第一章因式分解 单元 练习 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

**基本信息** 以“基础巩固-能力提升-创新拓展”分层设计，覆盖因式分解全知识点，通过概念辨析、运算训练到实际应用，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|概念辨析、提公因式法、公式法|单选1-5（平方差公式应用）、填空9-12（直接分解）| |提升层|综合分解、参数问题、数形结合|单选6-8（参数值求解）、解答19-22（几何面积与因式分解）| |拓展层|整体思想、配方法、纠错应用|解答23（纠错过程）、24-25（整体与配方法）|

八年级上册第一章 因式分解 一、单选题 1．下列各式能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（     ） A．4 B．4或 C．8 D．8或 3．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，大长方形的面积为，它可以被分割成2个正方形和4个小长方形，则多项式可因式分解为（    ） A． B． C． D． 5．对多项式进行因式分解，可以提取的公因式为（     ）． A． B． C． D． 6．已知可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D． 7．结果为（     ） A． B． C． D． 8．设，，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．因式分解：_____． 10．分解因式：______． 11．如果，，那么的值为_______． 12．分解因式：______． 13．一位密码编译者，设置以下规则：，，，，，分别对应下列六个字：数，爱，我，浙，江，学．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是___________（只需写出一种）． 14．如果可分解为，则__________． 15．若整式能因式分解，“□”中能填的常数为__________（写一个数即可）． 16．若x，y满足方程组，则的值为________． 17．在实数范围内分解因式：_____． 三、解答题 18．分解因式：（1） (2) (3) （4）计算 (5)先化简，再求值：，其中x，y的值满 19．乘法公式的探究及应用． (1)如图①，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，如图②，通过比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式：______________． (2)可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数分别为____________． (3)计算：． 20．在的运算结果中，项不存在，x的系数为3，求m，n的值并对式子进行因式分解． 21．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式有一个因式是（），求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为（），得，， 则，，解得，， ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 22．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)观察图2，请用两种不同的方法表示图2中大长方形的面积，并写成因式分解的形式； (2)在图2中，若大长方形的周长为30，且，求阴影部分的面积． 23．下面是小明对“”进行因式分解的过程，请认真阅读并完成下列各小题． 解：原式               第一步                第二步 ．               第三步 (1)小明第一步选择 法进行因式分解．（填序号） ①提取公因式        ②平方差公式        ③完全平方公式 (2)小明的因式分解过程从第 步开始出错． (3)请你写出正确的因式分解过程． 24．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： (2)证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 25．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求M的最小值． 解：． ，， 当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解： ； (2)已知 ，求的值． (3)已知 ， ，试比较P，Q的大小． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《八年级上册第一章 因式分解》参考答案 题号 3 4 5 6 7 8 答案 D D A D A B 1．C 【分析】能用平方差公式因式分解的多项式需要满足：多项式为两项，两项符号相反，且两项都能写成某个整式的平方，即符合的形式，据此判断各选项即可． 【详解】解：平方差公式因式分解的形式为. 选项A：是两个平方项的和，符号相同，不符合平方差公式要求，∴A错误； 选项B：中，不是某个整式的平方，不符合要求，∴B错误； 选项C：，符合的形式，可以用平方差公式因式分解，∴C正确； 选项D：是三项式，符合完全平方公式的形式，不能用平方差公式因式分解，∴D错误． 2．D 【分析】根据完全平方公式，对应系数即可求出的值． 【详解】解：能用完全平方公式进行因式分解，且， ， ， ， 即或． 3．D 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解要求左边为多项式，右边为几个整式的乘积，据此逐一判断各选项． 【详解】解：A 选项：，右边是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解，故A选项不符合要求； B 选项：，是整式乘法，从乘积化为多项式，不是因式分解，故B选项不符合要求； C 选项：，右边不是整式，结果不是整式乘积，不是因式分解，故C选项不符合要求； D 选项：，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故D选项符合要求． 4．D 【详解】解：由图可知，大长方形的宽为，长为， ∴大长方形的面积， 由图可知，大长方形的面积， ∴． 5．A 【分析】分别求出系数的最大公约数与相同字母的最低次幂，再得到公因式． 【详解】解：∵多项式中，两项系数和的最大公约数为，两项共有的字母为和，的最低次数为，的最低次数为， ∴公因式为． 6．D 【分析】利用完全平方公式的结构特征求解，需考虑和、差两种完全平方形式． 【详解】解：∵可以用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴． 7．A 【分析】观察式子特征，提取公因式后可利用完全平方公式简化运算． 【详解】解： ． 8．B 【分析】先分别求出M、N的值，然后进行比较即可． 【详解】解： ， ， ． 9．/ 【详解】解：． 10． 【分析】利用分组分解法分解因式，先将一、二项分成一组，三、四项分成一组，第一组用平方差公式分解，第二组用提公因式法分解，组与组之间再提公因式即可． 【详解】解：原式 ． 11．4 【分析】将所求代数式通过提取公因式和完全平方公式进行变形，转化为用已知条件和表示的形式，再代入计算即可． 【详解】解： ， ， 将，代入得：原式． 12． 【详解】解：． 13．我爱数学 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式对多项式进行因式分解，得到因子后对应密码字，并按顺序排列形成密码信息． 【详解】解：∵ ， ， ∵对应密码字：我， 爱，学，数， ∴密码信息为“我爱数学”． 14． 【分析】展开右侧的因式乘积，对比左右多项式对应项系数求解后代入计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 15．1（答案不唯一） 【分析】本题考查因式分解，可根据完全平方公式的结构特征，确定符合要求的常数，写出一个满足条件的结果即可． 【详解】解：当填入时，原整式为， 由完全平方公式因式分解可得， 该整式可以因式分解，符合题目要求， 故答案为 （答案不唯一）． 16． 【分析】对进行因式分解，整体代入即可． 【详解】解： 由①得 ． 17． 【详解】解：． 18.（1）；(2)；(3)；（4）36； （5）．化简结果为，值为 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解： ． （5）解： ； 对变形得： 即 由平方的非负性得 ， 解得， 将，代入得 原式． 19．(1) (2)15，17 (3) 【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即为，图2中长方形的长为，宽为，则面积为，即可建立等式； （2）将进行因式分解，直至分解出含10和20之间某两个整数即可； （3）将原式变形为，再用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为， 故； （2）解： ， ∴可以被10和20之间某两个整数和整除； （3）解：原式 ． 20．，， 【分析】根据整式的乘法和因式分解计算． 【详解】解： ， ∵项不存在，x的系数为3， ∴， 解得， ∴． 21．(1)另一个因式为，的值为 (2)另一个因式为，的值为 【分析】（1）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可； （2）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可. 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 解得：， ∴另一个因式为的值为． （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ， 解得：， ∴另一个因式为的值为． 22．(1)图2面积为，也可以表示为， (2)26 【分析】（1）用两种方式表示出大长方形的面积，从而即可得出结果； （2）由大长方形的周长得出，再结合完全平方公式计算得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：由图可知，图2面积为，也可以表示为， ． （2）解：由图可知，大长方形的周长， ． ， ， ， ∴阴影部分面积． 23．(1)① (2)二 (3)解： ． 【分析】（1）观察原式两项都含有公因式，第一步是将公因式提取出来，据此对应判断所用的因式分解方法； （2）检查去括号的运算规则，逐一核对第二步去括号后的各项符号，判断出错步骤即可； （3）先正确提取公因式，再对括号内的项正确去括号、合并同类项，最后检查分解结果是否彻底，符合因式分解的要求． 【详解】（1）解：小明第一步将原式两项共有的公因式提取出来，使用的是提取公因式法， 因此填①； （2）解：根据去括号法则：，小明第二步去括号时错误变号，写成了， 因此从第二步开始出错； （3）略． 24．(1) (2)证明：将“”看成整体，令， 则：原式， 再将“”还原，得原式， ， 无论取何值时，的值一定是非负数． 【分析】（1）令，代入原式，利用完全平方式因式分解，再将“”还原即可； （2）令，代入原式，化简后再利用完全平方式因式分解，再将“”还原，得原式，任何情况下，都是非负数，题目得证． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则：原式， 再将“”还原，得原式； （2）略 25．(1) (2) (3) 【分析】用配方法将各式凑成完全平方式与其他整式的和，然后根据平方的非负性解决问题． 【详解】（1）解： ； （2）解： 故， ∴， ； （3）解： ， ∴． 答案第2页，共11页 答案第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $