精品解析：陕西省西安市益新中学2025-2026学年度第二学期期末阶段作业八年级数学

2025~2026学年度第二学期期末阶段作业 八年级数学 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 王利在一家便利店买了若干瓶酸奶，结账时共计48元，收银员告诉他满50打八折，于是王利又拿了一瓶相同的酸奶，共花费了44.8元．则王利一共买了几瓶酸奶？若设该酸奶单价为x元/瓶，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得点，之间的距离为，点，之间的距离为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，先有一张矩形纸片，点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在点处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③重合时，；④的面积的取值范围是．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ②④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 要使分式有意义，则x的取值范围为_____． 10. 若多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为______． 11. 因式分解：______________ ． 12. 如果关于的方程有增根，那么的值为___________． 13. 如图，在矩形中，点E在边上，点F是AE的中点，，则的长为__________． 14. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为_____． 三、解答题（共12小题，计81分，解答应写出过程） 15. 解下列不等式或不等式组 （1）； （2）求不等式组：的非负整数解． 16. 分式化简 （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，已知四边形，．请用尺规作图法，在边上求作一点E，在边上求作一点F，使四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）     19. 已知：如图，△BCE、△ACD分别是以BE、AD为斜边的直角三角形，且BE=AD，△CDE是等边三角形．求证：△ABC是等边三角形． 20. 第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？ 21. 如图，在中，点，分别是，的中点，延长至点，使得，连接，，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 22. 阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即． 所以． 故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知：，求的值． 23. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：AF＝DC； （2）△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？并证明你的结论． 24. 2025年春节档电影《哪旺2：魔童闹海》惊艳世界，创造了中国影视票房记录，某商家看准商机，推出了A、B两种类型的哪吒纪念娃娃，其进价和售价如下表所示： 进价（元/个） 售价（元/个） A种类型 50 80 B种类型 60 100 （1）该商家计划购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃共1000个，且A种类型的哪吒纪念娃娃的数量不超过B种类型的哪吒纪念娃娃数量的1.5倍，总成本不超过54100元，一共有多少种满足条件的方案？ （2）在（1）的条件下，设售出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃的总利润为W元，请写出W（元）与A种类型哪吒纪念娃娃的数量（个）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总利润W最大，并求出W的最大值． 25. 如图，一次函数的图像分别交x轴，y轴于A，B两点，过点B的另一条直线交x轴正半轴于点C，且 （1）求直线的表达式． （2）点E为直线上一动点，在y轴上是否存在点D，使点A，B，D，E构成以为边的平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由． 26. 问题提出：（1）如图①，在，，，点D是边上一点，若平分的面积，则______； 问题拓展：（2）如图②，在平行四边形中，，，，点E在边上，且，点F在边上，若将平行四边形的面积平分，求线段的长度； 问题应用：（3）张伯伯有一块空地，如图③，四边形为空地的示意图，经测量，，，．张伯伯计划在空地内种植花卉，并且过点C修一条笔直的小路将四边形的面积平分，请问是否存在这样的路？若存在，请求出这条路的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末阶段作业 八年级数学 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此项不符合题意； D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此项符合题意． 故选：D． 2. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，平方差公式，分式乘方等知识，掌握运算法则和性质是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式值不变据此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，原变形错误，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意； C、，原变形错误，故此选项不符合题意； D、，与不一定相等，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解）、平方差公式（）逐项判断即可得． 【详解】解：A、等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，则此项不符题意； B、是整式的乘法运算，不是因式分解，则此项不符题意； C、等式右边等于，与等式左边不相等，不是因式分解，则此项不符题意； D、等式右边等于，即等式的两边相等，且等式右边是整式积的形式，是因式分解，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的定义、整式的乘法运算，熟记因式分解的定义是解题关键． 4. 如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据平行线的性质求出，再根据三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5. 如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，利用等腰三角形的性质得到，延长交于点M，利用平行线的性质，三角形外角性质计算即可． 【详解】如图，延长交于点M， ∵，E、F、G分别是的中点，，， ∴， ∴，，， ∴， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 6. 王利在一家便利店买了若干瓶酸奶，结账时共计48元，收银员告诉他满50打八折，于是王利又拿了一瓶相同的酸奶，共花费了44.8元．则王利一共买了几瓶酸奶？若设该酸奶单价为x元/瓶，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知等量关系：第二次购买酸奶数－第一次购买酸奶数=1，由此列出方程即可． 【详解】解：根据题意可知第二次购买酸奶数－第一次购买酸奶数=1， 由可列出方程为：， 故选：D． 【点睛】本题考查列分式方程解决实际问题，能够根据题意找出等量关系式解决本题的关键． 7. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得点，之间的距离为，点，之间的距离为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，交于点O，过点D作于点F，过点B作于点G，证明四边形是菱形；利用勾股定理解答即可；本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】连接，交于点O，过点D作于点F，过点B作于点G， 根据平行线间的距离处处相等，得到， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ∴四边形是菱形； ∴； ∴； 故选：A． 8. 如图，先有一张矩形纸片，点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在点处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③重合时，；④的面积的取值范围是．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设，得，进而得，这个不一定成立，判断①错误；点P与点A重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得，判断出③正确；当过D点时，求得四边形的最小面积，进而得S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：由题意，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故正确； ∴，， ∴， ∵， 若， ∴， ∴，这个结论不一定成立，故错误； 点与点重合时，如图所示， 设，则， ∴在中，, ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴，故正确； 当过点时，，结合四边形是菱形得到菱形是正方形，则，如图所示，最短，四边形面积最小， ∴； 当点与点重合时，如图，最长，四边形的面积最大，此时，， ∴， ∴，故错误； 正确的项为， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，掌握折叠的性质及菱形的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 要使分式有意义，则x的取值范围为_____． 【答案】x≠﹣2 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可得x+2≠0，解这个不等式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：x+2≠0， ∴x≠﹣2， 故答案为x≠﹣2． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件：分母不为0． 10. 若多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和与外角和问题，熟练掌握多边形的外角和等于是解题关键．先求出这个多边形的每个外角都是，再根据多边形的外角和等于求解即可得． 【详解】解：∵这个多边形的每个内角都是， ∴这个多边形的每个外角都是， ∴这个多边形的边数为， 故答案为：9． 11. 因式分解：______________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式；   故答案为： ． 12. 如果关于的方程有增根，那么的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定分式方程的增根，将分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程即可求出的值. 【详解】解：∵ 方程有增根，且方程分母为和， ∴ 增根满足，即. ， 方程两边同乘最简公分母，得 ， 整理得 ， 将代入上式，得 ， 解得 . 13. 如图，在矩形中，点E在边上，点F是AE的中点，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出，进而求出，然后在中利用勾股定理求出，最后利用直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点F是AE的中点， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题 14. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题． 【详解】解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF． ∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD， ∴OM＝AD＝2， ∵AB∥CD， ∴∠GCF＝∠B＝60°， ∴∠DGO＝∠CGE＝30°， ∵AD＝BC， ∴∠DAB＝∠B＝60°， ∴∠ADC＝∠BCD＝120°， ∴∠DOG＝30°＝∠DGO， ∴DG＝DO＝2， ∵CD＝4， ∴CG＝2， ∴OG＝2，GF＝，OF＝3， ∴ME≥OF﹣OM＝3﹣2， ∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为3﹣2． 【点睛】本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 三、解答题（共12小题，计81分，解答应写出过程） 15. 解下列不等式或不等式组 （1）； （2）求不等式组：的非负整数解． 【答案】（1） （2）不等式组的非负整数解为， 【解析】 【分析】（1）不等式两边同时乘以，然后进行合并同类项即可． （2）分别求出两个不等式的解，然后求出不等式组解集，再求出不等式组非负整数解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， 解不等式， ， ， ， 解不等式， ， ， ， ∴不等式组解集为， ∴不等式组的非负整数解为，． 16. 分式化简 （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）；； 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 当时，原式． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验，逐一进行求解即可． 【小问1详解】 解：去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解：去分母，得， 解得； 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 18. 如图，已知四边形，．请用尺规作图法，在边上求作一点E，在边上求作一点F，使四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）     【答案】 如图，点E，F即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，尺规作图——作已知线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，作出线段的垂直平分线是解题的关键．连接，作线段的垂直平分线分别交，于点E，F，连接、，即可． 【详解】理由：设交于点O， 根据作法得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 19. 已知：如图，△BCE、△ACD分别是以BE、AD为斜边的直角三角形，且BE=AD，△CDE是等边三角形．求证：△ABC是等边三角形． 【答案】证明见解析. 【解析】 【详解】试题分析：根据等边三角形CDE的性质、等量代换求得∠3=∠1=60°；然后由全等三角形Rt△BCE和Rt△ACD推知对应边BC=AC；据此可以判定△ABC是等边三角形． 如图： ∵△CDE是等边三角形， ∴EC=CD，∠1=60°， ∵BE、AD都是斜边， ∴∠BCE=∠ACD=90°， ∴Rt△BCE≌Rt△ACD（HL）． ∴BC=AC． ∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°， ∴∠3=∠1=60°． ∴△ABC是等边三角形． 考点：本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质 点评：等边三角形的判定可以通过三个内角相等，三条边都相等或者两条相等的边之间的夹角是60°等方法． 20. 第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？ 【答案】该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆． 【解析】 【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可． 【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆， 由题意得：﹣＝140， 解得：x＝4， 经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意， 15x =15×4＝60， 答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆． 【点睛】本题主要考查的是分式方程的应用；解答此题，首先确定5G与4G下载的速度关系，在根据题意找出下载600兆的公益片所用时间的等量关系，是解答此题的关键． 21. 如图，在中，点，分别是，的中点，延长至点，使得，连接，，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论； （2）根据勾股定理的逆定理得到，结合平行四边形的性质、勾股定理求出，进而求出． 【小问1详解】 证明：点，分别是，的中点， 是的中位线， ，， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 【小问2详解】 解：，， ， ， 点是的中点，，，， ，， 由可知：四边形为平行四边形， ，， 在中，， 则． 【点睛】本题考查的知识点是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理及其逆定理，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理． 22. 阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即． 所以． 故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知：，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，解题的关键正确理解题目给出的解答思路，本题属于基础题型．根据题意给出的解题思路即可求出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：AF＝DC； （2）△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠ADC=90°时，证明见解析. 【解析】 【分析】根据AAS证≌，推出，即可得出答案； （2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得出，根据矩形的判定推出即可． 【详解】（1）证明：∵AF∥BC， ∴ ∵E为AD的中点， ∴ 在△AFE和△DBE中 ∴△AFE≌△DBE ∴ 又AD为中线， ∴ ∴ （2）是等腰三角形，即 ∵ 且AF∥CD， ∴四边形ADCF为平行四边形， 当时， ∵AD为BC边上的中线， ∴ 即 ∴四边形ADCF为矩形． 【点睛】考查全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质，矩形的判定等，掌握矩形的判定方法是解题的关键. 24. 2025年春节档电影《哪旺2：魔童闹海》惊艳世界，创造了中国影视票房记录，某商家看准商机，推出了A、B两种类型的哪吒纪念娃娃，其进价和售价如下表所示： 进价（元/个） 售价（元/个） A种类型 50 80 B种类型 60 100 （1）该商家计划购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃共1000个，且A种类型的哪吒纪念娃娃的数量不超过B种类型的哪吒纪念娃娃数量的1.5倍，总成本不超过54100元，一共有多少种满足条件的方案？ （2）在（1）的条件下，设售出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃的总利润为W元，请写出W（元）与A种类型哪吒纪念娃娃的数量（个）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总利润W最大，并求出W的最大值． 【答案】（1）共有11种满足条件的方案 （2）购买种590个，售出种410个，最大收益为34100元 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组解决实际问题，一次函数解决实际问题，分析得到题意中各量的数量关系是解题的关键． （1）设购买A种纪念娃娃x个，则购买B种纪念娃娃个，根据“A种类型的哪吒纪念娃娃的数量不超过B种类型的哪吒纪念娃娃数量的1.5倍，总成本不超过54100元”列出不等式组，求解方程组，找出其整数解即可解答； （2）列出总利润W关于A种纪念娃娃数量x之间的函数关系式，根据一次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设购买A种纪念娃娃x个，则购买B种纪念娃娃个，根据题意得， ， 解得：， ∵x为正整数， ∴， 即x的取值共有11个整数， ∴共有11种满足条件的方案； 【小问2详解】 解：总利润， 由可知W随的增大而减小， 当时，W取得最大值，最大值为34100（元）， 此时 答：购买种590个，售出种410个，最大收益为34100元． 25. 如图，一次函数的图像分别交x轴，y轴于A，B两点，过点B的另一条直线交x轴正半轴于点C，且 （1）求直线的表达式． （2）点E为直线上一动点，在y轴上是否存在点D，使点A，B，D，E构成以为边的平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点D的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，平行四边形的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）对于一次函数，令，得到，由，得到，根据待定系数法即可求出直线的解析式； （2）设，，分两种情况讨论：①，为对角线，②，为对角线，由平行四边形的对角线的中点重合，根据中点公式列出方程组，求解即可． 【小问1详解】 解：对于一次函数，令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在点D，点A，B，D，E构成以为边的平行四边形．理由如下： 对于一次函数，令，则， 解得， ∴， ∵点E为直线上一动点，点D在y轴上， ∴设，， ①当，为对角线时，，的中点重合， ∴，解得， ∴； ②当，为对角线时，，的中点重合， ∴，解得， ∴； 综上所述，点D的坐标为或． 26. 问题提出：（1）如图①，在，，，点D是边上一点，若平分的面积，则______； 问题拓展：（2）如图②，在平行四边形中，，，，点E在边上，且，点F在边上，若将平行四边形的面积平分，求线段的长度； 问题应用：（3）张伯伯有一块空地，如图③，四边形为空地的示意图，经测量，，，．张伯伯计划在空地内种植花卉，并且过点C修一条笔直的小路将四边形的面积平分，请问是否存在这样的路？若存在，请求出这条路的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）12；（2）的长为；（3）存在，这条路的长度为 【解析】 【分析】（1）由题意知，是的中线，如图①，是等腰三角形，则，，由勾股定理得，计算求解即可； （2）由题意知，，如图②，过作于，过作于，则四边形为矩形，，，，，，则，，由勾股定理得，计算求解即可； （3）如图③，延长，交点为，则，，，，，设，则，由勾股定理得，即，解得，即，，同理，则，，则，如图③，过作于，，则，由勾股定理得，由，可得，解得，则，由勾股定理得，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，是的中线，如图①， ∵，， ∴，， 由勾股定理得， 故答案为：12； （2）解：∵平行四边形，将平行四边形的面积平分， ∴，， 如图②，过作于，过作于，则四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴的长度为； （3）解：如图③，延长，交点为， ∵，， ∴，，， ∵， ∴，， 设，则， 由勾股定理得，即，解得， ∴，， 同理，则， ∴， ∴， 如图③，过作于， ∴，则， 由勾股定理得， ∵， ∴，解得， ∴， 由勾股定理得， ∴存在，这条路的长度为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形，平行四边形的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $