5.3.4方案选择与分段计费（第44课时）学案 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“方案选择与分段计费”，通过话费套餐、阶梯水价等生活情境导入，引导学生从已学的一元一次方程知识出发，逐步分析实际问题中的数量关系，搭建从现实情境到数学模型的学习支架。 资料以数学建模和应用意识为核心，设计合作探究、典型例题、错误诊所等模块，分步骤总结解题方法，结合田忌赛马数学文化激发兴趣。帮助学生提升运算能力与分类讨论的数学思维，适合自主学习与教师教学评估。

5.3.4 方案选择与分段计费 一、学习目标（核心素养） 1. 数学建模：能分析方案选择和分段计费问题中的数量关系，建立方程模型。 2. 数学运算：能根据分段标准正确计算各段费用，掌握方案比较的方法。 3. 应用意识：能运用方程思想解决生活中的计费、购物、出行等方案选择问题。 4. 数学思维：经历分类讨论的过程，培养分析问题和决策的能力。 二、重点难点 重点 分段计费问题的计算方法 方案选择问题的解题思路 利用一元一次方程找临界点（平衡点） 难点 理解分段计费的含义，正确判断所在档位 分类讨论思想在方案选择中的运用 将实际问题转化为数学方程的能力 三、情境导入 【生活情境1：话费套餐】 移动公司有两种手机套餐： 套餐A：月租费20元，通话费每分钟0.2元； 套餐B：月租费0元，通话费每分钟0.3元。 想一想： 每月通话100分钟，选哪种套餐划算？200分钟呢？ 通话多长时间时，两种套餐费用相等？ 你能给你的爸爸妈妈一个选择建议吗？ 【生活情境2：阶梯水价】 某市实行阶梯水价： 第一档：每月用水量不超过15吨，每吨2元； 第二档：超过15吨但不超过25吨的部分，每吨3元； 第三档：超过25吨的部分，每吨5元。 想一想： 小明家上月用水12吨，应交水费多少元？ 小红家上月用水20吨，应交水费多少元？ 小刚家上月交水费60元，用了多少吨水？ 四、合作探究 探究一：分段计费问题 【问题】某市出租车收费标准如下：起步价8元（3千米以内）， 超过3千米后，每千米1.5元（不足1千米按1千米计算）。 问题1：小明坐出租车行驶了2.5千米，应付费多少元？ 答：2.5千米 < 3千米，按起步价收费，应付8元。 问题2：小红坐出租车行驶了10千米，应付费多少元？ 答：前3千米8元，超过的7千米每千米1.5元。 总费用 = 8 + 1.5×(10 - 3) = 8 + 10.5 = 18.5元 问题3：小刚坐出租车付了23元，他行驶了多少千米？ 分析：23元 > 8元，说明超过了3千米。 解：设行驶了x千米（x > 3）。 8 + 1.5(x - 3) = 23 8 + 1.5x - 4.5 = 23 1.5x + 3.5 = 23 1.5x = 19.5 x = 13 答：他行驶了13千米。 方法总结： 分段计费问题解题步骤： ① 先判断在哪个计费段； ② 各段分别计算费用； ③ 各段费用相加得到总费用； ④ 已知总费用求用量时，先估算范围，再列方程求解。 探究二：方案选择问题 【问题】某商场计划购进一批台灯，有两种进货方案： 方案一：商家上门送货，每台进货价40元，另收运输费1200元； 方案二：商场自己去拉货，每台进货价35元，但运输费需要1800元。 问题1：若商场购进100台台灯，哪种方案更省钱？ 解：方案一费用 = 40×100 + 1200 = 5200元 方案二费用 = 35×100 + 1800 = 5300元 因为 5200 < 5300，所以方案一更省钱。 问题2：购进多少台时，两种方案费用相同？ 解：设购进x台时，两种方案费用相同。 40x + 1200 = 35x + 1800 5x = 600 x = 120 答：购进120台时，两种方案费用相同。 问题3：根据进货数量，你能给商场一个选择建议吗？ 分析：当进货量 < 120台时，方案一省钱； 当进货量 = 120台时，两种方案一样； 当进货量 > 120台时，方案二省钱。 方法总结： 方案选择问题的关键是找到平衡点（临界点）： ① 设未知数，分别表示两种方案的费用； ② 令两种方案费用相等，解方程求出分界点； ③ 分类讨论：大于、等于、小于分界点时，哪种方案更优； ④ 根据实际情况做出选择。 探究三：最优方案设计 【问题】某校组织学生参加社会实践活动，现有两种租车方案： 方案一：租用大巴车，每辆可坐45人，； 方案二：租用中巴车，每辆可坐30人，。 该校共有270名学生参加活动。 问题：请你设计最省钱的租车方案。 分析：先比较人均成本 大巴车人均：400÷45 ≈ 中巴车人均：280÷30 ≈ 大巴车人均更便宜，应尽量多租大巴车。 方案1：全租大巴车：270÷45 = 6辆，费用 = 6×400 = 2400元 方案2：租5辆大巴，剩45人，还需2辆中巴： 费用 = 5×400 + 2×280 = 2000 + 560 = 2560元 方案3：租4辆大巴，剩90人，还需3辆中巴： 费用 = 4×400 + 3×280 = 1600 + 840 = 2440元 方案4：全租中巴车：270÷30 = 9辆，费用 = 9×280 = 2520元 比较：2400 < 2440 < 2520 < 2560 答：最省钱的方案是租6辆大巴车，费用2400元。 五、典型例题 题型一：分段计费问题 【例1】某地区居民生活用电采用阶梯电价，收费标准如下： 第一档：月用电量不超过200度，每度0.5元； 第二档：月用电量超过200度但不超过400度的部分，每度0.6元； 第三档：月用电量超过400度的部分，每度0.8元。 (1) 小明家上月用电150度，应交电费多少元？ 解：150度在第一档，电费 = 150×0.5 = 75元 (2) 小红家上月用电300度，应交电费多少元？ 解：300度跨越第一档和第二档。 第一档电费：200×0.5 = 100元 第二档电费：(300 - 200)×0.6 = 60元 总电费 = 100 + 60 = 160元 (3) 小刚家上月交电费220元，用了多少度电？ 解：先估算：200度电费100元，400度电费 = 100 + 200×0.6 = 220元。 正好220元，说明用了400度电。 (4) 小丽家上月交电费300元，用了多少度电？ 解：因为300 > 220，所以用电量超过400度，在第三档。 设用电x度（x > 400）， 220 + 0.8(x - 400) = 300 0.8(x - 400) = 80 x - 400 = 100 x = 500 答：用了500度电。 题型二：方案选择问题 【例2】某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主 或一国有出租车公司中的一家签订月租车合同。 个体车主的收费是：每千米付1.2元； 出租车公司的收费是：每月付2000元工资，另外每千米付0.4元油费。 (1) 若每月行驶1000千米，租哪家的车更合算？ 解：个体车主费用 = 1.2×1000 = 1200元 出租车公司费用 = 2000 + 0.4×1000 = 2400元 因为1200 < 2400，所以租个体车主的车更合算。 (2) 每月行驶多少千米时，两家费用相等？ 解：设每月行驶x千米时，两家费用相等。 1.2x = 2000 + 0.4x 0.8x = 2000 x = 2500 答：每月行驶2500千米时，两家费用相等。 (3) 根据每月行驶的路程，你能给出什么选择建议？ 答：当月行驶路程 < 2500千米时，选择个体车主更合算； 当月行驶路程 = 2500千米时，两家一样； 当月行驶路程 > 2500千米时，选择出租车公司更合算。 题型三：最优方案设计 【例3】某公园门票价格如下：成人票每张20元，学生票每张10元， 40人以上（含40人）可以购买团体票，团体票每张15元。 现有成人32人，学生8人去公园游玩。 请你设计几种购票方案，并比较哪种方案最省钱。 方案一：按实际人数购票（不买团体票） 费用 = 32×20 + 8×10 = 640 + 80 = 720元 方案二：全部买团体票（虽然只有40人，但可以买40张团体票） 费用 = 40×15 = 600元 方案三：32个成人买团体票，8个学生买学生票 费用 = 32×15？不对，团体票需要40人以上... 修正：成人买团体票需要至少40人，所以只能买40张团体票， 或者成人按原价买。 重新整理： 方案1：各自按原价买：32×20 + 8×10 = 720元 方案2：全部买团体票：40×15 = 600元 方案3：凑40人买团体票，多出来的票浪费：同方案2 比较：600 < 720 答：全部买团体票最省钱，需要600元。 六、错误诊所 易错点1：分段计费时直接按最高档算 【错例】用水20吨，，，水费 = 20×3 = 60元 【诊断】没有分段计算，20吨中的15吨按2元算，超过的5吨才按3元算。 【正解】水费 = 15×2 + (20-15)×3 = 30 + 15 = 45元 易错点2：方案选择时漏掉边界情况 【错例】两种方案费用相等时，随便选一种就行，不用分析。 【诊断】费用相等时两种方案都可选，但需要明确指出这是临界点。 【正解】分三种情况讨论：大于、等于、小于临界点，分别说明哪种更优。 易错点3：起步价问题理解错误 【错例】出租车起步价8元（3千米内），行驶5千米费用 = 8 + 1.5×5 = 15.5元 【诊断】起步价已经包含了3千米，超过的部分才额外收费。 【正解】费用 = 8 + 1.5×(5-3) = 8 + 3 = 11元 易错点4：找错等量关系 【错例】两种方案费用相等时，列方程时固定费和变量费搞反。 【诊断】仔细分析每种方案的费用构成：固定费用 + 可变费用。 【正解】方案A费用 = 固定费A + 单价A×用量；方案B费用 = 固定费B + 单价B×用量。 七、达标检测 基础达标 1. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水4吨以下，每吨1.8元； 当超过4吨时，超过部分每吨3元。 (1) 小明家上月用水3吨，应交水费____元； (2) 小红家上月用水10吨，应交水费____元。 2. 某书店出售一种优惠购书卡，花20元买这种卡后， 凭卡可在这家书店按8折购书。 (1) 小明买标价为50元的书，用卡划算还是不用卡划算？ (2) 当买书标价为多少元时，买卡与不买卡花钱一样多？ 3. 某电信公司的手机收费标准有两类： A类：月租费18元，通话费每分钟0.2元； B类：无月租费，通话费每分钟0.4元。 (1) 若每月通话2小时，选择哪类收费方式更合算？ (2) 每月通话多长时间时，两类收费方式费用相等？ 4. 某中学组织七年级学生春游，原计划租用45座客车若干辆， 但有15人没有座位；如果租用同样数量的60座客车，则多出一辆， 且其余客车恰好坐满。已知45座客车日租金为每辆220元， 60座客车日租金为每辆300元。 (1) 七年级人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？ (2) 要使每名同学都有座位，怎样租车更合算？ 能力提升 5. 为了鼓励居民节约用水，某市对居民生活用水实行阶梯水价， 按年用水量计算： 第一阶梯：年用水量不超过180吨，每吨水费4.2元； 第二阶梯：年用水量超过180吨但不超过260吨的部分， 每吨水费5.6元； 第三阶梯：年用水量超过260吨的部分，每吨水费8.4元。 (1) 小明家2024年用水200吨，应交水费多少元？ (2) 若小红家2024年交水费1092元，她家用水多少吨？ 6. 某商场开展促销活动，规定： ① 一次购物不超过100元，不享受优惠； ② 一次购物超过100元但不超过300元，一律九折； ③ 一次购物超过300元，一律八折。 小明两次购物分别付款80元和252元。 如果小明一次购买与上两次相同的商品，应付款多少元？ 拓展探究 7. 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元， 其成本价为25元。在生产过程中，平均每生产一件产品有 0.5立方米污水排出，所以为了净化环境，工厂设计了两种 处理污水的方案，并准备实施。 方案一：工厂污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水 所用原料费为2元，并且每月排污设备损耗为30000元； 方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米 污水需付14元的排污费。 (1) 设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元， 分别求出方案一和方案二处理污水时，y与x的关系式； (2) 当工厂每月生产多少件产品时，两种方案的利润相同？ (3) 你认为工厂应如何根据每月生产件数选择污水处理方案？ 八、中考链接 1. （2023·广东中考）某电信公司有甲、乙两种手机收费业务。 甲种业务规定月租费10元，每通话1分钟收费0.3元； 乙种业务不收月租费，但每通话1分钟收费0.4元。 若每月通话时间为x分钟，下列说法正确的是（ ） A. 当x > 100时，选择甲业务更合算 B. 当x < 100时，选择乙业务更合算 C. 当x = 100时，两种业务费用相等 D. 以上说法都对 2. （2024·江苏中考）某市为了鼓励居民节约用水， 采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费： 月用水量不超过20m³时，； 月用水量超过20m³时，， 。 若某户居民五月份交水费42.6元，求该户居民五月份的用水量。 3. （2024·山东模拟）某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机， 已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为： 甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。 若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元， 请你研究一下商场的进货方案。 九、数学文化 田忌赛马——古代的方案选择智慧 田忌赛马是中国古代著名的博弈故事。战国时期，齐国大将田忌经常与 齐威王及其他贵族赛马。比赛规则是把马分成上、中、下三等， 一对一比赛，三场两胜。 田忌的马和齐威王的马实力相差不大，每次比赛都输。 后来，军事家孙膑给田忌出了个主意： 用下等马对齐威王的上等马（输），用上等马对齐威王的中等马（赢）， 用中等马对齐威王的下等马（赢），最终以2:1获胜。 这个故事告诉我们，在资源有限的情况下，合理的安排和选择 不同的方案，会带来截然不同的结果。这就是数学中的 「运筹学」思想——通过优化方案来达到最好的效果。 我们今天学习的方案选择问题，就是运筹学的简单应用。 在生活中，我们经常需要做出选择：买东西选哪种更划算、 出行选哪种交通方式更省时、投资理财选哪种收益更高... 学好数学，能帮助我们做出更明智的选择！ 十、小结反思 知识要点 内容总结 分段计费 先判断区间，各段分别计算，再求和；已知费用求用量时，先估算范围再列方程 方案选择 设未知数 → 分别表示各方案费用 → 令费用相等求临界点 → 分类讨论哪种更优 最优方案 列出所有可行方案 → 分别计算费用 → 比较选出最优方案 数学思想 分类讨论思想、方程思想、建模思想 【我的收获】 通过本节课的学习，我学会了用一元一次方程解决方案选择问题： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 【我的困惑】 我还有以下问题不太明白： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 参考答案 典型例题答案 【例1】 某地区居民生活用电采用阶梯电价，收费标准如下： 第一档：月用电量不超过200度，每度0.5元； 第二档：月用电量超过200度但不超过400度的部分，每度0.6元； 第三档：月用电量超过400度的部分，每度0.8元。 (1) 小明家上月用电150度，应交电费多少元？ 解：150度在第一档，电费 = 150×0.5 = 75元 (2) 小红家上月用电300度，应交电费多少元？ 解：300度跨越第一档和第二档。 第一档电费：200×0.5 = 100元 第二档电费：(300 - 200)×0.6 = 60元 总电费 = 100 + 60 = 160元 (3) 小刚家上月交电费220元，用了多少度电？ 解：先估算：200度电费100元，400度电费 = 100 + 200×0.6 = 220元。 正好220元，说明用了400度电。 (4) 小丽家上月交电费300元，用了多少度电？ 解：因为300 > 220，所以用电量超过400度，在第三档。 设用电x度（x > 400）， 220 + 0.8(x - 400) = 300 0.8(x - 400) = 80 x - 400 = 100 x = 500 答：用了500度电。 题型二：方案选择问题 【例2】 某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主 或一国有出租车公司中的一家签订月租车合同。 个体车主的收费是：每千米付1.2元； 出租车公司的收费是：每月付2000元工资，另外每千米付0.4元油费。 (1) 若每月行驶1000千米，租哪家的车更合算？ 解：个体车主费用 = 1.2×1000 = 1200元 出租车公司费用 = 2000 + 0.4×1000 = 2400元 因为1200 < 2400，所以租个体车主的车更合算。 (2) 每月行驶多少千米时，两家费用相等？ 解：设每月行驶x千米时，两家费用相等。 1.2x = 2000 + 0.4x 0.8x = 2000 x = 2500 答：每月行驶2500千米时，两家费用相等。 (3) 根据每月行驶的路程，你能给出什么选择建议？ 答：当月行驶路程 < 2500千米时，选择个体车主更合算； 当月行驶路程 = 2500千米时，两家一样； 当月行驶路程 > 2500千米时，选择出租车公司更合算。 题型三：最优方案设计 【例3】 某公园门票价格如下：成人票每张20元，学生票每张10元， 40人以上（含40人）可以购买团体票，团体票每张15元。 现有成人32人，学生8人去公园游玩。 请你设计几种购票方案，并比较哪种方案最省钱。 方案一：按实际人数购票（不买团体票） 费用 = 32×20 + 8×10 = 640 + 80 = 720元 方案二：全部买团体票（虽然只有40人，但可以买40张团体票） 费用 = 40×15 = 600元 方案三：32个成人买团体票，8个学生买学生票 费用 = 32×15？不对，团体票需要40人以上... 修正：成人买团体票需要至少40人，所以只能买40张团体票， 或者成人按原价买。 重新整理： 方案1：各自按原价买：32×20 + 8×10 = 720元 方案2：全部买团体票：40×15 = 600元 方案3：凑40人买团体票，多出来的票浪费：同方案2 比较：600 < 720 答：全部买团体票最省钱，需要600元。 一、基础达标 1. (1) 5.4 (2) 25.2 提示：4×1.8 + (10-4)×3 = 7.2 + 18 = 25.2 2. (1) 用卡花费：20 + 50×0.8 = 60元；不用卡花费：50元。不用卡更划算。(2) 设买书标价x元时一样，20 + 0.8x = x，解得x = 100。 答：买书标价100元时，买卡与不买卡花钱一样多。 3. (1) 2小时=120分钟，A类费用：18 + 0.2×120 = 42元； B类费用：0.4×120 = 48元。选A类更合算。(2) 设通话x分钟费用相等，18 + 0.2x = 0.4x，x = 90分钟。 4. (1) 设原计划租用45座客车x辆，45x + 15 = 60(x-1)，解得x = 5。 人数 = 45×5 + 15 = 240人。(2) 方案比较：全租45座需6辆，220×6=1320元； 全租60座需4辆，300×4=1200元； 租4辆45座+1辆60座：4×220+300=1180元（最合算）。 二、能力提升 5. (1) 180×4.2 + (200-180)×5.6 = 756 + 112 = 868元(2) 先判断：180吨水费756元，260吨水费 = 756 + 80×5.6 = 756+448=1204元。 1092在756和1204之间，说明在第二档。 设用水x吨，756 + 5.6(x-180) = 1092，5.6(x-180) = 336，x-180=60，x=240。 答：用水240吨。 6. 分析：252元可能是九折后的价格，也可能是八折后的价格。情况1：252是九折，则原价 = 252÷0.9 = 280元。 两次原价合计 = 80 + 280 = 360元，合买八折 = 360×0.8 = 288元。情况2：252是八折，则原价 = 252÷0.8 = 315元。 两次原价合计 = 80 + 315 = 395元，合买八折 = 395×0.8 = 316元。答：应付款288元或316元。 三、拓展探究 7. (1) 方案一：y1 = (50-25)x - 2x - 30000 = 23x - 30000 方案二：y2 = (50-25)x - 14x = 11x(2) 令23x - 30000 = 11x，12x = 30000，x = 2500 答：每月生产2500件时，两种方案利润相同。(3) 当x > 2500时，选方案一；当x = 2500时，两方案一样； 当x < 2500时，选方案二。 四、中考链接 1. D 提示：10 + 0.3x = 0.4x，x = 100分钟为平衡点。x>100时甲合算，x<100时乙合算，x=100时一样。三种说法都对。 2. 解：20吨水费 = 20×2 = 40元，42.6 > 40，说明超过20吨。设用水量为x m³，40 + 2.6(x-20) = 42.6，2.6(x-20) = 2.6，x-20 = 1，x = 21答：五月份用水量为21 m³。 3. 分三种情况讨论：① 购进甲、乙两种：设甲x台，1500x + 2100(50-x) = 90000， 解得x = 25，即甲25台，乙25台。② 购进甲、丙两种：设甲y台，1500y + 2500(50-y) = 90000， 解得y = 35，即甲35台，丙15台。③ 购进乙、丙两种：设乙z台，2100z + 2500(50-z) = 90000， 解得z = 87.5，不是整数，舍去。答：有两种进货方案：方案一，甲25台、乙25台；方案二，甲35台、丙15台。 学科网（北京）股份有限公司 $