5.3.4方案选择问题（课件）--2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程中的方案选择问题，通过建立方程模型求分界点判断最优方案。课堂从手机套餐、购物优惠等实际问题导入，衔接方程解法，以填空、选择等题型为支架，引导学生掌握设未知数、列表达式、解方程、判断方案的完整步骤。 其亮点在于结合空调购买、出租车收费等生活情境，培养模型观念与应用意识。通过探究点对比不同方案费用关系，用推理能力分析分界点前后最优选择，学生能提升实际问题解决能力，教师可借助系统练习与情境案例优化教学效果。

授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学七年级上册教学课件 第五章 一元一次方程 5.3.4方案选择问题 2026年7月28日 人教版七年级数学上册5.3.4方案选择问题专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 方案选择问题的核心是通过________求出两种方案费用相等时的________，以此作为分界点判断最优方案。 2. 解决方案选择应用题的基本步骤：设未知数、________、解方程、________最优方案。 3. 当自变量取值等于分界值时，两种方案________；大于或小于分界值时，________更划算。 4. 甲收费方案：$$y_1=2x+10$$，乙收费方案：$$y_2=3x$$，令$$y_1=y_2$$，解得$$x=$$________。 5. 套餐A：月租15元，每分钟0.2元；套餐B：无月租，每分钟0.5元。通话$$x$$分钟，A套餐费用为________，B套餐费用为________。 6. 购物优惠、收费套餐、租车住宿等问题，本质都是________问题，可用一元一次方程求解。 7. 若两种方案费用相等的解为负数，说明________方案始终更优惠。 8. 当消费数量大于分界值时，固定费用高、单价低的方案更________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 方案选择问题中，分界点的含义是（） A. 方案费用差值最大 B. 两种方案费用相等 C. 任意取值点 D. 费用为0的点 2. 甲方案：固定20元+每单3元；乙方案：每单5元，费用相等时单数为（） A. 8单 B. 10单 C. 12单 D. 15单 3. 下列不属于方案选择问题的是（） A. 两种手机套餐对比 B. 两种购物优惠方式 C. 单一商品进价计算 D. 两种租车收费方式 4. 两种方案费用相等解为$$x=20$$，当$$x>20$$时甲方案更划算，则（） A. 量大选甲 B. 量小选甲 C. 甲乙始终相同 D. 无法选择 5. 解决方案选择问题的核心数学工具是（） A. 一元一次方程 B. 有理数加减 C. 整式化简 D. 算术求值 6. 方案一：无固定费用，单价高；方案二：有固定费用，单价低。下列说法正确的是（） A. 量大选方案一 B. 量大选方案二 C. 始终方案一划算 D. 始终方案二划算 7. 若方程求解分界点$$x=15$$，当$$x=15$$时（） A. 只能选方案一 B. 只能选方案二 C. 两种方案费用相同 D. 无可行方案 8. 分析方案优劣的关键依据是（） A. 方案名称 B. 消费数量大小 C. 主观判断 D. 收费形式 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 方案选择问题必须先求出费用相等的分界点再判断。（） 2. 分界点的解是正数才有实际对比意义。（） 3. 所有方案选择问题，一定存在一个费用相等的分界点。（） 4. 消费数量越大，有固定月租的套餐通常越划算。（） 5. 当两种方案费用表达式相同时，所有取值都一样划算。（） 6. 可直接凭感觉选择最优方案，无需列方程计算。（） 7. 方案选择方程的解需要结合实际取值范围判断优劣。（） 8. 购物打折、会员充值优惠均可利用方案选择思路求解。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）基础方案对比计算题： 某手机套餐有两种收费方式： 方式一：月租10元，每分钟通话0.1元； 方式二：无月租，每分钟通话0.3元。 （1）设通话$$x$$分钟，分别写出两种方式的费用表达式； （2）求两种方式费用相等时的通话时长。 2. （10分）中档购物优惠方案题： 某文具店促销两种方案： 方案A：购买会员卡20元，全场文具八折； 方案B：不办会员卡，全场九五折。 （1）设购物原价总计$$x$$元，写出两种方案的实际付款金额； （2）求两种方案付款相等时的购物金额。 3. （12分）拔高综合决策题型： 某公司租车出行，有两种租车方案： 甲公司：固定车费80元，每人额外收费2元； 乙公司：无固定车费，每人收费6元。 （1）设出行人数为$$x$$人，分别列出甲乙两公司收费式子； （2）求出费用相等的人数； （3）分析人数多少时，分别选择哪家公司更划算。 参考答案 一、填空题 1. 列方程；分界点 2. 列方案表达式；判断选择 3. 费用相同；其中一种方案 4. 10 5. $$0.2x+15$$；$$0.5x$$ 6. 方案选择 7. 其中一种 8. 划算 二、选择题 1.B 2.B 3.C 4.A 5.A 6.B 7.C 8.B 三、判断题 1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.√ 6.× 7.√ 8.√ 四、解答题 1.（1）方式一费用：$$0.1x+10$$，方式二费用：$$0.3x$$；（2）列方程$$0.1x+10=0.3x$$，解得$$x=50$$，通话50分钟时费用相等。 2.（1）方案A：$$0.8x+20$$，方案B：$$0.95x$$；（2）列方程$$0.8x+20=0.95x$$，解得$$x=400$$，购物原价400元时付款金额相等。 3.（1）甲公司：$$2x+80$$，乙公司：$$6x$$；（2）列方程$$2x+80=6x$$，解得$$x=20$$；（3）人数小于20人时选乙公司，人数等于20人时两公司费用相同，人数大于20人时选甲公司更划算。 总字数：1100字，全覆盖套餐收费、购物优惠、租车计费三大经典方案选择题型，聚焦列代数式、求分界点、分类讨论最优方案核心考点，攻克不会分段判断、漏写取值范围、表达式列写错误等高频易错点，完美适配七年级一元一次方程压轴应用题专项训练。 通过建立方程模型解决不同能效空调综合费用的比较问题，初步掌握解决方案选择问题的一般方法，提升模型观念，增强应用意识。 学习目标 探究：购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况. 某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息. 如果电价是 0.5 元/(kW·h). 请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 1 级 3 000 640 1.5 3 级 2 600 800 探究点：方案决策问题 1 级 3 级 售价 3000 元 售价 2600 元 电费 (0.5×640×使用年数)元 电费 (0.5×800×使用年数)元 分析： 综合费用 = 空调的售价 + 电费 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 1 级 3 000 640 1.5 3 级 2 600 800 探究点：方案决策问题 设空调的使用年数是 t， 则 1 级效能空调的综合费用 (单位：元) 是 3000 + 0.5×640t， 即 3000 + 320t 3 级效能空调的综合费用 (单位：元) 是 2600 + 0.5×800t， 即 2600 + 400t 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 1 级 3 000 640 1.5 3 级 2 600 800 探究点：方案决策问题 问题1： t 取什么值时，两款空调的综合费用相等？ 3000 + 320t = 2600 + 400t 解得 t = 5. 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 1 级 3 000 640 1.5 3 级 2 600 800 探究点：方案决策问题 问题2：如何比较两款空调的综合费用？ 比较 3000 + 320t 与 2600 + 400t 的大小. 方法一：运用整式的加减 (3000 + 320t) - (2600 + 400t) = 3000 + 320t - 2600 - 400t = 400 - 80t = 80(5 - t) 当 t < 5 时，80(5 - t) > 0， 3000 + 320t > 2600 + 400t； 当 t > 5 时，80(5 - t) < 0， 3000 + 320t < 2600 + 400t. (大数-小数＞0，小数-大数＜0) 探究点：方案决策问题 方法二：把表示 3 级能效空调的综合费用的式子 2600 + 400t 变形为 1 级能效空调的综合费用与另外一个式字的和. 2600 + 400t = (3000 + 320t) + (80t - 400) = (3000 + 320t) + 80(t - 5) 当 t < 5 时，80(5 - t) 是负数， 这表明 3 级能效空调的综合费用较低； 当 t > 5 时，80(5 - t) 是正数， 这表明 1 级能效空调的综合费用较低. 探究点：方案决策问题 问题3：你认为哪种空调更划算呢？ 同样是 1.5 匹的空调，1 级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长 (超过 5 年) 时综合费用反而低. 根据相关行业标准，空调的安全使用年限是 10 年 (从生产日期计起)，因此购买、使用 1 级能效空调更划算. 当 t = 5 时，两款空调的综合费用相等； 当 t < 5 时，3 级能效空调的综合费用较低； 当 t > 5 时，1 级能效空调的综合费用较低. 探究点：方案决策问题 1. 返回 某市出租车收费标准如下：起步价8元(即行驶路程不超过3 km，付车费8元)，每增加1 km，加收1.6元．小轩从家到河北博物院的路程为x km，乘出租车需付车费27.2元，则可列方程为(　　) A．8＋1.6x＝27.2 　 B．1.6(x－3)＝27.2 C．8＋1.6(x－3)＝27.2 　D．8－3＋1.6x＝27.2 C 举一反三 10 返回 2. 【重庆綦江区期末】某航空公司规定：乘坐飞机普通舱的旅客每人最多只能免费托运20 kg的行李，超过部分每千克按机票价格的1.5%购买行李票，一位旅客托运了40 kg的行李，这样，机票和行李票共付了1 339元，则该旅客的机票价格是(　　) A．1 020元 B．1 030元 C．1 040元 D．1 050元 B 举一反三 探究点：方案决策问题 例 某市拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一. (A) 计时制：0.05 元每分钟； (B) 包月制：60 元每月(限一部个人住宅电话上网). 此外，两种上网方式都得加收通信费 0.02 元每分钟. (1) 某用户某月上网时间为 x 小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用； (2) 你认为采用哪种方式比较合算？ 解：(1) 采用(A)计时制：(0.05＋0.02)×60x＝4.2x (元)， 采用 (B) 包月制：60＋0.02×60x＝(60＋1.2x) (元). (2) 你认为采用哪种方式比较合算？ (2) 由 4.2x＝60＋1.2x，得 x＝20. 又由题意可知，上网时间越长，采用（B）越合算.所以当 0＜x＜20 时，采用（A）方式合算； 当 x＝20 时，采用两种方式费用相同； 当 x＞20 时，采用（B）方式合算. 探究点：方案决策问题 返回 3. 【立德树人 节约意识】【烟台期末】“水是生命之源”，某自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费： 月用水量/吨 单价/(元/吨) 不超过20吨的部分 2 超过20吨的部分 2.5 另：每吨水加收0.3元的城市污水处理费 (1)若某用户11月份共用水25吨，则他应缴水费________元． 60 举一反三 返回 (2)若某用户12月份应缴水费为74元，则该用户12月份用水多少吨？ 解：因为20×2＋0.3×20＝46(元)<74元， 所以该用户12月份用水量超过20吨， 设该用户12月份用水x吨， 由题意，得20×2＋2.5(x－20)＋0.3x＝74，解得x＝30. 答：该用户12月份用水30吨． 举一反三 返回 4. [教材P148复习题T14变式]某同学花30元购买图书馆会员证(只限本人使用)，凭证购入场券每张1元，不凭证购入场券每张4元，若购买会员证与不购买会员证花费相同，则该同学去图书馆的次数为(　　) A．8次 B．9次 C．10次 D．11次 C 举一反三 假期张老师带学生乘车外出参加创新素质实践活动．每张车票40元，甲车主说：“每人八五折．”乙车主说：“学生九折，老师免费．”张老师计算了一下，不论坐谁的车，费用都一样，则张老师带的学生人数为________． 返回 5. 17 举一反三 [教材P141习题T14变式]洛阳期末]“天下无双圣境，世界第一仙山”的老君山，是河南洛阳5A级著名旅游景区．原门票价格为130元/张，某旅行社推出一种团队票(人数＞40)，团队票可选择两种购票优惠方案： 方案一：全体人员打八折． 方案二：有5人可以免票，剩下的人员打九折． 返回 6. 举一反三 设某团队有x(x>40)人． (1)该团队选择方案一的费用为________元，选择方案二的费用为__________元．(用含x的代数式表示) 返回 104x 117(x－5) (2)若该团队无论选择哪种方案购票，费用恰好都一样，则该团队共多少人？ 解：由题意得104x＝117(x－5)，解得x＝45. 答：该团队共45人． 举一反三 7. 甲、乙两店以同样价格出售一种商品，并推出不同的优惠方案，在甲店累计购物超过100元后，超出100元的部分打九折；在乙店累计购物超过50元后，超出50元的部分打九五折，则顾客到两店购物花费一样时(　　) A．累计购物不超过50元 B．累计购物超过50元不超过100元 C．累计购物超过100元 D．累计购物不超过50元或刚好为150元 D 返回 举一反三 返回 8. 【郑州期末】某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价/(元/千瓦时) 第1档 不超过240千瓦时的部分 a 第2档 超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分 0.65 第3档 超过400千瓦时的部分 a＋0.3 举一反三 返回 已知10月份该市居民老李家用电200千瓦时，交电费120元；9月份老李家交电费157元． (1)表中a的值为________； (2)老李家9月份的用电量为________千瓦时； 0.6 260 举一反三 返回 (3)若8月份老李家用电的平均电价为0.7元/千瓦时，求老李家8月份的用电量． 解：因为0.7>0.65， 所以老李家8月份的用电量超过400千瓦时． 设老李家8月份的用电量为y千瓦时． 由题意，得240×0.6＋(400－240)×0.65＋(0.6＋0.3)(y－400)＝0.7y，解得y＝560. 答：老李家8月份的用电量为560千瓦时． 举一反三 返回 9. 【杭州上城区期末】红领巾球馆计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价150元，乒乓球每盒定价15元．元旦期间该品牌决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即 方案一：买一副乒乓球拍送两盒乒乓球； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的90%付款． 举一反三 24 返回 该球馆计划购买乒乓球拍10副，乒乓球x盒(x＞20，x为整数)． (1)当x＝40时，若该球馆按方案一购买，需付款________元；若该球馆按方案二购买，需付款________元． 1 800 1 890 举一反三 返回 (2)当x为何值时，分别按两种方案购买所需费用一样？ 解：由题意得150×10＋15(x－20)＝ 90%×15x＋150×10×90%， 解得x＝100，所以当x＝100时，分别按两种方案购买所需费用一样． 举一反三 返回 (3)若x＝40，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出此方案所需费用；如果不能，请说明理由． 解：能．方案：先按方案一购买10副乒乓球拍可得20盒乒乓球，再按方案二购买20盒乒乓球，需付款10×150＋20×15×90%＝1 770(元)． 举一反三 谢谢观看 THANKS $