第四章三角形综合练习 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学单元复习同步练，以"基础巩固-能力提升-综合拓展"三级分层设计，覆盖三角形核心知识点，通过概念辨析、逻辑推理与实际应用，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|三角形高/中线/角平分线、内角和、三边关系|单选题1-3/7-8考查概念辨析，填空题16-17强化性质应用，夯实基础| |能力提升|全等判定、等腰/等边三角形性质、角平分线综合|单选题9-12结合多知识点，解答题24-27需逻辑推理，提升知识迁移能力| |综合拓展|动点问题、模型应用、探究性问题|解答题30-32涉及外角性质探究、等边三角形模型，培养创新意识与数学表达|

湘教版八年级上册 第四章 三角形综合练习 一、单选题 1．下列各图中，正确画出边上的高的是（    ） A．B．C．D． 2．如果三角形两条边的长度分别是，，那么第三条边可能是（   ） A． B． C． D． 3．在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，且，则BD长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，在中，，分别以A、B为圆心，两弧分别交于E、F，直线交于点D，则的周长等于（　　） A． 7 B．8 C．9 D． 第4题 第5题 第6题 第7题 第9题 6．如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 8．下列说法正确的是（    ） A．三角形的三条中线相交于三角形内部 B．三角形的三条高都在三角形内部 C．三角形不一定具有稳定性 D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部 9．如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 10．如图，在中，为的平分线，于，于，的面积是，，，则的长（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 11．如图所示，在中，和的平分线交于点E，过点E作交AB于M，交AC于点N，若，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 12．如图，在△ABC中，，，，的度数是（    ）． A． B． C． D． 第10题 第11题 第12题 第14题 第15题 13．等腰三角形的一个内角是，它的另外两个角的度数是（   ） A．和或和 B．和或和 C．和或 和 D．和或 和 14．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 15．如图，已知，，，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（ ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④ 二、填空题 16．如图，已知，请添加一个条件，使得，则添加的条件可以为_ __（只填写一个即可）． 17．如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合，若，则_____． 18．如图，，．给出下列条件：①；②，③， ④．从这四个条件中再选一个使，符合条件的有______（填符号）． 19．如图，在中，，平分，于点，，则的长为_____． 20．如图，为的角平分线，且，则的长为___________． 第19题 第20题 第21题 第22题 21．如图，在中，面积是20，的垂直平分线分别交边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______． 22．如图：是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达B时，P、Q两点停止运动，当点P到达B时，P、Q两点停止运动．设点P运动的时间为．当t为________时，是直角三角形． 三、解答题 23．如图，在中，，，线段的垂直平分线交于，连接． (1)求的度数； (2)若，求的长． 24．如图，在中，，点分别在边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 25．中，是它的角平分线，D是的中点，，，垂足分别为E、F．求证：． 26．已知△ABN和△ACM的位置如图所示，∠1=∠2，AB=AC，AM=AN，求证：∠M=∠N. 27．如图，在中，D是的中点，，垂足分别为E，F，．求证：是的角平分线． 28．如图，中，是边上的高，是边上的中线，，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 29．小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，． (1)求证：； (2)求的长． 30．【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，则． 【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴___ ___，______，∴______． ∵， ∴． 【初步应用】（1）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，则的大小为______度． （2）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，则与的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（3）如图④，在四边形中，、分别为外角、的平分线，若，求的度数． 31．例题再现： （1）如图1，五角星的顶角分别是，则_________（直接写出答案）； 知识链接 n边形的内角和等于． 变式拓展： （2）如图2，将该五角星剪掉一个顶角． ①求的度数； ②若，求的度数．    32．【模型感知】 （1）如图1，和都是等边三角形，求证，； 【模型应用】 （2）如图2，已知，点在直线上，以为边作等边三角形，连接，求证：； 【类比探究】 （3）在（2）的条件下，当点运动到射线上时，过点作于点，请写出线段，与之间存在的数量关系并加以说明． 试卷第2页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 《八年级上册第三章三角形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B A A C A A A 题号 11 12 13 14 15 答案 A B B C A 1．B 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，掌握三角形高的定义是解题的关键．根据“点到直线的距离即为边上的高”，即可求解． 【详解】解：边上的高为点到直线的距离，即， 故选：B． 2．D 【分析】本题主要考查了三角形三边关系．三角形三边关系为：已知两边长，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和．据此确定第三条边的长度范围，即可获得答案． 【详解】解：设第三条边的长度为， ∵三角形两条边的长度分别是，， ∴，即， ∴第三条边可能是， ∴选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 故选：D． 3．A 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，根据直角三角形的两个锐角互余，则可求解． 【详解】解：，， ， 故选：A． 4．B 【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=2． 【详解】∵，， ∴, 故选：B． 【点睛】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 5．A 【分析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 证明，推出的周长，可得结论． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴的周长． 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键. 根据三角形外角的性质得到，得出，计算即可得到答案. 【详解】解：，，， ， 故选：A. 7．C 【分析】根据三角形具有稳定性即可进行解答． 【详解】根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性． 8．A 【分析】根据三角形的性质、角平分线、高和中线的定义判断即可． 【详解】解：A、三角形的三条中线相交于三角形内部，故本选项正确； B、只有锐角三角形三条高都在三角形内部，故本选项错误； C、三角形具有稳定性，故本选项错误； D、三角形的三条角平分线一定都在三角形内部，故本选项错误． 故选A. 【点睛】本题考查了三角形的稳定性、高线、中线、角平分线，是基础题，熟记概念是解题的关键． 9．A 【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段． 【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线， ∴不能推出，该选项错误； 对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确； 对于选项C，∵是的中线， ∴为的中点，即，该选项正确； 对于选项D，∵是的高， ∴，即，该选项正确． 故选：A． 10．A 【详解】本题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 解：∵为的平分线，于，于， ∴． ∵的面积是，，， ∴， ∴， ． 故选：A． 11．A 【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质得出，然后利用，即可求出的值． 【详解】∵BE平分 ，CE平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质和等腰三角形的性质，掌握角平分线的定义，平行线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 12．B 【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB的度数，根据角的和差关系可得出∠DBC+∠DCB的度数，根据三角形内角和即可得答案． 【详解】∵， ∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°， ∵，，∠1+∠2+∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB=130°， ∴∠DBC+∠DCB=130°-30°-40°=60°， ∴∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=120°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟记任意三角形内角和为180°是解题关键． 13．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况进行讨论，的角可作底角，也可作顶角，故分两种情况分别进行计算即可． 【详解】解：①当的角是顶角时，则两个底角为； ②当的角是底角时，则顶角为． 故它的其余两个角的度数为或，． 故选：B． 14．C 【分析】利用SSS证得三角形全等得出答案即可． 【详解】解：∵、分别是的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 15．A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握角度之间的代换是解题的关键． 根据得则有和，再利用角度相等即可求得正确，但无法求得正确与否． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确； 则，故②正确； ， ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； 因为无法判断，所以④选项不正确． 故选：A． 16．或 【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：由题意，， 根据，可以添加，使得， 根据，可以添加，使得． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键． 17． 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠可得，，进而可得，结合，可得，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵将沿着折叠压平，与重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18．①③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据三角形全等的判定逐个判断即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴添加①，可以用判定； 添加③，可以用判定； 添加④，可以用判定； 添加②不能判定三角形全等． 故答案为：①③④． 19．4 【分析】此题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等．由线段的和差关系可得的长，再根据角平分线的性质可得答案． 【详解】解：∵平分，，于点， ∴， 故答案为：4． 20． 【分析】本题考查的是角平分线的性质．根据角平分线的性质结合三角形的面积公式得到比例式，代入已知数据计算即可． 【详解】解：如图，作，，垂足分别为， ∵为的内角平分线， ∴， ∴，又， ∴，即， 解得，． 故答案为：． 21．12 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，根据三角形的面积公式求出的长，根据是线段的垂直平分线可知，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点是边的中点，， ，， ∵的面积是20， ， 解得， 是线段的垂直平分线， ， ， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：12． 22．1或2/2或1 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解答此题的关键；分两种情况：；．然后在直角三角形中根据的表达式和的度数进行求解即可． 【详解】解：在， 根据题意得：，， 若是直角三角形，则或， 当时，， 即， ∴， 当时，， ∴， ∴． ∴当或时，是直角三角形． 故答案为：1或2． 23．(1) (2) 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，根据三角形内角和是求得，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，即可求解； （2）根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵线段的垂直平分线交于， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴． 24．(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）由可得，结合，，利用“边角边”证明，然后即可求证是等腰三角形； （2）结合可得，，根据三角形内角和定理解得，进而可得，易知，然后由求出的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 25． 证明：∵平分，，， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质．根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论． 【详解】略 26．见解析 【分析】证出∠BAN=∠CAM，由AB=AC，AM=AN证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可． 【详解】∵∠1=∠2， ∴∠BAN=∠CAM ，AB=AC，AM=AN， ∴△ABN≌△ACM， ∴∠M=∠N. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键． 27． 证明：，， 在和中 ， ∴， ， ，， ， 是的角平分线． 【分析】此题主要考查了角平分线定理的逆定理，直角三角形全等的判定，掌握相关知识是解决本题的关键．首先可证明，可得，又因为，根据角平分线定理的逆定理即可证明是角平分线． 【详解】略 28．(1)； (2)． 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的面积，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的面积公式是解决问题的关键． （1）先根据三角形内角和定理求出，进而再根据可得出得度数； （2）先根据三角形的面积公式求出，进而再根据是边上的中线可得出的长． 【详解】（1）解：在中，，， ， 是边上的高， ， ； （2）解：是边上的高，且，， ， ， ， 是边上的中线， ． 29．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，再由直角三角形的性质得，，即可得出结论； （2）证明，得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：，，， ， ，， ； （2）解：由题意可知，， 由（1）可知，， 在和中， ， ∴， ， ， ， 答：的长为． 30．【推理证明】； 【初步应用】（1）； （2）； ∵、分别为外角、的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； 【拓展提升】． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理，理解相关知识是解答关键． 【推理证明】由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； 【初步应用】（1）由进行变形为即可求解； （）由角平分线的定义得，，再由三角形内角和定理得出，然后把代入即可求解； 【拓展提升】（3）延长、交于点，先求，再把代入即可求解． 【详解】证明：【推理证明】略 解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图所示，延长、交于点， ∵，， ∴， ∴． 31．（1）（2）①② 【分析】（1）利用三角形的外角的性质和三角形的内角和进行求解即可； （2）①三角形的外角的性质得到，，进而得到，即可得解；②根据以及，求出，进而求出，再利用①中结论进行求解即可。 【详解】解：（1）如图，    ∵， 又∵， ∴； 故答案为：； （2）①如图，∵是的一个外角， ∴．    同理，． ∵在四边形中，， ∴． ②由（1）知，． 又∵， ∴ ∴． ∴． 由①知，． ∴． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，外角的性质，多边形的内角和．熟练掌握相关知识点，正确的计算，是解题的关键． 32． （1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：如图，在上截取，使得，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）解：．理由如下： 如图，在的延长线上截取，使得，连接． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 故， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，．则，再根据全等三角形的判定和性质，即可证明； （2）在上截取，使得，连接，则是等边三角形，同（1）可证，根据全等三角形的性质得出，进而得出结论； （3）连接，在的延长线上截取，使得，连接．根据等边三角形的判定和性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，得出，再由含角的直角三角形的性质得到，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 答案第18页，共18页 答案第17页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $