第三章 图形的相似单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册“图形的相似”单元测试，覆盖比例线段、相似三角形判定与性质、位似变换等核心知识，结合杠杆原理、古城墙测量等生活情境及动态折叠问题，梯度设计合理，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|比例线段（第1题）、平行线分线段成比例（第2题）、相似判定（第3题）|基础概念辨析，注重几何直观| |填空题|10题40分|比例性质（第9题）、杠杆原理应用（第11题）、纸条交叉重叠（第12题）|联系生活实际，体现应用意识| |解答题|8题78分|相似证明（第14题）、位似作图（第15题）、动态重叠等腰三角形探究（第18题）、折叠综合（第26题）|分层设计，A卷侧重基础推理，B卷突出创新应用，培养推理能力与空间观念|

第三章 图形的相似 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列长度的四组线段中，是成比例线段的是（　　） A．3cm，2cm，6cm，4cm B．5cm，6cm，7cm，8cm C．9cm，7cm，10cm，8cm D．1cm，2cm，3cm，4cm 2．如图．已知l1∥l2∥l3，若AB＝3，BC＝4，DF＝14，则EF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 3．如图，下列条件不能判定△ABD∽△ACB的是（　　） A．∠ADB＝∠ABC B．∠DBA＝∠C C．AB2＝AD•AC D． 4．如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应中线的比为（　　） A．1：16 B．1：2 C．1：4 D． 5．如图，△ABC中，DE∥BC，SADES梯形DBCE，则DE：BC＝（　　） A． B． C． D． 6．如图，在等边△ABC中，D、E、F分别是BC，AC，AB上的点，且DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF与△ABC的面积之比等于（　　） A．1：3 B．2：3 C．：2 D．：3 7．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点B′重合，若AB＝2，BC＝3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（　　） A．9：4 B．3：2 C．16：9 D．4：3 8．达州市东方神画主题乐园，于2025年10月12日在达州市人民公园．该景点位于达州市通川区，为四川省地区规模最大、档次最高的历史文化主题乐园．游客要从景点C走到D，现在景区内取两点A、B，经测量∠CAB＝90°，ACCD，BD＝2CD，且AD＝20米，则CD两点的距离为（　　）米． A． B． C． D．30 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．如果2a＝b，那么a：b＝（ 　　 ：　　 ），a和b成 　　 比例． 10．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝3，BD＝4，则的值是 　　 ． 11．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是　 ． 12．有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD．则AB与BC的长度比为 　　 ． 13．如图，已知点D是AB边的中点，AF∥BC，CG：GA＝3：1，BC＝8，则AF＝　　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）如图，AE平分∠BAC，D为AE中点，∠B＝∠C．求证：AB＝2AC． 15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（1，3），B（1，0），C（﹣1，1）．以点B为位似中心，作△ABC的位似图形△DBE（点A，C的对应点分别是点D，E），且△DBE与△ABC的相似比为2：1，点D，E都在x轴的下方，并直接写出△DBE与△ABC的面积之比． 16．（10分）如图，在▱ABCD中，点F是边BC上一点，连接DF并延长交AB的延长线于点E，且∠EDB＝∠A． （1）求证：△BDF∽△BCD； （2）若AD＝4，，求的值． 17．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，且DECD． （1）求证：△ABF∽△CEB． （2）若△DEF的面积为1，求▱ABCD的面积． 18．（12分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：△ABE∽△ECM； （2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由； （3）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？ B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图，用手电来测量古城墙高度，将平面镜水平放置在点P处，光线从点A出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙CD的顶端C处．若AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝1.5米，BP＝1.6米，PD＝12米，根据物理学中光的反射定律，可计算出该古城墙的高度是　　 米． 20．如图，一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是　　 ． 21．在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则AB＝　　 ． 22．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为．若点A的坐标为（0，2），则点E的坐标是 　　 ． 23．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，连接AC，∠ACD的平分线交AD于点E，过点D作DF⊥CE于点G，分别交AC、AB于点H、F，点P是线段GC上的任意一点，且PQ⊥AC于点Q，连接PH，则下列结论正确的有 　　 ．（填写序号）①DH＝2DG；②G、F、B、C在同一个圆上；③S△CDE：S△DAF＝3：1；④PH+PQ的最小值是； 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．求证：FD2＝FB•FC． 25．（10分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，AE与CD相交于点F，过点E作EG∥CD交AC的延长线于点G．若AE平分∠BAC，CE＝CF． （1）求证：△EGC∽△CBD； （2）如图2，若AD＝2，BD＝6，求CG的长． 26．（12分）如图，在△ABC中，BA＝BC，点O在AC上，连接BO，并延长至点D，使得OB＝OD，BD⊥AC，连接AD，CD，E是CD上的一点，连接AE． （1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形． （2）如图2，将△ADE沿AE折叠，使点D的对应点F落在BC上，若BF＝2FC，猜想CE与DE的数量关系，并加以证明． （3）如图3，将△ADE沿AE折叠，点D的对应点F落在BC的延长线上，AF与CD交于点G． ①求证：GC＝GF． ②若AD＝5，CF＝1，求的值． 参考答案以及解析 第三章 图形的相似 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列长度的四组线段中，是成比例线段的是（　　） A．3cm，2cm，6cm，4cm B．5cm，6cm，7cm，8cm C．9cm，7cm，10cm，8cm D．1cm，2cm，3cm，4cm 【解答】解：A．3：2＝6：4，所以A选项符合题意； B．5：6≠7：8，所以B选项不符合题意； C．9：10≠7：8，所以C选项不符合题意； D．1：2≠3：4，所以D选项不符合题意； 故选：A． 2．如图．已知l1∥l2∥l3，若AB＝3，BC＝4，DF＝14，则EF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝4，DF＝14， ∴， 即， 解得：EF＝8， 故选：C． 3．如图，下列条件不能判定△ABD∽△ACB的是（　　） A．∠ADB＝∠ABC B．∠DBA＝∠C C．AB2＝AD•AC D． 【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB， 故此选项不合题意； B、∵∠DBA＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB， 故此选项不合题意； C、∵AB2＝AD•AC， ∴， 又∵∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB， 故此不合题意； D、对应边不成比例，不能判定△ABD∽△ACB， 故此选项符合题意． 故选：D． 4．如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应中线的比为（　　） A．1：16 B．1：2 C．1：4 D． 【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4， ∴它们的相似比为1：4． ∴它们的对应中线的比为1：4， 故选：C． 5．如图，△ABC中，DE∥BC，SADES梯形DBCE，则DE：BC＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵SADES梯形DBCE， ∴S梯形DBCES△ADE， ∴S△ABC＝S△ADE+S梯形DBCE＝S△ADES△ADES△ADE， ∴， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴，即， ∴． 故选：B． 6．如图，在等边△ABC中，D、E、F分别是BC，AC，AB上的点，且DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF与△ABC的面积之比等于（　　） A．1：3 B．2：3 C．：2 D．：3 【解答】解：∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC， ∴∠C+∠EDC＝90°，∠FDE+∠EDC＝90°， ∴∠C＝∠FDE， 同理可得：∠B＝∠DFE，∠A＝DEF， ∴△DEF∽△CAB， ∴△DEF与△ABC的面积之比＝（）2， 又∵△ABC为正三角形， ∴∠B＝∠C＝∠A＝60°，△EFD是等边三角形， ∴EF＝DE＝DF， 又∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC， ∴△AEF≌△CDE≌△BFD， ∴BF＝AE＝CD，AF＝BD＝EC， 在Rt△DEC中， DE＝DC×sin∠CDC，EC＝cos∠C×DCDC， 又∵DC+BD＝BC＝ACDC， ∴， ∴△DEF与△ABC的面积之比等于：（）21：3． 故选：A． 7．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点B′重合，若AB＝2，BC＝3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（　　） A．9：4 B．3：2 C．16：9 D．4：3 【解答】解：设BF＝x，则CF＝3﹣x，B'F＝x， 又点B′为CD的中点， ∴B′C＝1， 在Rt△B′CF中，B'F2＝B′C2+CF2，即x2＝1+（3﹣x）2， 解得：x，即可得CF＝3， ∵∠DB′G+∠DGB'＝90°，∠DB′G+∠CB′F＝90°， ∴∠DGB′＝∠CB′F， ∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′， 根据面积比等于相似比的平方可得：△FCB′与△B′DG的面积之比为：（）2＝16：9． 故选：C． 8．荆州方特东方神画主题乐园，于2019年9月12日在荆州盛大开园．该景点位于荆州纪南文旅区，为湖北地区规模最大、档次最高的历史文化主题乐园．游客要从景点C走到D，现在景区内取两点A、B，经测量∠CAB＝90°，ACCD，BD＝2CD，且AD＝20米，则CD两点的距离为（　　）米． A． B． C． D．30 【解答】解：∵ACCD，BD＝2CD，设CD＝x， ∴ACCDx，BD＝2x， ∴BC＝3x， ∴， 而∠C公共， ∴△ACD∽△BCA， ∴∠CAB＝90°＝∠ADC， 而ACCD，AD＝20米， ∴AC2＝AD2+CD2， ∴3CD2＝400×3+CD2， ∴CD＝10． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．如果2a＝b，那么a：b＝（ 　1　 ：　2　 ），a和b成 　正　 比例． 【解答】解：∵2a＝b， ∴a：b＝1：2， ∴a和b成正比例． 故答案为：1，2；正． 10．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝3，BD＝4，则的值是 　　 ． 【解答】解：∵AD＝3，BD＝4， ∴AB＝AD+BD＝7， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 故答案为：． 11．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是　60cm ． 【解答】解：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴AC∥BD， ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∵OA＝150cm，OB＝50cm，BD＝20cm， ∴， ∴AC＝60， ∴AC 的长为60cm． 12．有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD．则AB与BC的长度比为 　2　 ． 【解答】解：过A作AE⊥BC于E、作AF⊥CD于F， ∵甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍， ∴AE＝2AF， ∵纸条的两边互相平行， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC，AD＝BC， ∵∠AEB＝∠AFD＝90°， ∴△ABE∽△ADF， ∴2，即AB：BC＝2． 故答案为：2． 13．如图，已知点D是AB边的中点，AF∥BC，CG：GA＝3：1，BC＝8，则AF＝　4　 ． 【解答】解：∵AF∥BC，点D是AB边的中点， ∴∠F＝∠E，∠ADF＝∠EDB，AD＝BD， ∴△ADF≌△BDE ∴AF＝BE 设AF＝BE＝x． ∵AF∥EC ∴△AGF∽△CGE ∴ 即 ∴BEEC，BC＝8EC， ∴EC＝12， ∴BE＝4， ∴AF＝4． 故答案为：4． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）如图，AE平分∠BAC，D为AE中点，∠B＝∠C．求证：AB＝2AC． 【解答】证明：∵D为AE中点， ∴AE＝2AD， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAD， ∵∠B＝∠C． ∴△ABE∽△ACD， ∴2， ∴AB＝2AC． 15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（1，3），B（1，0），C（﹣1，1）．以点B为位似中心，作△ABC的位似图形△DBE（点A，C的对应点分别是点D，E），且△DBE与△ABC的相似比为2：1，点D，E都在x轴的下方，并直接写出△DBE与△ABC的面积之比． 【解答】解：如图，△DBE即为所求． ∵△DBE与△ABC的相似比为2：1， ∴△DBE与△ABC的面积之比为4：1． 16．（10分）如图，在▱ABCD中，点F是边BC上一点，连接DF并延长交AB的延长线于点E，且∠EDB＝∠A． （1）求证：△BDF∽△BCD； （2）若AD＝4，，求的值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为▱ABCD， ∴∠A＝∠C， ∵∠EDB＝∠A， ∴∠C＝∠EDB， ∵∠DBF＝∠DBC， ∴△BDF∽△BCD； （2）解：由（1）可知， 又∵AD＝BC＝4， 故BF3，CF＝BC﹣BF＝4﹣3＝1， ∵DC∥AE， ∴△DCF∽△EBF， ∴． 17．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，且DECD． （1）求证：△ABF∽△CEB． （2）若△DEF的面积为1，求▱ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB，∠A＝∠C， ∴∠ABF＝∠CEB， ∴△ABF∽△CEB； （2）解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD＝AB， ∵DECD， ∴，， ∵CD∥AB， ∴△DFE∽△AFB， ∴（）2， ∵S△DEF＝1， ∴S△ABF＝9， ∵△ABF∽△CEB， ∴（）2， ∴S△CEB＝16， ∴S平行四边形ABCD＝S△ABF+S△CEB﹣S△DEF＝9+16﹣1＝24． 18．（12分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：△ABE∽△ECM； （2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由； （3）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？ 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠AEF＝∠B， 又∵∠AEF+∠CEM＝∠AEC＝∠B+∠BAE， ∴∠CEM＝∠BAE， ∴△ABE∽△ECM； （2）能． ∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C， ∴∠AME＞∠AEF ∴AE≠AM； 当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM， ∴CE＝AB＝5， ∴BE＝BC﹣EC＝6﹣5＝1， 当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA， ∴∠MAE+∠BAE＝∠MEA+∠CEM， 即∠CAB＝∠CEA， ∵∠C＝∠C， ∴△CAE∽△CBA， ∴， ∴CE， ∴BE＝6； ∴BE＝1或． （3）设BE＝x， 又∵△ABE∽△ECM， ∴， 即：， ∴CMx（x﹣3）2， ∴AM＝5﹣CM（x﹣3）2， ∴当x＝3时，AM最短为． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图，用手电来测量古城墙高度，将平面镜水平放置在点P处，光线从点A出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙CD的顶端C处．若AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝1.5米，BP＝1.6米，PD＝12米，根据物理学中光的反射定律，可计算出该古城墙的高度是　　 米． 【解答】解：由题意可得， ∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP＝90°， ∴△ABP∽△CDP， ∴， ∵AB＝1.5米，BP＝1.6米，PD＝12米， ∴， 解得CD， 即该古城墙的高度是米， 故答案为：． 20．如图，一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是　5　 ． 【解答】解：A关于x轴的对称点A′坐标是（0，﹣1）连接A′B，交x轴于点C， 作DB∥A′A，A′D∥OC，交DB于D， 故光线从点A到点B所经过的路程A′B5． 21．矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则AB＝　　 ． 【解答】解：∵小正方形的面积为1， ∴小正方形的边长也为1 设BE＝x，CE＝y， ∵∠AEB+∠CEF＝90°，而∠EFC+∠CEF＝90° ∴∠AEB＝∠EFC 又∵∠B＝∠C＝90°，AE＝EF＝4 ∴△ABE≌ECF（AAS） ∴AB＝EC＝y，BE＝CF＝x ∴由勾股定理可得x2+y2＝42 而同理可得∠EFC＝∠FGD，且∠C＝∠D＝90° ∴△ECF∽△FDG ∴ ∴FDECy， ∵AB＝CD ∴y＝xy ∴y＝2x，将其代入x2+y2＝42中 于是可得x，y， ∴AB， 故答案为：． 22．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为．若点A的坐标为（0，2），则点E的坐标是 　　 ． 【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为， ∴， ∵点A的坐标为（0，2）， 即OA＝2， ∴， ∵四边形ODEF是正方形， ∴． ∴E点的坐标为：． 故答案为：． 23．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，连接AC，∠ACD的平分线交AD于点E，过点D作DF⊥CE于点G，分别交AC、AB于点H、F，点P是线段GC上的任意一点，且PQ⊥AC于点Q，连接PH，则下列结论正确的有 　①②④　 ．（填写序号）①DH＝2DG；②G、F、B、C在同一个圆上；③S△CDE：S△DAF＝3：1；④PH+PQ的最小值是； 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝2， ∴CB＝AD＝2，CD＝AB＝4，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠CDA＝90°，AB∥CD， ①∵CG平分∠DCH，DH⊥CG， ∴∠DCG＝∠HCG，∠DGC＝∠HGC＝90°， 在△CDG和△CHG中， ， ∴△CDG≌△CHG（ASA）， ∴DG＝GH， ∴DH＝2DG， 故结论①正确； ②∵DF⊥CE， ∴∠FGC＝∠B＝90°， ∴G、F、B、C在同一个圆上； ③∵∠FGC＝90°＝∠DAB＝∠ADC， ∴∠CDG+∠DCG＝90°＝∠ADF+∠CDG， ∴∠ADF＝∠DCG， ∴△CDE∽△DAF， ∴（）2＝（）2＝4：1，故结论③错误； ③过点H作HT⊥CD于T，交CE于K，过K作KR⊥AC于R， ∵CE平分∠DCH，KT⊥CD，KR⊥AC， ∴KR+KH＝KT+KH＝HT， ∴当点P与点K重合时，PH+PQ为最小，最小值为线段HT的长， ∵AB∥CD， ∴∠TCH＝∠BAC， 又∠B＝90°，HT⊥CD， ∴∠B＝∠GTC＝90°， ∴△ABC∽△CTH， ∴BC：HT＝AB：CT， ∴2：HT＝4：CT， ∴CT＝2HT， 由①可知：△CDG≌△CHG（ASA）， ∴CH＝CD＝4， 在Rt△CHT中，由勾股定理得：CT2+HT2＝CH2， 即：（2HT）2+HT2＝42， ∴HT， ∴PH+PQ的最小值为， 故结论④正确； 故答案为：①②④． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．求证：FD2＝FB•FC． 【解答】证明：∵E是Rt△ACD斜边AC的中点， ∴DE＝AE ∴∠A＝∠ADE ∵∠ADE＝∠BDF， ∴∠A＝∠BDF， ∵∠FDC＝∠BDF+∠BDC，∠FBD＝∠ACB+∠A（外角定理），∠BDC＝∠ACB＝90°， ∴∠FDC＝∠FBD， ∵∠F＝∠F， ∴△FDC∽△FBD， ∴， 即FD2＝FB•FC． 25．（10分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，AE与CD相交于点F，过点E作EG∥CD交AC的延长线于点G．若AE平分∠BAC，CE＝CF． （1）求证：△EGC∽△CBD； （2）如图2，若AD＝2，BD＝6，求CG的长． 【解答】（1）证明：∵CE＝CF， ∴∠CEF＝∠CFE． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， 又∵∠CEF＝∠ABC+∠BAE，∠CFE＝∠ACD+∠CAE， ∴∠ABC＝∠ACD； ∵EG∥CD， ∴∠CEG＝∠DCB，∠ACD＝∠G， ∵∠ABC＝∠ACD， ∴∠ABC＝∠G， ∴△EGC∽△CBD； （2）解：在△AEB和△AEG中， ∴△AEB≌△AEG（AAS）， ∴AG＝AB． ∵AD＝2，BD＝6， ∴AB＝AD+BD＝2+6＝8， ∴AG＝8． ∵∠ABC＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD， ∴△ABC∽△ACD， ∴AB：AC＝AC：AD， ∴AC2＝AB•AD＝8×2＝16， ∴AC＝4（舍负）， ∴CG＝AG﹣AC＝8﹣4＝4． 26．（12分）如图，在△ABC中，BA＝BC，点O在AC上，连接BO，并延长至点D，使得OB＝OD，BD⊥AC，连接AD，CD，E是CD上的一点，连接AE． （1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形． （2）如图2，将△ADE沿AE折叠，使点D的对应点F落在BC上，若BF＝2FC，猜想CE与DE的数量关系，并加以证明． （3）如图3，将△ADE沿AE折叠，点D的对应点F落在BC的延长线上，AF与CD交于点G． ①求证：GC＝GF． ②若AD＝5，CF＝1，求的值． 【解答】（1）证明：由条件可知AC是BD的垂直平分线， ∴AB＝AD，CB＝CD． ∵BA＝BC， ∴AB＝AD＝CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． （2）3CE＝2DE．证明如下： 证明：如图1，延长AE，BC交于点M． 由折叠的性质，可得AF＝AD，∠DAE＝∠FAE． 由菱形的性质可知AB＝AD＝CB＝CD，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠M． ∴∠M＝∠FAM， ∴FA＝FM， ∵BF＝2FC， ∴设CF＝m，则BF＝2m，BC＝3m， ∴AF＝FM＝3m， ∴CM＝FM﹣CF＝2m， ∵AD∥BC， ∴△ADE∽△MCE， ∴， ∴， ∴2DE＝3CE． （3）①证明：由折叠的性质，可得AD＝AF＝AB， ∴∠ABC＝∠GFC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∴∠ABC＝∠GCF， ∴∠GFC＝∠GCF， ∴GC＝GF． ②如图2，延长AE，交BC的延长线于点N． ∵AD＝AF＝CD，GC＝GF． ∴AG＝DG， ∵AD∥CF， ∴△ADG∽△FCG， ∴， ∴． 由折叠的性质，可得AF＝AD，∠DAE＝∠FAE． 由菱形性质可知：AB＝AD＝CB＝CD，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠N， ∴∠N＝∠FAN， ∴FA＝FN＝5， ∴CN＝6， 由平行线可知△ADE∽△NCE， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $