2.2.1 有理数的乘法（分层作业练题型）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 该同步练习通过A、B、C组及拓展的分层设计，实现从有理数乘法基础运算到综合应用的进阶，培养运算能力与推理意识，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|两个/多个有理数乘法、运算律、倒数、实际应用|基础题型为主，结合阶段检测题，强化概念理解与基本运算| |B组|多个有理数综合运算、新定义运算、实际问题复杂计算|含跨情境应用题（如机器人行走、土豆质量），培养模型意识| |C组|差倒数循环、直升机高度变化等综合问题|设置规律探究题，提升推理能力，衔接高阶思维| |拓展|中考真题再现（倒数、比例问题）|直接对接中考考点，强化应试能力|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.2.1有理数的乘法 参考答案 A组 巩固过关 题型一、两个有理数的乘法运算 1.D 2.D 3.C 4 5.1 6.(1)1(21(3)1(4-1 (1)解.（-8)x(-0.125)-1 (2)解：5 x1=4x3=1 4541 (3)解： ((-1 4.〔》)- 题型二、多个有理数的乘法运算 1.A 9 2.(①四-82)6 1/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ). =-3× 591 654: 、9 8 (5)6( =5x6 =6 3.(①)6(2)-83)4 1)解.025x84) =(025(-408 ( =- 69 (2)解：(-8)x(-6)x(-05)x对 =48x(-05列写 =-24×3 1 =-8. 2导+子司 =(-24x号引+(-240x+(-24x司 2/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =16-18-2 =-4 4.(1)2.5②)-153)4④5 (1)解：（2x5x(-0.25) =-10×(-0.25) =2.5: (2)解： 100×15×(-0.01) =1500×(-0.01) =-15: 〔 引 =30×30 2 =15-10 =5」 81 31 5.(1)2(2)-33)84-20 (1)解： 125x0x(- =1.25x(-8)x 2 3/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 81 29 ②解.((o8 [-*对[-o8别 =（-3)×1 =-3； ®#号 （(-+g（ =6- 5,3 28 73 一十 2'8 31 Γ8： (4解(9+(-15) -8*[-9+(-1s =-20 题型三、有理数乘法运算律 1.D 2.-66 4/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解引6》》 22 7 (-7+26+2) 、2 *21 =-66 5 3.(35002)03)18④-24 -35×12.5×(-8) (1)解： =-35x[12.5×(-8)] =-35×(-100) =3500: 2.(80o2s) =0 （ 品 (31_1x(-60) (4)解： (5210 =-60×3-60×+60×7 1 5 2 10 5/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-36-30+42 =-24 4.(1)-9(2)-0.83)-25(4)1 山)解，35x(-x号 =3.5×2x(-9) =1×(-9) ag〔(a -2引 =-0.8； 影得-网 =写(-36)-吾(-30)+x(-36) =-28+30-27 =-25: =1×1 =1. 5.四39a0 6/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)-3949 x10 50 解：原式40+x10 50 =-400+1 =-39g4 : 2,4(37}-)7 解：医武=774-54刊 =-377x0 111 =0； 6.(1)我认为小数的解法比较简便：理由是她把带分数拆成了一个整数与真分数的和，运用了乘法分配律 简化了计算过程 ②)-2992 8 (1)解：我认为小舒的解法比较简便；理由是她把带分数拆成了一个整数与真分数的和，运用了乘法分 配律简化了计算过程 947 ×6=- (2)解： 48 30-6=30x6-*0-(30-司-29号 题型四、有理数乘法的实际应用 1.B 2.无人车本周实际向快递超市配送4230件快递 3.(1)30.35千克：(2)910.5元 （山)解：-3×1+(-2)x3+(-1.5)x4+0x3+2×3+2.5×4+3×2 7/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-3-6-6+0+6+10+6 =7(千克)， “20袋士豆的实际总质量为20×30+7=600+7=607（千克）， ∴平均质量为607÷20=30.35（千克）. (2)解：总费用为607×1.5=910.5（元）， 答：买这20袋土豆共需910.5元 4.(1)机器人在点A向东41m处(2)机器人共计耗电12.88度 题型五、倒数 1.B 2.10 3 3. a+b=0 ab=1 4.-4 1 5.2 6.-2025 -4 -2 4 ⑦.在数轴上表示：二5 0 1424 解：4的相反数：-4； 4的倒数：-4： 绝对值等于2的数：±2， 在数轴上表示：略 用“<”将所有数连接起来为4<-2<-<2<4 4 B组 能力进阶 0 1.C 8/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：A.若b>0,则bd>0不一定正确，如：a=-3,b=-2,d=3: B.若aC>0,则bd>0不一定正确，如：a=-3,b=-2,c=-1,d=3; C.若bc<0,则a<b<0<c<d,则ad<0,正确： D.若cd<0,则ab<0不-定正确，如：a=-3,b=-2,c=-l,d=3: 故选C. 2.A 3.B 4.C 5.D 解：A、表示的十进制数为2×12+5=29，故不符合题意： B、表示的十进制数为3×12+9=45，故不符合题意： C、表示的十进制数为3×12+8=44，故不符合题意： D、表示的十进制数为4×12+7=55，故符合题意： 故选：D 6.103545 5⊕4⊕2=5×4×10000+5×2×100+5×(2+4)=201030 解： 8⊕3⊕1=8×3×10000+8×1×100+8×(3+1)=240832 9©2©4=9×2×10000+9×4×100+9×(2+4)=183654 5⊕2⊕7=5×2×10000+5×7×100+5×(2+7)=103545 故答案为：103545. 7.1 解：由题意得： 2025x×1-}1写}1-4}203 9/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 123 2024 =2025×二×2×2×…× 234 2025 =1(厘米)： 故答案为1. 8.20 -2 解：：5+(4)+(-8)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4=-10 又，除甲以外，其余每位同学拿到的卡片数字之和为： 1+(-8)+2+4=-1 -10-（-1)=-9 .甲拿到的两张卡片的数字之和为： 观察10个数字可知：4+(-5)=-9-8+（←1）=-9 如果甲拿到的两张卡片为8，-1，那么剩余的8张卡片上不可能存在两张卡片上的数字和为8，而丙抽 到的两张卡片上的数字的和为-8， ∴甲拿到的两张卡片分别为-4，-5，丙抽到的两张卡片分别为-8,0， 二甲拿的两张卡片上的数字之积为4×(5)=20， ,戊抽到的两张卡片数字和为4，而剩余6张卡片中，只有1+3=4， ∴戊抽到的两张卡片分别为1,3， :4+(-2)=22+(-1)=1 ∴.丁抽到的两张卡片为4，一2，乙抽到的两张卡片为2，-1， ×(-1)=-2 ,乙抽到的两张卡片上的数字之积为 故答案为：20-2， 9.(1)C;(2)-1298 (1)解：她们运用的运算律是乘法对加法的分配律， 故选：C; (2)解：99x ×(-13) 13 10/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -o-)(15) =10x(←1)-3x(-13) =-1300+2 =-1298」 10.-144」 =(-6)×24 =-144 11.(1)分配(2)二(3) 得6》 =12x号-12+68 =8-9+6*6 =-1+6×6 =-1+36 =35. (1)解：由解题过程可知，第一步运用了乘法分配律； (2)解：由解题过程可知，第二步开始出错了，错误原因是除号后面不能使用分配律去括号： (3)略 C组 思维拔高 11/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 X2= (1)根据题意得： 71 1- 4= 13 11: 3 4 ’43 （3**4=1 1 3 (2)解： (3)解：由(1)知，该数列循环周期为3，所以2024÷3=6742， 则5（引子4》4》子4》 = 2.(1)上方 (2)到初始悬停位置的最远距离是4.2千米 (3)直升机A一共消耗了43.6升燃油： (4)表格中“？”代表的数据是-0.6 (1)解：+4.2-2.3+1.5-0.9+1.1=6.8-3.2=3.6（千米）， 答：直升机A在完成这5个动作之后，处在初始悬停位置的上方： 故答案为：上方； (2)解：根据题意知直升机A在表演过程中，到初始悬停位置的最远距离是4.2千米， 答：到初始悬停位置的最远距离是4.2千米： 63)解，42+15+1)k5+-23+-09k3=486(升)， ∴.直升机A一共消耗了43.6升燃油： (4)解：+4.2-2.3+1.5-0.9+1.1=6.8-3.2=3.6（千米） 3.8-2.5+4.7-1.8=4.2 .4.2-3.6=0.6(千米)， ∴表格中“？”代表的数据是0.6 1 3.7 12/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11111 111111 解：设23456)为A, 2345'67为B, =(1+A)B-(（1+B)A 则原式 =B+AB-A-AB =B-A 十 为 拓展 衔接中考 0 1.A 2.C 3.C 4.-2 13/13 分层作业 2.2.1 有理数的乘法 说明：ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 ★温馨提示：将鼠标拖动至题型文字上方，按住Ctrl并单击鼠标左键可直接跳转至对应题型哟~★ 目 录 A组 巩固过关 2 题型一、两个有理数的乘法运算 2 题型二、多个有理数的乘法运算 4 题型三、有理数乘法运算律 9 题型四、有理数乘法的实际应用 13 题型五、倒数 15 B组 能力进阶 18 C组 思维拔高 25 拓展 衔接中考 28 A组 巩固过关 题型一、两个有理数的乘法运算 1．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）下列变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法运算律逐个判断求解即可． 【详解】解：A、，运用乘法的交换律，选项正确，不符合题意； B、，运用乘法的交换律，选项正确，不符合题意； C、，运用乘法的分配律，选项正确，不符合题意； D、． ∴原变形错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数的乘法运算律，解题的关键是熟练掌握有理数的乘法运算律．乘法分配律：a(b+c)=ab+ac乘法结合律：ab+ac=a(b+c)；乘法交换律：ab=ba． 2．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）已知，，且，则的值是（   ） A．3或 B．7或 C．或 D．10或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数的加法，有理数的乘法． 根据绝对值的定义可知，，结合，筛选出满足条件的a和b的值，再计算的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴或， 当时，； 当时，； ∴的值为10或． 故选：D． 3．（25-26七年级上·山西吕梁·阶段检测）如果两个有理数x，y满足，且，那么下列说法正确的是（   ） A．x，y都是正数 B．x，y都是负数 C．x，y中一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．x，y中一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法法则和乘法法则；由可知x和y异号，即一个正数一个负数；再由可知正数的绝对值大于负数的绝对值． 【详解】解：， ∴ x 和 y 异号，即一个为正数，一个为负数，故选项A、B错误， ，且一个正数一个负数， ∴ 正数的绝对值大于负数的绝对值，故选项C正确，选项D错误． 故选：C． 4．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）计算：____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，掌握有理数的乘法运算法则并正确计算是解题的关键． 根据有理数的乘法运算法则计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法法则，两个负数相乘结果为正数，再计算绝对值相乘. 【详解】解： 故答案为：． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型二、多个有理数的乘法运算 1．（25-26七年级上·河北衡水·期末）四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法的符号法则，根据“”的个数，奇负偶正，得到被污染的有理数是一个负数，进行判断即可． 【详解】解：∵四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，积为负数， ∴被污染的有理数是一个负数；故满足题意的只有A选项； 故选：A． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正”． （1）根据有理数乘法法则求解即可； （2）根据有理数乘法法则求解即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． ． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据乘法交换律，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)5 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （4）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据乘法交换律简化计算即可； （2）根据乘法交换律和结合律简化计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型三、有理数乘法运算律 1．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）某同学在计算时，将原式变形为进行简便运算，这样做的依据是（   ） A．乘法交换律 B．乘法对加法的分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 【答案】D 【分析】本题考查了乘法运算律，根据原式变形为，利用了乘法的交换律和结合律，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴运算依据是乘法交换律和结合律， 故选：D． 2．（25-26七年级上·吉林松原·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，观察式子，运用有理数的乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 3．（25-26七年级上·湖南永州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则以及运算律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）根据乘法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）阅读下面解题过程． 例：； 例：； 请你参考上面的例题，用运算律进行简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟悉掌握简便运算的方法是解题的关键． （1）转化为，再利用乘法分配率运算求解即可； （2）利用乘法分配率运算求解即可． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ； 6．（25-26七年级上·河南南阳·期中）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又对又快． 下面是两位同学给出的不同解法． 小亮：原式 小舒：原式． (1)以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？理由是什么？ (2)请你用简便方法计算． 【答案】(1)我认为小数的解法比较简便；理由是她把带分数拆成了一个整数与真分数的和，运用了乘法分配律简化了计算过程 (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算； （1）根据题意，说明理由即可； （2）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：我认为小舒的解法比较简便；理由是她把带分数拆成了一个整数与真分数的和，运用了乘法分配律简化了计算过程． （2）解： 题型四、有理数乘法的实际应用 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）水文观测中，常遇到水位上升或下降的问题．我们规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．如果水位每天下降，今天的水位为，那么2天后的水位用算式表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘法，正数与负数，以及有理数的减法，根据题中的规定，列出正确的算式即可． 【详解】解：根据题意：2天后的水位用算式表示：． 故选：B． 2．（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）无人车负责向某小区快递超市配送快递，计划平均每天配送600件快递，实际每天的配送量与计划量有出入，下表是该无人车2026年1月第一周的配送情况（超过计划量记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 配送情况（单位：件） 0 请问该无人车本周（7天）实际向快递超市配送多少件快递？ 【答案】无人车本周实际向快递超市配送4230件快递 【分析】本题考查了有理数的混合运算及正负数的应用，先计算第一周的实际每天的配送量和计划量的总体变化，再由第一周计划配送快递总数加上总体变化数即可得到第一周实际配送快递件数． 【详解】解：由题意得： ， （件）， 即无人车本周实际向快递超市配送4230件快递． 3．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）某校学生食堂要购进袋土豆，以每袋千克为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录(单位：千克)如下： 每袋与标准质量的差 0 2 3 袋数 1 3 4 3 3 4 2 (1)求这袋土豆的平均质量是多少？ (2)若土豆每千克的售价为元，求买这袋土豆共需多少钱？ 【答案】(1)千克； (2)元 【分析】（1）先计算袋土豆与标准质量的差值总和，再结合标准总质量求出实际总质量，最后除以袋数得到平均质量； （2）利用“总价=总质量×单价”的数量关系，代入数据计算即可． 【详解】（1）解： (千克)， 20袋土豆的实际总质量为(千克)， 平均质量为(千克)． （2）解：总费用为(元)， 答：买这袋土豆共需元． 4．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）我国的机器人技术发展迅速，某实验室对一款机器人进行测试．现让机器人在一条东西走向的路上从点A处开始行走（规定向东为正方向，向西为负方向，单位：m），经过测试，得到下表实验数据： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 (1)5次行走结束后，机器人停在何处? (2)如果机器人行走每米耗电0.08度，在这次测试中，机器人共耗电多少度? 【答案】(1)机器人在点A向东41m处 (2)机器人共计耗电度 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数加减法的应用及有理数乘法的应用． （1）将表格中所给的有理数相加，即可解答； （2）将表格中所给数据的绝对值相加再即可解决问题． 【详解】（1）解：， 答：机器人在点A向东处； （2）解：， （度）． 答：机器人共计耗电度． 题型五、倒数 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．绝对值一定是正数 B．相反数等于本身的数只有 C．倒数等于本身的数只有 D．负数的绝对值小于本身 【答案】B 【分析】本题根据绝对值、相反数、倒数的基本概念，逐一判断各选项正误即可． 【详解】解：对于A，的绝对值是，不是正数，故A错误，不符合题意； 对于B，若一个数的相反数等于它本身，满足，解得，相反数等于本身的数只有，故B正确，符合题意； 对于C，倒数等于本身的数有和，故C错误，不符合题意； 对于D，负数的绝对值是它的相反数，为正数，正数大于负数，因此负数的绝对值大于它本身，故D错误，不符合题意． 2．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）的相反数是__________；的绝对值是__________；的倒数__________． 【答案】 // / 【分析】根据相反数、绝对值、倒数的定义，分别对三个数进行计算求解即可． 【详解】解：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，可得的相反数是； 根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，可得； 将化为分数得，根据倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数， 可得，即的倒数是． 3．（25-26七年级上·江苏南京·期末）当a，b满足___________，a，b互为相反数；当a，b满足___________，a，b互为倒数． 【答案】 【详解】解：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两个数和为，因此当，满足，，互为相反数． 根据倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数，因此当，满足，，互为倒数． 4．的倒数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值和倒数的定义，熟练掌握绝对值的化简和倒数的求法是解题的关键．先根据绝对值的性质化简式子，再求其倒数． 【详解】解： 因为的倒数是， 所以的倒数是． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）已知的倒数是，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查倒数，有理数的加法运算，根据积为1的两个数互为倒数，求出，再根据有理数的加法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵的倒数是， ∴， ∴， 故答案为:． 6．（25-26七年级上·江西抚州·期末）已知互为相反数，互为倒数，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查相反数和倒数，根据相反数和倒数的定义，得到，再根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故答案为：． 7．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）在数轴上表示和它的相反数，和它的倒数，绝对值等于的数，再用 “” 将所有数连接起来． 【答案】在数轴上表示：， 【详解】解：4的相反数：； 的倒数：； 绝对值等于的数：， 在数轴上表示：略 用 “” 将所有数连接起来为． B组 能力进阶 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知有理数a、b、c、d满足，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟记同号得正、异号得负是解题的关键．根据有理数的乘法，同号得正、异号得负对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．若，则不一定正确，如：； B．若，则不一定正确，如：； C．若，则，则，正确； D．若，则不一定正确，如：； 故选C． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）从，，，7，5，a（，且a为整数）这6个数中取其中3个不同的数作为因数，则它们积的最小值为（   ） A． B． C．168 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．根据有理数的乘法解决此题． 【详解】解：∵要使它们积的最小， ∴要取奇数个负数，且绝对值尽可能的大， ∴取，7，5， ∴积的最小值为． 故选A． 3．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第3个台阶上依次标着，且任意相邻三个台阶上数的积都相等．下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：从下到上前2022个台阶上的数的积是； 结论Ⅱ：数“”所在的台阶数用正整数k表示为 A．Ⅰ对Ⅱ错 B．Ⅰ错Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都错 【答案】B 【分析】由任意相邻三个台阶上数的积都相等，且，，可判断从下到上前2022个台阶上的数的积是个相乘，于是可判断结论Ⅰ；由数在第3个台阶、第6个台阶、第9个台阶找到规律即可判断结论Ⅱ. 【详解】因为任意相邻三个台阶上数的积都相等，且，， 所以从下到上前2022个台阶上的数的积是1； 故结论Ⅰ错误； 由题意，数在第3个台阶、第6个台阶、第9个台阶……， 所以数“”所在的台阶数用正整数k表示为； 故结论Ⅱ正确； 故选：B. 【点睛】本题考查了有理数的运算和探寻规律，仔细分析、找到规律是解题的关键. 4．（25-26七年级上·湖北随州·期末）明代《算法统宗》一书将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数46写在方格上面，乘数75写在方格右面，然后用乘数46的每位数字乘以乘数75的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来（满十进一），即得3450，如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘的结果为2176，则a和m的值可能为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了“铺地锦”乘法计算方法的理解与应用，解题的关键是根据斜行相加的进位规则，结合乘积2176的各位数字，通过代入选项验证确定和的可能值． 根据“铺地锦”规则，结果2176的十位数字为，结合图中格子数字和的位置关系，可得的个位数字为，即（舍去，选项无此答案）或结合进位分析，十位斜行相加为；同时千位和百位的数字组合需满足21的结果，结合选项中的取值，代入验证的合理性． 【详解】解：由“铺地锦”计算规则，结果2176的十位数字为，对应图中十位斜行相加的结果个位为，即的个位为（或含进位情况）． 逐一分析选项： A、，，，此选项不符合题意； B、，，，此选项不符合题意； C、，，结合进位规则，（十位斜行），符合2176的数字特征，此选项符合题意； D、，，，此选项不符合题意． 故选：C． 5．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）古巴比伦使用的60进制与他们独特的计数方式有关．如图，右手4根手指的12个指关节表示，左手的五根手指表示倍．如左手伸出1根手指，右手掐住第6指关节时，表示的十进制数字是．现有十进制数55用古巴比伦使用的60进制计数方式正确的是（   ） A．左手伸出2根手指，右手掐住第5指关节 B．左手伸出3根手指，右手掐住第9指关节 C．左手伸出3根手指，右手掐住第8指关节 D．左手伸出4根手指，右手掐住第7指关节 【答案】D 【分析】该题主要考查了有理数的四则混合计算，根据题意用左手的手指数乘以12加上右手的关节数字即求解判断即可． 【详解】解：A、表示的十进制数为，故不符合题意； B、表示的十进制数为，故不符合题意； C、表示的十进制数为，故不符合题意； D、表示的十进制数为，故符合题意； 故选：D． 6．（25-26六年级上·山东烟台·期末）某校园餐厅把密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了餐厅的网络，那么他输入的密码是___________． 【答案】103545 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，仔细观察题目所给式子，总结出一般规律，即可解答． 【详解】解：； ； ， ∴， 故答案为：103545． 7．（24-25七年级上·河南南阳·期中）一根长为2025厘米的塑料管，第1次截去全长的，第2次截去剩下的，第3次截去剩下的，如此下去，直到第2024次截去剩下的，则最后剩下的塑料管长为________厘米． 【答案】1 【分析】本题主要考查有理数的运算，解题的关键是理解题意；由题意得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得： （厘米）； 故答案为1． 8．（24-25七年级上·重庆渝中·期末）王老师将，，，，，，，，，分别写在十张不透明的卡片上，打乱卡片的顺序后，随机发给五位同学各两张卡片．除甲以外，其余每位同学把自己拿到的两张卡片上的数字之和写在黑板上，结果如表所示，则甲拿的两张卡片上的数字之积为________，乙拿的两张卡片上的数字之积为________．    【答案】 20 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，有理数乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．先根据10个数字的和为，除甲之外的8张卡片数字之和为，求出甲抽到的两张卡片数字之和为，根据丙抽到的两张卡片上数字之和为，推理得出甲拿到的两张卡片分别为，，丙抽到的两张卡片分别为，0，根据戊抽到的两张卡片数字和为4，而剩余6张卡片中，只有，得出戊抽到的两张卡片分别为1，3，然后推理得出乙、丁抽到的两张卡片上的数字，最后求出结果即可． 【详解】解：∵， 又∵除甲以外，其余每位同学拿到的卡片数字之和为： ， ∴甲拿到的两张卡片的数字之和为：， 观察10个数字可知：，， 如果甲拿到的两张卡片为，，那么剩余的8张卡片上不可能存在两张卡片上的数字和为，而丙抽到的两张卡片上的数字的和为， ∴甲拿到的两张卡片分别为，，丙抽到的两张卡片分别为，0， ∴甲拿的两张卡片上的数字之积为； ∵戊抽到的两张卡片数字和为4，而剩余6张卡片中，只有， ∴戊抽到的两张卡片分别为1，3， ∵，， ∴丁抽到的两张卡片为4，，乙抽到的两张卡片为2，， ∴乙抽到的两张卡片上的数字之积为． 故答案为：20；． 9．（25-26七年级上·河北保定·期末）学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． (1)淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是（     ） A．乘法交换律        B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律    D．加法结合律 (2)请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 【答案】(1)C (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法运算律，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据乘法对加法的分配律进行求解即可； （2）利用拆项法和乘法对加法的分配律，进行计算即可． 【详解】（1）解：她们运用的运算律是乘法对加法的分配律， 故选：C； （2）解： ． 10．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）对于有理数a、b、c，定义一种新运算：．例如：．求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了新定义运算与有理数的混合运算，熟练掌握新运算的规则并准确进行有理数的加减运算是解题的关键．先根据新运算的定义，分别计算两个三角形对应的运算结果，再将结果相乘． 【详解】 解： ． 11．（25-26七年级上·福建福州·期中）小丽同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 根据小丽的计算过程，回答下列问题： (1)小丽在进行第一步时，运用了乘法的______律； (2)她在计算中出现了错误，其中你认为在第______步开始出错了； (3)请你给出正确的解答过程． 【答案】(1)分配 (2)二 (3) 解： ． 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据乘法分配律可得答案； （2）除法没有分配律，据此可得答案； （3）先利用乘法分配律展开，然后计算括号内的减法，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：由解题过程可知，第一步运用了乘法分配律； （2）解：由解题过程可知，第二步开始出错了，错误原因是除号后面不能使用分配律去括号； （3）略 C组 思维拔高 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数．2的差倒数为，－1的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推． (1)______；______；______； (2)计算的值； (3)计算的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，探究出规律并用规律去解决问题是解答本题的关键． （1）按照差倒数的定义进行运算即可； （2）将（1）中的数据代入计算即可； （3）根据三个一循环，共有674个相乘再乘，再乘以即可． 【详解】（1）根据题意得：，，； （2）解：； （3）解：由（1）知，该数列循环周期为3，所以， 则 ． 2．（24-25七年级上·河南郑州·阶段检测）在一次航展期间，表演刚开始时，直升机A，B分别悬停在同一高度，表演过程中两直升机的连续高度变化如下表（单位：千米；规定：上升为正，下降为负）． 动作1 动作2 动作3 动作4 动作5 直升机A 直升机B (1)直升机A在完成这5个动作之后，处在初始悬停位置的______；（填“上方”或“下方”） (2)直升机A在表演过程中，求到初始悬停位置的最远距离？ (3)直升机A每上升1千米消耗5升燃油，每下降1千米消耗3升燃油，求直升机A在这5个动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ (4)若直升机A和直升机B完成5个动作后的高度相同，直接写出表格中“？”代表的数据． 【答案】(1)上方 (2)到初始悬停位置的最远距离是千米 (3)直升机一共消耗了升燃油； (4)表格中“？”代表的数据是． 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，正负数，理解题意，正确列出算式是解题的关键． （1）根据题意列式计算，结果若为正，则处在初始悬停位置的上方，否则在下方； （2）根据题意可直接得出答案； （3）分别计算出上升和下降的高度再乘以相应的油耗即可； （4）分别计算出直升机和直升机的高度，再比较大小作差即可． 【详解】（1）解：（千米）， 答：直升机A在完成这5个动作之后，处在初始悬停位置的上方； 故答案为：上方； （2）解：根据题意知直升机A在表演过程中，到初始悬停位置的最远距离是千米， 答：到初始悬停位置的最远距离是千米； （3）解：（升）， ∴直升机一共消耗了升燃油； （4）解：（千米） ∴（千米）， ∴表格中“？”代表的数据是． 3．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式． 请用上面的方法计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握阅读理解中的解题方法是解本题的关键． 根据题意设为A，为B，原式变形后计算即可求出值． 【详解】解：设为A，为B， 则原式 ． 拓展 衔接中考 1．2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 2．下列有理数中，没有倒数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵乘以任何数都等于，不可能等于， ∴不存在倒数． 3．嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色．如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类．用红色颜料和黄色颜料调配出的颜色属于（     ） A．①类 B．②类 C．③类 D．④类 【答案】C 【分析】先求出调配出的颜料总质量，再计算红色颜料的占比，最后结合数轴上的分类范围进行判断． 【详解】解：∵红色颜料质量为，黄色颜料质量为 ∴调配出的颜料总质量为 ∴红色颜料的占比为 ∵ ∴该颜色属于③类 ． 4．有理数的倒数为_____________． 【答案】 【详解】解：有理数的倒数为． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.2.1 有理数的乘法 说明：ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 ★温馨提示：将鼠标拖动至题型文字上方，按住Ctrl并单击鼠标左键可直接跳转至对应题型哟~★ 目 录 A组 巩固过关 2 题型一、两个有理数的乘法运算 2 题型二、多个有理数的乘法运算 4 题型三、有理数乘法运算律 9 题型四、有理数乘法的实际应用 13 题型五、倒数 15 B组 能力进阶 18 C组 思维拔高 25 拓展 衔接中考 28 A组 巩固过关 题型一、两个有理数的乘法运算 1．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）下列变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）已知，，且，则的值是（   ） A．3或 B．7或 C．或 D．10或 3．（25-26七年级上·山西吕梁·阶段检测）如果两个有理数x，y满足，且，那么下列说法正确的是（   ） A．x，y都是正数 B．x，y都是负数 C．x，y中一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．x，y中一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 4．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）计算：____． 5．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）计算：______． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二、多个有理数的乘法运算 1．（25-26七年级上·河北衡水·期末）四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 2．计算： (1)； (2)． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三、有理数乘法运算律 1．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）某同学在计算时，将原式变形为进行简便运算，这样做的依据是（   ） A．乘法交换律 B．乘法对加法的分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 2．（25-26七年级上·吉林松原·期中）用简便方法计算：． 3．（25-26七年级上·湖南永州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）阅读下面解题过程． 例：； 例：； 请你参考上面的例题，用运算律进行简便计算： (1)； (2)． 6．（25-26七年级上·河南南阳·期中）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又对又快． 下面是两位同学给出的不同解法． 小亮：原式 小舒：原式． (1)以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？理由是什么？ (2)请你用简便方法计算． 题型四、有理数乘法的实际应用 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）水文观测中，常遇到水位上升或下降的问题．我们规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．如果水位每天下降，今天的水位为，那么2天后的水位用算式表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）无人车负责向某小区快递超市配送快递，计划平均每天配送600件快递，实际每天的配送量与计划量有出入，下表是该无人车2026年1月第一周的配送情况（超过计划量记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 配送情况（单位：件） 0 请问该无人车本周（7天）实际向快递超市配送多少件快递？ 3．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）某校学生食堂要购进袋土豆，以每袋千克为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录(单位：千克)如下： 每袋与标准质量的差 0 2 3 袋数 1 3 4 3 3 4 2 (1)求这袋土豆的平均质量是多少？ (2)若土豆每千克的售价为元，求买这袋土豆共需多少钱？ 4．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）我国的机器人技术发展迅速，某实验室对一款机器人进行测试．现让机器人在一条东西走向的路上从点A处开始行走（规定向东为正方向，向西为负方向，单位：m），经过测试，得到下表实验数据： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 (1)5次行走结束后，机器人停在何处? (2)如果机器人行走每米耗电0.08度，在这次测试中，机器人共耗电多少度? 题型五、倒数 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．绝对值一定是正数 B．相反数等于本身的数只有 C．倒数等于本身的数只有 D．负数的绝对值小于本身 2．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）的相反数是__________；的绝对值是__________；的倒数__________． 3．（25-26七年级上·江苏南京·期末）当a，b满足___________，a，b互为相反数；当a，b满足___________，a，b互为倒数． 4．的倒数是______． 5．（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）已知的倒数是，则的值是______． 6．（25-26七年级上·江西抚州·期末）已知互为相反数，互为倒数，则的值为________． 7．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）在数轴上表示和它的相反数，和它的倒数，绝对值等于的数，再用 “” 将所有数连接起来． B组 能力进阶 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知有理数a、b、c、d满足，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）从，，，7，5，a（，且a为整数）这6个数中取其中3个不同的数作为因数，则它们积的最小值为（   ） A． B． C．168 D．无法确定 3．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第3个台阶上依次标着，且任意相邻三个台阶上数的积都相等．下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：从下到上前2022个台阶上的数的积是； 结论Ⅱ：数“”所在的台阶数用正整数k表示为 A．Ⅰ对Ⅱ错 B．Ⅰ错Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都错 4．（25-26七年级上·湖北随州·期末）明代《算法统宗》一书将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数46写在方格上面，乘数75写在方格右面，然后用乘数46的每位数字乘以乘数75的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来（满十进一），即得3450，如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘的结果为2176，则a和m的值可能为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）古巴比伦使用的60进制与他们独特的计数方式有关．如图，右手4根手指的12个指关节表示，左手的五根手指表示倍．如左手伸出1根手指，右手掐住第6指关节时，表示的十进制数字是．现有十进制数55用古巴比伦使用的60进制计数方式正确的是（   ） A．左手伸出2根手指，右手掐住第5指关节 B．左手伸出3根手指，右手掐住第9指关节 C．左手伸出3根手指，右手掐住第8指关节 D．左手伸出4根手指，右手掐住第7指关节 6．（25-26六年级上·山东烟台·期末）某校园餐厅把密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了餐厅的网络，那么他输入的密码是___________． 7．（24-25七年级上·河南南阳·期中）一根长为2025厘米的塑料管，第1次截去全长的，第2次截去剩下的，第3次截去剩下的，如此下去，直到第2024次截去剩下的，则最后剩下的塑料管长为________厘米． 8．（24-25七年级上·重庆渝中·期末）王老师将，，，，，，，，，分别写在十张不透明的卡片上，打乱卡片的顺序后，随机发给五位同学各两张卡片．除甲以外，其余每位同学把自己拿到的两张卡片上的数字之和写在黑板上，结果如表所示，则甲拿的两张卡片上的数字之积为________，乙拿的两张卡片上的数字之积为________．    9．（25-26七年级上·河北保定·期末）学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． (1)淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是（     ） A．乘法交换律        B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律    D．加法结合律 (2)请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 10．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）对于有理数a、b、c，定义一种新运算：．例如：．求的值． 11．（25-26七年级上·福建福州·期中）小丽同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 根据小丽的计算过程，回答下列问题： (1)小丽在进行第一步时，运用了乘法的______律； (2)她在计算中出现了错误，其中你认为在第______步开始出错了； (3)请你给出正确的解答过程． C组 思维拔高 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数．2的差倒数为，－1的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推． (1)______；______；______； (2)计算的值； (3)计算的值． 2．（24-25七年级上·河南郑州·阶段检测）在一次航展期间，表演刚开始时，直升机A，B分别悬停在同一高度，表演过程中两直升机的连续高度变化如下表（单位：千米；规定：上升为正，下降为负）． 动作1 动作2 动作3 动作4 动作5 直升机A 直升机B (1)直升机A在完成这5个动作之后，处在初始悬停位置的______；（填“上方”或“下方”） (2)直升机A在表演过程中，求到初始悬停位置的最远距离？ (3)直升机A每上升1千米消耗5升燃油，每下降1千米消耗3升燃油，求直升机A在这5个动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ (4)若直升机A和直升机B完成5个动作后的高度相同，直接写出表格中“？”代表的数据． 3．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式． 请用上面的方法计算： 拓展 衔接中考 1．2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 2．下列有理数中，没有倒数的是（     ） A． B． C． D． 3．嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色．如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类．用红色颜料和黄色颜料调配出的颜色属于（     ） A．①类 B．②类 C．③类 D．④类 4．有理数的倒数为_____________． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $