精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市第三十九中学2025---2026学年八年级 第二学期期末学业水平测试试卷

2025—2026学年第二学期期末考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结合的学科．下列四个漂亮的数学图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中国传统建筑中，八角窗（图1）是一个独特的元素，其设计灵感源自古代的天文观测和宇宙哲学．八个角象征着“八方来风、四通八达”，寓意着开放与包容．如图2所示，这个正八边形的每个外角的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 五一小长假的某一天，亮亮全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某旅游景点游玩，该小汽车离家的距离（千米）与时间（时）之间的关系如图所示，根据图象提供的有关信息，判断下列说法中错误的是（ ） A. 景点离亮亮的家180千米 B. 亮亮到家的时间为17时 C. 小汽车返程的速度为60千米/时 D. 10时至14时小汽车匀速行驶 4. 已知 是一次函数的图象上的两个点，则 的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 5. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点．若，则线段的长为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 6. 一次函数中变量与的部分对应值如下表： 0 1 2 3 8 6 4 2 0 下列说法正确的是（　　） A. 随的增大而增大 B. 点在直线上 C. 当时， D. 直线与轴的交点坐标是 7. 如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，点在上且，若，则（ ） A. 24 B. 36 C. 42 D. 48 8. 如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（  ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为__________． 10. 直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为______． 11. 甲、乙两地4月每天最高气温的箱线图如图所示，则4月气温波动较大的是_____（填“甲地”或“乙地”）． 12. 如图是某电信公司提供的，两种方案的通讯费用（元）与通话时间之间关系的图象．有下列结论：①若通话时间少于，则方案比方案便宜元；②若通话时间超过，则方案比方案便宜元；③若两种方案通讯费用相差元，则通话时间是或．其中正确的是______．（填序号） 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 14. 如图，某景区内有一个露营区C，河边上原有两个观景台A和B，且．为了方便游客观赏，现计划在河边新建一个观景台P（A、P、B在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题： （1）试判断步道与的位置关系，并说明理由； （2）求观景台P与观景台B之间的距离的长．（结果保留到整数） 15. 如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 16. 爱国是每一个中国人一出生就该有的生命底色，为了缅怀先烈我们学校计划组织名学生去大青山红色文化公园参观学习，经过研究，决定从当地租车公司提供的，两种型号客车中，租用辆作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息．设学校租用型号客车辆，租车总费用为元． 型号 载客量 租金 30人/辆 400元/辆 25人/辆 300元/辆 （1）求关于的函数解析式，并写出的取值范围． （2）若要使租车总费用不超过元，一共有几种租车方案？并求出最低租车费用． 17. 立定跳远是一项集弹跳、爆发力、身体协调性和技术等于一体的体育运动，其等级评价表如下： 立定跳远等级 男生成绩 女生成绩 优秀 良好 及格 不及格 【收集数据】某校为调查八年级男生的立定跳远水平，在该年级中随机抽取了20名男生立定跳远的成绩（单位：），数据收集如下： 235 210 210 228 205 241 203 210 232 162 223 225 208 165 238 212 236 167 220 210 【整理数据】将以上数据进行整理： 成绩 立定跳远等级 人数 百分比 优秀 6 良好 及格 不及格 3 【描述数据】根据整理的数据绘制如下统计图： 【分析数据】根据上述图表，计算平均数、中位数、众数、方差、四分位数如下： 平均数 中位数 众数 方差 四分位数 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 212 211 210 206.5 211 请根据以上图表中的信息，完成下列问题： （1）______，______，______，______； （2）补全条形图和扇形图； （3）______，______； （4）若八年级男生共有180人，估计八年级男生立定跳远等级为优秀的有多少人？ （5）对于样本中的20个立定跳远成绩数据，有人认为根据组内离差平方和最小原则，分组数越多越好，也有人认为分组数不宜过多．请结合统计学知识，谈谈你的看法，并说明在本题中分为几组更合适，理由是什么． 18. 宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张矩形纸片，宽．如图1，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开得黄金矩形（）． （1）求证：四边形是正方形； （2）求的长； （3）如图2，点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结合的学科．下列四个漂亮的数学图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练函数的定义是解题的关键． 设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么就说y不是x的函数，不符合题意； B．中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么就说y不是x的函数，不符合题意； C．中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么就说y不是x的函数，不符合题意； D．中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，符合题意． 故选：D． 2. 在中国传统建筑中，八角窗（图1）是一个独特的元素，其设计灵感源自古代的天文观测和宇宙哲学．八个角象征着“八方来风、四通八达”，寓意着开放与包容．如图2所示，这个正八边形的每个外角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵正八边形的每个外角都相等， ∴多边形的外角和始终为可知：． 3. 五一小长假的某一天，亮亮全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某旅游景点游玩，该小汽车离家的距离（千米）与时间（时）之间的关系如图所示，根据图象提供的有关信息，判断下列说法中错误的是（ ） A. 景点离亮亮的家180千米 B. 亮亮到家的时间为17时 C. 小汽车返程的速度为60千米/时 D. 10时至14时小汽车匀速行驶 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象的纵坐标，可判断A；根据待定系数法，可得返回的函数解析式，根据函数值与自变量的对应关系，可判断B；根据函数图象的纵坐标，可得返回的路程，根据函数图象的横坐标，可得返回的时间，根据路程与时间的关系，可判断C；根据函数图象的纵坐标，可判断D． 【详解】解：A、由纵坐标看出景点离小明家180千米，故A正确； B、由纵坐标看出返回时1小时行驶了180-120=60千米，180÷60=3，由横坐标看出14+3=17，故B正确； C、由纵坐标看出返回时1小时行驶了180-120=60千米，即速度为60千米/小时，故C正确； D、由纵坐标看出10点至14点，路程不变，汽车没行驶，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间是解题关键． 4. 已知 是一次函数的图象上的两个点，则 的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质进行判断即可； 【详解】解： ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴ ； 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的性质．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 5. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点．若，则线段的长为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】解：由菱形的性质得， 在中，由勾股定理得， 点E是的中点， ． 6. 一次函数中变量与的部分对应值如下表： 0 1 2 3 8 6 4 2 0 下列说法正确的是（　　） A. 随的增大而增大 B. 点在直线上 C. 当时， D. 直线与轴的交点坐标是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据表格数据，选取两点求出一次函数的解析式，再根据一次函数的性质逐一判断各选项即可解答． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴， ∴， ∴函数解析式为； A、因为，则y随x增大而减小，故A错误； B、当时，，所以点在直线上，故B正确； C、当时，；因为y随x增大而减小，所以当时，，故C错误； D、当时，，所以与轴的交点坐标是，故D错误； 故选：B． 7. 如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，点在上且，若，则（ ） A. 24 B. 36 C. 42 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，为中点，结合为中点可得为的中位线，从而；利用等面积法在中建立之间的关系，结合已知条件，即可求解的值  【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵点是边的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，  ∴． 8. 如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（  ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据特殊四边形的判定与性质逐项分析判断即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则，即， ∴四边形为矩形，即①正确； ②若，则， ∴四边形为菱形，即②正确； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是3个． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的离差平方和，分别计算两组数据的均值，再求每组数据与其均值之差的平方和，则可得到两组数据的离差平方和，再求和即可得到答案． 【详解】解：组的平均数为， 则组的离差平方和为， 组的平均数为， 则组的离差平方和为， ∴这种分组情况的组内离差平方和为， 故答案为：4． 10. 直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】二元一次方程组的解对应两个一次函数图象交点的坐标，先整理方程组得到对应两个一次函数，再根据已知交点横坐标求纵坐标，即可得到方程组的解． 【详解】解：整理方程组，可得， ∵直线与交点的横坐标为， 把代入，得， ∴两条直线的交点坐标为， ∴原二元一次方程组的解为． 11. 甲、乙两地4月每天最高气温的箱线图如图所示，则4月气温波动较大的是_____（填“甲地”或“乙地”）． 【答案】甲地 【解析】 【详解】解：由箱线图可知，甲地的上四分位数与下四分位数的差值比乙地的上四分位数与下四分位数的差值大，甲地的极差比乙地的极差大， 故甲地4月气温的波动较大． 12. 如图是某电信公司提供的，两种方案的通讯费用（元）与通话时间之间关系的图象．有下列结论：①若通话时间少于，则方案比方案便宜元；②若通话时间超过，则方案比方案便宜元；③若两种方案通讯费用相差元，则通话时间是或．其中正确的是______．（填序号） 【答案】 ①② 【解析】 【分析】根据图象求出、两种方案在不同通话时间范围内的费用表达式，再分别代入计算验证各结论． 【详解】解：由图象可知： 当 时，； 当时，设，图象过点，，  ，解得， ； 当 时，； 当时，设，图象过点，，  ，解得， ； 对于①，当时，，即方案比方案便宜元；故①正确； 对于②，当时，，即方案比方案便宜元；故②正确； 对于③，若两种方案通讯费用相差元，即； 当时，，则，解得； 当时，，则，解得； 当时，，无解； 综上所述，若两种方案通讯费用相差元，通话时间是或；故③错误； 故正确的结论是①②． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．解题时先利用二次根式的乘除运算法则计算各项，再将所有二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可得到结果，部分计算可利用乘法公式简化运算． 【小问1详解】 解：    ． 【小问2详解】 解：        ． 【小问3详解】 解：      ． 【小问4详解】 解：       ． 14. 如图，某景区内有一个露营区C，河边上原有两个观景台A和B，且．为了方便游客观赏，现计划在河边新建一个观景台P（A、P、B在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题： （1）试判断步道与的位置关系，并说明理由； （2）求观景台P与观景台B之间的距离的长．（结果保留到整数） 【答案】（1）解：，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 即； （2）的长． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理即可得到是直角三角形，即； （2）设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∵，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴的长． 15. 如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明四边形为平行四边形，再根据菱形的性质得到，然后根据矩形的判定可证得结论； （2）根据矩形的对角线相等求得，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线，的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为． 16. 爱国是每一个中国人一出生就该有的生命底色，为了缅怀先烈我们学校计划组织名学生去大青山红色文化公园参观学习，经过研究，决定从当地租车公司提供的，两种型号客车中，租用辆作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息．设学校租用型号客车辆，租车总费用为元． 型号 载客量 租金 30人/辆 400元/辆 25人/辆 300元/辆 （1）求关于的函数解析式，并写出的取值范围． （2）若要使租车总费用不超过元，一共有几种租车方案？并求出最低租车费用． 【答案】（1） 关于的函数解析式为，的取值范围是，且为整数 （2） 一共有种租车方案，最低租车费用为元 【解析】 【分析】（1）由总费用为两种车型租金之和列函数解析式，结合载客量要求与车辆数为整数确定的取值范围； （2）根据总费用限制列不等式，结合的取值范围确定方案数，利用一次函数增减性求最低费用． 【小问1详解】 解：∵租用型号客车辆，共租用辆客车， ∴租用型号客车辆， ∴； 由需搭载名学生，得 ， 解得； ∵，，即，且为整数， ∴，且为整数； 答：关于的函数解析式为，的取值范围是且为整数． 【小问2详解】 解：由租车总费用不超过元，得，解得； 结合（1）中且为整数， ∴，且为整数， ∴可取，，，，共种租车方案； ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，最小值为（元）． 答：一共有种租车方案，最低租车费用为元． 17. 立定跳远是一项集弹跳、爆发力、身体协调性和技术等于一体的体育运动，其等级评价表如下： 立定跳远等级 男生成绩 女生成绩 优秀 良好 及格 不及格 【收集数据】某校为调查八年级男生的立定跳远水平，在该年级中随机抽取了20名男生立定跳远的成绩（单位：），数据收集如下： 235 210 210 228 205 241 203 210 232 162 223 225 208 165 238 212 236 167 220 210 【整理数据】将以上数据进行整理： 成绩 立定跳远等级 人数 百分比 优秀 6 良好 及格 不及格 3 【描述数据】根据整理的数据绘制如下统计图： 【分析数据】根据上述图表，计算平均数、中位数、众数、方差、四分位数如下： 平均数 中位数 众数 方差 四分位数 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 212 211 210 206.5 211 请根据以上图表中的信息，完成下列问题： （1）______，______，______，______； （2）补全条形图和扇形图； （3）______，______； （4）若八年级男生共有180人，估计八年级男生立定跳远等级为优秀的有多少人？ （5）对于样本中的20个立定跳远成绩数据，有人认为根据组内离差平方和最小原则，分组数越多越好，也有人认为分组数不宜过多．请结合统计学知识，谈谈你的看法，并说明在本题中分为几组更合适，理由是什么． 【答案】（1）8；3；； （2）补全条形图和扇形图如下： （3）；230 （4）54人 （5）看法：分组数增加时，每个组内的数据量会变少，组内数据的相似度会提升，组内离差平方和会持续降低，但组数过多会让各组数据过于零散，无法体现立定跳远成绩的分布规律，掩盖不同水平群体的特征，还会大幅增加数据处理的冗余度，失去分组统计的实际意义； 根据这组立定跳远数据的特征，分为组‌最为合适，理由如下： 这组数据的分布存在明显的低分段（）、中低分段（）、中高分段（）、高分段（），4组可以清晰对应不同运动水平的群体，既保证每组内成绩接近、组内离差平方和足够小，也能直观呈现整体的成绩分布特征． 【解析】 【分析】（1）根据表格数据计算即可； （2）结合（1）中的计算结果补全条形图和扇形图； （3）根据方差的定义和第三四分位数的定义计算； （4）利用样本估计总体的思想求解即可； （5）根据分组统计的意义解答． 【小问1详解】 解：由表格数据可知，的有8人，的有3人， ∴，， ∵，， ∴，； 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：方差； 20个数据从小到大排列：162 165 167 203 205 208 210 210 210 210 212 220 223 225 228 232 235 236 238 241， 后十位为212 220 223 225 228 232 235 236 238 241，则第三四分位数为（取中位数计算）：， ，则第三四分位数为（取百分数计算）：， ∴； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计八年级男生立定跳远等级为优秀的有54人； 【小问5详解】 解：略 18. 宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张矩形纸片，宽．如图1，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开得黄金矩形（）． （1）求证：四边形是正方形； （2）求的长； （3）如图2，点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）四边形是黄金矩形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，，结合矩形的性质可得，则，结合，因此四边形是正方形； （2）由正方形的性质可得，根据黄金矩形的定义可得，计算出后，与相加即可； （3）连接，设，由折叠的性质可得，，，，由勾股定理可得，则．利用勾股定理可得，从而求出，容易证明四边形是矩形，结合，因此四边形是黄金矩形． 【小问1详解】 证明：由折叠的性质可得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵矩形是黄金矩形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：四边形是黄金矩形，证明如下： 如图，连接，设， 由折叠的性质可得，，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是黄金矩形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $