20.2.2积的算术平方根导学案2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

课题

20.2.2积的算术平方根

单元

20

学科

数学

年级

九年级

学习

目标

1.由二次根式乘法法则逆向推导积的算术平方根性质,牢记公式成立条件。

2.熟练运用积的算术平方根拆分被开方数,分解并移出全部完全平方因数,将根式化为最简形式。

3.区分乘法法则正向运算、积的算术平方根逆向化简两种使用场景,规范书写化简完整步骤。

4.结合根式乘法与化简完成基础计算题,体会化繁为简的代数转化思想。

重点

1.积的算术平方根性质的理解与拆分运用;

2.利用该性质对含完全平方因数的二次根式标准化简。

难点

1.化简时完整找出全部完全平方因数,步骤书写规范;

2.牢记的使用前提,不能对负数乘积拆分根号。

教学过程

导入新课

复习回顾:

提问 1:写出二次根式乘法法则,计算

提问 2:拆分,计算,对比结果.

递进设问:无法直接开方,如何拆分简化计算?

新知讲解

活动一:积的算术平方根与应用

前面得到的等式,

也可以写成:.

利用这个性质可以进行二次根式的化简.

例2:化简,使被开方数不含完全平方的因数.

这里,被开方数,含有这一完全平方的因数,通常可根据积的算术平方根的性质,并利用,将这个因数"开方"出来.

做一做:计算下列各式,并将所得的结果化简:

(1);

(2).

方法总结:

1.公式与前提:

2.公式作用:

3.标准化简四步:

4.符号处理技巧:

5.综合题型思路:

课堂小结

设问 1:积的算术平方根公式与成立条件是什么?

设问 2:该性质与乘法法则是什么关系,用途分别是什么?

设问 3:化简二次根式完整步骤?

设问 4:使用公式两类高频错误?

巩固训练

1.化简的结果是 (     )

A.  B. C.4  D.5

2.=    × 　   =　    　×　   　=30. 

3.化简的结果为　          　. 

4.在日常生活中,取款、上网都需要密码.为了增强密码的安全性,有人发明了“二次根式化简法”来产生密码,例如,于是就得到一个六位数的密码“500 105”,对于二次根式,用上述方法产生的六位数密码是        . 

5.若是正整数,则下列符合要求的的值为 (     )

A.1 B.3 C.9 D.10

6.若,则的值为     . 

7.自由落体公式为,若物体从高度为的高空落下,则下落的时间为       s.(g取10 m/s2) 

8.化简:

(1);(2);

(3);(4).

9.已知m为正整数,若是整数,则根据可知m有最小值3×7=21.设n为正整数,若是大于1的整数,则n的最小值为         ,最大值为         . 

必做题

1.化简​;

2.化简.

选做题

1.计算并化简

2.已知,化简​

3.已知=·成立,求实数的取值范围.