求出m、n的值，再相加即可． 【详解】解：综合从正面和上面看到的图形，这个几何体的底层有6个小正方体， 第二层最少有2个，第3层最少有1个， 因此搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为：， 第二层最多有5个，第3层最多有2个， 因此搭成这样的一个几何体至多需要小正方体木块的个数为：， ∴， 故答案为：22． 32．如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)这个几何体由多少个小正方体搭成； (2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加几个小正方体． 【答案】(1)10个小正方体搭成 (2)最多可以再添加4个小正方体 【分析】（1）按照从后到前的顺序，计算得，解答即可； （2）根据不同方向看得到几何形状图特点解答即可． 本题考查了从不同方向看，熟练掌握不同方向看几何形状是解题的关键． 【详解】（1）解：按照从后到前的顺序，得， 故这个几何体由10个小正方体搭成． （2）从三个不同方向看这个几何体，图形如下： 观察图形可知：如果从左面和从上面看到的形状图不变，可以在第二列添加3个小正方体， 在第三列添加1个小正方体． ∴最多可以再添加（个）小正方体． 33．根据要求完成下列题目． (1)图中有______个小正方体； (2)请在网格中分别画出它的左视图和俯视图； (3)用小正方体搭一个不同于上面的几何体，使得它的左视图和俯视图与你在网格中所画的视图一致，则组成这样的几何体最少需要几个小正方体？最多呢？ 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)8个小正方体；13个小正方体． 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提． （1）观察图形可知，该几何体的下面一层有块小正方体，第二层有块小正方体，最上面一层有块小正方体，即共有块小正方体； （2）观察几何体，作出左视图和俯视图即可； （3）由俯视图易得最底层小立方块的个数，由左视图找到其余层数里最少个数和最多个数相加即可． 【详解】（1）解：由分析可知：图中有个小正方体， 故答案为：． （2）解：如图所示． （3）解：组成这样的几何体所需小正方体最少的分布情况如图所示． 共需要个小正方体； 组成这样的几何体所需小正方体最多的分布情况如图所示． 共需要个小正方体． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第四章 投影与视图 题型1 正投影 题型2 中心投影 题型3 平行投影 题型4 视点，视角和盲区 题型5 判断简单组合体的三视图 题型6 判断非实心几何体的三视图 题型7 已知一种或两种视图，判断其他视图 题型8 画简单组合体的三视图 题型9 已知三视图求侧面积或表面积 题型10 已知三视图求体积 题型11 由三视图，判断小立方体的个数 【正投影】 1．空间观念如图，望远镜调节好后，摆放在水平地面上．观测者用望远镜观测物体时，眼睛（点）到水平地面的距离，沿方向观测物体的仰角，望远镜前端（点）与眼睛之间的距离（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）．求： (1)点到水平地面的距离的长． (2)在水平地面上的正投影的长． 2．一面积为S的矩形纸片在水平面的正投影面积为，则它在竖直面的正投影面积为（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的有（   ） ①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点；②长方形的对角线垂直于投影面，则长方形在投影面上的正投影是平行四边形；③正方体的一侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【中心投影】 4．【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： (1)太阳光下形成的投影属于 ；（填“平行投影”或“中心投影”）； (2)在图中画出在阳光下的投影； (3)求立柱的长． 5．如图，地面上竖立着电线杆和标杆（均与地面垂直）．某一时刻电线杆在阳光下的影子为线段． (1)尺规作图：作出同一时刻标杆在地面的影子； (2)已知标杆的高度为．实验小组测得电线杆、标杆的影长分别为和．电线杆的高度为多少？ 6．如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 【平行投影】 7．如图，花丛中有一路灯杆在灯光下，小明在点处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小明的影长米．如果小明的身高为米，求： (1)直接写出图中两组相似三角形（不能添加新的字母）； (2)路灯杆的高度． 8．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A走到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4米恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，经过测量发现长为6米． (1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置； (2)估计路灯的高． 9．如图，广场上有一路灯，路灯下一墙墩的影子是，小明身高的影子是，在处有一棵大树，它的影子是． (1)在图中确定路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在图中画出表示大树的线段（不写作法，保留作图痕迹） 【，视角和盲区】 10．随着社会车辆的增多，儿童安全问题成为社会关注的焦点，建议司机和行人时刻“警惕汽车视线盲区，谨防看不见的安全隐患”．如图，在某小区内住宅楼拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被住宅楼遮挡的拐角另一侧的处驶来，已知，汽车从处前行多少米才能发现处的儿童．（结果保留到，参考数据： 11．如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 12．“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（    ） A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度 【判断简单组合体的三视图】 13．如图所示的几何体是由个大小相同的小正方体搭成的，将小正方体移走后，新的几何体的主视图为（     ） A． B． C． D． 14．下面是荔枝包装盒搭成的立体图形，其主视图为（     ） A． B． C． D． 15．河北博物院收藏的错金铜博山炉（如图1所示）是汉代颇具代表性的香薰器物．将它近似地看成由圆锥、半球和圆柱组成的几何体（如图2所示），则这个几何体的主视图中没有出现的图形是（     ） A．三角形 B．矩形 C．半圆 D．菱形 【判断非实心几何体的三视图】 16．一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 17．如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A． B． C． D． 18．如图是空心圆柱的主视图与俯视图，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【已知一种或两种视图，判断其他视图】 19．已知某个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图可能是（） A． B． C． D． 20．如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，其中正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（） A． B． C． D． 21．已知有一个由几个小立方块所搭成的几何体，如图是从上面看到的这个几何体的形状图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)分别画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； (2)若要保持该几何体从正面、左面、上面看到的形状图都不变，则还能增加小立方块的个数为_______个． 【画简单组合体的三视图】 22．请画出如下图所示的几何体的三视图． 23．请画出如图所示的立体图形的三视图． 24．（1）已知，求的值． （2）画出下面几何体的主视图、左视图和俯视图． 【已知三视图求侧面积或表面积】 25．一个几何体的三视图如图所示，请先写出这个几何体的名称，再根据三视图画出它的平面展开图，并求其表面积S． 26．某几何体的三视图如图所示，若它们均是直角边长为1的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是_____． 27．如图是某几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)根据有关数据计算几何体的表面积和体积． 【已知三视图求体积】 28．由相同（棱长为1）的小正方体搭成的几何体如图． (1)请在如图的方格中画出该几何体的三视图； (2)图中几何体的体积为_________； (3)若再添加个小正方体，使新得到的几何体的左视图和俯视图保持不变，则的最大值为_________． 29．某长方体的主视图、左视图如图所示，则该长方体的体积是_________． 30．如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体从上面看到的图形，图中所示数字为该位置小正方体的个数． (1)请画出这个几何体从正面看和从左面看得到的形状图； (2)若小正方体的棱长为4，求该几何体的体积． 【由三视图，判断小立方体的个数】 31．用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如下图所示，如果需要的小正方体个数最多为个，最少为个，则的值为_____________． 32．如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)这个几何体由多少个小正方体搭成； (2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加几个小正方体． 33．根据要求完成下列题目． (1)图中有______个小正方体； (2)请在网格中分别画出它的左视图和俯视图； (3)用小正方体搭一个不同于上面的几何体，使得它的左视图和俯视图与你在网格中所画的视图一致，则组成这样的几何体最少需要几个小正方体？最多呢？ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $