25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习求根公式及判别式，以“两根与系数是否存在其他关系”设问，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步探索核心知识点。 其亮点在于推导过程采用求根公式运算与因式分解推理双路径，培养学生推理能力与运算能力，课堂练习分层设计，从基础方程到代数式变形应用，强化符号意识与模型观念。学生能深化对定理本质的理解，教师可直接使用典例和练习提升教学效率。

第二十五章 一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系. 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题． 复习引入 1.一元二次方程的求根公式是什么？ = （b2–4ac≥0） 2.如何用判别式b2–4ac来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程：a+b+c=0(a≠0) 当b2– 4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 当b2– 4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2– 4ac<0时，方程无实数根. 方程的两根x1和x2与系数a，b，c还有其他关系吗？ 探究新知 思考：观察求根公式 x = ，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ 两个根分别是 “” 和 “” 的形式 其中 ， 这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁. 探究新知 推导过程： ①两根之和 ②两根之积 探究新知 上述关系还可以用如下方法得出. 我们知道，如果一元二次方程 +bx +c=0 的左边可以分解因式为，那么方程 +bx +c=0的两个根为 x1和 x2 . 反过来，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为x1和 x2， 那么 即 ax²+bx+c=ax²-a(x1+ x2)x+ax1x2. 由此可得 -a(x1+ x2)=b，ax1x2=c. 因此 x1+x2 = ﹣ ，x1x2 = . 探究新知 一元二次方程的根与系数的关系 若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的两个根， 则 x1+x2= – ，x1x2= . 使用条件： (1)方程是一元二次方程，即二次项系数不为0； (2)方程有实数根，即△≥0. 典例解析 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1）； （2）． 【分析】先找出，，，再根据，，代值计算即可. 【解】（1）∵，，， ∴， ； （2）∵，，， ∴， ． 典例解析 例5 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： （1）x2–6x–15 = 0； （2）3x2+7x–9 = 0； （3）5x–1 = 4x2. 解：（1）x1+x2 = – (–6) = 6，x1x2 = – 15. （2）x1+x2 = –，x1x2 = = – 3. （3）方程化为4x2–5x+1=0，所以x1+x2 = – = ，x1x2 = . 一元二次方程 a b c +7+6=0 1 7 6 – 7 6 3+2=1–5 3 5 1 – (–1)=3+7 1 – 4 – 7 4 – 7 7–5=8 7 – 1 – 13 – 课堂练习 与一元二次方程有关的代数式的常见变形： x12 + x22 (x1 – x2)2 + + ｜x1–x2｜ x1x22 + x12x2 = (x1+x2)2 – 2x1x2 = (x1+x2)2 – 4x1x2 = = = = = x1x2(x1+x2) 探究新知 课堂练习 1.若一元二次方程 的两个实数根为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 2.已知、是一元二次方程的两个实数根,则等于( ) A. B. C. D. A B 探究新知 3.设 是一元二次方程 的两个实数根，则 + 的值为________. – 4.设 是方程 2–3=0 的两个根，则： （1）+ =_______； （2）(2 =_______. 3 10 课堂练习 5.关于 x 的方程 +q=0 的根为 =1+，x1–，则 p=_____，q=_____. – 2 – 1 6.已知方程 5+k–6=0 的一根是2，则另一根是_____， k=_____. – – 7 课堂练习 1. 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x²-3x=15； (2) 3x²+2=1-4x; (3) 5x²-1=4x²-x; (4) 2x²-x+2=3x+1. 解：(1)方程变形为 - 3x - 15 = 0， 根据根与系数的关系，得 = -(-3) = 3, = -15. (2)方程变形为 3+ 4x + 1 = 0， 根据根与系数的关系，得 . 课堂练习 1. 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x²-3x=15； (2) 3x²+2=1-4x; (3) 5x²-1=4x²-x; (4) 2x²-x+2=3x+1. 解：(3)方程变形为 + x - 1 = 0， 根据根与系数的关系，得 . (4)方程变形为 2- 4x + 1 = 0， 根据根与系数的关系，得 . $