25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习求根公式及判别式引入问题，引导学生探索两根之和与两根之积的规律，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于注重学生自主探究，通过观察求根公式特点发现规律，结合求根公式推导与因式分解两种方法验证关系，培养数学思维中的推理能力和数学眼光中的抽象能力。总结常见代数式变形模型，助力学生用数学语言表达数量关系，既提升学生探究与应用能力，也为教师提供清晰教学路径。

第二十五章 一元二次方程 2026人教版·九年级上册 25.2 降次——解一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标 1. 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. 2. 通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与两根之和与两根之积的规律发现、完成归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程. 复习回顾 1.一元二次方程的求根公式是什么？ 2.如何用判别式b2–4ac来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 当b2– 4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 当b2– 4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2– 4ac<0时，方程无实数根. 方程的两根x1和x2与系数a，b，c还有其他关系吗？ 探索新知 观察求根公式 它有什么特点？ 由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ 思考： 分析：整体上看，两个根分别是 “m＋n” 和 “m－n” 的形式，而且式子 “n” 中含有根号，这种形式的式子相加可以消去“ n ”，相乘可以去掉 “n”中的根号，从而使形式简洁. 探索新知 你还有其他方法得出上述关系吗？ 探索新知 我们知道，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的左边可以分解因式为 a(x - x1)(x - x2)，那么方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1 和 x2. 反过来，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1 和 x2， 那么上面的关系还能通过什么方法得出？ ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)， 即 ax2 + bx + c = ax2 - a(x1 + x2) x + ax1·x2 ， 由此可得 - a(x1 + x2) = b，ax1·x2 = c 探索新知 新知小结 一元二次方程的根与系数的关系 若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的两个根， 注意事项（使用前提） 1.方程先化为一般式，确定 a，b，c . 2.a ≠ 0 3.b2–4ac ≥ 0 例题分析 例5 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： （1）x2–6x–15 = 0； （2）3x2+7x–9 = 0； （3）5x–1 = 4x2. 解：（1）x1+x2 = – (–6) = 6，x1x2 = – 15. 即时即练 已知x1，x2是关于x的方程2x2+3x–1=0的两个根，求下列各式的值． （2）x12+x22 即时即练 已知x1，x2是关于x的方程2x2+3x–1=0的两个根，求下列各式的值． （2）x12+x22 探索新知 与一元二次方程有关的代数式的常见变形： x12 + x22 (x1 – x2)2 x1x22 + x12x2 = (x1+x2)2 – 2x1x2 = (x1+x2)2 – 4x1x2 = x1x2(x1+x2) 即时即练 1.关于x的一元二次方程x2-2x-3=0的两个根是 x1, x2 ，则 x1+x2-x1x2的值为（ ） A.5 B.-5 C.2 D.-2 A 2.若x1 , x2是方程x2-20x-25=0 的两个根，则（ ） A.x1+x2=20 B.x1+x2=10 C.x1x2= D.x1x2=25 A 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么 _____________,_____________ 根与系数的关系 定义 应用前提 方程有实数根，即_____________ Δ=b2 - 4ac≥0 应用 课堂小结 课堂练习 （选自教材第16页 练习） （1）x2–3x=15； （2）3x2+2=1–4x； 1.不解方程，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： 解：（1）方程化为 x2–3x–15=0， 所以 x1+x2 = – (–3) = 3，x1x2 = – 15. 课堂练习 （选自教材第16页 练习） 1.不解方程，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： （3）5x2–1=4x2–x； （4）2x2–x+2=3x+1. 解：（3）方程化为 x2+x–1=0， 所以 x1+x2 = –1，x1x2 = – 1. 2. 设方程x2－6x＋5＝0的两个根是x1，x2，则x1＋x2的 值为（　A　） A 课堂练习 A. 6 B. C. D.–6 3. 下列方程中两实数根的积等于－4的方程是（　C　） C 4. 若一元二次方程x2－x－2＝0的两根为x1，x2， 则（1＋x1）＋x2（1－x1）的值是（　A　） A 课堂练习 A. 3x2＋4x－4＝0 B. 3x2－4x－4＝0 C. x2＋2x－4＝0 D. 2x2－5x＋4＝0 A.4 B.2 C.1 D.–2 下 课 $