专题03 绝对值的几何意义与最值问题11大题型（专项训练）数学新教材冀教版七年级上册

**基本信息** 以绝对值几何意义为核心，通过11大题型系统构建从概念理解到综合应用的解题体系，强化数形结合与分类讨论思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|11题型（含高频/难题型）|几何意义法（距离模型）、分类讨论法（范围化简）、端点分析法（最值求解）|从绝对值几何意义（基础）→和差最值（应用）→化简与方程（深化）→综合与新定义（拓展）| |综合攻坚·知能拔高|16道综合题|数形结合（数轴应用）、模型迁移（实际问题转化）|整合绝对值非负性、数轴综合，形成“概念-方法-应用”闭环逻辑链|

专题03 绝对值的几何意义与最值问题11大题型 常考题型·精准突破 考点一 绝对值的几何意义与最值问题 题型一：两个绝对值的和的最值（高频） 题型二：两个绝对值的差的最值 题型三：多个绝对值的和的最值（高频） 题型四：绝对值中最值问题的应用（难） 题型五：已知范围的绝对值化简（高频） 题型六：未知范围的绝对值化简（难） 题型七：绝对值化简的新定义问题 题型八：绝对值化简问题综合 题型九：绝对值方程 题型十：绝对值非负性问题 题型十一：数轴与绝对值问题综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 绝对值的几何意义与最值问题 ◆题型1 两个绝对值的和的最值 1．我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 【答案】8 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，关键是要理解两点间的距离，就是两个点表示的有理数的差的绝对值． 式子表示的是一个数到和的距离的和，那么应在和之间的线段上，由此可求出该式子的最小值． 【详解】解：∵表示数轴上与之间的距离，表示数轴上与之间的距离， ∴式子表示的是一个数到和的距离的和， ∴时，表示数的点到表示数和的点之间的距离最小， 和间的距离为， 的最小值为， 故答案为：． 2．的最小值是______． 【答案】8 【分析】本题考查了绝对值的性质，从数轴和绝对值的几何意义考虑求解更简便． 利用绝对值的几何意义，表示数轴上点x到点和点7的距离之和，当x在与7之间时，距离之和最小，为两点之间的距离． 【详解】解：设点x在数轴上， 表示点x到点的距离，表示点x到点7的距离． 当点x在点和点7之间时，即，距离之和最小， 最小值为：． 故答案为：8． 3．如果是有理数，那么的最小值为______． 【答案】/2.25 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，根据表示x与所对应的两点之间的距离，表示x与2所对应的两点之间距离的倍，再结合x位于不同范围求得其对应的代数式，综合即可求得其最小值． 【详解】解：（1）当，原式 ∵ ∴随x的增大而减小，的最小值趋于； （2）当，原式 ∵ ∴随x的增大而增大， 当时，取得最小值为； （3）当，原式 ∵ ∴随x的增大而增大，当时，取得最小值为3； 则的最小值为， 故答案为：． 4．我们规定：表示7与3的差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看成，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)若，则的值． (2)由以上探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)8或 (2)有最小值，最小值为5 【分析】（1）根据题意，得或，解答即可． （2）对于任意有理数，表示有理数与数1的距离与有理数与数的距离和，根据题意，当有理数在时，和最小，且为． 此题主要考查了数轴，绝对值的意义，分类探讨，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性． 【详解】（1）解：根据题意，得或， 解得或． （2）解：对于任意有理数，表示有理数与数1的距离与有理数与数的距离和， 当时，化简，得， 由，此时的距离和大于； 当时，化简，得， 由，此时的距离和大于； 当时，化简得，此时距离和为5． 故当有理数在时，和最小，且最小值为． ◆题型2 两个绝对值的差的最值 5．当_________时，的值最大，最大值为_________． 【答案】 1 5 【分析】分、和三种情况讨论求出，问题随之得解． 【详解】当时，， 即， ∵， ∴； 当时，， 即； 当时，， 即， ∵， ∴， ∴； 综上：，当且仅当时，有最大值，最大值为5， 故答案为：1，5． 【点睛】本题主要考查了绝对值的化简求值，注重分类讨论的思想，是解答本题的关键． 6．如图，小亮把东、西大街表示成一条数轴，把公交站的位置用数轴上的点表示出来，其中鼓楼站的位置记为原点，正东方向为正方向，公交车的一站地为一个单位长度（假设每站距离相同）．请你根据图形回答下列问题：    (1)到广济街的距离等于两站的地方是________． (2)如果用表示数轴上的点表示的数，那么表示这个点与1对应点的距离为2，请你根据以上信息回答下面问题： ①当满足________时，则的值最小，最小值是________； ②当满足________时，则的值最大，最大值是________． ③若，则满足条件的所有站地表示的数为________． (3)到这8个站距离之和最小的站地是否存在？若存在，是哪个站地？最小值是多少？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)西门和端履门； (2)①1；②1；③满足条件的所有站地表示的数为，0，1或2； (3)到这8个站距离之和最小的站地存在，是广济站和钟楼站，最小值是16； 【分析】（1）观察图形可直接得出答案， （2）表示的是：表示a的点分别到点1和点2的距离的和；表示的是：表示a的点分别到点和点的距离的差；分情况讨论：当时，当时，当时，去绝对值化简即可； （3）根据这8个站间隔相等，距离之和最小的站地应该是位于中间的两个可求得答案． 【详解】（1）解：由图可知，到广济街的距离等于两站的地方是西门和端履门； （2）解：①在数轴上表示的是：表示a的点分别到点1和点2的距离的和， ∴当a在点1和点2之间（包括1和2），即时，的值最小，最小值为； 解：②在数轴上表示的是：表示a的点分别到点和点的距离的差， ∴当时，的值最大，最大值为1； 解：③∵， ∴当时，， ∴； 当时，满足条件的所有站地表示的数为0或1； 当时，， ∴； 综上，满足条件的所有站地表示的数为，0，1或2； （3）解：这8个站间隔相等，距离之和最小的站地应该是是位于中间的两个，即广济站和钟楼站， 最小值是：， ∴到这8个站距离之和最小的站地存在，是广济站和钟楼站，最小值是16； 【点睛】本题考查了数轴上的点之间的距离及绝对值的化简法则等知识点，数形结合并分类讨论是解题的关键． 7．【定义新知】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离． 回答下列问题： （1）数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______．当，那么x为______． （2）当的最小值是______． （3）的最大值为______． （4）当______时，的值最小． 【解决问题】 （5）如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧5km、左侧1km、右侧1km、右侧3km．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在______，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短？最短路程是______km． 【答案】（1）；5或（2）1（3）4（4）2（5）、之间（含、）；10 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是利用数轴上点与点之间的距离表示绝对值，结合几何图形分析最值． （1）根据绝对值的几何意义表示两点距离再解方程； （2）利用数轴分析两个绝对值和的最小值； （3）分析绝对值差的最大值的取值范围； （4）利用“中间点”分析三个绝对值和的最小值； （5）结合数轴上点的位置确定总路程最短的点再计算路程． 【详解】解：（1）数轴上表示和2的两点距离为， 当即 则或 解得或 故答案为：；5或； （2）的几何意义是数轴上对应的点到1和0对应的点的距离之和 当在0和1之间（含端点）时距离和最小最小值为； 故答案为：1； （3）的几何意义是数轴上对应的点到的距离减去到3的距离 当时距离差最大，此时， 故答案为：4； （4）的几何意义是数轴上对应的点到、、对应的点的距离之和，当取中间点2时距离和最小， 故答案为：2； （5）居民区、、、对应的位置分别为、、、 总路程为 当在和1之间（含端点）时总路程最短， 最短路程为 故答案为：、之间（含、）；10． 8．如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1) ， ， ． (2)x是数轴上任意一个有理数，则有最小值是 ． (3)有最大值是 ，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是 ． 【答案】(1)，，5 (2)2 (3)7， 【分析】（1）根据相反数的定义、有理数相关知识以及多项式的次数的定义，即可获得答案； （2）由（1）中的a和c值代入得到，代数式表示点x与3的距离与点x与5距离的和，进而得到当时，最小，求解即可； （3）代数式表示点x与的距离与点x与4距离的差，进而得到当时，最大，求解即可；再分情况讨论得出取值范围． 【详解】（1）解：∵a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数， ∴，，， 故答案为：，，5 （2）解：由（1）知，，， ∴， 代数式表示点x与3的距离与点x与5距离的和， 根据题意分情况可得： ①当时，， 此时， ②当时，， ③当时，， 此时， ∴有最小值是2， 故答案为：2． （3）解：代数式表示点x与的距离与点x与4距离的差， ①当时，， ②当时，， 此时， ③当时，， ∴有最大值是7，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是， 故答案为：7，． 【点睛】本题考查了相反数、有理数的分类、多项式的次数、数轴上两点间的距离、用数轴上的点表示有理数等知识，读懂题意，灵活运用所学知识是解答本题的关键． ◆题型3 多个绝对值的和的最值 9．的最小值是________ 【答案】 【分析】表示a的点到表示b的点的距离，根据绝对值的几何意义把问题转化为求x到1，2，3，，2009，2010的距离之和，而当x表示的点处在最中间两个数1005，1006对应的点之间时，距离之和最小，再根据绝对值的化简求解即可． 【详解】表示x到1，2，3， ，2009，2010的距离之和， 当时，距离之和最小， ． 【点睛】对于求的最小值题型，其中，当为奇数时，时取得最小值；当为偶数时，时取得最小值． 10．对于数轴上的一切数，式子的最小值是______． 【答案】11 【分析】分五种情况，，，，，结合绝对值的意义化简求解．本题考查绝对值意义，结合数轴，利用分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：当时，，，，， 则 ； 当时，，，，， 则 ， 在这里； 当时，，，，， 则 ； 当时，，，，， 则 ， 在这里； 当时，， ，， 则 ． 综上，式子的最小值是11． 故答案为：11． 11．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示x在数轴上对应的点到的距离，由上面绝对值的几何意义，解答下列问题： (1)x与4的距离可以表示为__________，若，则__________． (2)若，则所有符合条件的整数x的和为__________． (3)当x的取值为多少时，有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)；或． (2) (3)当时，式子有最小值，最小值为2550． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义（数轴上两点间的距离）及最值问题，解题的关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离，结合数轴位置分析求解． （1）根据绝对值几何意义直接表示距离；由距离等于定值，列方程求x的值． （2）先计算两个定点间的距离，判断x的取值范围，找出整数解后求和． （3）观察式子对称性，确定x的取值区间使距离和最小，再通过成对求和计算最小值． 【详解】（1）解：x与4的距离表示为； ∵表示x到2的距离为5， ∴或， 故答案为：；或． （2），表示x到1和的距离和； ∵1与的距离为， ∴x在之间，符合条件的整数x为、、、、，和为， 故答案为：． （3）式子表示x到、、…、、…、49、50共101个点的距离和； 根据对称性，当x在中间点时，距离和最小； 最小值为 答：当时，式子有最小值，最小值为2550． 12．阅读材料：数轴是沟通数与形的重要桥梁，利用数轴可以直观地理解很多代数问题．对于数轴上的两点A，B，我们把A，B两点所表示的数之差的绝对值，叫做A，B两点之间的距离，记作．例如，数轴上表示2和5的两点之间的距离为；数轴上表示和的两点之间的距离为． 完成下列各题∶ (1)数轴上表示3和的两点之间的距离为： ； (2)①若，则 ； ②若数轴上点M表示的数为x，点N表示的数为，点P表示的数为5，且，则 ； (3)的最小值为 ． 【答案】(1)7 (2)① 8或；②或6.5 (3)45 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）①根据两点间的距离公式，得到数与3之间的距离为5，分两种情况进行求解即可；②分点在点的左侧和点在点的右侧，两种情况进行讨论求解即可； （3）根据绝对值的意义，共15个距离的和，得到当时，和最小，进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：7； （2）①由题意，或； 故答案为： 8或； ②， ∴， 当点在点的左侧时，，解得； 当点在点的右侧时，，解得； 故答案为：或6.5； （3）表示数到的距离，到的距离的2倍，到4的距离的3倍，到7的距离的4倍，到10的距离的5倍的和， 故当时，此时的和最小为 ． ◆题型4 绝对值中最值问题的应用 13．【问题探究】 点在数轴上分别表示实数；两点之间的距离可表示为． 代数式的几何意义是表示有理数的点到表示数2的点与表示数的点的距离之和． 利用几何意义，解决下列问题： （1）求方程的解是_____； （2）求的最小值是_____； 【问题解决】 同心抗疫，情暖居民．疫情防控期间，某一直线沿街有9个小区，依次记为，假定相邻两个小区间隔相同，将这个间隔记为200米．社区想为这9个小区的居民提供防疫物资，决定在路旁建立一个物资供应站P．请问点P选在_____处时，才能使这9个小区的居民到点P（物资供应站）的距离总和最小，最小值是_____； 【问题拓展】 求方程的解是_____． 【答案】问题探究：（1）或；（2）4；问题解决：，4000米；问题拓展： 【分析】本题考查数轴，绝对值的几何意义以及两点间距离，解题的关键是熟练运用数形结合的思想． 问题探究：（1）根据数轴的意义即可得解；（2）根据代数式的几何意义求出即可； 问题解决：根据两点间的距离即可得出结论； 问题拓展：根据代数式的几何意义，分情况求出即可． 【详解】解：问题探究：（1）∵的几何意义是表示有理数的点到表示数1的点的距离为2， ∴表示有理数的点在表示数1的点的左侧2个单位或右侧2个单位， 即或； （2）∵代数式是表示有理数的点到表示数1的点与表示数的点的距离之和， ∴的最小值为； 问题解决：解： ， 当点P在线段上时，最小，为1600米， 当点P在线段上时，最小，为1200米， 当点P在线段上时，最小，为800米， 当点P在线段上时，最小，为400米， 当点P在位置时，最小，为0米， ∴最小距离和为：（米）， ∴当点P在位置时，这9个小区的居民到点P（物资供应站）的距离总和最小，最小值是4000米； 问题拓展：由绝对值的几何意义可知，表示x对应的点到1的距离与到的距离之差， 当x对应的点在1对应的点和对应的点之间时，即， ， ， 解得：； 当x对应的点在对应的点左侧时，即， ，不存在的情况； 当x对应的点在1对应的点右侧时，即， 不存在的情况； 综上所述，方程的解是． 14．同学们都知道，表示6与3之差的绝对值，也可以利用数轴理解为数轴上6与3这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答： (1)______，这个算式利用数轴可理解为______； (2)求使成立的所有整数______； (3)如图（2），在通甫路一侧有A，B，C，D四个居民区，且，现要在公路旁开一家商场，使各居民区到商场的距离之和最小，则商场的位置应在______两个小区之间． (4)如题（3）所述，三个居民区A、B、C和市民广场，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民2000人，B居民区有居民1000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路旁建“晨风快递”驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么“晨风快递”驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是______元． 【答案】(1)7；与2这两个数所对的两点之间的距离 (2)2或 (3)在B和C之间 (4)13 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、解绝对值方程、利用绝对值求最值等知识点，掌握绝对值的几何意义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）直接根据绝对值的几何意义即可解答； （2）根据绝对值的几何意义解绝对值方程即可； （3）根据，则点A到B，C之间的距离较近，点D到B，C之间的距离也较近，据此即可解答； （4）先确定A、B、C三小区表示的数，然后根据题意用绝对值表示出成本，然后分类讨论求出最低成本即可． 【详解】（1）解：，这个算式利用数轴可理解为与2这两个数所对的两点之间的距离． 故答案为：7；与2这两个数所对的两点之间的距离． （2）解：∵， ∴或， ∴或 由x+5=7解得：， 由x+5=-7解得：x=-12， ∴使|x+5|=7成立的所有整数有2或． （3）解：∵， ∴点A到B，C之间的距离较近，点D到B，C之间的距离也较近， ∴商场的位置应在B，C两个小区之间． （4）解：如图：以市民广场为原点，三个居民区A、B、C分别表示， 由题意可得：“晨风快递”驿站建在何处才能使总运输成本为， 当时，有， ∴当时，有最小值； 当时，有， ∴当时，有最小值； 当时，有， 当时，有， 当时，有最小值． 综上，当时，即“晨风快递”驿站位于B、C两小区之间时，最低成本是13元． 15．阅读下面的材料，完成有关问题． 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么之间的距离可表示为．请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的意义是___________； （2）的最小值为___________； （3）最大值为___________； （4）的最小值为___________； 【解决问题】 （5）如图，一条笔直的公路边有四个居民区、、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点，那么这个便民服务点建在何处，能使服务点到四个居民区总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 【答案】（1）有理数在数轴上对应的两点之间的距离；（2）；（3）；（4）；（5）便民服务点建在点与点之间时，服务点到四个居民区总路程最短，最短路程为，理由见解析 【分析】（1）根据绝对值的几何含义解答即可； （2）根据绝对值的几何含义解答即可； （3）根据绝对值的几何含义解答即可； （4）根据绝对值的几何含义解答即可； （5）根据绝对值的几何含义解答即可； 本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴式子在数轴上的意义是有理数在数轴上对应的两点之间的距离， 故答案为：有理数在数轴上对应的两点之间的距离； （2）∵， ∴式子表示数轴上表示有理数的点分别到和对应的点的距离之和， 当时，距离之和最小，最小值即为对应的点到对应的点之间的距离， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）∵， ∴式子表示对应的点到的对应的点的距离减去对应的点到对应的点的距离， 当时，取最大值， 最大值即为对应的点到对应的点之间的距离， ∴的最大值为， 故答案为：； （4）∵， ∴式子表示对应的点分别到对应点的距离之和， 当时，式子取最小值，最小值即为对应的点到对应的点之间的距离， ∴的最小值为， 故答案为：； （5）便民服务点建在点与点之间时，服务点到四个居民区总路程最短，最短路程为，理由如下： 设便民服务点在数轴上表示的点处， 根据题意可得，便民服务点到四点的距离之和为， 由（4）可知当时，取最小值， 即便民服务点建在点与点之间时，服务点到四个居民区总路程最短， 最短路程为． 16．阅读：如图，点、在数轴上分别表示实数、，则、两点之间的距离可以表示为． (1)理解： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______； ②数轴上表示和的两点和之间的距离是______，如果，那么______； (2)运用： ③当代数式时，相应的整数的值是______； ④若，满足时，则代数式的最大值是______，最小值是______． (3)提升： ⑤有、、、、五位小朋友按顺时针方向围成一个小圆圈，他们分别有卡片12、6、9、3、10张．现在为使每人手中卡片数相等，各调几张卡片给相邻小朋友（可以从相邻小朋友调进或调出给相邻小朋友），要使调动的卡片总数最小，应该做怎样的调动安排？最少调动几张？ 【答案】(1)①3，4；②，1或 (2)③；④6，0 (3)⑤A给B有2张，B给C有0张，C给D有1张，E给D有4张，A给E有2张，调动的卡片总数最小，最少调动9张 【分析】（1）①根据阅读材料直接可得答案； ②根据阅读材料列出方程，可解得答案； （2）③由表示到表示和2的点的距离之和，即可得答案； ④由表示到表示1和5的点的距离之和，得出最小时；同理求出，可求得答案； （3）设A给B有张（时，即为A给B有张，时，即为B给A有张），B给C有张，C给D有张，D给E有张，E给A有张，要使每人手中的卡片数相等，每人均为8张，可以得出，可看作数轴上到表示，0，，4，2的点的距离之和，即可得答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴表示2和5的两点之间的距离是3，表示1和的两点之间的距离是4， 故答案为：3，4； ②表示x和的两点A和B之间的距离是， 当时，， 解得或， 故答案为：，1或； （2）解：③∵表示到表示和2的点的距离之和， ∴时，x的范围是， ∴相应的整数x 的值为 故答案为：； ④∵表示到表示1和5的点的距离之和， ∴当时，最小值为； ∵表示到表示1和的点的距离之和， ∴当时，最小值为； ∵， ∴，， ∴的最大值是，最小值是 故答案为：6，0； （3）解：设A给B有张（时，即为A给B有张，时，即为B给A有张），B给C有张，C给D有张，D给E有张，E给A有张， 由于共有卡片数为张，要使每人手中的卡片数相等，每人均为8张， 由题意：， 变形得：， ∴， ∵可看作数轴上到表示，0，，4，2的点的距离之和， ∴时，取最小值，最小值为， 此时， ∴A给B有2张，B给C有0张，C给D有1张，E给D有4张，A给E有2张，调动的卡片总数最小，最少调动9张． 【点睛】本题考查实数与数轴，涉及绝对值的应用，解题的关键是理解绝对值的几何意义． ◆题型5 已知范围的绝对值化简 17．有理数在数轴上如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了运用数轴表示有理数及绝对值求解的能力，先结合数轴得，则，，，，再运用绝对值知识进行化简． 【详解】解：由题意可得，， ∴，，， ∴， ∴ ， 故选：C． 18．有理数在数轴上的位置如图所示，化简：___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的符号，化简绝对值，解题的关键是掌握用数轴上的点表示的数左边小于右边，以及绝对值的意义．根据各点在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，进而可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 19．有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)比较大小：___________0；___________0（填：“>”，“<”或“=”）； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查数轴的相关知识点，化简绝对值，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由数轴可得，且，由此即可得出结果； （2）由数轴可得，且，从而得出，，，再根据绝对值的意义化简即可得出结果． 【详解】（1）解：由数轴可得：，且， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由数轴可得：，且， ∴，，， ∴ ． 20．根据数轴，解决下列问题． (1)比较：_____（填写“”“”或“”）； (2)判断正负，用“”或“”填空： ______，______， ______； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数轴比较数的大小，判断不等式的符号，绝对值的化简，合并同类项，解题的关键是利用数形结合的思想求解． ()根据数轴得：，即可判断； ()先判断出的范围，再根据不等式的性质运算进行判断； ()先判断出，再进行绝对值化简． 【详解】（1）解：根据数轴得：， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴ ◆题型6 未知范围的绝对值化简 21．已知整数满足，则满足条件的的值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性质和整数性质，理解相关知识是解答关键. 根据绝对值的非负性和整数性质，和均为非负整数，且和为1，因此只有两种可能情况：且，或且，分别求解和的整数值，计算的可能结果. 【详解】解：∵，且为整数， ∴ 和均为非负整数， ∴ 可能情况如下： 情况一：且 ∵， ∴ ∵， ∴或 ∴或， ∴或； 情况二：且  ∵， ∴或 ∵， ∴， ∴ ∴或 综上，的可能值为或，共个值. ∴ 故选： B. 22．已知，，且，则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．0或或1 D．0或1或 【答案】A 【分析】本题考查带字母的绝对值化简问题，根据已知条件得出a、b、c 中负数的个数是解题的关键． 由 可知 a、b、c 中负数的个数为奇数（1 个或 3 个），但由排除三负的情况，故恰好一个负数、两个正数，进而计算各项值，、、中两个为 1、一个为 ，和为 1；因而为。代入表达式得． 【详解】解：∵， ∴a、b、c 中负数的个数为奇数； ∵， ∴a、b、c 中不可能有三个负数（否则和为负），故恰好一个负数、两个正数． ∴、、中两个为 1、一个为，其和为 ． 又 ∵， ∴． ∴． 故选：A． 23．如果，且，那么________． 【答案】或 【分析】由题意可求出，故可分类讨论：①当时，则，从而可化简绝对值求解；②当时，则，同理求解即可． 【详解】解：，且， ． 对的值分类讨论如下： ①当时， ， ， ； ②当时， ， ， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查化简绝对值．利用分类讨论的思想是解题关键． 24．请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)如果，，是有理数且，那么的值是______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加法，有理数的乘法，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据绝对值的性质化简求值即可； （2）根据有理数的加法和乘法运算法则可得三个数中必定有两个正数，一个负数，可设，，，再根据绝对值的性质化简求值即可； （3）分四种情况，根据绝对值的性质化简求值即可． 【详解】（1）解：， ； ， ； （2）解：， ，，， 由可知，中有一个负数或三个负数； 若均为负数，则与矛盾， 故中必为两正一负， 分情况讨论： ①，，， ； ②，，， ； ③，，， 综上，的值为； （3）解：①当，，都为正数时，则原式； ②当，，中只有一个负数时， 当是负数，则原式； 当是负数，则原式； 当是负数，则原式； ③当，，中有两个负数时， 当，是负数，则原式； 当，是负数，则原式； 当，是负数，则原式； ④当，，都是负数时，则原式； 综上所述，所求式子的值是． ◆题型7 绝对值化简的新定义问题 25．小明学习了《有理数》后，对运算非常感兴趣，于是定义了一种新运算“”规则如下： 对于两个有理数，， ． (1)计算： ； (2)判断这种新运算是否具有交换律，并说明理由； (3)若，，如果直接写出的值． 【答案】(1)1 (2)满足交换律 (3) 或 【分析】本题考查了有理数的混合运算．定义新运算的题目要严格按照题中给出的计算法则计算． （1）利用规定的运算方法代入求得数值即可； （2）把（1）中的数字位置调换，计算后进一步比较得出结论即可； （3）分情况讨论求出求解即可. 【详解】（1）解：； （2）具有交换律，理由如下： 把（1）中的数字位置调换有 （3）因为， 所以 当时 ； 当时 即 解得或均不在范围内舍去； 当时 解得 所以 或 ． 26．阅读与思考 材料一：根据绝对值的定义可知，当时，；当时，；当时，．例如：． 材料二：若点表示的数记为，点表示的数记为，则两点间的距离就可记作．例如：式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离． 请阅读以上材料，并解答下列相关问题． (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)计算：． (4)若，直接写出的值． 【答案】(1)或2 (2)5或1 (3)2或0或 (4)6或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义、数轴上两点之间的距离等知识，正确理解题意，运用数形结合的思想分析问题． （1）分和两种情况，结合绝对值的定义即可获得答案； （2）根据的几何意义进行分析，即可获得答案； （3）分且，且，且，且四种情况，分别求解即可； （4）根据题意，可知的几何意义是数轴上表示数m的点与表示数的点和表示数的点的距离和为9，然后分，，三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，可有， 当时，可有，即， ∴的值是或2； （2）根据题意，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点之间的距离为2， 则的值是5或1； （3）根据题意，可知且， 当且时，可有， 当且时，可有， 当且时，可有， 当且时，可有， 综上所述，的值为2或0或； （4）根据题意，可知的几何意义是数轴上表示数m的点与表示数的点和表示数的点的距离和为9， 当时，可知， 则有，解得， 当时，可知， 则有，故此种情况不存在， 当时，可知， 则有，解得， 综上所述，m的值为6或． 27．对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为．例如：两点表示的数如图1所示，则 (1)两点表示的数如图2所示． ①两点的绝对距离等于 ___________； ②若为数轴上一点（不与点重合），且则点C表示的数是 ___________； (2)为数轴上的两点（点在点左边），且，若，则点M表示的数是 ___________． 【答案】(1)① ，②或 (2)或 【分析】本题考查了数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解两点的绝对距离的定义． （1 ）①根据两点的绝对距离的定义即可求解； ②先根据得到，再根据两点的绝对距离的定义即可求解； （2 ）根据两点间的距离公式，以及，即可写出点M表示的数． 【详解】（1）解：（1）①，两点的绝对距离为； ②∵，， ∴，即， ∴， ∴点表示的数为或； 故答案为：①，②或； （2）解：∵，，点在点左边， ∴点在点，N之间，，， ∴，； ∴点M表示的数为或 故答案为：或 28．对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定． （1）计算的值； （2）当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简． 【答案】（1）4；（2）-2b 【分析】（1）根据计算即可； （2）先根据数轴判断a+b和a-b的正负性，然后根据绝对值的意义把化简即可． 【详解】∵， ∴=； （2）∵b＜0，a＞0，且， ∴a+b＜0，a-b＞0， ∴=-a-b+a-b=-2b． 【点睛】本题考查了新定义运算，绝对值的意义，利用数轴比较代数式的大小，熟练掌握绝对值的意义是解答本题的关键． ◆题型8 绝对值化简问题综合 29．已知有理数a，b，c，d满足，其中，且，则式子的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的化简， 利用已知条件和，结合，推导出和，从而简化原表达式并计算值． 【详解】解：∵， ∴. 原式 ． ∵且， ∴，故， ∵， ∴. 由和，得，即， ∴. ∴原式． 故选：A． 30．已知a，b，c均为正整数，且，则的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值分非负性，化简绝对值，由条件且均为正整数，可知可能为0或1，对应为3或2，分两种情况讨论，计算的值，结果均为6 【详解】解：，且为正整数， ≥ 0，， 可能为0或1， 当时， ，且， 或， ，，， ； 当，则， ，且， 为正整数， ， ，但为正整数，故， ，，， ， 综上，， 故选：C 31．已知：，且，．则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，最小的值为，则_____． 【答案】7 【分析】本题考查了带有字母的绝对值化简问题，由可得， ， ，代入得；结合 可知 为两负一正，分类讨论三种情况计算的值即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ， ∴， ∵ 且 ， ∴ 为两负一正； 设，则 （）或（）， ∴ ； 分三种情况： 1. ：， 2. ：， 3. ：， ∴ 有3个不同值：， 即，，， ∴ ； 故答案为：7． 32．分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当为不等于的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这个数都是不等于的有理数，若这个数中有个正数，，求的值．（请用含的式子表示） 【答案】(1) (2)或3 (3) 【分析】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题． （1）根据绝对值的定义即可求解； （2）已知，则一正两负，分类讨论即可； （3）个正数，负数有个，式子中由个正个，相加即得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∴的正负性可能为： ①当为正数，为负数时，原式； ②当为正数，为负数时，原式； ③当为正数，为负数时，原式； ∴原式或3； （3）解：个正数，负数的个数为， ； 故答案为：． ◆题型9 绝对值方程 33．关于x的方程恰有三个解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．2022 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值方程． 先解绝对值方程，求出方程的四个解，再根据绝对值的非负性得到，即，可知，则四个解的大小为，根据关于x的方程恰有三个解，可知，计算即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴或或或， 即或或或． ∵， ∴． 即 ∵关于x的方程恰有三个解， ∴， ∴． 故选：B． 34．数形结合是解决数学问题的重要方法，我们可以从两个角度来看．从数的角度上看，可以对值的正负性进行分类讨论，从而去掉绝对值符号；从形的角度上看，可以看作是数轴上两点的距离，即点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则两点间的距离可表示为．请你利用以上方法解方程：得，_______． 【答案】 0或 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，理解题意，掌握绝对值方程的计算是关键． 从数的角度，通过分类讨论绝对值内表达式的正负性求解；从形的角度，利用数轴上两点距离的意义理解方程． 【详解】解：方程为， 绝对值零点为和，将数轴分为三个区间讨论： 当时，，，方程化为， 整理得，解得，不符合题意，舍去； 当时，，，方程化为， 整理得，解得，符合题意； 当时，，，方程化为， 整理得，解得，符合题意； 故方程为或． 从形的角度，设数轴上点P对应x，点A对应，点B对应，，即点到点距离的2倍， ∴方程的几何意义为：， 当时，方程为，解得(舍去)； 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得； 故答案为：0或． 35．若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为_______． 【答案】6 【分析】本题考查了含有绝对值的一元一次方程，把含有绝对值的方程化成一般形式的一元一次方程是解题关键．先根据绝对值的非负性判断的取值范围，然后根据绝对值的性质把含有绝对值的方程化成一元一次方程的形式，解方程求出，再根据方程解的情况判断的取值，从而求出方程的解，再求出它们的和即可． 【详解】解：根据题意，， 或或或， 方程有3个解，即有两个相等， 显然，不成立， 若，则，此时方程有两个解，不成立； 若，则，因为，不成立； 若，则，此时方程有三个解，分别为2，18，； 该方程三个解的和为：， 故答案为：6． 36．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1），（2），（3）． 例：解绝对值方程： 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为和． (1)问题（1）：依例题的解法，方程的解是__________． (2)问题（2）：尝试解绝对值方程：． (3)问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查解绝对值方程，理解题干中解绝对值方程的方法是解题的关键． （1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （3）分为三种情况：①当时，②当时，③当时，去掉绝对值符号后求出即可． 【详解】（1）①当时，原方程可化为，解得, ②当时，原方程可化为，解得， 方程的解是或， 故答案为：或； （2）①当时，原方程可化为，解得, ②当时，原方程可化为，它的解是， 方程的解为或； （3）①当时，， 原方程可化为，解得； ②当时，， 原方程可化为 ，化简得 ，该等式不成立，故方程在此范围内无解 ③当时，， 原方程可化为，解得； 综上，方程：的解为或． ◆题型10 绝对值非负性问题 37．a、b是整数，且满足，则____________． 【答案】0 【分析】本题考查求方程整数解与分类讨论数学思想的综合运用，首先根据分情况讨论，可以分成三种情况；（1）；（2）；（3），再根据条件a、b是整数分别讨论即可． 【详解】解：∵a、b是整数， ∴均为整数， ∵，，且， ∴①，则：或；满足题意； ②，不存在两个整数满足题意； ③，则，此时也不存在两个整数满足题意； 综上：； 故答案为：0． 38．已知为任意有理数，则的最小值为______． 【答案】 【分析】表示到距离加上倍到的距离再加上倍到的距离，由此可得在，，，的范围内分别求代数式的值，比较即可求解． 【详解】解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 故答案为： 【点睛】本题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键． 39．已知有理数满足． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意易得，将原式整理后解得的值即可． （2）由绝对值的性质可得，将的值代入解得的值，然后代入中计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴等式可化为， 解得． （2）解：∵， ∴， 即， 解得， 则． 【点睛】本题考查绝对值，熟练掌握其性质是解题的关键． 40．（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题． ①x满足______时，式子的值最______，为______； ②x满足______时，式子的值最______，为______； （2）已知若，则，即，若，则，即，如果x、y、z是有理数，且，时，直接写出的值为______． 【答案】（1）①，小，；②，大，5；（2）或 【分析】本题考查了绝对值的非负性质，绝对值的意义，分类讨论等知识与方法，掌握这些知识与方法是解题的关键； （1）①由绝对值的非负性质即可求解； ②由绝对值的非负性质即可求解； （2）由可得，则原式可化为；不妨假设，分两种情况：；，即可求解． 【详解】解：（1）①由于，则， 当时，， 此时当时，的值最小，最小值为； 故答案为：，小，； ②由于，则，， 当时，， 此时当时，的值最大，最大值为； 故答案为：，大，5； （2）由，得， 原式； 不妨假设， 由于，则，， 分两种情况： 当时； 原式 ； 当时， 原式 ； 综上，的值为或． ◆题型11 数轴与绝对值问题综合 41．如图，点M，N均在数轴上，点M所对应的数是，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点． (1)求出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； (3)若点P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴相向运动，运动时间为t，点P保持每秒运动2个单位长度，点Q保持每秒运动3个单位长度，点P到O立即折返，点Q到M立即折返，点P、Q分别折返到M、N时停止运动，直接写出P、Q距离为1时t的值． 【答案】(1)1 (2)点P所对应的数是或 (3)或或或 【分析】（1）根据题意可知数轴上右侧的数比左侧大，利用M对应的数加上两点距离即可得到N对应的数即可； （2）根据点P到点M、N的距离之和大于M、N的距离得到点在点、的两侧，分情况讨论：当点P在点M的左边或点P在点N的右边时，分别求出、的距离，从而求出点P所对应的数； （3）先分别确定P到达O点的时间、Q到达M点的时间，根据时间节点划分运动阶段，每个阶段分别用含t的式子表示P、Q对应的数，再根据两点距离为1列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解： ， 点N所对应的数是1； （2）解：点P到点M、N的距离之和是5个单位长度，， 点在点、的两侧， 分情况讨论： 如图，当点P在点M的左边时， ， 点P所对应的数是； 如图，当点P在点N的右边时， ， 点P所对应的数是， 综上所述，点P所对应的数是或； （3）解：根据题意得：点P到达O点所需时间为：，点Q到达M点所需时间为：， 则点P停止运动时需要的时间为，点Q停止运动时需要的时间为， 分情况讨论： ①当点Q未到达点M时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：或； ②当点Q从点M折返且点P未到达点O时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， ， 解得：（舍去）或（舍去）； ③当点P、Q都已折返时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， ， 解得：或， 综上所述：当或或或时， P、Q距离为1． 42．【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【答案】（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【分析】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值几何意义解答即可； （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可； （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 43．【概念认识】 规定数轴上两点之间的距离可以用右侧的点表示的数减去左侧点表示的数来计算． 点A、B、C在数轴上，点B与点A之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则称是的友好点，如图1，点都在数轴上，是原点，点是的友好点，也是的友好点． 【问题再现】 （1）如图1，在B、C中，_________是的友好点． 【问题探究】 （2）如图2，点E、M、F在数轴上，点E表示的数是a，点M表示的数是10，点表示的数是，且满足点到的距离大于点到点的距离． ①若M是的友好点，求的值； ②是否存在的值，使是的友好点； 【问题解决】 （3）如图1，点D以每秒1个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动，同时，点以每秒4个单位长度的速度，点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴正半轴运动，设运动时间为秒，求当是的友好点时，的值． 【答案】（1）；（2）①；②不存在；（3）的值为或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解友好点的定义． （1）根据友好点的定义求解即可； （2）①当是的友好点时，则，可得方程，再解方程即可；②当是的友好点时，则，可得方程，再解方程，判断解是否符合题意即可； （3）由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，由点是的友好点，得到，即可建立方程求解． 【详解】解：（1）由数轴可得，，， 此时，则点B不是的友好点； 此时，则点C是的友好点， 故答案为：； （2）①当是的友好点时，则 ∴， 解得：； ②当是的友好点时，则， ∴， 解得：， 当时，， 不满足点到的距离大于点到点的距离，舍去， 即不存在的值，使是的友好点； （3）由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵点是的友好点， ∴， ∴， 解得或 综上所述，的值为或． 44．观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题． 探究： （1）你能发现：与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ②数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ③数轴上表示和的两点之间的距离是___________． 归纳： 一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 应用： （2）①如果数和两点之间的距离是6，则可记为：，则_____． ②若数轴上表示数的点位于与之间，则_____． ③若，其中为整数，则_____ 【答案】（1）3；2；7；（2）①10或；②7；③，，，，0，1 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的性质与绝对值方程的求解，熟练掌握“数轴上两点间的距离等于两数差的绝对值”是解题的关键． （1）①利用数轴上两点距离公式，计算和的距离； ②同理，计算和的距离； ③同理，计算和的距离； （2）①根据绝对值方程，分情况求解； ②根据的范围判断绝对值内式子的符号，去掉绝对值后计算； ③根据绝对值的几何意义，分析的取值，结合为整数求解． 【详解】（1）解：①数轴上表示和的两点之间的距离：； ②数轴上表示和的两点之间的距离：； ③数轴上表示和的两点之间的距离：， 故答案为：3；2；7； （2）解：①， 或， 当时，； 当时，， 即或， 故答案为：10或； ②， ，， ， 故答案为：； ③表示数轴上到和的距离之和， 到的距离为， 当时，距离和为 又为整数， ， 故答案为：． 综合攻坚·知能拔高 1．如果的最小值是a，，那么的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的意义、有理数的乘法，利用绝对值的意义确定值和的符号是解答的关键． 先求的最小值，利用数轴上两点距离和的性质，得，由和，推出，再计算所求表达式各项的值，求和为． 【详解】解：根据绝对值的意义，当时，取得最小值，值为， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，分类讨论是解题的关键．设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5，由绝对值的几何意义可知的值即为线段、、、的长度之和，然后根据点A的位置分类讨论即可解答． 【详解】解：设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5， 则的值即为线段、、、的长度之和， 如图所示，当点A在点B左侧时， 则 ； 如图所示，当点A在点B与C之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点C与D之间时， 同理， ； 如图所示，当点A在点D与E之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点E的右侧时， 则 ； 综上所述，最小值为8． 故选：C． 3．若为整数，且的值为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值，明确题意，利用分类讨论的数学思想是解答本题的关键． 根据题意，可以得到a、b、c之间的关系，从而可以得到所求式子的值． 【详解】解：∵为整数， ∴为整数， ∵，且， ∴当时，符合题意， 此时，或， ∴； 当时，符合题意， 此时，或， ∴； 综上，的值为2， 故选：C． 4．已知：，且，，则m的最小值是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简． 利用，可得，同理可求出，代入题中分析即可． 【详解】， ， ， ， 中一负两正， 若，则， 若，则， 若，则， 故最小值为0， 故选：C． 5．已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，得到当时，，进而求出符合题意的所有整数，求和即可. 【详解】解：由题意，当，即时，， ∴符合题意的所有整数为， 故. 6．若的最小值是，则的值是______． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间的距离，由表示数在数轴上对应的点到数和表示的点的距离之和，则当在数和之间时，数在数轴上对应的点到数和的距离之和最小，最小值为，即，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵表示数在数轴上对应的点到数和表示的点的距离之和， ∴当在数和之间时，数在数轴上对应的点到数和的距离之和最小，最小值为， ∵的最小值是， ∴， 解得或， 故答案为：或． 7．设由1到6的六个自然数写成的序列是，则的最大值是 _______． 【答案】18 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，熟练应用数轴将绝对值具象化是解题的关键．画出数轴，依次让，，，，，最大，那么可知，，，，，，从而算得答案． 【详解】解：如图所示：依次让，，，，，最大， 那么 故答案为：18． 8．我们知道，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．当取得最小值时，整数可取的值有__________个． 【答案】4 【分析】根据，画出数轴，确定取得最小值时，的取值，并找出整数解. 【详解】解：表示数轴上表示数x的点与表示数的点的距离， 表示数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离. 当x在和2之间时，的值最小， 此时 所以满足条件的整数x为，0，1，2，共4个. 故答案为：4. 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，以及数轴上点的位置与距离关系及整数值的确定,重点把握几何意义，通过几何意义求最小值. 9．“数形结合”是重要的数学思想．请你结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，记作，那么 ． (2)利用绝对值的几何意义，探索的最小值为 ，若，则的值为 ． (3)当 时，的值最小． 【答案】(1)或 (2)；或 (3) 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，借助数轴化简绝对值和分类讨论是解题的关键． （1）根据，解方程即可求解； （2）根据题意，分情况讨论，再分别计算即可解答； （3）根据绝对值的意义即可解答． 【详解】（1）解：， ， 解得，或． 故答案为：或． （2）解：的意义表示数到表示和的两点之间的距离和， 当位于和之间（包括端点）时，距离和最小， 即， 的最小值为． 当位于和之间（包括端点）时，， 当或时，才有． 当时， ， 解得，； 当时， ， 解得，， 综上，当，的值为或． 故答案为：；或． （3）解：的意义表示数到表示，，的三点之间的距离和， 当时距离和最小， 即当时，的值最小． 故答案为：． 10．阅读下列材料，并回答问题．我们知道的几何意义是指数轴上表示数a的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点（如图所示），两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离是______； (3)若，则x的值为______； (4)当______时，的值最小，且最小值是______； (5)设，当Q的值最小时，整数x所有可能的值的和为______． 【答案】(1)15； (2)； (3)或； (4)2，4； (5)2026 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、化简绝对值，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）根据的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离即可求解； （2）根据的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离即可求解； （3）由题意可知表示x到和4的距离之和为7，因此分两种情况讨论即可解答； （4）根据题意可知，当时，的值最小，进而求出最小值即可； （5）数轴被，，2026分成四段，对每一段上的x取值进行讨论，去掉绝对值即可求解． 【详解】（1）解：的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离． 数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：15； （2）解：的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离， 数轴上表示x和的两点之间的距离， 故答案为：； （3）解：由题意可知表示x到和4的距离之和为7，且， 有两种情况， 当时，，解得； 当时，， 解得， 故答案为：或； （4）解：根据题意可知，表示x到，2，3这3个数的距离最小， 由两点间线段最短可得当时，的值最小， 把代入，得最小值为4， 故答案为：2，4； （5）解：，当Q的值最小时，分情况讨论， 当时，， 当时，， 此时， 当时，； 当时，， 取最小值时，， 此时整数x所有可能的值为，，…，2026， ， 故答案为： 11．解方程： 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值方程，根据绝对值的定义从最外层绝对值开始，逐步根据绝对值的定义去掉绝对值符号，分情况讨论并排除无解的情况，最终求解的值. 【详解】解： ， ， 或， ∴或（不合题意，舍去）， 则， 或， 或（不合题意，舍去）， 或． 12．众所周知：在数轴上，点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，那么A、B两点间的距离为． (1)当，时，求A、B两点之间的距离； (2)已知a与b的和恰好等于A、B两点间的距离，求的值； (3)已知，设点C在数轴上表示的数为x． ①填空：当时，x满足的条件为______， 当时，x满足的条件为______； ②对于，求的最小值及其C点的位置． 【答案】(1)5 (2)0 (3)①；；②当时，最小值为，此时点C在点A处；当时，最小值为2025，此时点在线段上（包括端点）；当时，最小值为2025，此时点C在点B处 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义； （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式得到，再分情况讨论计算即可； （3）①当点C在线段外时，，即，点C到A、B两点的距离之和，点C在线段上，此时，，据此求解即可； ②根据①中结论求解即可，注意分，，三种情况讨论． 【详解】（1）解：A、B两点间的距离为：； （2）解：依题意得， 当时，，； 当时，，； ∴； （3）解：①∵， ∴A、B两点间的距离为， ∴当点C在线段外时，，即，点C到A、B两点的距离之和， 点C在线段上，此时，， ∴当时，点C在线段上，，则，解得； 当时，点C在线段上，，则，解得； 故答案为：，； ②当时，，由①可得，当时，即C点在点处时，，即有最小值，最小值为． 当时，C点在线段上时，； 当时，由①可得，当时，即C点在点处时，有最小值，最小值为． 13．材料一：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离．这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点，之间的距离，例如在数轴上点表示数1，点表示数，则． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． 【简单应用】 （1）数轴上表示2和5的两点距离为______； （2）数轴上点，，分别表示数，2，4，则若点与线段的距离为______； （3）数轴上点，，分别表示数，2，，若点与线段的距离为2，则______． 【关联应用】 （1）代数式的最小值为______； （2）若代数式的值为12，求的最大值． 【实际应用】 如图，某工厂自动化直线型流水线上设有4个工位，，，和一个中控中心，，分别位于中控中心点左侧8米，左侧3米，，分别位于中控中心右侧2米，右侧5米，工位，分别需要2个机器人同时操作，工位，只需要1个机器人操作，现要在直线型流水线上设置一个长度为2米的可移动的物料区，供6个机器人取用，要求6个机器人到物料区的距离之和最小，请直接写出距离之和最小值． 【答案】[简单应用] （1） ；（2）；（3）或；[关联应用] （1）；（2）；[实际应用] 【分析】本题主要考查了数轴上的距离计算、绝对值的应用，熟练掌握点到线段距离的定义以及绝对值的性质是解题的关键． [简单应用] （1）根据两点之间的距离公式即可解答； （2）利用题中定义即可解答； （3）分类讨论，即点在左边或点在右边 [关联应用] （1）根据两点之间距离公式即可解答； （2）求出每个因式的最小值，即可得到的取值范围，求得最大值即可； [实际应用]由题意可得得落在间才会得到距离之和，再计算即可． 【详解】[简单应用] （1）解：数轴上表示2和5的两点距离为； （2）利用题中定义可得点与线段的距离为； （3）当点在左边时， ，解得； 当点在右边时， ，解得， 综上，或； 故答案为：；；或； [关联应用]（1）解： 表示到的距离加上到的距离， 当时，到的距离加上到的距离最小，最小值为， 故的最小值为， 故答案为：； （2）根据（1）可得在时，取最小值为， 在时，取最小值为， 在时，取最小值为， ， ，，， ，，， 的最大值为； [实际应用] 解：设点为原点，则可得，，，表示的数分别为， 由题意可得在之间时，距离最小， 设表示的数为，则表示的数为， 当时，，此时6个机器人到物料区的距离之和为： ， 当时，，此时6个机器人到物料区的距离之和为： ， 则6个机器人到物料区的距离之和为， 即， 在时，取最小值， 在时，取最小值， 的最小值为， 综上，距离之和最小值为． 14．我们知道，在数轴上，表示数表示的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和的两点的距离是______； (2)如果，则______； (3)当取最小值时，则______； (4)如图，已知，分别为数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是；现有一只蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁恰好从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右移动，运动时间为秒，若，求时间的值． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，绝对值的意义，数轴上两点间的距离公式，根据题意正确的列等式、方程是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式列式计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，找出满足条件的点表示的数即可； （3）分，，，四种情况，根据绝对值的性质化简得到的取值范围，从而得解； （4）根据题意分别表示出，，，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点的距离是， 故答案为：； （2）解：， 表示的点到表示和的点的距离之和为， 或， 故答案为：或； （3）解：当时，， ， ， 当时，， ， ， 当时，， ， ， 当时，， ， ， 的最小值为，此时． 故答案为：； （4）解：根据题意得，，，， ， ，即， 或， 解得或． 15．已知：，，…，都是不等于的有理数，请你探究以下问题： (1)若，则共有______个不同的值，它们分别是______； (2)若，则共有______个不同的值，它们分别是______； (3)若，则共有______个不同的值，它们分别是______； (4)若，求的值； (5)由以上探究可知，， 则共有______个不同的值，它们分别是______； 在这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于______， 的这些所有的不同的值的绝对值的和等于______． 【答案】(1)； (2)；或 (3)；或 (4)或或 (5) 【分析】本题主要考查了有理数运算，绝对值运算以及分类讨论思想，正确进行分类讨论是解题的关键． () 根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案； () 根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案； ()根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案； ()根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案； ()根据上面的结果进行仔细观察，归纳，发现规律，即可到得答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 综上，共有个不同的值，它们分别是； 故答案为：；； （2）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，共有个不同的值，它们分别是或； 答案为：；或； （3）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，共有个不同的值，它们分别是或； 答案为：；或； （4）当时，， 当时，， 当时，， 当时， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，分别是或或； （5）由以上探究可知，的不同值的个数为个， 的不同值的个数为个， 的不同值的个数为个， 的不同值的个数为个， 对于，， 每一个的值为或， 由此可知的不同值的个数为个，值为； 当时，共有个不同的值， 的取值为； 当所有的都为时，取得最大值， 最大值为， 当所有的都为时，取得最小值， 最小值为， 则最大值与最小值的差为：， 的取值为，这些数是关于对称的， 则的这些所有的不同的值的和为： ∴的这些所有的不同的值的和的绝对值为． 故答案为：． 16．阅读下面材料：如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，则A、B两点之间的距离可以表示为． 根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示8与－2的两点之间的距离是 ； (2)若，则 ；若，则 ； (3)表示数轴上有理数x所对的点到1和－3所对的两点距离之和，请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得． (4)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请直接写出最小值．若没有，说出理由． 【答案】(1)10． (2)或；． (3)． (4)2023． 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离以及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点的距离公式和绝对值的几何意义，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）根据题意可得8与的两点之间的距离是，计算即可． （2）表示x到的距离为3，由数轴可解；表示x到1的距离和到的距离相等，由数轴可解． （3）根据绝对值的意义可知表示x到1的距离与x到的距离之和，根据点在数轴上的位置求解即可． （4）根据绝对值的意义可知表示x到的距离，x到的距离与x到的距离之和，根据点在数轴上的位置求解即可． 【详解】（1）∵， ∴数轴上表示8与的两点之间的距离是， 故答案为：． （2）表示x到的距离为3， 根据数轴可得，到数轴上表示的数距离为3的点表示的数为或， 故答案为：或． 表示x到1的距离和到的距离相等， 根据数轴上点的位置可得到1的距离和到的距离相等的点表示的数为， 即， 故答案为：． （3） 表示x到1的距离与x到的距离之和， ， 由数轴可知的整数符合题意， ∴使得成立的所有符合条件的整数x为． （4）如图， 根据绝对值的意义可知表示x到的距离，x到的距离与x到1011的距离之和， ∵表示的数与表示1011的数之间的距离为， 根据数轴可知，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，当时，有最小值为． 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 绝对值的几何意义与最值问题11大题型 常考题型·精准突破 考点一 绝对值的几何意义与最值问题 题型一：两个绝对值的和的最值（高频） 题型二：两个绝对值的差的最值 题型三：多个绝对值的和的最值（高频） 题型四：绝对值中最值问题的应用（难） 题型五：已知范围的绝对值化简（高频） 题型六：未知范围的绝对值化简（难） 题型七：绝对值化简的新定义问题 题型八：绝对值化简问题综合 题型九：绝对值方程 题型十：绝对值非负性问题 题型十一：数轴与绝对值问题综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 绝对值的几何意义与最值问题 ◆题型1 两个绝对值的和的最值 1．我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 2．的最小值是______． 3．如果是有理数，那么的最小值为______． 4．我们规定：表示7与3的差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看成，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)若，则的值． (2)由以上探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． ◆题型2 两个绝对值的差的最值 5．当_________时，的值最大，最大值为_________． 6．如图，小亮把东、西大街表示成一条数轴，把公交站的位置用数轴上的点表示出来，其中鼓楼站的位置记为原点，正东方向为正方向，公交车的一站地为一个单位长度（假设每站距离相同）．请你根据图形回答下列问题：    (1)到广济街的距离等于两站的地方是________． (2)如果用表示数轴上的点表示的数，那么表示这个点与1对应点的距离为2，请你根据以上信息回答下面问题： ①当满足________时，则的值最小，最小值是________； ②当满足________时，则的值最大，最大值是________． ③若，则满足条件的所有站地表示的数为________． (3)到这8个站距离之和最小的站地是否存在？若存在，是哪个站地？最小值是多少？若不存在，请说明理由． 7．【定义新知】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离． 回答下列问题： （1）数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______．当，那么x为______． （2）当的最小值是______． （3）的最大值为______． （4）当______时，的值最小． 【解决问题】 （5）如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧5km、左侧1km、右侧1km、右侧3km．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在______，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短？最短路程是______km． 8．如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1) ， ， ． (2)x是数轴上任意一个有理数，则有最小值是 ． (3)有最大值是 ，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是 ． ◆题型3 多个绝对值的和的最值 9．的最小值是________ 10．对于数轴上的一切数，式子的最小值是______． 11．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示x在数轴上对应的点到的距离，由上面绝对值的几何意义，解答下列问题： (1)x与4的距离可以表示为__________，若，则__________． (2)若，则所有符合条件的整数x的和为__________． (3)当x的取值为多少时，有最小值，最小值是多少？ 12．阅读材料：数轴是沟通数与形的重要桥梁，利用数轴可以直观地理解很多代数问题．对于数轴上的两点A，B，我们把A，B两点所表示的数之差的绝对值，叫做A，B两点之间的距离，记作．例如，数轴上表示2和5的两点之间的距离为；数轴上表示和的两点之间的距离为． 完成下列各题∶ (1)数轴上表示3和的两点之间的距离为： ； (2)①若，则 ； ②若数轴上点M表示的数为x，点N表示的数为，点P表示的数为5，且，则 ； (3)的最小值为 ． ◆题型4 绝对值中最值问题的应用 13．【问题探究】 点在数轴上分别表示实数；两点之间的距离可表示为． 代数式的几何意义是表示有理数的点到表示数2的点与表示数的点的距离之和． 利用几何意义，解决下列问题： （1）求方程的解是_____； （2）求的最小值是_____； 【问题解决】 同心抗疫，情暖居民．疫情防控期间，某一直线沿街有9个小区，依次记为，假定相邻两个小区间隔相同，将这个间隔记为200米．社区想为这9个小区的居民提供防疫物资，决定在路旁建立一个物资供应站P．请问点P选在_____处时，才能使这9个小区的居民到点P（物资供应站）的距离总和最小，最小值是_____； 【问题拓展】 求方程的解是_____． 14．同学们都知道，表示6与3之差的绝对值，也可以利用数轴理解为数轴上6与3这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答： (1)______，这个算式利用数轴可理解为______； (2)求使成立的所有整数______； (3)如图（2），在通甫路一侧有A，B，C，D四个居民区，且，现要在公路旁开一家商场，使各居民区到商场的距离之和最小，则商场的位置应在______两个小区之间． (4)如题（3）所述，三个居民区A、B、C和市民广场，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民2000人，B居民区有居民1000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路旁建“晨风快递”驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么“晨风快递”驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是______元． 15．阅读下面的材料，完成有关问题． 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么之间的距离可表示为．请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的意义是___________； （2）的最小值为___________； （3）最大值为___________； （4）的最小值为___________； 【解决问题】 （5）如图，一条笔直的公路边有四个居民区、、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点，那么这个便民服务点建在何处，能使服务点到四个居民区总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 16．阅读：如图，点、在数轴上分别表示实数、，则、两点之间的距离可以表示为． (1)理解： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______； ②数轴上表示和的两点和之间的距离是______，如果，那么______； (2)运用： ③当代数式时，相应的整数的值是______； ④若，满足时，则代数式的最大值是______，最小值是______． (3)提升： ⑤有、、、、五位小朋友按顺时针方向围成一个小圆圈，他们分别有卡片12、6、9、3、10张．现在为使每人手中卡片数相等，各调几张卡片给相邻小朋友（可以从相邻小朋友调进或调出给相邻小朋友），要使调动的卡片总数最小，应该做怎样的调动安排？最少调动几张？ ◆题型5 已知范围的绝对值化简 17．有理数在数轴上如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 18．有理数在数轴上的位置如图所示，化简：___________ 19．有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)比较大小：___________0；___________0（填：“>”，“<”或“=”）； (2)化简：． 20．根据数轴，解决下列问题． (1)比较：_____（填写“”“”或“”）； (2)判断正负，用“”或“”填空： ______，______， ______； (3)化简：． ◆题型6 未知范围的绝对值化简 21．已知整数满足，则满足条件的的值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．已知，，且，则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．0或或1 D．0或1或 23．如果，且，那么________． 24．请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)如果，，是有理数且，那么的值是______． ◆题型7 绝对值化简的新定义问题 25．小明学习了《有理数》后，对运算非常感兴趣，于是定义了一种新运算“”规则如下： 对于两个有理数，， ． (1)计算： ； (2)判断这种新运算是否具有交换律，并说明理由； (3)若，，如果直接写出的值． 26．阅读与思考 材料一：根据绝对值的定义可知，当时，；当时，；当时，．例如：． 材料二：若点表示的数记为，点表示的数记为，则两点间的距离就可记作．例如：式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离． 请阅读以上材料，并解答下列相关问题． (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)计算：． (4)若，直接写出的值． 27．对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为．例如：两点表示的数如图1所示，则 (1)两点表示的数如图2所示． ①两点的绝对距离等于 ___________； ②若为数轴上一点（不与点重合），且则点C表示的数是 ___________； (2)为数轴上的两点（点在点左边），且，若，则点M表示的数是 ___________． 28．对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定． （1）计算的值； （2）当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简． ◆题型8 绝对值化简问题综合 29．已知有理数a，b，c，d满足，其中，且，则式子的值为（    ） A． B． C．2 D．4 30．已知a，b，c均为正整数，且，则的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 31．已知：，且，．则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，最小的值为，则_____． 32．分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当为不等于的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这个数都是不等于的有理数，若这个数中有个正数，，求的值．（请用含的式子表示） ◆题型9 绝对值方程 33．关于x的方程恰有三个解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．2022 34．数形结合是解决数学问题的重要方法，我们可以从两个角度来看．从数的角度上看，可以对值的正负性进行分类讨论，从而去掉绝对值符号；从形的角度上看，可以看作是数轴上两点的距离，即点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则两点间的距离可表示为．请你利用以上方法解方程：得，_______． 35．若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为_______． 36．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1），（2），（3）． 例：解绝对值方程： 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为和． (1)问题（1）：依例题的解法，方程的解是__________． (2)问题（2）：尝试解绝对值方程：． (3)问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：． ◆题型10 绝对值非负性问题 37．a、b是整数，且满足，则____________． 38．已知为任意有理数，则的最小值为______． 39．已知有理数满足． (1)求的值； (2)若，求的值． 40．（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题． ①x满足______时，式子的值最______，为______； ②x满足______时，式子的值最______，为______； （2）已知若，则，即，若，则，即，如果x、y、z是有理数，且，时，直接写出的值为______． ◆题型11 数轴与绝对值问题综合 41．如图，点M，N均在数轴上，点M所对应的数是，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点． (1)求出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； (3)若点P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴相向运动，运动时间为t，点P保持每秒运动2个单位长度，点Q保持每秒运动3个单位长度，点P到O立即折返，点Q到M立即折返，点P、Q分别折返到M、N时停止运动，直接写出P、Q距离为1时t的值． 42．【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 43．【概念认识】 规定数轴上两点之间的距离可以用右侧的点表示的数减去左侧点表示的数来计算． 点A、B、C在数轴上，点B与点A之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则称是的友好点，如图1，点都在数轴上，是原点，点是的友好点，也是的友好点． 【问题再现】 （1）如图1，在B、C中，_________是的友好点． 【问题探究】 （2）如图2，点E、M、F在数轴上，点E表示的数是a，点M表示的数是10，点表示的数是，且满足点到的距离大于点到点的距离． ①若M是的友好点，求的值； ②是否存在的值，使是的友好点； 【问题解决】 （3）如图1，点D以每秒1个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动，同时，点以每秒4个单位长度的速度，点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴正半轴运动，设运动时间为秒，求当是的友好点时，的值． 44．观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题． 探究： （1）你能发现：与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ②数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ③数轴上表示和的两点之间的距离是___________． 归纳： 一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 应用： （2）①如果数和两点之间的距离是6，则可记为：，则_____． ②若数轴上表示数的点位于与之间，则_____． ③若，其中为整数，则_____ 综合攻坚·知能拔高 1．如果的最小值是a，，那么的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 2．的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．若为整数，且的值为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．4 4．已知：，且，，则m的最小值是（    ） A． B． C．0 D．2 5．已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 6．若的最小值是，则的值是______． 7．设由1到6的六个自然数写成的序列是，则的最大值是 _______． 8．我们知道，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．当取得最小值时，整数可取的值有__________个． 9．“数形结合”是重要的数学思想．请你结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，记作，那么 ． (2)利用绝对值的几何意义，探索的最小值为 ，若，则的值为 ． (3)当 时，的值最小． 10．阅读下列材料，并回答问题．我们知道的几何意义是指数轴上表示数a的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点（如图所示），两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离是______； (3)若，则x的值为______； (4)当______时，的值最小，且最小值是______； (5)设，当Q的值最小时，整数x所有可能的值的和为______． 11．解方程： 12．众所周知：在数轴上，点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，那么A、B两点间的距离为． (1)当，时，求A、B两点之间的距离； (2)已知a与b的和恰好等于A、B两点间的距离，求的值； (3)已知，设点C在数轴上表示的数为x． ①填空：当时，x满足的条件为______， 当时，x满足的条件为______； ②对于，求的最小值及其C点的位置． 13．材料一：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离．这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点，之间的距离，例如在数轴上点表示数1，点表示数，则． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． 【简单应用】 （1）数轴上表示2和5的两点距离为______； （2）数轴上点，，分别表示数，2，4，则若点与线段的距离为______； （3）数轴上点，，分别表示数，2，，若点与线段的距离为2，则______． 【关联应用】 （1）代数式的最小值为______； （2）若代数式的值为12，求的最大值． 【实际应用】 如图，某工厂自动化直线型流水线上设有4个工位，，，和一个中控中心，，分别位于中控中心点左侧8米，左侧3米，，分别位于中控中心右侧2米，右侧5米，工位，分别需要2个机器人同时操作，工位，只需要1个机器人操作，现要在直线型流水线上设置一个长度为2米的可移动的物料区，供6个机器人取用，要求6个机器人到物料区的距离之和最小，请直接写出距离之和最小值． 14．我们知道，在数轴上，表示数表示的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和的两点的距离是______； (2)如果，则______； (3)当取最小值时，则______； (4)如图，已知，分别为数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是；现有一只蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁恰好从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右移动，运动时间为秒，若，求时间的值． 15．已知：，，…，都是不等于的有理数，请你探究以下问题： (1)若，则共有______个不同的值，它们分别是______； (2)若，则共有______个不同的值，它们分别是______； (3)若，则共有______个不同的值，它们分别是______； (4)若，求的值； (5)由以上探究可知，， 则共有______个不同的值，它们分别是______； 在这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于______， 的这些所有的不同的值的绝对值的和等于______． 16．阅读下面材料：如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，则A、B两点之间的距离可以表示为． 根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示8与－2的两点之间的距离是 ； (2)若，则 ；若，则 ； (3)表示数轴上有理数x所对的点到1和－3所对的两点距离之和，请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得． (4)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请直接写出最小值．若没有，说出理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $