第11讲 函数的奇偶性 讲义-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

第11讲 函数的奇偶性 目录 一、函数的奇偶性 1 二、奇偶函数的性质 1 题型1函数奇偶性的判定 2 题型2利用奇偶性求函数值 4 题型3奇偶函数图象的特征 5 题型4利用奇偶性求参数 6 题型5利用奇偶性求对称区间上的函数解析式 7 题型6利用奇偶性及构造方程组求解析式 8 题型7奇偶性与单调性的结合——比较大小 8 题型8奇偶性与单调性的结合——解不等式 10 01 学习新知 一、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 二、奇偶函数的性质 （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． （4），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 02 经典题型 题型1函数奇偶性的判定 1. 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=x4； (2)f(x)=x5；(3)f(x)=x+； (4)f(x)=. 解　(1)函数f(x)=x4的定义域为R.因为∀x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=(-x)4=x4=f(x)， 所以，函数f(x)=x4为偶函数. （2）函数f(x)=x5的定义域为R.因为∀x∈R，都有-x∈R， 且f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x)，所以，函数f(x)=x5为奇函数. (3)函数f(x)=x+的定义域为{x|x≠0}.因为∀x∈{x|x≠0}，都有-x∈{x|x≠0}，且 f(-x)=-x+=-=-f(x)，所以，函数f(x)=x+为奇函数. (4)函数f(x)=的定义域为{x|x≠0}.因为∀x∈{x|x≠0}，都有-x∈{x|x≠0}，且 f(-x)==f(x)，所以，函数f(x)=为偶函数. 2. 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=-|x|； (2)f(x)=； (3)f(x)=； (4)f(x)=x-. (5)f(x)= 解　(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(-x)=-|-x|=-|x|=f(x)，∴f(x)为偶函数. (2)函数f(x)的定义域为{-1，1}，关于原点对称，且f(x)=0，又f(-x)=-f(x)，f(-x)=f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数. (4)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，∵∀x∈{x|x≠0}，都有-x∈{x|x≠0}， 且f(-x)=-x-=-=-f(x)，∴f(x)是奇函数. (5)方法一　作出函数f(x)的图象如图所示，因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以函数f(x)为奇函数. 方法二　当x>0时，f(x)=1-x2，此时-x<0，所以f(-x)=(-x)2-1=x2-1，所以f(-x)=-f(x)； 当x<0时，f(x)=x2-1，此时-x>0，f(-x)=1-(-x)2=1-x2，所以f(-x)=-f(x)； 当x=0时，f(0)=0.综上，对∀x∈R，总有f(-x)=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数. 3. 下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，为偶函数，故A错误； 对于B，设，所以 故在定义域上不是单调递增，故B错误； 对于C，，故函数的单调增区间为和， 所以在定义域上不是单调递增，故C错误； 对于D，，由幂函数的性质可知，函数为奇函数，且在定义域上单调递增，故D正确.故选：D 4. (多选)下列叙述正确的是(　　) A.偶函数的图象一定与y轴相交 B.奇函数的图象一定通过原点 C.若奇函数f(x)在x=0处有定义，则恒有f(0)=0 D.若函数f(x)为偶函数，则有f(x)=f(-x)=f(|x|) 答案　CD 解析　函数f(x)=是偶函数，但其图象与y轴不相交，所以A不正确； 函数f(x)=是奇函数，但图象不过原点，所以B不正确； 由奇偶性的定义知C，D正确. 题型2利用奇偶性求函数值 5. 已知定义在上的函数满足，且当时，，，则（    ） A． B． C．8 D．11 【答案】C 【详解】因为，所以为奇函数， 则，解得， 因为，则，所以， 则. 故选：C. 6. 若是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数，则. 所以. 故答案为： 7. 已知函数f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2，若f(-3)=-3，则f(3)=　　　　. 答案　7 解析　令g(x)=x7-ax5+bx3+cx，则g(x)是奇函数， ∴f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2， 又f(-3)=-3，∴g(3)=5. 又f(3)=g(3)+2，∴f(3)=5+2=7. 8. 已知函数f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2，若f(m)=7，则f(-m)=　　　　. 答案　-3 解析　令g(x)=x7-ax5+bx3+cx，则g(x)是奇函数， ∵f(m)=7，∴f(m)=g(m)+2=7，∴g(m)=5， ∵g(x)是奇函数，∴f(-m)=g(-m)+2=-g(m)+2=-5+2=-3. 题型3奇偶函数图象的特征 9. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么的值域是 .    【答案】 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则， 又当时，的图象如图所示，可知； 所以当时，，则，所以， 综上可得的值域是. 故答案为： 10. （多选）一个偶函数定义在上，它在上的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．这个函数有三个单调增区间 B．这个函数有三个单调减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值是7 D．这个函数在其定义域内有最小值是 【答案】ABC 【详解】结合偶函数图象关于轴对称可知， 这个函数在上有三个单调递增区间，三个单调递减区间， 且定义域内有最大值，最小值是比小，故A，B，C正确，D错误. 故选：. 题型4利用奇偶性求参数 11. 已知奇函数的定义域为，则实数 . 【答案】 【详解】由于是奇函数，所以. 故答案为： 12. 若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a-1，2a]，则a=　　　　，b=　　　　. 答案　　0 解析　因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a-1=-2a，解得a=.所以函数f(x)=x2+bx+b+1，为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b=0. 13. 已知函数是奇函数，且，则 . 【答案】/ 【详解】的定义域为，而为奇函数， 故，而，故，故， 所以，此时，故为奇函数， 故，故答案为： 题型5利用奇偶性求对称区间上的函数解析式 14. 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+3，求当x<0时，f(x)的解析式. 解　设x<0，则-x>0， 将-x代入已知的解析式得f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)=-f(-x)=-x2-2x-3. 即当x<0时，f(x)=-x2-2x-3. 15. 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+3，求当x<0时，f(x)的解析式. 解　设x<0，则-x>0， 将-x代入已知的解析式得f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)=-f(-x)=-x2-2x-3.即当x<0时，f(x)=-x2-2x-3. 又因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)=0. 故f(x)= 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， . 【答案】 【详解】当时，可得， 因为函数是定义在上的偶函数，且时，， 可得， 即当时，. 故答案为：. 17. 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x2-x，则f(1)等于(　　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 答案　A 解析　方法一　∵f(x)为奇函数，f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3，∴f(1)=-f(-1)=-3. 方法二　当x>0时，-x<0，则f(-x)=2x2+x=-f(x)，∴f(x)=-2x2-x，故 f(1)=-3. 题型6利用奇偶性及构造方程组求解析式 18. 已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】根据题意，由①得， 因为为奇函数，为偶函数，所以，， 所以②， 由①②得，所以， 则. 故选：A. 19. 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=求函数f(x)，g(x)的解析式. 解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)， ∵f(x)+g(x)=.①用-x代替上式中的x，得f(-x)+g(-x)= ∴f(x)-g(x)=② (①+②)÷2，得f(x)=(x≠±1)； (1- ②)÷2，得g(x)=(x≠±1). 题型7奇偶性与单调性的结合——比较大小 20. 已知f(x)是奇函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则f(-0.5)，f(-1)，f(0)的大小关系是(　　) A.f(-0.5)<f(0)<f(-1) B.f(-1)<f(-0.5)<f(0) C.f(0)<f(-0.5)<f(-1) D.f(-1)<f(0)<f(-0.5) 答案　B 解析　∵函数f(x)为奇函数，且f(x)在区间[0，+∞)上单调递增， ∴f(x)在R上单调递增，∴f(-1)<f(-0.5)<f(0). 21. 已知f(x)是偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增， (1)比较f(-0.5)，f(-1)，f(0)三者之间的大小； (2)比较f(-2)，f(π)，f(-3)三者之间的大小. 解　(1)由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，+∞)，f(x)单调递增， 则当x∈(-∞，0]时，f(x)单调递减，∴f(-1)>f(-0.5)>f(0). (2)由(1)知当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，当x∈(-∞，0]时，f(x)单调递减. 方法一　∵f(x)是偶函数，∴f(-3)=f(3)，f(-2)=f(2)， 又f(2)<f(3)<f(π)；∴f(-2)<f(-3)<f(π). 方法二　其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小， ∵|-2|<|-3|<π，∴f(π)>f(-3)>f(-2). 22. 设函数在上是偶函数，且在上是增函数，比较与的大小. 【答案】 【解析】判断在上是减函数，计算，根据函数单调性得到答案. 【详解】因为函数是偶函数，且在上是增函数， 所以且在上是减函数. 因为，所以， 因此. 23. 如果奇函数f(x)在区间[-3，-1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1，3]上(　　) A.单调递增且最小值为-5 B.单调递增且最大值为-5 C.单调递减且最小值为-5 D.单调递减且最大值为-5 答案　A 解析　∵f(x)为奇函数， ∴f(x)在[1，3]上的单调性与在[-3，-1]上一致， ∴f(x)在区间[1，3]上单调递增， 又f(x)在区间[-3，-1]上有最大值5， ∴f(x)在区间[1，3]上有最小值-5. 题型8奇偶性与单调性的结合——解不等式 24. 设定义在[-2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)<f(m)，求实数m的取值范围. 解　因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，2]上单调递减， 所以f(x)在[-2，2]上单调递减. 所以不等式f(1-m)<f(m)等价于 解得-1≤m<. 所以实数m的取值范围为. 25. 设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)<f(m)，求实数m的取值范围 解　因为当x∈[0，2]时，f(x)单调递减，且f(x)为偶函数， 所以当x∈[-2，0]时，f(x)单调递增. 因为f(1-m)<f(m)， 所以解得-1≤m< 所以实数m的取值范围为. 26. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，的对称轴为，故在上单调递增. 函数在处连续，又是定义域为的奇函数，故在上单调递增. 因为，由，可得， 又因为在上单调递增，所以，解得. 故选：D 27. 设函数为上的偶函数，且对任意的均有，则满足的实数的范围是 【答案】 【详解】因为函数是偶函数，且由题可知其为上的减函数， 则该函数在为增函数. 若函数在为增函数， 则等价于. 两边平方整理得，解得. 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 函数的奇偶性 目录 一、函数的奇偶性 1 二、奇偶函数的性质 1 题型1函数奇偶性的判定 2 题型2利用奇偶性求函数值 3 题型3奇偶函数图象的特征 4 题型4利用奇偶性求参数 4 题型5利用奇偶性求对称区间上的函数解析式 5 题型6利用奇偶性及构造方程组求解析式 5 题型7奇偶性与单调性的结合——比较大小 6 题型8奇偶性与单调性的结合——解不等式 7 01 学习新知 一、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 二、奇偶函数的性质 （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． （4），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 02 经典题型 题型1函数奇偶性的判定 1. 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=x4； (2)f(x)=x5；(3)f(x)=x+； (4)f(x)=. 2. 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=-|x|； (2)f(x)=； (3)f(x)=； (4)f(x)=x-. (5)f(x)= 3. 下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（    ） A． B． C． D． 4. (多选)下列叙述正确的是(　　) A.偶函数的图象一定与y轴相交 B.奇函数的图象一定通过原点 C.若奇函数f(x)在x=0处有定义，则恒有f(0)=0 D.若函数f(x)为偶函数，则有f(x)=f(-x)=f(|x|) 题型2利用奇偶性求函数值 5. 已知定义在上的函数满足，且当时，，，则（    ） A． B． C．8 D．11 6. 若是定义在上的奇函数，当时，，则 . 7. 已知函数f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2，若f(-3)=-3，则f(3)=　　　　. 8. 已知函数f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2，若f(m)=7，则f(-m)=　　　　. 题型3奇偶函数图象的特征 9. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么的值域是 .    10. （多选）一个偶函数定义在上，它在上的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．这个函数有三个单调增区间 B．这个函数有三个单调减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值是7 D．这个函数在其定义域内有最小值是 题型4利用奇偶性求参数 11. 已知奇函数的定义域为，则实数 . 12. 若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a-1，2a]，则a=　　　　，b=　　　　. 13. 已知函数是奇函数，且，则 . 题型5利用奇偶性求对称区间上的函数解析式 14. 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+3，求当x<0时，f(x)的解析式. 15. 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+3，求当x<0时，f(x)的解析式. 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， . 17. 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x2-x，则f(1)等于(　　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 题型6利用奇偶性及构造方程组求解析式 18. 已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（    ） A． B． C．1 D．2 19. 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=求函数f(x)，g(x)的解析式. 题型7奇偶性与单调性的结合——比较大小 20. 已知f(x)是奇函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则f(-0.5)，f(-1)，f(0)的大小关系是(　　) A.f(-0.5)<f(0)<f(-1) B.f(-1)<f(-0.5)<f(0) C.f(0)<f(-0.5)<f(-1) D.f(-1)<f(0)<f(-0.5) 21. 已知f(x)是偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增， (1)比较f(-0.5)，f(-1)，f(0)三者之间的大小； (2)比较f(-2)，f(π)，f(-3)三者之间的大小. 22. 设函数在上是偶函数，且在上是增函数，比较与的大小. 23. 如果奇函数f(x)在区间[-3，-1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1，3]上(　　) A.单调递增且最小值为-5 B.单调递增且最大值为-5 C.单调递减且最小值为-5 D.单调递减且最大值为-5 题型8奇偶性与单调性的结合——解不等式 24. 设定义在[-2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)<f(m)，求实数m的取值范围. 25. 设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)<f(m)，求实数m的取值范围 26. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27. 设函数为上的偶函数，且对任意的均有，则满足的实数的范围是 2 学科网（北京）股份有限公司 $