第12章 二次函数与方程不等式 讲义-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

2026-2027学年 高一数学上册（人教A版2019） 暑假预习讲义 第12章 二次函数与方程不等式 一、学习路线图 知识脉络 初中你已经画过二次函数的图象、背过顶点坐标公式，也会解一元二次方程、解简单的一元一次不等式。但初中是把这三件事分开学的：画图象归画图象，解方程归解方程。高中把它们拧成一股绳——同一个系数 同时决定一条抛物线、一个方程的根、一类不等式的解集。本章的任务就是学会用”图象”当翻译：抛物线与 轴交点的横坐标就是方程的根，抛物线在 轴上方还是下方，直接告诉你不等式的解集。掌握这个互译，解任何二次不等式都不用死记规则。 初中阶段你已经接触过： - 二次函数的图象与顶点、对称轴 - 一元二次方程的解法（配方、公式、因式分解） - 解一元一次不等式（移项、变号） 高中还会遇到： - 用函数图象判断方程根的个数与位置（根的分布） - 把不等式解集与参数条件互相转化（恒成立、有解） - 用三个”二次”的统一观点处理实际应用题 衔接→高一映射 初中知识 高中应用 高中章节 二次函数图象、顶点 用图象判断方程根、不等式解集 必修第一册 第二章 解一元二次方程 求根用于解不等式、研究根的分布 必修第一册 第二章 解一元一次不等式 系统学习一元二次、分式、高次、绝对值不等式 必修第一册 第二章 学习策略 本章真正要练的不是”算”，而是”看”。拿到一个不等式，先在脑子里画出对应抛物线：开口向上还是向下？和 轴交在哪？交点之上还是之下？这三点一定，解集自然出来。含参数的题别慌，把参数当未知数一层层分类——先看二次项系数会不会是 ，再看开口、判别式、两根大小，每一步都验证根能不能取到。恒成立和有解别混，它们都归结为最值，但一个看最小、一个看最大。 二、知识点精讲 一元二次不等式及其标准形式 形如 （或 ，其中 ）的不等式叫做一元二次不等式。把左边看成一个二次函数 ，解不等式就是判断抛物线在 轴的上方还是下方。 理解提示：最关键的一条是 “”。如果 ，式子就退化成一次不等式，讨论含参问题时这步绝不能省，否则会整类漏解。 三个”二次”的关系 同一组系数 串起三件事： - 二次函数 ，图象是一条抛物线； - 一元二次方程 ，就是令 求抛物线与 轴交点的横坐标； - 一元二次不等式 （或 ），看的是图象在 轴上方还是下方。 理解提示：抛物线与 轴交点的横坐标就是方程的根；图象在 轴上方对应不等式 ，在下方对应 。开口向上时 的解集是”两根之外”，开口向下时 的解集是”两根之间”。这是本章最核心的互译，后面所有题都靠它，建议画一条抛物线默念三遍。 解不含参一元二次不等式的步骤 第一步，解对应方程 求出根；第二步，由 的正负确定抛物线开口方向；第三步，结合不等号写出解集（标根法：大于取两边，小于取中间）。 理解提示：求根优先尝试因式分解，分解不开再用求根公式。写解集用区间或集合，开闭要和不等号一致——带等号的取闭区间，根能取到；不带等号的取开区间。 含参不等式的讨论框架 不等式含参数时，先固定二次项系数 是否为 ；当 时再依次判断：开口方向（ 的正负）、判别式 （有没有实根）、两根大小（谁在左谁在右）。三步都定下来，解集才唯一。 理解提示：讨论顺序有讲究——先看 没有？再看开口方向；根都不存在（）时根本谈不上标根。每一步漏掉都会多解或漏解，这是阅卷最常扣分的坑。 分式、高次、绝对值不等式的转化 分式不等式 等价于 且 ；高次不等式用数轴标根法（奇穿偶回）；绝对值不等式先化为 或按零点分段讨论。 理解提示：分式转乘积后，分母为零的点永远不能进解集，要在最后挖掉；高次标根从右上方起笔，根的重数是奇数就穿过、偶数就反弹。 三、题型分类训练 题型1 解不含参的一元二次不等式 例1 不等式 的解集为 A. B. C. D. 解题思路：，两根为 ，开口向上， 取两边。 答案：B 变式1 不等式 的解集为 A. B. C. D. 变式2（多选）下列不等式的解集为 的是 A. B. C. D. 变式3 不等式 的解集为 A. B. C. D. 题型2 解含参的一元二次不等式 例2 解关于 的不等式 。 解题思路：先因式分解再按两根大小分类。，两根为 与 ，不等号是 “” 且开口向上，解集在两根之间，但谁大谁小取决于 。 答案：，两根为 。 当 时，解集为 ； 当 时，不等式为 ，无解，解集为 ； 当 时，解集为 。 变式4 解关于 的不等式 。 变式5 解关于 的不等式 （ 为实数参数）。 变式6 不等式 在 时的解集为 A. B. C. D. 题型3 解分式、高次、绝对值不等式 例3 不等式 的解集为 A. B. C. D. 解题思路：分式大于 等价于分子分母同号，即 且 ，两根 ，开口向上取两边。 答案：B 变式7 不等式 的解集为 A. B. C. D. 变式8 不等式 的解集为 A. B. C. D. 变式9 不等式 的解集为 A. B. C. D. 题型4 由一元二次不等式的解求参数 例4 已知不等式 的解集为 ，则 A. B. C. D. 解题思路：解集为两根之间的开区间，说明抛物线开口向上，端点 就是方程 的两根，用韦达定理还原系数。 答案：A。由解集知根为 ，则 ，故 ，。 变式10 已知不等式 的解集为 ，则 A. B. C. D. 变式11（多选）已知不等式 的解集为 ，则 A. B. C. D. 不等式 的解集为 变式12 若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 A. B. C. D. 题型5 三个”二次”关系的应用 例5 已知二次函数 的图象与 轴交于 和 两点。写出对应一元二次方程的根，以及不等式 的解集，并说明三者关系。 解题思路：交点横坐标即方程的根；抛物线开口向下，在 轴上方（即 ）的部分落在两根之间。 答案：方程 的根为 ；不等式 的解集为 。三者关系：二次函数与 轴交点的横坐标就是对应方程的根；当抛物线在 轴上方时，对应不等式 的解集就是两根之间的区间（开口向下时”上方在区间内”，开口向上时”上方在区间外”）。 变式13 已知方程 的两根为 ，则不等式 的解集为 A. B. C. D. 变式14 若二次函数 的图象开口向下，且与 轴的两个交点横坐标为 和 ，则不等式 的解集为 A. B. C. D. 变式15 已知不等式 的解集为 ，求对应一元二次方程 的两根，并写出二次函数 的图象与 轴的交点坐标。 题型6 一元二次不等式的根的分布情况 例6 关于 的方程 有两个不相等的实根，且两根均大于 ，求实数 的取值范围。 解题思路：开口向上时”两根都大于 “要同时满足三个条件：判别式大于 （有两根）、对称轴在 右侧、且 （ 处函数值在 轴上方）。三者缺一不可。 答案：设 。 判别式 ，得 或 ； 对称轴 ，得 ； ，得 。 取交集得 ，即 。 变式16 关于 的方程 有两个不相等的负实根，求实数 的取值范围。 变式17 关于 的方程 的一个根大于 ，另一个根小于 ，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 变式18 关于 的方程 在区间 内恰有一个实根，求实数 的取值范围。 题型7 一元二次不等式的恒成立问题 例7 若关于 的不等式 对一切 恒成立，求实数 的取值范围。 解题思路：开口向上要对所有 都大于 ，只需最小值大于 ，等价于判别式小于 。也可配方看最小值。 答案：，最小值为 （当 时取到）。要对一切 恒有 ，需最小值 ，故 ，即 。 变式19 不等式 对一切实数 恒成立，则 的取值范围是 A. B. C. D. 变式20 若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 题型8 一元二次不等式的有解问题 例8 若关于 的不等式 有实数解，求实数 的取值范围。 解题思路：“有解”即存在某个 使式子小于 ，等价于二次函数的最小值小于 （开口向上时抛物线能探到 轴下方）。 答案：，最小值为 。要有实数解使不等式成立，需最小值 ，故 ，即 。 变式21 不等式 有实数解，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 变式22 若不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 变式23 若不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 题型9 一元二次不等式的实际应用 例9 用长为 米的篱笆靠墙围一个矩形菜地（墙作为一边，不需篱笆），设垂直于墙的边长为 米，平行于墙的边长为 米。若菜地面积不小于 平方米，求 的取值范围。 解题思路：面积 ，列不等式后按一元二次解，并注意实际意义 且 。 答案：面积 。由 得 ，即 ，化简为 ，即 ，得 。再由实际意义 且 （即 ），综合得 。 变式24 某商品每件成本 元，定价为 元时日销量为 件（设 为整数且 ）。若要求日利润不少于 元，求 的取值范围。 变式25 某商店将进货单价为 元的商品按 元一个售出时，每天可卖 个；若每涨价 元，每天少卖 个。要使每天利润不低于 元，则售价应定在 A. B. C. D. 变式26 某厂生产一种产品，年产量 （单位：千件）与总成本 （万元）满足 ，销售单价为每千件 万元时全部售完。若要求年利润不为负，求年产量 的取值范围。 变式27 某产品利润（万元）与产量 （百台）满足 。若要求盈利（利润为正），则 的取值范围是 A. B. C. D. 四、巩固检测卷 巩固检测卷 （一）单项选择题 1. 不等式 的解集为 A. B. C. D. 1. 不等式 的解集为 A. B. C. D. 1. 已知不等式 的解集为 ，则 A. B. C. D. 1. 若关于 的不等式 对一切 恒成立，则 的取值范围是 A. B. C. D. 1. 二次函数 的图象与 轴的交点横坐标为 和 ，则不等式 的解集为 A. B. C. D. 1. 关于 的方程 有两个不相等的实根，且一个根大于 ，另一个根小于 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. （二）多项选择题 1. 下列不等式中，解集为 的是 A. B. C. D. 1. 已知不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是 A. B. 方程 的两根为 和 C. 不等式 的解集为 D. 不等式 的解集为 （三）填空题 1. 不等式 的解集为______。 1. 若关于 的不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是______。 （四）解答题 1. 解关于 的不等式 。 1. 某商店销售一种商品，每件成本 元。若定价 元（ 为整数，），日销量为 件。若要日利润不低于 元，求 的取值范围。 五、易错清单 易错清单 · 含参不等式漏讨论二次项系数为 ：形如 含参时，必须先判断 （退化为一次不等式）与 两种情况，再看开口方向、判别式、根大小。直接默认 “二次函数” 会整类漏解，这是阅卷最常见扣分项。 · 恒成立与有解误判最值：恒成立看的是函数的最值—— 恒成立等价于 ， 恒成立等价于 （此时判别式是 不是 ）；有解则看 。把”恒成立”和”有解”都套同一个最值方向，是高频错误。 · 解集端点与方程根的开闭混淆：区间端点就是对应方程的根，但开闭由不等号决定， 对应开区间、 对应闭区间；由解集反求参数时，端点代入对应的方程应恰好成立。 · 分式不等式忘记挖掉分母为 的点：把 化为 后，分母零点 处永远不能取，最后必须从解集中剔除； 或 时也要注意分母点不能取等号。 · 高次不等式标根符号判反：数轴标根法从右上方起笔，“奇穿偶回”。不等号是 取正号区间、 取负号区间，含等号时再把根补进解集（分母造成的根除外）。 · 根的分布条件不全：两根都大于 （开口向上）需同时满足 、对称轴 、 三条；只验其中一两条会得到错误范围。一根大于 、一根小于 则只需 与 异号（开口向上的简单情形即 ）。 · 三个”二次”互译方向搞反：开口向上时 取”两根之外”，开口向下时 取”两根之间”。给了解集反推图象开口时，解集是中间一段说明开口向下，是两边说明开口向上，方向别弄反。 六、方法总结墙 方法总结墙 · 三个”二次”互译：二次函数图象、一元二次方程根、一元二次不等式解集是同一组系数 的三种表现。抛物线与 轴交点横坐标 方程根；图象在 轴上方 不等式 ，在下方 不等式 ；开口向上时 取两根之外，开口向下时 取两根之间。 · 解一元二次不等式的通用流程：先求方程根，再看 正负定开口，最后按不等号取区间（大于取两边、小于取中间），含等号取闭区间。 · 含参不等式讨论流程：第一问 与否；第二问 正负定开口；第三问 判有无根；第四问比较两根大小。四步走完解集才唯一。 · 分式转乘积： 且 ；最后挖掉分母零点。 · 高次标根（数轴标根法）：按根从小到大标点，从右上方起笔，奇次根穿过、偶次根反弹，按符号取区间。 · 恒成立问题 最值法： 恒成立等价于 ； 恒成立等价于 （此时 ）。 · 有解问题 最值法： 有解等价于 （开口向上时看最小）； 有解等价于 。 · 分离参数法：把参数孤立到一侧，转化为求另一侧函数的最值（最大或最小），再让参数与该最值比较，常用于恒成立、有解、存在性问题。 · 根的分布：结合抛物线形与端点值符号列不等式组，常用条件为 、对称轴位置、 符号，必要时再补 在两端点的值。 核心方法归类 方法 适用场景 关键步骤 解不含参二次不等式 给定具体系数 求根 定开口 取区间 含参不等式讨论 系数含字母 判 开口 根大小 三个”二次”互译 已知图象/根/解集之一 交点横坐标即根；上方即 ，下方即 分式化乘积 分式不等式 乘转化为 符号，挖分母零点 高次标根 三个及以上一次因式乘积 从右上方起笔，奇穿偶回 恒成立 对所有 成立 求最值，令最小值 （或 ） 有解 存在 成立 求最值，令最小值 （或最大值 ） 根的分布 根的位置受限 、对称轴、 符号联立 思维路径图 拿到一个不等式： 先认系数 a —— a=0 是一次；a≠0 是二次 解二次（不含参）： 求根 → 看 a 正负 → 大于取两边 / 小于取中间 解二次（含参）： a=0? → 一次讨论 a>0 或 a<0? → 定开口 Δ>0 / =0 / <0? → 有无根 两根谁大? → 定区间左右 见到"恒成立"： 求 f(x) 最小值，令 min > 0（或 ≥0） 见到"有解"： 求 f(x) 最小值（<0类）或最大值（>0类） 见到实际应用： 设变量 → 列不等关系 → 解一元二次 → 回扣实际意义（取整、范围） 高中预告：三个”二次”的统一观点是高中处理函数与方程问题的底层工具。必修第一册后续会学函数的零点、用函数图象判断方程解的个数，以及用不等式研究函数的最值、定义域与值域；选择性必修里还会用导数把这套”看图象”的方法推广到更一般的函数。把本章的互译和分类讨论练熟，后面几乎处处用得上。 变式1答案 A。，两根为 和 ，开口向上， 取中间，解集为 。 变式2答案 AD。A： 中 且开口向上，恒大于 ，解集为 ；B：，在 处等于 ，解集为 ，不是 ；C： 即 ， 开口向上恒正，无解；D： 中 且开口向上，恒大于 ，解集为 。故 AD。 变式3答案 A。 两边乘 变号得 ，即 ，两根 ，开口向上， 取中间且含端点，解集为 。 变式4答案 ，两根为 与 ，开口向上， 取中间。 当 时，解集为 ； 当 时，不等式为 ，无解，解集为 ； 当 时，解集为 。 变式5答案 ，两根为 与 。 当 时，不等式化为 ，即 ，解集为 。 当 时，开口向上， 取两边： 　若 （即 ），解集为 ； 　若 （即 ），不等式为 ，解集为 ； 　若 （即 ），解集为 。 当 时，开口向下， 取中间，且 ，解集为 。 变式6答案 A。，已知 即 ，两根 ，开口向上， 取两边且含端点，解集为 。 变式7答案 A。，三根为 ，数轴标根从右上方起笔：在 为正，在 为负，在 为正，在 为负。取正号区间得 。 变式8答案 A。 等价于 ，即 ，得 ，解集为 。 变式9答案 A。 即 ，临界点 ，且 。标根判断符号：在 为正，在 为负，在 为正，在 为负； 取负号区间并含使分子为 的点 ，挖掉 。解集为 。 变式10答案 A。解集为两根之间的开区间且是 ，说明开口向下（），两根为 。设二次式为 ，常数项为 ，得 ；由根和 ，得 。故 。 变式11答案 ABD。由解集 知根为 ，故 ，得 。A、B 正确；，C 错；开口向上， 取两边，即 ，D 正确。故 ABD。 变式12答案 A。解集 说明两根为 与 ，且由 根和 得 ，即 ，两根为 。由根积 得 。 变式13答案 B。，开口向上， 取两边且含端点，解集为 。 变式14答案 B。抛物线开口向下，与 轴交于 ，则 （图象在 轴下方）出现在两根之外，解集为 。 变式15答案 不等式 的解集为 ，且二次项系数 ，说明对应方程 的两根就是 和 ；二次函数 与 轴的交点坐标为 和 。 变式16答案 设 。两不相等负实根要求：判别式 ，得 或 ；两根之和 ，得 ；两根之积 （同号，结合和为负知均为负）。取交集得 ，即 。 变式17答案 A。设 ，开口向上。一根大于 、一根小于 等价于 ，即 ，得 。 变式18答案 设 ，开口向上。在 内恰有一实根，由连续函数零点存在定理，需 ： ，，故 ，得 。 当 时 ，根为 （不在开区间 内），舍去；当 时 ，根为 （不在开区间内），舍去。故 。 变式19答案 A。不等式 对一切 恒成立： 当 时化为 ，恒成立； 当 时，需开口向上 且判别式 ，即 ，得 。 合并得 ，即 。 变式20答案 A。，在 上最小值为 （当 时取到）。要恒有 ，需最小值 ，得 ，即 。 变式21答案 B。 有实数解，等价于二次函数最小值 。 最小值为 （当 时取到），需 ，即 ，得 或 。 变式22答案 B。在 上有解，即存在 使 ，等价于 对某个 成立。右侧 在 上最大值为 （当 ），故只需 ，即 。 变式23答案 A。在 上有解，即存在 使 ，等价于 对某个 成立。右侧 在 上最小值为 （当 ），故只需 ，即 。 变式24答案 日利润 。展开：，即 ，化为 。因式分解 ，得 。结合 且 为整数，得 内的整数。 变式25答案 A。设涨价 元（），售价 ，单件利润 ，日销量 ，利润 。展开：，即 ，化为 ，即 ，得 。售价 。 变式26答案 年利润 。要求不为负即 ，化为 。判别式 ，根为 。故 （结合实际产量取非负部分，因 ，区间有效）。 变式27答案 A。盈利即 ：，化为 ，即 ，得 ，解集为 。 检测卷答案 1 A。，两根 ，开口向上，取中间得 。 2 B。 等价于 且 ，得 ，即 。 3 A。解集 说明根为 ，，故 ，。 4 A。恒成立需 且 ，得 ；若 ，则 ，在 处为 ，不严格大于 ，故 。 5 A。根 ，开口向上， 取中间且含端点，解集 。 6 A。设 ，一根大于 、一根小于 等价于 ，即 ，得 。 7 ABD。A： 开口向上，恒正；B： 恒成立；C： 即 ， 开口向上恒正，无解；D： 开口向上，恒正。故 ABD。 8 ABC。由 解集为 （中间一段）知开口向下，（A 对）；端点即方程两根 （B 对）；开口向下时 取两边，即 （C 对）； 的解集应为 ，而 D 写成开区间 ，漏了端点，错。故 ABC。 9 。 标根取正号区间并含根： 与 。 10 （或 ）。恒成立需 ，得 。 11 ，两根为 与 。 当 时，解集为 ； 当 时，不等式为 ，无解，解集为 ； 当 时，解集为 。 12 日利润 。展开：，即 ，化为 。因式分解 ，得 。结合 且 为整数，定价 应取 内的整数。 学科网（北京）股份有限公司 $026-2027学年高一教学上册（人教4版2019）署假预习讲义 初中知识 高中应用 高中章节 二次函数图象、顶点 用图象判断方程根、不等式解集 必修第一册第二章 解一元二次方程 求根用于解不等式、研究根的分布 必修第一册第二章 解一元一次不等式 系统学习一元二次、分式、高次、 必修第一册第二章 绝对值不等式 三题型分类训陈 题型1解不含参的一元二次不等式 例1不等式x-5x+6>0的解集为 A.（2,3 B.（-0,2)U(3,+o) C(3,+o) D.（-00,2) 变式1不等式2x2-x-1≤0的解集为 a B,2 U[1,+o D.[-1,1] 变式2（多选）下列不等式的解集为R的是 A.x2+2x+3>0 B.x2-2x+1>0 C-x2+2x-3>0 D.2x2+4x+5>0 026-2027学年高一教学上（人教A版2019）暑假预司讲又 变式3不等式-x2+4x-3≥0的解集为 A.[1,3] B.(-o,1]U[3,+oo C(1,3) D.[1,3) 题型2解含参的一元二次不等式 例2解关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0。 变式4解关于x的不等式x2-(（m+2)x+2m<0。 变式5解关于x的不等式ax2-(a+2)x+2>0(a为实数参数)。 变式6不等式(x-a)(x-2)≥0在a<2时的解集为 A.(-o,a]U[2,+o) B.[a,2] 026-2027学年高一教学上册（人教4版2019）署假预司讲义 C(-∞，2]U[a,+o D.[2,a] 题型3解分式、高次、绝对值不等式 X-1>0的解集为 例3不等式X+2 A.（-2,1) B.(-o,-2)U(1,+0) C.(1,+o) D.(-0,-2） 变式7不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0的解集为 A.(1,2)U(3,+0o B.(-o,1U(2,3 C.(2,3 D.(3,+0o)】 变式8不等式|2x-1≤3的解集为 A.[-1,2】 B.[-2,1] c(-1,2) D.[-1,1] 026-2027学年高一教学上（人教A版2019）暑假预司讲义 变式9不等式X-3Y+2≤0的解华为 X-3 A.（-oo,1]U[2,3） B.[1,2]U(3,+∞ C.（-∞，1)U(2,3) D.[1,2] 题型4由一元二次不等式的解求参数 例4已知不等式x+ax+b<0的解集为(1,3)，则a+b= A.-1 B.1 C.-4 D.3 11 变式10已知不等式ax2+bx+2>0的解集为 2'3 则a+b= A.-14 B.14 C.-10 D.-2 变式11（多选）已知不等式x2+ax+b≤0的解集为[-2,4]，则 A.a=-2 B.b=-8 026-2027学年高一裁学上册（人教A版2019）署假预习讲义 C.a+b=-6 D.不等式x2+ax+b>0的解集为(-00，-2)U(4,+∞》 变式12若关于x的不等式x2-2x+c<0的解集为(m,m+4),则实数c= A.-3 B.3 C.-1 D.1 题型5三个”二次”关系的用 例5已知二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于(-1,0)和(3,0)两点。写出对应一元二次方程 的根，以及不等式-x+2x+3>0的解集，并说明三者关系。 变式13已知方程x2-5x+6=0的两根为x1=2,X2=3,则不等式x-5x+6≥0的解集为 A.[2,3] B.（-o,2]U[3,+o C.(2,3 D.（-o,2)U(3,∞) 026-2027学年高一教学上册（人教4版2019）署假预习讲义 变式14若二次函数y=ax+bx+c的图象开口向下，且与x轴的两个交点横坐标为-2和5，则不等式 ax+bx+c<0的解集为 A.（-2,5 B.(-0,-2)U(5,+∞ c[-2,5] D.（-o,-2]U[5,+o 变式15已知不等式2x2+mx+n<0的解集为(-1,4)，求对应一元二次方程2x2+mx+n=0的两根， 并写出二次函数y=2x2+mx+n的图象与x轴的交点坐标。 题型6一元二次不等式的根的分布情况 例6关于x的方程x2-（m-1)x+2=0有两个不相等的实根，且两根均大于1，求实数m的取值范围。 变式16关于x的方程x2+(m-1)x+1=0有两个不相等的负实根，求实数m的取值范围。 变式17关于x的方程x2-mx+2=0的一个根大于2，另一个根小于2，则实数m的取值范围是 A.m>3 B.m<3 C.m>4 D.m<4 026-2027学年高一教学上（人教A版2019）暑假预司讲又 变式18关于x的方程2x2-4x+m=0在区间(-1,1)内恰有一个实根，求实数m的取值范围。 题型7一元二次不等式的恒成立问题 例7若关于x的不等式x2+2x+a>0对一切X∈R恒成立，求实数a的取值范围。 变式19不等式ax+ax+1>0对一切实数X恒成立，则a的取值范围是 A.[0,4) B.(0,4) c.(0,4] D.[0,4] 变式20若不等式x2-2x+a≥0对一切x∈[-1,2]恒成立，则实数a的取值范围是 A.[1,+o B.(-00,1] C[2,+∞】 D.（-00,2] 026-2027学年高一裁学上册（人教A版2019）署假预习讲又 题型8一元二次不等式的有解问题 例8若关于x的不等式x2-2x+a<0有实数解，求实数a的取值范围。 变式21不等式x2+ax+1≤0有实数解，则实数a的取值范围是 A.[-2,2] B.(-∞，-2]U[2,+o) C(-2,2 D.(-0,-2)U(2,+∞ 变式22若不等式x2-4x+a≤0在x∈[0,3]上有解，则实数a的取值范围是 A.（-00,4) B.(-∞，4] C[4,+o D.(4,+0∞） 变式23若不等式x2-3x+2-a<0在x∈[0,2]上有解，则实数a的取值范围是 , D, 026-2027学年高一教学上（人教A版2019）暑假预司讲又 题型9一元二次不等式的实际应用 例9用长为0米的篱笆靠墙围一个矩形菜地（墙作为一边，不需篱笆），设垂直于墙的边长为x米，平 行于墙的边长为20-2x米。若菜地面积不小于48平方米，求x的取值范围。 变式24某商品每件成本50元，定价为x元时日销量为120-x件（设x为整数且50≤x≤120）。若要 求日利润不少于1200元，求x的取值范围。 变式25某商店将进货单价为8元的商品按10元一个售出时，每天可卖100个；若每涨价1元，每天少 卖10个。要使每天利润不低于320元，则售价应定在 A.[12,16] B.[14,18] c[12,18] D.[10,16] 变式26某厂生产一种产品，年产量x(单位：干件)与总成本C(万元)满足C=xX-10x+30,销售 单价为每干件8万元时全部售完。若要求年利润不为负，求年产量X的取值范围。 026-2027学年高一裁学上册（人教A版2019）署假预习讲义 变式27某产品利润（万元）与产量x(百台)满足L=-2x+12x-16。若要求盈利（利润为正），则 x的取值范围是 A.（2,4) B.(0,2)U(4,+∞) c[2,4] D.(1,5 【四、界盟哈测省 巩固检测卷 (一)单项选择题 1.不等式2x2-3x-2<0的解集为 22 B-0, 2u(2,+o0 1 c-2 D.-oo,-2U月 2不等式X50的解集为 x+1 A.[-1,2] B.（-1,2] C(-0,-1)U[2,+0) D.[-1,2) 026-2027学年高一教学上册（人教4版2019）署假预习讲义 3.已知不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2)，则a+b= A.-1 B.1 C.-3 D.2 4.若关于x的不等式ax+4x+1>0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是 A.a>4 B.a≥4 C.a>0 D.0<a<4 5.二次函数y=x2-4x+3的图象与x轴的交点横坐标为1和3，则不等式x2-4x+3≤0的解集 为 A.[1,3] B.（-0o,1]U[3,+00) C(1,3) D.（-0,1)U(3,+0】 6.关于x的方程x2-mx+3=0有两个不相等的实根，且一个根大于1，另一个根小于1，则m的 取值范围是 A.m>4 B.m<4 C.m>2 D.m<2 (二)多项选择题 7.下列不等式中，解集为R的是 A.x2-2x+3>0 B.x2+1>0 C.-x2+2x-3>0 D.2x2-4x+5>0 8.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,2)，则下列说法正确的是 A.a<0 B.方程ax2+bx+c=0的两根为-1和2 026-2027学年高一教学上躲（人教A版2019）署假预司讲义 C.不等式ax+bx+c<0的解集为(-o,-1)U(2,+∞) D.不等式ax2+bx+c≥0的解集为(-1,2) (三)填空题 9.不等式(x-1)(x-2)(x-3)20的解集为一。 10.若关于X的不等式x2-2x+m>0对一切X∈R恒成立，则实数m的取值范围是。 (四)解答题 11.解关于x的不等式x2-(a+2)x+2a<0。 12.某商店销售一种商品，每件成本20元。若定价x元(X为整数，20≤x≤60)，日销量为 100-2x件。若要日利润不低于400元，求x的取值范围。 方法 适用场景 关键步骤 解不含参二次不等式 给定具体系数 求根→定开口→取区间 含参不等式讨论 系数含宇母 判a=0→开口一△→根大小 三个”二次”互译 已知图象/根/解集之一 交点横坐标即根；上方即>0，下方 即<0 分式化乘积 分式不等式 乘转化为f(x)g(x)符号，挖分母 零点 高次标根 三个及以上一次因式乘积 从右上方起笔，奇穿偶回 恒成立 对所有X成立 求最值，令最小值>0（或≥0） 有解 存在X成立 求最值，令最小值<0（或最大值 >0) 根的分布 根的位置受限 △、对称轴、fk)符号联立