第4章 三角形(小练)-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（湘教版2024）

第4章 三角形 4.1认识三角形 第1课时三角形的有关概念 1.(长沙期末)在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是() A.2 cm,3 cm,4 cm B.3 cm,3 cm,3 cm C.5 cm,6 cm,7 cm D.2 cm,2 cm,6 cm 2.(长沙期中)如图，已知D是BC的中点，AE,AF分别是△ABC 的角平分线、高，则下列结论正确的是 ()》 A.AD-CD B.∠CAE-Z∠BAC C.∠AEB=90 D.DF=CF B DEF 第2题图 第3题图 第6题图 3.(湘潭期中)如图，在△ABC中，D,F分别为BC,AC的中点，且 S△ABC=16,则S△ADF为 () A.2 B.8 C.4 D.1 4.如果等边三角形的两边长分别为a一1,2，那么a的值为 5.等腰三角形的底边是4cm,腰长是7cm,那么这个等腰三角形的 周长为 cm. 6.(1)如图中有 个三角形，分别是 (2)△ABD的顶点是点 ;以∠C为内角的三角形有 ;以AB为边的三角形有 19 第2课时三角形的内角和与外角 1.观察图中的三角形，把它们的序号填人相应的横线上. 锐角三角形： ,直角三角形：，钝角三角形： AA公 2.(邵阳期中)如图，直线a∥b,∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数 是 () A.75° B.55° C.40° D.35 北 南 第2题图 第3题图 3.如图，B处在A处的南偏西30°方向，C处在A处的南偏东20°方 向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB的度数是 () A.60 B.70 C.80° D.90° 4.(长沙阶段练习)如图，在△ABC中，∠C=15°，∠B=65°，AD平 分∠CAB.求∠CAD和∠1的度数. -20 4.2 命题与证明 4.2.1定义，命题 1.下列描述是定义的是 () A.ab B.不相交的两条线段是平行线 C.用“=”连接而成的式子叫作等式 D.同角的补角相等 2.(岳阳期中)下列语句中，不是命题的是 () A.邻补角的和为180° B.连接A,B两点 C.两直线与第三条直线相交，同位角相等 D.不平行的两条直线有一个交点 3.命题“若mm<0,则m,n异号”的逆命题是 4.将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式，并指出它们的 条件和结论 (1)有理数一定是自然数；(2)负数之和仍为负数. 5.下面两个命题是互逆命题吗？ (1)如果a十b=0,那么a=0,b=0: (2)如果a=0,b=0,那么a十b=0. -21 4.2.2证明，举反例 1.(衡阳期中)下列是假命题的是 () A.取线段AB的中点 B.同角的余角相等 C.相等的角是对顶角 D.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 2.(衡阳期末)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角” 的过程可以归纳为以下三个步骤： ①∠A十∠B十∠C=90°+90°十∠C>180°，这与三角形内角和 为180°相矛盾，所以∠A=∠B=90°不成立；②所以一个三角形 中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角∠A,∠B,∠C中 有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°. 正确的顺序应为 () A.①②③ B.①③② C.②③① D.③①② 3.请举反例说明命题“对于任意实数x,x2一定大于x”是假命题. 你举的反例是x= ,(写出一个值即可) 4.用反证法证明命题：“如果a,b是整数，且ab能被5整除，那么a,b 中至少有一个能被5整除”时，应假设 5.求证：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这 两条直线平行.要求：画图写出已知、求证并证明， -22 4.2.3定理，推论 1.下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是 () A.同旁内角不互补，两直线平行 B.同旁内角不互补，两直线不平行 C.两直线平行，同旁内角互补 D.两直线不平行，同旁内角不互补 2.(湘西期末)如图，D,B,C,E四点共线，∠ABD+∠ACE=240°， 则∠A的度数为 () A.80° B.70° C.60° D B D.50° 3.下列说法正确的是 A.命题是定理，定理是命题 B.命题不一定是定理，定理不一定是命题 C.真命题有可能是定理，假命题不可能是定理 D.“一个能被2整除的数也必能被4整除”是定理 4.按要求解答下列各小题 (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角；②如果a十b>0,那么ab>0; (2)判断(1)中①的原命题和逆命题是否互为逆定理. —23- 4.3全等三角形 4.3.1认识全等三角形 1.下列各选项中的两个图形属于全等形的是 个+○○■▣4 2.(中考·济南)如图，已知△ABC≌2△DEC,∠A=60°，∠B=40°， 则∠DCE的度数为 ()》 A.40° B.60° C.80° D.100 D 第2题图 第3题图 3.如图，△ABC≌△BAD,若AB=8cm,BC=6cm,AC=4cm,则 △BAD的周长为 () A.12 cm B.15 cm C.18 cm D.21 cm 4.如图，△ABF≌△CDE,∠A与∠C为对应角，AF与CE为对应边. (1)写出其他对应边及对应角； (2)若BD=10,EF=5,求BE的长. -24 4.3.2全等三角形的判定定理（边角边） 1.在△ABC和△DEF中，下列给出的条件，能用“边角边”判定这 两个三角形全等的是 () A.AB=DE,BC=DF,∠A=∠D B.AB=EF,AC=DF,∠A=∠D C.AB=BC,DE=EF,∠B=∠E D.BC=EF,AC=DF,∠C=∠F 2.(衡阳期末)如图，BD=CB,BE=CA,∠DBE=∠C=62°，∠A=43°， 则∠BDE的度数等于 3.(娄底期中)如图，点A,B,C,D在同一条直线上，点E,F分别在 直线AB的两侧，且AE=BF,AE∥BF,AC=BD. (1)求证：△ACE≌△BDF; (2)若AB=8,AC=2,求CD的长. —25 4.3.3全等三角形的判定定理（角边角、角角边） 1.如图，小亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学全等 三角形的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么小 亮画图的依据是 D 第1题图 第2题图 2.如图，∠ACB=∠DBC,要依据“角角边”判定△ABC≌△DCB, 则还需要添加的条件是 3.(怀化期中)已知△ABC的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形 中标出了某些元素，则与△ABC全等的三角形是 ()》 72 人5872 △58°50入 人50° C a 甲 乙 丙 A.只有乙 B.只有丙 C.甲和乙 D.乙和丙 4.(长沙阶段练习)如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在 AB,AC上，∠ABE=∠ACD,BE,CD相交于点O.求证： (1)△ABE≌△ACD;(2)BD=CE. D B 26 4.3.4全等三角形的判定定理（边边边） 1.如图，BD是四边形ABCD的对角线，若AB=CD,AD=BC,容 易证明△ABD≌△CDB,依据是 () A.角边角 B.角角边 C.边角边 D.边边边 A H B E G 6 D 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是 四条边的中点，为了保证在施工过程中窗框不变形，需要在窗框 上钉一根木条，这根木条不应钉在 () A.B,F之间 B.A,C之间 C.G,H之间 D.F,H之间 3.如图，在△ABC中，AB=AC,BE=EC,直接使用“边边边”可判 定 () A.△ABD≌△ACD B.△ABE≌△EDC C.△ABE≌△ACE D.△BED≌△CED 4如图，DB=BC,ED=AB,E是BC的中点，且AC-BC (1)求证：△ABC≌△EDB; (2)判断AC和BD的位置关系，并说明理由. —27 4.3.5全等三角形的应用 1.(邢台期中)计划测量一片湖的宽度AB,现采用如图所示的方案： ①过点A作CA⊥AB于点A,且点C在AB的下方； ②连接BC,从点C进行观测，在BA的延长线上找一点B',使 ∠B'CA=∠BCA. 现只需测量一条线段的长，这条线段是 A.AB' B.AC C.B'C D.点A到BC的垂线段 M A N B 第1题图 第2题图 2.如图，AM是一段斜坡，AB是水平线.欢欢为了测量斜坡上一点 C的竖直高度CN,他在点C处立上一根竹竿CF,竹竿CF与斜 坡AM垂直，在D处垂下一根绳子DE,与斜坡AM的交点是E, 绳子DE可以在竹竿CF上自由滑动.当DE=AC时，测得CE= 2m,则CN=m.其中，运用到的判定三角形全等的依据是 3.(石家庄期中)莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为 “宋元南戏的活化石”，该剧中“油纸伞”是最重要的道具.“油纸 伞”的制作工艺十分巧妙.如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞 骨BD=CD,AB=AC,从而使得伞柄AP始终平分同一平面内 两条伞骨所成的∠BAC,为什么？ -285.(1)原式=1 (2)原式=1 . (3)原式=- bls ac. (4)原式=一2 6.a-2m-2m= 1 100 2.5第1课时 1.B2.B3.A4.B 5.(1)x=4是原分式方程的解. (2)原分式方程无解. 2.5第2课时 1.C2. 0=100 36-x 3.上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m, 0.1m,0.2m,0.2m. 3.1第1课时 1.D2.A3.B 4.(1)原式= (2)原式=12. (3)原式=54. (4)原式=π-3.14， 3.1 第2课时 1.B2.C3.A 4.(1)3w5 (2)33 (3)30 6 (4)27 3 3.2 第1课时 1.B2.C 3.(1)原式=10. (2)原式=30√2. 3.2 第2课时 1.(1)153√5 (2)333号 82 3 2 2.x=② 2 3.2√5 4.A 5.(1)原式=2√2.(2)原式=2 (3)原式=- 2 (4)原式=3 3.3第1课时 1.B2.B3.D 4.(1D原式=5.(2)原式=25+3v5 5.它的周长为2×（√/18十8）=10/2(cm). 3.3第2课时 1.C2.C3.D 4.(1)原式=0.(2)原式=22-1. (3)原式=25. 4.1第1课时 1.D2.B3.C4.35.18 6.(1)7△ABD,△ABE,△ABC. △ADE,△ADC,△AEC,△AFG (2)A,B,D△AEC,△ADC,△ABC △ABD,△ABE,△ABC 4.1第2课时 1.3,51,4.62,72.C3.C 4.∠CAD=50°.∠1=65. 4.2.1 1.C2.B3.若m,n异号，则mn<0 4.(1)如果一个数是有理数，那么这个数 定是自然数.条件：一个数是有理数.结 论：这个数是自然数. (2)如果一个数是几个负数之和，那么这 个数是负数.条件：一个数是几个负数的 和.结论：这个数是负数， 5.命题(1)与命题(2)是互逆命题. 4.2.2 1.C2.D3.0(答案不唯一) 4.a,b都不能被5整除 5.已知：b⊥a,c⊥a,求证： b∥c. 证明：如图，因为b⊥a, c⊥a,所以∠1=∠2 90°.所以b∥c(同位角相等，两直线平行). 4.2.3 1.C2.C3.C 4.(1)①逆命题：如果两个角是内错角，那 么这两个角相等。 ②逆命题：如果ab>0,那么a+b>0. (2)(1)中①的原命题和逆命题不是互为 逆定理. 4.3.1 1.A2.C3.C 4.(1)其他对应边：AB和CD,BF和DE: 对应角：∠B和∠D,∠AFB和∠CED. (2)BE=2.5. 4.3.2 1.D2.75 3.(1)证明：因为AE∥BF,所以∠A ∠B.在△ACE和△BDF中，AE=BF ∠A=∠B,AC=BD,所以△ACE≌ △BDF(边角边).(2)CD=4. 4.3.3 1.角边角2.∠A=∠D3.D 4.(1)在△ABE和△ACD中，∠ABE= ∠ACD,AB=AC,∠A=∠A, 所以△ABE≌△ACD(角边角) (2)由(1)知，△ABE≌△ACD,所以AE =AD.因为AB=AC,所以AB一AD= AC-AE.所以BD=CE. 45 4.3.4 1.D2.D3.C 4.(1)证明：因为E是BC的中点，所以EB =号BC因为AC=之BC,所以AC= EB.在△ABC和△EDB中，BC=DB, AC=EB,AB=ED,所以△ABC≌ △EDB(边边边). (2)AC∥BD.理由如下：因为△ABC≌ △EDB, 所以∠ACB=∠EBD.所以AC∥BD. 4.3.5 1.A2.2角角边 3.在△ABD和△ACD中，AB=AC,AD= AD,BD=CD,所以△ABD≌△ACD.所 以∠BAD=∠CAD.即AP平分∠BAC 4.4第1课时 1.D2.(1)∠a(2)ac 3.图略 4.4第2课时 1.D 2.(1)①A ②DMDE ③点E ED B EF(2)角边角 3.图略. 4.5第1课时 1.100° 2.(1)BD=CD.AD⊥BC (2)∠1=∠2，AD⊥BC (3)BD=CD,∠1=∠2 3.664.B5.∠BAE=20°.∠1=125. 4.5第2课时 1.B2.A3.D4.2 5.因为∠B=75°，∠C=35°，所以∠BAC= 180°-∠B-∠C=70°.因为AD平分 ∠BAC,所以∠BAD=∠DAC=35 所以∠C=∠DAC.所以AD=CD. 4.5第3课时 1.C2.C3.D 4.(1)90© (2)AF∥CE.理由如下：因为△ABC是 等边三角形，AF平分∠BAC,所以AF ⊥BC,∠ACB=60°.因为∠AEC=120°， AE=CE,所以∠ACE=30°.所以∠BCE =∠ACB+∠ACE=90°.所以EC⊥BC. 所以AF∥CE. 4.6第1课时 1.C2.C3.B4.55 5.因为点P是AB的垂直平分线上的点， 所以PA=PB.同理PB=PC.所以PA =PB=PC.所以点P在边AC的垂直平 分线上 4.6第2课时 1.C2.图略.3.图略. 5.1第1课时 1.A2.B3.A4.B 5.因为∠ACB=90°，所以∠ACD+∠DCB =90°.因为∠ACD=∠B,所以∠B+ ∠DCB=90°.所以△CDB是直角三角形. 5.1第2课时 1.A2.C3.B4.BP=12cm. 5.2第1课时 1.22.153.2π4.24 5.(1)c=20.(2)a=5. 5.2第2课时 1.D2.C 3.(1)BC的长为16m. (2)这辆小汽车在BC段的速度约是 10.7ms. 5.2第3课时 1.D2.A3.0.5 4.因为82+152=17，所以AC2+AB2= BC.所以△ABC是直角三角形，且 ∠BAC=90.所以S么ABe= 2AB·AC =号BC,AD,即号×15×8=号×17 XAD.所以AD=120 17 5.3 1.B2.B3.C 4.因为AB⊥BC,FC⊥BC,所以∠ABE= ∠BCF=90°.因为AE=BF,BE=FC, 所以Rt△ABE≌Rt△BCF(斜边，直角 边).所以AB=BC 5.4第1课时 1.=2.55°3.B 4.因为AB=AC,所以△ABC是等腰三角 形.因为BD=DC,所以AD是∠BAC的 平分线.因为DF⊥AB,DE⊥AC,所以 DE-DF. 5.4第2课时 1.>2.23.C 4.如图所示，连接ED,因为EF =EC,DF=DA,所以∠C= ∠CFE,∠A=∠AFD.因为 ∠B=90°，所以∠C+∠A= 90°.所以∠CFE+∠AFD= 90°.所以∠DFE=90°.因为DA=DB, DF=DA,所以DB=DF.所以点D在 ∠BEF的平分线上， 一探究在线·八年级数学（上）·XJ一 6