第二章 分式 单元练习 2026-2027学年湘教版八年级数学上册

**基本信息** 八年级上册第二章分式单元卷，聚焦分式性质、运算及应用，通过生活情境、数学模型与规律探究设计，覆盖基础巩固与能力提升，适配单元复习，发展数学抽象、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12|分式性质（1）、意义（2）、运算（6）|基础概念辨析，如分式值变化规律| |填空题|6|分式方程解（15）、科学记数法（14）|结合分式值为0等细节考查| |解答题|9|分式方程求解（19）、化简求值（20）、实际应用（23购书问题）|生活情境（23题）、数学模型（25题购物次数）、规律探究（24题方程解），梯度分明|

八年级上册第二章 分式 一、单选题 1．如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（    ） A．缩小到原来的 B．扩大倍 C．不变 D．缩小到原来的 2．下列说法错误的是（   ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．分式与的最简公分母是 3．A、B两地相距80千米，一辆大汽车从 A地开出2小时后，又从A地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的3倍， 结果小汽车比大汽车早40分钟到达B地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．使二次根式有意义的x的取值范围是（   ） A．x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1 5．下列说法正确的是（   ） A．分式的值为零，则x的值为 B．根据分式的基本性质，等式恒成立 C．分式中的，都扩大3倍，分式的值不变 D．分式是最简分式 6．计算：（     ） A． B． C． D． 7．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 8．下列代数式中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 9． 下列各式从左到右变形中，正确的是（     ） A． B． C． D． 10．下列分式为最简分式的是（     ） A． B． C． D． 11．观察代数式4，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为（     ） A． B． C． D． 12．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 13．对于函数，当________时，的值为0． 14．世界上最小的开花结果植物是出水浮萍，它的果实像一个微小的无花果，质量只有，将数用科学记数法表示为 ______________ 15．已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是______． 16．已知，满足，则的值为______． 17．计算：________． 18．对于两个分式M和N，我们定义一种新的运算“※”如下：，其中，．例如：，则_______． 三、解答题 19．解分式方程：(1)； (2)． 20．已知代数式 (1)化简代数式； (2)在，1和2中选择一个合适的数作为x代入代数式求值． 21．按要求完成下列计算： 先化简，再求值：，其中． 解法一：原式… 解法二：原式… (1)解法一的依据是______，解法二的依据是______；（填字母） a．等式的基本性质b．分式的基本性质c．乘法交换律d．乘法对加法的分配律 (2)请选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 22．【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．例如：． ． 解决下列问题： 【理解知识】(1)分式是______分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】(2)将假分式化为带分式； 【运用知识】(3)若是整数，且的值也为整数，求的值． 23．习近平总书记说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气，某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种图书．已知每本甲种图书比每本乙种图书贵10元，购买相同数量的甲、乙两种图书分别需要花费1750元和1250元． (1)求甲、乙两种图书每本的价格分别是多少元； (2)若学校决定购买甲、乙两种图书共100本，总费用不超过2800元，且甲种图书的数量不少于28本，则该校共有几种购买方案？ 24．先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，；… (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是__________； (2)根据上面的规律，猜想关于的方程的解是__________； (3)由（2）可知，在解方程：时，可以变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． (4)利用（2）的结论直接写出方程的解：． 25．【问题背景】 某城市规划团队研究新建购物中心吸引力问题时，发现可以用数学模型来量化，其中F表示居民每季度的平均购物次数（单位：次），S表示购物中心的占地面积（单位：万）；d表示购物中心到居民区的距离（单位：km）；k为常数且． 【模型应用】 (1)已知当万，时，次，则_________； (2)甲、乙两个购物中心占地面积分别为2万和4.5万，它们到同一居民区的距离之比为，每季度居民到乙中心的平均购物次数比到甲中心多20次，求甲、乙两个购物中心到此居民区的距离； 【模型修正】 实际调研发现，当距离时，居民的购物意愿下降速度明显加快．因此，团队对模型进行优化，提出分段模型（k与基础模型一致）： 【模型分析】 (3)有人提出：“分段模型下，距离从增至的购物中心吸引力的降低率大于从增至的购物中心吸引力的降低率．”请通过计算判断该说法是否正确； (4)现规划在某居民区附近新建一个占地面积约35万的购物中心，且到居民区距离d限定在，建成后居民每季度平均购物次数的期望值不少于70次．求整数d的值． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 《八年级上册第二章 分式》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B D A B B D B 题号 11 12 13 答案 C B D 1．A 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键． 先把分式中的和都扩大倍，化简之后与原分式比较即可解答． 【详解】解：如果把分式中的和都扩大倍可得： ， 那么分式的值缩小到原来的， 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法，解题的关键是掌握分式值为0，及分子为零，计算后需要验证分母有没有意义．利用分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法依次判断即可． 【详解】解：A．当时，分母为0，分式无意义，正确，不符合题意； B．当时，分母大于0，与分子同号，故分式的值为正数，正确，不符合题意； C．当分式时，即，解得，当时，分母无意义，故错误，符合题意； D．分式与的最简公分母是，正确，不符合题意； 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了分式方程的应用；根据题意小汽车的速度为，根据时间等量关系：大汽车行驶的时间减去2小时等于小汽车行驶的时间加上小时，列出分式方程即可． 【详解】解：由题意知，小汽车的速度为，且， 则有：； 故选：B． 4．B 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求． 【详解】解：由题意得：，即， 故选B． 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 5．D 【分析】本题考查分式值为零的条件、分式的基本性质、最简分式的定义以及分式值的变化规律，根据相关概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A．分式值为零需满足分子为零且分母不为零，对于， 解得，当时，分母，分式无意义， 只能为，故A错误； B．分式的基本性质要求分子分母同乘同一个不为零的整式， 当时，，等式不成立，选项未说明，故B错误； C．当都扩大3倍后，新分式为， 分式值变为原来的3倍，故C错误； D．分子与分母没有公因式，在实数范围内不可分解， 该分式是最简分式，故D正确； 故选：D． 6．A 【分析】同分母分式相减，分母不变，分子相减，运用同分母分式减法法则计算，约分后可得结果． 【详解】解：． 7．B 【分析】根据零次幂、负整数次幂、幂的乘方、同底数幂的乘除法法则，分别计算即可判断． 【详解】解：，故A选项计算错误； ，故B选项计算正确； ，故C选项计算错误； ，故D选项计算错误． 8．B 【分析】本题根据分式的定义进行判断即可，分式的定义为：若A，B是两个整式，B中含有字母且，则式子是分式． 【详解】解： 选项A 的分母是常数5，不含字母，属于整式，不是分式； 选项C 是单项式，属于整式，不是分式； 选项D 是二次根式，不是分式； 选项B 中，分子5是整式，分母是含字母的整式，符合分式的定义． 9．B 【详解】解：对于A选项，，故A错误． 对于B选项， ，故B正确． 对于C选项，，故C错误． 对于D选项， 与没有公因式，无法约分，，故D错误． 10．C 【详解】选项A：的分子分母有公因式，可约分为， 不是最简分式，不符合题意； 选项B：的分子分母有公因式，可约分为， 不是最简分式，不符合题意； 选项C：的分子分母没有公因式， 是最简分式，符合题意； 选项D：的分子分母有公因式，可约分为， 不是最简分式，不符合题意． 11．B 【分析】分析每个代数式中分母的指数、分子与代数式的个数之间的规律，从而确定答案． 【详解】第一个代数式可化为：， 第二个代数式可化为：， 第三个代数式可化为：， 第四个代数式可化为：，…， 故第个式子为． 12．D 【详解】解：原式 ． 13． 【分析】分式值为0的条件是分子为0，且分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴． 14． 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示是． 故答案为：． 15．且 【分析】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，列不等式组是解题关键． 先求出分式方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义，得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：， 得：， ∵方程的解为非负数，且，即， ， 且； 故答案为：且 16．/0.5 【分析】本题考查了分式的化简求值．由整理得，再对所求式子化简整理，整体代入即可求解． 【详解】解：， ，即， ， ， 故答案为：． 17． 【详解】解：． 18． 【分析】按照新运算规则代入对应分式，再根据同分母分式的减法运算法则、因式分解、约分化简即可得到结果． 【详解】解：根据新运算定义，令，代入运算得： ． 19．(1)原分式方程的解为 (2)原分式方程无解 【分析】(1)首先方程两边同时乘 ，去分母，再解整式方程即可求得； (2)方程两边同时乘 ，去分母，再解整式方程即可求得． 【详解】（1）方程两边乘，得. 解得. 检验：当时，. 所以原分式方程的解为. （2）方程两边乘，得. 解得. 检验：当时，. 所以原分式方程无解. 【点睛】本题考查了分式方程的解法，在去分母时，一是要找准公分母，二是要每一项都要乘以公分母，注意解分式方程要检验． 20．(1) (2)当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则和运算顺序是解答的关键． （1）先算分式的除法，再算加减化简原式即可； （2）取使原分式有意义的数代入化简式子中求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵且且， ∴，， ∴， ∴原式． 21．(1)b，d (2)选择解法一： ， 把代入得：原式； 选择解法二： ， 把代入得：原式． 【分析】（1）根据分式的基本性质和乘法对加法的分配律求解； （2）选择解法一：首先计算括号内的加法，然后计算乘法，最后代入求解；选择解法二：利用乘法对加法的分配律化简，然后因式分解后约分化简，最后代入求解． 【详解】（1）解：解法一的依据是分式的基本性质，解法二的依据是乘法对加法的分配律； （2）略 22．(1)真 (2) (3) 【分析】（1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可； （2）将分子写成，再化为，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】（1）解：∵的次数为0，的次数为1， ∴是真分式． （2）解： . （3）解： ， ∵与x均为整数， ∴或或1或， ∴或或0或， ∵ ，，，， ∴，0，，1． ∴． 23．(1)每本甲种图书的价格为35元，每本乙种图书的价格为25元 (2)该校共有3种购买方案，方案一：购买甲种图书28本，乙种图书72本；方案二：购买甲种图书29本，乙种图书71本；方案三：购买甲种图书30本，乙种图书70本． 【分析】（1）设每本甲种图书的价格为元，则每本乙种图书的价格为元，以购买同数量的甲、乙两种图书数量为等量构造方程即可； （2）设该校购买甲种图书本，则购买乙种图书本，分别表示出购买两种图书的总费用，构造不等式即可． 【详解】（1）解：设每本甲种图书的价格为元，则每本乙种图书的价格为元． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合实际． 所以． 答：每本甲种图书的价格为35元，每本乙种图书的价格为25元． （2）设该校购买甲种图书本，则购买乙种图书本． 由题意，得，解得． 因为甲种图书的数量不少于28本，所以，所以， 即该校共有3种购买方案． 方案一：购买甲种图书28本，乙种图书72本； 方案二：购买甲种图书29本，乙种图书71本； 方案三：购买甲种图书30本，乙种图书70本． 24．(1)，； (2)，； (3)， ，， 即， 或， 解得，， 经检验，，是原分式方程的解； (4)，． 【详解】（1）解：观察材料规律，方程​的解为，，因此当时，解为； （2）根据上述规律，直接推广可得该方程的解为； （3）详见参考答案； （4）令，， ， ， ，， 或， 解得或 当时，，，当时，，， ，是原分式方程的解； ，． 【点睛】本题运用了换元思想和归纳推理，在解题的过程中必须通过拆分、换元构造出的形式是解题的关键，注意分式方程要检验． 31．(1) (2)甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为 (3)该说法正确 (4)整数的值为 【分析】（1）代入已知条件求解常数； （2）根据距离比设参数，结合的数量关系列分式方程求解； （3）分别计算两段距离变化的降低率，比较大小判断说法是否正确； （4）分段根据的范围列不等式，找出符合条件的整数． 【详解】（1）解：将，，代入，得 解得 （2）解：设甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为， 已知， 则居民到甲的平均购物次数， 居民到乙的平均购物次数， 由题意得， 解得， 经检验是原分式方程的解， 因此， 答：甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为。 （3）解：设购物中心占地面积为， 已知， 当时，， 因此， 当时，， 因此， 则增至的降低率， 当时，， 因此， 则增至的降低率， 因为，即， 所以该说法正确； （4）解：已知，，，要求， 分两种情况讨论： 当时，， 解得， 结合， 得整数都满足条件； 当时， ， 解得， 即， 结合， 得满足条件的整数，不满足条件； 综上，满足条件的整数为． 答案第12页，共12页 答案第11页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $