20.2.2积的算术平方根导学案2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“积的算术平方根”，通过复习二次根式乘法法则，对比正向计算与逆向拆分结果，提出无法直接开方时的简化问题，搭建前后知识联系的学习支架。 资料以“活动探究+方法总结+分层训练”为主线，通过标准化简四步、符号处理技巧等规范步骤，结合密码生成、自由落体等应用场景，培养学生推理意识、运算能力与应用意识，助力学生掌握根式化简，发展数学思维。

分课时学案 课题 20.2.2积的算术平方根 单元 20 学科 数学 年级 九年级 学习 目标 1.由二次根式乘法法则逆向推导积的算术平方根性质,牢记公式成立条件。 2.熟练运用积的算术平方根拆分被开方数,分解并移出全部完全平方因数,将根式化为最简形式。 3.区分乘法法则正向运算、积的算术平方根逆向化简两种使用场景,规范书写化简完整步骤。 4.结合根式乘法与化简完成基础计算题,体会化繁为简的代数转化思想。 重点 1.积的算术平方根性质的理解与拆分运用; 2.利用该性质对含完全平方因数的二次根式标准化简。 难点 1.化简时完整找出全部完全平方因数,步骤书写规范; 2.牢记的使用前提,不能对负数乘积拆分根号。 教学过程 导入新课 复习回顾: 提问 1:写出二次根式乘法法则,计算 提问 2:拆分,计算,对比结果. 递进设问:无法直接开方,如何拆分简化计算? 新知讲解 活动一:积的算术平方根与应用 前面得到的等式, 也可以写成:. 利用这个性质可以进行二次根式的化简. 例2:化简,使被开方数不含完全平方的因数. 这里,被开方数,含有这一完全平方的因数,通常可根据积的算术平方根的性质,并利用,将这个因数"开方"出来. 做一做:计算下列各式,并将所得的结果化简: (1); (2). 方法总结: 1.公式与前提: 2.公式作用: 3.标准化简四步: 4.符号处理技巧: 5.综合题型思路: 课堂小结 设问 1:积的算术平方根公式与成立条件是什么? 设问 2:该性质与乘法法则是什么关系,用途分别是什么? 设问 3:化简二次根式完整步骤? 设问 4:使用公式两类高频错误? 巩固训练 1.化简的结果是 ( ) A. B. C.4 D.5 2.=  × 　 =　 　×　 　=30.  3.化简的结果为　 　.  4.在日常生活中,取款、上网都需要密码.为了增强密码的安全性,有人发明了“二次根式化简法”来产生密码,例如,于是就得到一个六位数的密码“500 105”,对于二次根式,用上述方法产生的六位数密码是 .  5.若是正整数,则下列符合要求的的值为 ( ) A.1 B.3 C.9 D.10 6.若,则的值为 .  7.自由落体公式为,若物体从高度为的高空落下,则下落的时间为 s.(g取10 m/s2)  8.化简: (1);(2); (3);(4). 9.已知m为正整数,若是整数,则根据可知m有最小值3×7=21.设n为正整数,若是大于1的整数,则n的最小值为 ,最大值为 .  必做题 1.化简​; 2.化简. 选做题 1.计算并化简 2.已知,化简​ 3.已知=·成立,求实数的取值范围. 答案： 回顾提问: 提问 1:写出二次根式乘法法则,计算 。 提问 2:拆分,计算,对比结果. ,和数值相等。 递进设问:无法直接开方,如何拆分简化计算? 是完全平方数,可拆分为简化运算. 课堂小结： 设问 1:积的算术平方根公式与成立条件是什么? ​,要求;文字表述:两个非负数乘积的算术平方根,等于两数算术平方根的积。 设问 2:该性质与乘法法则是什么关系,用途分别是什么? 二者互为逆变形;（正向）:两个根式相乘合并根号;（逆向）:单个根式拆分根号化简。 设问 3:化简二次根式完整步骤? ①分解被开方数,分离全部完全平方因数;②逆用公式拆分根号;③,平方因数开方移出根号。 设问 4:使用公式两类高频错误? ①取负数,违规拆分;②分解因数不全,根号内仍存在可开方数,未化到最简。 课堂练习： 1.化简的结果是 ( ) A. B. C.4 D.5 2.=  × 　 =　 　×　 　=30.  3.化简的结果为　 　.  4.在日常生活中,取款、上网都需要密码.为了增强密码的安全性,有人发明了“二次根式化简法”来产生密码,例如,于是就得到一个六位数的密码“500 105”,对于二次根式,用上述方法产生的六位数密码是 .  5.若是正整数,则下列符合要求的的值为 ( ) A.1 B.3 C.9 D.10 6.若,则的值为 .  7.自由落体公式为,若物体从高度为的高空落下,则下落的时间为 s.(g取10 m/s2)  8.化简: (1);(2); (3);(4). 9.已知m为正整数,若是整数,则根据可知m有最小值3×7=21.设n为正整数,若是大于1的整数,则n的最小值为 ,最大值为 .  1.B; 2.,,5,6; 3.4; 4.800202; 5.B; 6.1; 7.12; 8.解:(1)原式. (2)原式. (3)原式=. (4)原式. 9.3　75　 解:且为整数, 的最小值为. 是大于1的整数, 越小,越小,则越大,当时,, . 作业设计： 必做题 1.化简​; 解:原式. 2.化简. 解:原式. 选做题 1.计算并化简 解:原式. 2.已知,化简​ 解:原式. 3.已知=·成立,求实数的取值范围. 解：对于·，根据二次根式有意义的条件，被开方数须大于等于0， 可得到不等式组:，解得≥1. 对于，被开方数≥0， 因式分解可得()()≥0， 根据二次函数y=()()=的图象性质， 其与x轴交点为=－1和=1，且二次项系数大于0，图象开口上， 所以不等式的解为≤－1或≥1. 要使等式=·成立，需要同时满足等式两边的条件， 即≥1和≤－1或≥1的交集，得到≥1. 综上，实数x的取值范围是≥1. 学科网（北京）股份有限公司 $