29.1.2 过三点的圆(2) 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

这是一份初中数学同步教学课件，聚焦“过三点的圆”中的反证法，包含学习目标、课堂导入、新知讲解、例题、随堂练习及课堂小结，构建从问题引入到方法应用的完整学习支架。 资料特色突出，以“过同一直线上三点能否作圆”引发思考，通过反证法证明过程培养数学思维，结合平行线性质、三角形内角等实例强化推理能力，规范的证明步骤与多样化练习助力学生掌握逻辑表达，为教师提供系统教学资源，提升学生论证能力。九年级学生面临升学考试，反证法是几何证明的重要方法，本资料帮助学生理解逻辑推理，应对考试中的证明题型，夯实数学论证基础。

第二十九章 圆 29.1.2 过三点的圆(2) 通过实例体会反证法的含义，感悟数学论证的逻辑，发展推理能力. 学习目标 2 我们知道，经过不在同一条直线上的三个点，可以作一个圆. 那么，经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗？ A B C l 课堂导入 如图，假设经过同一条直线 l上的A，B，C三点可以作一个圆. 设这个圆的圆心为P， 那么点P 既在线段AB的垂直平分线l1上， 又在线段BC的垂直平分线l2上， 即点P为l1与l2的交点. 而l1⊥l，l2⊥l， 这与以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾. 所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆． l1 l2 P A B C l 这个证明过程与我们之前学习的有什么不同？ 它不是直接去证明命题的结论，而是先提出与结论相反的假设（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立. 知识点 反证法 新知讲解 反证法 先提出与命题结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立. 这种方法叫作反证法. 注意: (1)当一个命题从正面不容易证明时，常常采用反证法； (2)当原命题结论的反面不止一种情况时，必须把所有情况一一否定，才能得出原命题成立. ② ③ ① 这也是用反证法证明命题的一般步骤. 知识点 反证法 新知讲解 回顾之前学习的平行线的性质 “两直线平行，同位角相等”，由 “两直线平行” 直接推导 “同位角相等” 比较困难，可以采用反证法. 如图 ，我们要证明：如果AB∥ CD，那么∠1=∠2. 假设∠1≠∠2，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠2. 根据 “同位角相等，两直线平行”，可得A'B'∥ CD. 这样，过点O就有两条直线AB，A'B'都平行于CD， 这与基本事实 “过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行” 矛盾. 这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1=∠2. 知识点 反证法 新知讲解 用反证法说明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A，∠B，∠C是中不能有两个角是直角. 证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　， 设　　　　　　　　. 则　　　　　　　　　　. 这与　　　 　　　　　　相矛盾，所以假设不成立． 因此，　　　　　　　　　　　　　　　　　． ∠A，∠B，∠C中能有两个角是直角 ∠A=∠B＝90° 三角形的内角和为180° 一个三角形中不能有两个角是直角 ∠A+∠B+∠C >180° 例1 知识点 反证法 新知讲解 常见结论词的否定形式对照表 结论词 是 都是 大 (小) 于 能 相等 至少有一个 至多有一个 否定 形式 不是 不都是 不大 (小) 于 不能 不相等 一个也没有 至少有两个 知识点 反证法 新知讲解 1. 用反证法说明 400 人中至少有两个人的生日相同. 解：假设400人中任意两个人的生日都不相同， 所以1年至少有400天， 这与1年只有365天或366天矛盾， 所以假设不正确， 故400人中至少有两个人的生日相同. 随堂练习 2.用反证法说明：在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，必定与另一条也相交. 已知：在同一平面内，直线a∥b，直线c与直线a相交于点P. 求证：直线c与直线b相交. 证明：假设直线c与直线b不相交， ∴c∥ b. 又a∥ b, ∴a∥c，这与已知“直线c与直线a相交于点P”相矛盾， ∴假设不正确， ∴直线c与直线b相交. P a b c 随堂练习 3. 如图，AB,CD是⊙O内两条非直径的弦. 求证：AB与CD不能互相平分. 证明：如图，设AB,CD相交于点P，连接OA,OB,OP. 假设AB与CD能互相平分. ∵在△OAB中，OA=OB, ∴△OAB是等腰三角形. ∵AP=BP, ∴OP⊥AB，同理OP⊥CD， 这与“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾， ∴假设不正确，∴AB与CD不能互相平分. P 随堂练习 反证法 先提出与命题结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立. 常见结论词的否定形式对照表 结论词 是 都是 大 (小) 于 能 相等 至少有一个 至多有一个 否定 形式 不是 不都是 不大 (小) 于 不能 不相等 一个也没有 至少有两个 课堂小结 1.用反证法证明命题“在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°”，应先假设( ) A.∠B≥90° B.∠B＞90° C.∠B≠90° D.AB≠AC A 巩固练习 2.用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应先假设　 　.  　三角形的三个外角中至多有一个钝角　 3.用反证法证明“平行于同一直线的两条直线平行”应假设　 　.  　平行于同一直线的两条直线相交　 4.反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”.(提示：先根据题意写出已知、求证，再给予证明)   已知： 求证： 证明： 解：已知：在△ABC中，∠A，∠B，∠C为三个内角. 求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设△ABC的三个内角都大于60°，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°， 则将三个不等式相加，得∠A＋∠B＋∠C＞60°＋60°＋60°＝180°， 此结论与“三角形内角和为180°”的定理相矛盾. 因此，假设不成立，原命题成立.即三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°. 5.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°. 正确的顺序应为( ) A.①②③ B.①③② C.②③① D.③①② D 6.用反证法证明下列问题：如图，AB，CD是☉O内非直径的两条弦，求证：AB与CD不能互相平分. 证明：连接AC，AD，CB，BD， 假设AB和CD互相平分， 则四边形CADB是平行四边形， ∴∠CAD＝∠CBD. ∵∠CAD所对的是优弧，∠CBD所对的是劣弧， ∴∠CAD≠∠CBD， 故假设不成立，原命题正确，即AB与CD不能互相平分. $