20.2.3二次根式的除法 教学设计 2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次根式除法法则、商的算术平方根性质、分母有理化及最简二次根式，通过复习乘法公式，类比计算除法算式，引出分母去根号问题，搭建从乘法到除法的类比学习支架，梳理知识脉络。 特色在于采用类比探究模式，引导学生自主推导法则，培养推理意识，如活动一通过小组讨论类比乘法得出除法公式及取值限制。课堂练习和作业分层设计，覆盖基础计算与综合应用，提升运算能力。明确最简根式标准与化简流程，规范数学语言表达，助力学生构建完整根式运算体系，也为教师提供清晰教学路径。

20.2.3二次根式的除法教学设计 课题 20.2.3二次根式的除法 单元 第20章 学科 数学 年级 九 教材分析 本节课是20.2二次根式乘除第三课时,承接二次根式乘法、积的算术平方根内容,遵循“类比探究”思路推导除法运算法则与商的算术平方根性质,是完整根式运算体系的收尾内容。教材通过例题展示根式除法运算、分式型根式化简,引出分母有理化方法,并定义最简二次根式标准,为本章后续二次根式加减运算奠定基础。本课落实2022新课标运算能力、推理意识核心素养,类比乘法的探究模式引导学生自主归纳规律,着重区分公式中,的特殊限制,解决学生分母带根号、被开方数含分母的化简难题,同时规范最简二次根式判定标准,完善根式化简完整流程。 学习 目标 1.类比二次根式乘法的探究方法,自主推导二次根式除法法则与商的算术平方根性质,牢记公式对应的取值限制条件; 2.熟练运用除法法则完成根式除法计算,掌握分母有理化方法,能将含分母根号的式子化为最简二次根式; 3.明确最简二次根式两条判定标准,规范完成各类根式化简,区分乘除两类公式的使用场景; 4.体会类比推理、转化化简的数学思想,能用根式除法解决简单实际面积计算问题. 重点 1.二次根式除法法则与逆用公式的理解与基础计算； 2.分母有理化操作,掌握最简二次根式的化简方法。 难点 1.准确把握公式中b＞0的限制,区分积、商两类根式性质取值条件的差异； 2.灵活选择合适根式完成分母有理化,完整化简至最简二次根式。 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 复习回顾: 提问1:写出二次根式乘法及积的算术平方根公式,并计算. 乘法法则:, 逆用； 。 提问2:类比乘法,计算与,对比结果. ,两式结果相等。 递进设问:式子被开方数含有分母,直接书写不规范,如何去掉分母中的根号? 分子分母同5,把分母化为完全平方数,再拆分根号化简. 独立默写乘法相关公式并计算习题,同桌对比两组除法算式结果,自主思考去分母根号的办法。 借助乘法知识类比迁移,通过数值计算猜想除法规律,引出分母带根号的化简难题,激发探究需求。 讲授新课 活动一:二次根式的除法法则 两个二次根式相除,怎样进行运算呢?商的算术平方根又等于什么?试参考前面的研究,和同学讨论,提出你的见解. 概括:一般地,有 . 思考:这里为什么要求? 因为二次根式的被开方数大于等于0,分母不能为零. 例3计算:(1);(2). 解:(1). (2). 小题(2)也可以先将分子化简为,从而容易算得结果. 方法总结: 1.除法正向公式:,硬性条件,分母不能为0或负数； 2.基础除法两步法:先套用公式合并根号,再约分化简被开方数； 3.简便运算技巧:可先单独化简分子、分母根式,再做除法,降低大数计算难度； 4.取值判断优先:计算前先确认被开方数非负、分母大于0,不满足则不能直接套用公式。 活动二:最简二次根式和分母有理化 上面"概括"中的等式,也可以写成:. 利用这个性质可以进行二次根式的化简. 例4化简,使分母中不含二次根式,并且被开方数中不含分母. 解:. 这里,二次根式的被开方数中含有分母,通常可以利用分数(或分式)的基本性质,先将分母"配"成完全平方,再"开方"出来. 按照例2和例4的要求,化简后的二次根式被开方数中不含分母,并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2,像这样的二次根式称为最简二次根式. 二次根式的除法,要化去分母中的根号,只要将分子,分母都乘以一个恰当的二次根式就可以了.如例4,将分子,分母都乘以,得. 通常将这种化简过程称为分母有理化. 总结归纳: 1.逆用公式:,用于拆分含分母的根式； 2.分母有理化通用步骤:分子分母同乘分母中的根式,利用消去分母根号； 3.最简二次根式判定两条标准:①被开方数不含分母；②被开方数无指数≥2的因式； 4.完整化简流程:逆用公式拆分→分母有理化→提取完全平方因数→检验是否达到最简。 小组类比乘法探究除法规律,讨论a≥0,b>0的原因；独立完成例题计算,两名学生上台板演,互评两种计算思路。 自主改写公式逆用形式,跟随示范完成分母有理化例题；小组归纳最简二次根式两条标准,互相举例判断根式是否最简。 沿用类比推理思想自主推导除法公式,通过一题多解拓宽运算思路,重点区分b>0与乘法条件的差异。 依托逆公式解决被开方数含分母问题,掌握分母有理化核心操作,明确化简最终标准,规范答题格式。 课堂练习 1.计算的结果是( ) A. B.3 C. D. 2.下列根式属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 3.化简的结果为( ) A. B. C. D. 4.对于两个实数,定义一种新运算“⊕”:.例如,则=　. 5.计算:(1); (2). 6.已知,有下列各式:①,②,③.其中正确的是() A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 7.计算:=　　. 8.计算并把结果化为最简二次根式:=　　. 9.若,且为奇数,求的值. 1.B;2.A;3.C;4.; 5.解:(1). (2). 6.B;7.; 8.; 9.解:, 解得, 又为奇数, . , 当时,原式. 限时独立完成选择、计算、综合求值题,同桌互讲错题,小组讨论新运算、取值限制类难题,整理典型错因。 题型覆盖公式运用、最简判定、取值范围、拓展新定义,互助纠错巩固除法与化简全套流程,查漏补缺。 课堂小结 设问1:写出二次根式除法法则与商的算术平方根公式,说明取值条件? 除法正向:​​；逆向化简:​​；要求。 设问2:什么是分母有理化,通用操作方法是什么? 化去分母中根号的过程叫做分母有理化；给分子、分母同时乘以分母中的二次根式,利用消去分母根号。 设问3:最简二次根式必须满足哪两个条件? ①被开方数不含分母；②被开方数中所有因式的指数都小于2,无完全平方因数。 设问4:积与商的算术平方根取值条件有什么不同? 积的算术平方根只需；商的算术平方根分母b必须大于0,分母不能为0、负数。 自主口头回答分层设问,小组对比积、商算术平方根的取值条件,完整口述化简全流程。 以学生自主梳理为主,对比区分乘除公式异同,强化分母不为0的易错点,构建完整根式运算体系。 作业布置 必做题 1.计算:.​ 解:（1）原式= 2.化简:（1）；（2）.​​ 解:（1）原式=. （2）原式=. 选做题 1.计算并化为最简二次根式:​​​ 解:原式.​​ 2.已知成立,求实数的取值范围. 解：对于，根据二次根式有意义的条件， 被开方数须大于等于0，且分母不能为0， 可得到不等式组:，解得. 对于，被开方数≥0，且分母， 可得到不等式组:， 所以不等式的解为≤－1或1. 要使等式成立，需要同时满足等式两边的条件， 即1和≤－1或1的交集，得到1. 综上，实数x的取值范围是1. 分层完成必做题、选做题,规范书写分母有理化完整步骤,做题后自行检验结果是否为最简根式。 基础题巩固除法计算,选做题综合训练分式根式化简,落实分母有理化与最简根式双重要求。 板书 课堂同步记录两大公式、有理化步骤、最简根式标准,课后依托板书梳理完整笔记。 板块清晰区分正向运算、逆向化简,对比积商性质,突出易错限制条件,方便课堂记录与课后复习。 学科网（北京）股份有限公司 $