20.2.3二次根式的除法 教学设计 2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

课题

20.2.3二次根式的除法

单元

第20章

学科

数学

年级

九

教材分析

本节课是20.2二次根式乘除第三课时,承接二次根式乘法、积的算术平方根内容,遵循“类比探究”思路推导除法运算法则与商的算术平方根性质,是完整根式运算体系的收尾内容。教材通过例题展示根式除法运算、分式型根式化简,引出分母有理化方法,并定义最简二次根式标准,为本章后续二次根式加减运算奠定基础。本课落实2022新课标运算能力、推理意识核心素养,类比乘法的探究模式引导学生自主归纳规律,着重区分公式中,的特殊限制,解决学生分母带根号、被开方数含分母的化简难题,同时规范最简二次根式判定标准,完善根式化简完整流程。

学习

目标

1.类比二次根式乘法的探究方法,自主推导二次根式除法法则与商的算术平方根性质,牢记公式对应的取值限制条件;

2.熟练运用除法法则完成根式除法计算,掌握分母有理化方法,能将含分母根号的式子化为最简二次根式;

3.明确最简二次根式两条判定标准,规范完成各类根式化简,区分乘除两类公式的使用场景;

4.体会类比推理、转化化简的数学思想,能用根式除法解决简单实际面积计算问题.

重点

1.二次根式除法法则与逆用公式的理解与基础计算；

2.分母有理化操作,掌握最简二次根式的化简方法。

难点

1.准确把握公式中b＞0的限制,区分积、商两类根式性质取值条件的差异；

2.灵活选择合适根式完成分母有理化,完整化简至最简二次根式。

教学过程

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

导入新课

复习回顾:

提问1:写出二次根式乘法及积的算术平方根公式,并计算.

乘法法则:,

逆用；

。

提问2:类比乘法,计算与,对比结果.

,两式结果相等。

独立默写乘法相关公式并计算习题,同桌对比两组除法算式结果,自主思考去分母根号的办法。

借助乘法知识类比迁移,通过数值计算猜想除法规律,引出分母带根号的化简难题,激发探究需求。

递进设问:式子被开方数含有分母,直接书写不规范,如何去掉分母中的根号?

分子分母同5,把分母化为完全平方数,再拆分根号化简.

讲授新课

活动一:二次根式的除法法则

两个二次根式相除,怎样进行运算呢?商的算术平方根又等于什么?试参考前面的研究,和同学讨论,提出你的见解.

概括:一般地,有

.

思考:这里为什么要求?

因为二次根式的被开方数大于等于0,分母不能为零.

例3计算:(1);(2).

解:(1).

(2).

小题(2)也可以先将分子化简为,从而容易算得结果.

方法总结:

1.除法正向公式:,硬性条件,分母不能为0或负数；

2.基础除法两步法:先套用公式合并根号,再约分化简被开方数；

3.简便运算技巧:可先单独化简分子、分母根式,再做除法,降低大数计算难度；

4.取值判断优先:计算前先确认被开方数非负、分母大于0,不满足则不能直接套用公式。

活动二:最简二次根式和分母有理化

小组类比乘法探究除法规律,讨论a≥0,b>0的原因；独立完成例题计算,两名学生上台板演,互评两种计算思路。

自主改写公式

沿用类比推理思想自主推导除法公式,通过一题多解拓宽运算思路,重点区分b>0与乘法条件的差异。

依托逆公式解决

上面"概括"中的等式,也可以写成:.

利用这个性质可以进行二次根式的化简.

例4化简,使分母中不含二次根式,并且被开方数中不含分母.

解:.

这里,二次根式的被开方数中含有分母,通常可以利用分数(或分式)的基本性质,先将分母"配"成完全平方,再"开方"出来.

按照例2和例4的要求,化简后的二次根式被开方数中不含分母,并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2,像这样的二次根式称为最简二次根式.

二次根式的除法,要化去分母中的根号,只要将分子,分母都乘以一个恰当的二次根式就可以了.如例4,将分子,分母都乘以,得.

通常将这种化简过程称为分母有理化.

总结归纳:

1.逆用公式:,用于拆分含分母的根式；

2.分母有理化通用步骤:分子分母同乘分母中的根式,利用消去分母根号；

3.最简二次根式判定两条标准:①被开方数不含分母；②被开方数无指数≥2的因式；

4.完整化简流程:逆用公式拆分→分母有理化→提取完全平方因数→检验是否达到最简。

逆用形式,跟随示范完成分母有理化例题；小组归纳最简二次根式两条标准,互相举例判断根式是否最简。

被开方数含分母问题,掌握分母有理化核心操作,明确化简最终标准,规范答题格式。