培优专题02 有理数11种运算技巧的专项训练（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数运算11种核心技巧，以题型为载体系统构建方法体系，通过典例示范与变式训练深化运算能力，培养数学思维与符号意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |凑整法等11类题型|每题型含1典例+3-8变式|涵盖凑整、归类、拆项等技巧，明确操作步骤与易错点|从基础运算技巧（凑整、归类）到转化思想（分数小数互化），再到进阶方法（裂项相消、错位相减），形成从具体到抽象的逻辑链条，结合数形结合体现数学眼光|

培优专题02 有理数11种运算技巧的专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 凑整法 题型02 同号/同分母归类法 题型03 相互转化法 题型04 拆项法 题型05 乘法分配律及其逆用 题型06 倒数法 题型07 裂项相消法 题型08 k进制与十进制的相互转化 题型09 数形结合法 题型10 倒叙相加法 题型11 错位相减法 ▌题型01 凑整法 “凑整法”是一种常见的运算技巧，通过乘以或除以一个较小的正整数，利用乘法结合律，将其凑成整十、整百、整千……的数，从而把复杂的计算题变得简单. 【典例1】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算 【变式1】（25-26七年级上·四川成都·开学考试）直接写出答案 (1)______； (2)______； (3)______； (4)______． 【变式2】（26-27六年级上·上海金山·开学考试）选择合适的方法进行计算，写出计算的主要过程． (1) (2) (3) (4) 【变式3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： (1)． (2) 【变式4】（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： (1)； (2)． (3) 【变式5】（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： (1) (2) ▌题型02 同号/同分母归类法 ① 先把有理数加减混合运算统一改写为省略加号的代数和； ② 观察式子，优先分组：正数一组、负数一组；同分母 / 易通分分数一组； ③ 各组分别求和，最后合并各组结果； ⚠️ 易错提醒：移动项时必须连带数字前面的符号一起搬迁。 【典例2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2) (3)； 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算 (1)； (2)． (3) (4) 【变式3】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式4】（25-26七年级上·河北·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式5】（25-26七年级上·河南漯河·期中）计算下列各小题： (1) (2) (3) 【变式6】（25-26七年级上·全国·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式7】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式8】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． ▌题型03 相互转化法 根据算式特点，将式子中的分数转化为小数，或小数转化为分数，统一后再进行运算。 【典例3】（25-26七年级上·山东烟台·期末） 计算：； 【变式1】（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）（1）计算： （2）计算： （3）计算： （4）计算：． 【变式2】（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）计算下列各题（能用简便计算的用简便计算）： (1) (2) (3) (4) 【变式3】（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）计算： 【变式4】（25-26七年级上·甘肃甘南·阶段检测）计算：． ▌题型04 拆项法 把式子中的某一项拆成两个数（式）的和或差，使得相邻项能够相互抵消，简化运算。 【典例4】25-26七年级上·重庆·自主招生）计算： 【变式1】（25-26七年级上·江西吉安·期中）阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 【变式2】（24-25七年级上·广东汕头·阶段检测）（1）①用简便的方法计算：； ②上述简便方法运用到的运算律是：______、______； （2）在计算时，没办法直接用上述方法简便运算，需要把各个数进行拆项，再运用运算律简便运算． ①请你把进行拆项：____________；____________； ②用拆项法简便计算：． 【变式3】（23-24七年级上·河南驻马店·阶段检测）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题：计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程： 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算： (1)． (2)． 【变式4】（25-26六年级上·上海·单元复习）用拆项法计算：． 【变式5】（25-26六年级上·上海·单元复习）用拆项法计算 (1)； (2)． 【变式6】（25-26七年级上·全国·单元复习）拆项法．计算：． ▌题型05 乘法分配律及其逆用 1）应用分配律简化运算：把算式中接近某个整数的乘数拆成两个数的和或差，再用分配律进行计算 2）逆用分配律简化运算：. 【典例5】（2026·河北邯郸·三模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【变式1】（25-26七年级上·贵州遵义·期中）学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算，看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． (1)淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是_________； (2)请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 【变式2】（24-25七年级上·广西柳州·期中）下面是嘉嘉同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便． 例如： 的计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有 ，因此逆用乘法分配律可得： ， 这样计算就简便得多． 请你逆用乘法分配律计算： (1) (2) 【变式3】（25-26六年级上·山东青岛·期中）我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是逆用乘法分配律．逆用乘法分配律可使有些运算简便，例如： ． 逆用乘法分配律计算： (1)； (2)． 【变式4】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）我们知道分配律，反过来可得，这叫分配律的逆用．请利用它计算： (1)； (2)． 【变式5】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）同学们，小学时大家学习了“乘法对加法的分配律”： 升入七年级，课堂上我们探究了在有理数范围内这个运算律仍然成立． (1)下边是一道习题及其错误的解答过程，如下： 计算：． 解：      第一步      第二步       第三步 请指出在第几步开始出现错误，并运用“乘法对加法的分配律”写出正确的解答过程． (2)小明同学发现，逆向运用“乘法对加法的分配律”也能简便运算，请你利用简便方法计算： 【变式6】（24-25七年级上·河南安阳·期中）漯河某初中数学小组学完有理数乘法后对一道试题进行探究． 试题：计算. 小明：我先把化成假分数，然后直接计算：原式……； 小军：我先把化成，然后再利用分配律计算…… 小强：我还有其他的方法：把化成…… (1)相对于小明，小军的方法更适合一些，请你帮小军进行计算； (2)三个人中，小强的方法最方便，请你帮小强计算． ▌题型06 倒数法 【典例6】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【变式1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 计算： 解法①： 原式 ； 解法②： 原式 ； 解法三： 原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法___________是错误的（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法___________比较简便．（填序号）请你进行简便计算：． 【变式2】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段检测）我们知道，与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数． 数学老师布置了一道思考题“计算：，斌斌同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 斌斌的解法：原式的倒数为，所以． (1)a的倒数为______； (2)若a、b互为倒数，则______； (3)请你运用斌斌的解法解答问题，计算：． 【变式3】（25-26六年级上·山东威海·期末）【材料阅读】计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式的倒数为． ． 所以，原式． 【解法评价】 （1）你认为上述正确的解法是______；(填“解法一”或“解法二”) 【解法应用】 （2）利用上述正确的解法计算：． 【变式4】（25-26六年级上·山东威海·期末）课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② ▌题型07 裂项相消法 【典例7】（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用 【规律探寻】 观察一组数，，，，，…，尝试分析其规律并解决相关问题． （1）根据规律，第8个数是______，是第______个数； （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律______； 【方法应用】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． （3）运用上述经验完成下面的计算：． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算． ． 方法应用：试用“裂项—消项”法解下面各题： (1)； (2)． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）类比裂项相消： (1)猜想： ； (2)计算： ① ② 【变式3】（25-26七年级上·四川成都·期中）阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算．如下所示： 方法应用：试用“裂项——消项”法解下面各题： (1)通过观察，计算的值________；（直接写出结果） (2)； (3)． 【变式4】（25-26七年级上·安徽淮南·期中）我们知道，高斯在小时候通过巧妙方法计算出了的结果．裂项相消法是另一种常用的求和方法（如，求和时可抵消中间项）．请结合这两种思路，回答以下问题． 【基础求和，巩固高斯法】 （1）直接用高斯求和法“（首项末项）项数”计算下列各题． ①； ②（用含有的代数式表示，为正整数）； ③． 【变式求和，运用裂项相消法】 （2）计算的值． 【综合应用，关联计算】 （3）若，求的值． 【变式5】（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）观察下列各式：我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似的，对于，可以用裂项的方法变形为． 类比上述方法，解答下列各题： (1)___________ (2)计算：___________． (3)计算：． 【变式6】（25-26七年级上·河南平顶山·期中）观察下列式子： ；；；；… (1)发现规律：________；用含n的代数式表示规律：________（n为正整数）． (2)应用计算：． (3)拓展规律：当________时，（n为正整数）． ▌题型08 k进制与十进制的相互转化 【典例8】（25-26七年级上·云南昆明·期末）进位制的认识与探究 【材料1】 进位制是一种记数方式．生活中我们最熟悉的是十进制，常用10个阿拉伯数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9进行记数，特点是逢十进一；七进制，常用7个阿拉伯数字0，1，2，3，4，5，6进行记数，特点是逢七进一；类似的，二进制，常用 ① 个阿拉伯数字 ② 进行记数，特点是逢二进一；进制，常用个阿拉伯数字0，1，2，…，（）进行记数，特点是逢进一． 不同的进制数常加一个下角标进行区分，如：表示十进制的234，表示七进制的234，表示二进制的101，由于我们习惯使用十进制，故十进制数通常不写角标． 【材料2】 二进制与十进制之间的转化： 例1  把二进制数化为十进制数． 分析：先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果． 解： 上述算法也可以将进制数转换为十进制数． 例2  把25化为二进制数． 分析：根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除25或所得商，然后取余数．具体的计算方法如下： 解： 所以 这种算法叫做除2取余法， 还可以用右边的除法算式表示： 上述方法也可以推广为把十进制数化为进制数的算法，称为除取余法． 解：   把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到 【学习理解】 (1)补全填空：①______，②______； (2)阅读材料，把二进制数化为十进制数； (3)各进制之间可以相互转化，请举例说明两个进制之间的互化方式（二进制与十进制互化除外）． 【变式1】（25-26七年级上·山东德州·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．对于任何一种进制进制，就表示某一位置上的数运算时是逢进一位，进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示．故，其中． 例如：，，转化为十进制的数11，转化为十进制的数31（注意：对于任何非零数都有，即，）． 结合以上材料，解决下列问题： (1)把下列进制数转化为十进制表示的数（在横线上列式并写出结果）： ______，______； (2)《易经》中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位女孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来记数，如右图，图中表示女孩用绳结记录的数字，按照六进制记数法，即右边的绳子打结满6个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满6进1得来．根据图中记录的数字，写出这个六进制数字为（______）6，若用十进制表示的数表示女孩采集到的野果数，她一共采集到的野果数量为______个； (3)如果五进制三位数与八进制两位数分别转化为十进制表示的数，则两数和为108，求此时的值． 【变式2】（24-25七年级上·广西柳州·期末）阅读下列材料： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数5678可用式子表示为：（当时，）．同理，二进制数转换为十进制数为：．三进制数转换为十进制数为 根据上述材料，解答下列问题： (1)二进制数转换为十进制数为：__________； (2)若一个三进制数转换为十进制数为，一个四进制数转换为十进制数为，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”，请判断与是否互为“久久数”，并说明理由． 【变式3】（24-25七年级上·四川自贡·期末）综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数（当时，），同理，二进制数转换为十进制数为：．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． (1)二进制数转换为十进制数___________； (2)十进制数25转换为二进制数___________； (3)把十进制数79转换为四进制数． 【变式4】（25-26七年级上·广东东莞·期中）综合与实践： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．    材料一：最常用的是十进制，例如：6273中的6表示6个千，2表示2个百，7表示7个十，3表示3个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数1101的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除2取余法，以此类推，8进制就是除8取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为：；八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为__________，逢__________进一． (2)问题解决：十进制63对应的二进制数为__________，二进制对应的十进制数为__________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示12年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，，．其中代表10，代表11.请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数． (4)拓展应用：将二进制数转化为七进制数是多少？（思路：先将二进制数转化为十进制数，再转化为七进制数） 【变式5】（24-25七年级上·广东珠海·期末）综合与实践 【主题】进位制的认识与探究 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢五进一就是五进制． 【素材一】 在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如题20-1图所示，是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一．可用五进制数记为，把五进制数转换为十进制数：，即孩子出生的天数为84天．(规定当时，)． 【素材二】 十进制数也可按“除以5取余数”的方法转换为五进制数，即将十进制数除以5，然后对商继续除以5，直到商等于0为止，最后将所有的余数从后往前倒序写，就是结果．如题20-2图所示，是将十进制数84转换为五进制数的计算过程． 【任务一】 （1）如图，结绳计数可用五进制数记为（   ）5，并把这个五进制数转换为十进制数，请写出计算过程． 【任务二】 （2）若孩子出生的天数为101天，十进制数101可用五进制数记为（   ）5． ▌题型09 数形结合法 【典例9】（25-26七年级上·江苏·期末）在数学中，数形结合思想通过将数与形相互转化、相互结合，把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，从而使复杂问题简单化；抽象问题具体化． 如图1，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，，，．通过观察图形可以发现，图1中阴影部分的面积为，进而得到． 如图2，按图1的方式依次取这个正方形面积的（是正整数）．类比图1．可以求的值． (1)直接写出的结果为__________（用含的式子表示）； (2)运用（1）发现的结论计算的值； (3)如图3，依次取这个正方形的面积的．类比图2求的值．（结果保留幂的形式） 【变式1】（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说：“数以形而直观，形以数而入微”，通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的，使问题简捷地得以解决．请用数形结合的方法解决下面问题： 【观察分析】 用大小一样的正方形按如图方式拼成长方形．现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数： （1）填空： ①从图①中可以得到：，因此图①中共有________个黑色小正方形； ②从图②中可以得到：，因此图②中共有________个黑色小正方形； ③从图③中可以得到：________________，因此图③中共有个黑色小正方形； 【规律总结】 （2）由此可以猜想：图中共有________个黑色小正方形，请你用图①~④检验你总结到的规律； （3）根据上面发现，我们还可以得到猜想：________； 【探究应用】（4）根据你发现的结论，计算：； 【拓展应用】（5）计算：． 【变式2】（23-24七年级上·山东青岛·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． 如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．    (1)图中阴影部分的面积为　　； (2)受此启发，得到＝　　； (3)联系拓广，得到＝　　（用含n的式子表示）； (4)迁移应用：得到＝　　（直接写出答案即可）． 【变式3】（24-25七年级上·山东济南·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，初中数学里的代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释． 【方法初探】 （1）例如：求…的值（其中是正整数）．方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为，，，…，个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有 行，每行有 个小圆圈，所以组成一个三角形小圆圈的个数为 ； 【探索归纳】 （2）下面我们将利用数形结合尝试求的值（其中是正整数）．请你仔细观察图，找出图形与算式之间的关系，解决下列问题： ①探索规律：根据前面的规律，第（）个图形可以表示的等式为 ； ②归纳结论：则 （结果用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）求的值． ▌题型10 倒叙相加法 【典例10】（24-25七年级上·全国·单元复习）规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 【变式1】（26-27七年级上·全国·课后作业）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【变式2】（24-25七年级上·山东临沂·阶段检测）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①②得． 所以，， 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 【变式3】（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）阅读材料： 德国著名数学家高斯在一次课堂上回答过这样一个问题：计算，高斯的解答过程如下：原式．我们把这样的求和称为高斯求和，把这样的公式称为高斯公式，即，用语言叙述为和． 根据上述材料，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． ▌题型11 错位相减法 【典例11】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）阅读材料： 求的值． 解：设… 则… ，得 即 ∴ 仿照此法计算： (1)计算：． (2)计算：_______（直接写答案） (3)的值 【变式1】（25-26七年级上·重庆万州·阶段检测）“整体思想”是我们分析数学问题、解决数学问题常见的一种非常重要的数学思想，比如我们要计算的值，就可以采用这一思想，认真阅读理解下面例题，让我们感受“整体思想”在数学中妙用！计算的值． 分析：算式中后一个加数是前一个加数的3倍，因此，可以将原算式看作一个整体，记作S，整体扩大3倍后再解决问题． 解：设① 则② 得：， ∴， ∴， 即． 利用上述思想，解决下列问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 【变式2】（25-26七年级·全国·暑假作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【变式3】（2026·广东河源·二模）【阅读材料】“错位相减法”是一种用于求解规律排列的数的和的巧妙方法，它能够解决一些看起来复杂的问题．例如求的和可以用“错位相减法”求解，解题过程如下： 设 将等式①的左右两边同时乘以5，得 ②①，得，故， 【解决问题】 (1)填空： (2)令，求的值（用含的代数式表示）． (3)寒假期间，老师布置了一项“15天阅读打卡挑战”，积分规则如下：阅读第1天基础积分为2，之后每天的基础积分是前一天的2倍；阅读第k天的积分倍数为k，当天积分基础积分×倍数，总积分为每天积分之和．按照这个规则，完成所有打卡任务一共可以获得多少积分？（已知 【变式4】（23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 【变式5】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 培优专题02有理数11种运算技巧的专项训川练 (题型突破举一反三) 题型01凑整法 E 典例精析 【典例1】 【答案】0 举一反三 【变式1】 【答案】(1) 5.5 (2) 18 (3) 27 (4) 18 【变式2】 【答案】(1)4.7 时 (3)2 4)4.5 【变式3】 【答案】(1)-0.4 (2)-250 【变式4】 【答案】()6 1112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)1 (3)0 【变式5】 【答案】(1)7.2 (2)-1 题型02同号回分母归类法 典例精析 【典例2】 【答案】(1)-2 (2)50 举一反三 【变式1】 【答案】(14 (2)-44 (3)-1 【变式2】 【答案】(1) 0.6 (2) 1 6 (3) 5 (4) -2 【变式3】 【答案】(1)-8 (2)12 7 (3)2 2112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式4】 【答案】(1)-7 (2)-6 (3)4.55 (4)2 【变式5】 【答案】(130 (2)-13 (3)-1 【变式6】 【答案】(1)-8 (2)-9 【变式7】 【答案】(13 (2)0 (3)-20 (4)-42 (5)-1.4 (6)-1 【变式8】 【答案】(1)-7 23 题型03相互转化法 E 典例精析 【典例3】 【答案】(1)1 举一反三 【变式1】 3/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 【答案】(1)5：(2)-2：(3)2：(4)-71 【变式2】 【答案】(1)-8 (2)2 3181 1439g 2 【变式3】 【答案】150 【变式4】 【答案】14.4 题型04拆项法 典例精析 【典例4】 54321 【答案】15 00000 举一反三 【变式1】 【答案】(1)12+0.6，-5+(-0.23) 7 212 【变式2】 【答案】 (1)①1 ②加法交换律、加法结合律：(2)①17.子：（←5）（名： ②1 【变式3】 【答案】()9 8 29 4112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式4】 【答案】-3 【变式5) 【答案】(2)-18 4 21-3 【变式6】 【答案】-12 题型05乘法分配律及其逆里 典例精析 【典例5】 【答案】(1)11988 (2)99900 三举一反三 【变式1】 【答案】(1)乘法分配律 (2)选择媛媛的方法（答案不唯一），-1698 【变式2】 【答案】(1)-2 (2)2024 【变式3】 【答案】(115 (2)0 【变式4】 【答案】(1)-176 (2)74 【变式5】 【答案】(1)第一步：正确结果为-2 5112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)-25 【变式6】 【答案】(1)解：原式= （40+2(-5列=49(5)2到=-245-24-249号 (2)解：原式= 0 5X-5)=50x(-)25×(-5)-250+写-240 1 5 题型06倒数法 三 典例精析 【典例6创 1 【答案】-21 举一反目 【变式1)】 (后房+号引别 【答案】(1)① a0,a 【变式2】 1 【答案】() (2)1 1 3110 【变式3】 【答案】(1)解法二： 1 (2)14 【变式4】 【答案】(1)乙、丙：甲： 6112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 1 2)①-36：②4 题型07裂项相消法 典例精析 【典例7】 1 111 2024 【答案】 (1) 72:12:(2)nn+Dnn+1:(3) 2025 举一反至 【变式1 14 【答案】(1177 6 2 【变式2】 111 【答案】()2nn+2 50 2①101：② 675 2026 【变式3】 【答案】(1) 6 7 (2） 5 63 (3) 、6 【变式4】 n(n+1) 2026 【答案】(1)①210：② 2:③k2: (2) 2027； (3)40 【变式5】 7112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11 【答案】()g10 99 (2100 253 (311013 【变式6】 1111 【答案】(89，nn+1 9 2100 (3)95 题型08k进制与土进制的相互转化 典例精析 【典例8】 【答案】(1)①2；②0,1： (2)27 (3) 解：下面举例说明七进制与二进制的互化方式： ①把七进制数(234)，化为二进制数， 先将(234)，化为十进制数， (234), =2×72+3×7+4×70 =2×49+3×7+4×1 =123, 再将123化为二进制数， 123÷2=61.1 61÷2=30.1 30÷2=15..0 15÷2=7…1 7÷2=3.1 3÷2=1…1 8112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1÷2=0…1 所以123=(1111011)2， 所以(234)，=(11110112： ②把二进制数(1111011)2化为七进制数， 先将1111011)2化为十进制数， (1111011)2 =1×26+1×25+1×24+1×23+0×22+1×2+1×29 =1×64+1×32+1×16+1×8+0×4+1×2+1×1 =123, 再将123化为七进制数， 123÷7=17.4 17÷7=23 2÷7=0…2 所以123=(234)2， 所以(1111011)2=(234)2. (答案不唯一) 三举一反目 【变式1】 【答案】(111,66 (2)325125 (3)m=8 【变式2】 【答案】(1)11 (2)1201),与(31山)4互为“久久数”，理由见解析 【变式3】 【答案】(1)18 (211001）2 (3)79转换为四进制数为(1033)， 【变式4】 9112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(16；六 2)(111112:89 (3)2026 4(53), 【变式5】 【答案】任务一：243：(243)，=73，任务二：401 题型09数形结合法 三典例精析 【典例9】 【答案】(1-2 127 (2192 11 (3122x30 举一反三 【变式1】 3×4 n(n+1) n(n+1) 【答案】(1)①1：②3：③2+3：2：(2) 2：(4)1275:(5)375 【变式2】 【答案】(1)64 63 264 a- 1 (411-32024 【变式3】 【答案】(1) aa,20r+2+3++=15@ n(n+1）7 (3) n'n+1’2 2 5050 10/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型10倒叙相加法 三 典例精析 【典例10】 【答案】(1)-1275 (2)2550 举一反三 【变式1】 【答案】(1)1275 2)2n(n+1) 【变式2】 【答案】(1)500500 (2)15150 【变式3】 【答案】(1)-410 (2)10000 题型11错位相减法 典例精析 【典例11】 32024-1 【答案】(1 )2- 5101-550 (3) 4 举一反三 【变式1】 【答案】(1)221-1 11/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 242 3 【变式2】 【答案】 32024-1 2 【变式3】 【答案】(1)22027 a (3)917506积分 【变式4】 62024-1 【答案】 5 【变式5】 112025-11 【答案】(1)3：243：(2)4g:(3) 10 12/12 培优专题02 有理数11种运算技巧的专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 凑整法 题型02 同号/同分母归类法 题型03 相互转化法 题型04 拆项法 题型05 乘法分配律及其逆用 题型06 倒数法 题型07 裂项相消法 题型08 k进制与十进制的相互转化 题型09 数形结合法 题型10 倒叙相加法 题型11 错位相减法 ▌题型01 凑整法 “凑整法”是一种常见的运算技巧，通过乘以或除以一个较小的正整数，利用乘法结合律，将其凑成整十、整百、整千……的数，从而把复杂的计算题变得简单. 【典例1】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算 【答案】0 【分析】运用交换律和结合律进行计算即可． 【详解】观察发现和可以凑成整数，两个可以凑成， 原式． 【变式1】（25-26七年级上·四川成都·开学考试）直接写出答案 (1)______； (2)______； (3)______； (4)______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】（26-27六年级上·上海金山·开学考试）选择合适的方法进行计算，写出计算的主要过程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)2 (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察计算式发现与相乘可以凑整，与相乘可以约分，故可用乘法交换律交换这几个乘数，进一步计算即可得答案． （2）观察计算式发现，前两个乘法中都有，可用乘法分配律先计算得，观察发现还可用乘法分配律，进一步计算即可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 【变式4】（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： (1)； (2)． (3) 【答案】(1) (2)1 (3)0 【分析】（1）利用加法结合律将同分母的分数先计算，即可实现简便计算； （2）将带分数和带分数计算，小数与小数计算，即可实现简便计算； （3）将转化为，可先用乘法分配律计算，即可实现简便计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 【变式5】（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将分数化为小数，再逆用乘法的分配律即可； （2）将小数统一化为分数，再将同分母结合即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； ▌题型02 同号/同分母归类法 ① 先把有理数加减混合运算统一改写为省略加号的代数和； ② 观察式子，优先分组：正数一组、负数一组；同分母 / 易通分分数一组； ③ 各组分别求和，最后合并各组结果； ⚠️ 易错提醒：移动项时必须连带数字前面的符号一起搬迁。 【典例2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把小数化为分数，把分母相同的有理数结合在一起求解即可； （2）把小数化为分数，再逆用分配律求解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解： ； 【变式1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2) (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式. 【变式3】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式4】（25-26七年级上·河北·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)4.55 (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式5】（25-26七年级上·河南漯河·期中）计算下列各小题： (1) (2) (3) 【答案】(1)30 (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，含乘方的有理数混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则求解即可； （2）先计算括号内的减法，再计算乘方和绝对值，接着计算乘法，最后计算减法即可得到答案； （3）根据有理数的加法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式6】（25-26七年级上·全国·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是能简算的要用简便方法进行计算． （1）运用加法交换律和结合律进行简便计算； （2）先算乘方、绝对值，把除化为乘后用乘法分配律，最后算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)3 (2)0 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法运算律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （3）根据有理数加法的结合律计算即可； （4）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （5）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （6）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【变式8】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法法则和交换律\结合律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ． ▌题型03 相互转化法 根据算式特点，将式子中的分数转化为小数，或小数转化为分数，统一后再进行运算。 【典例3】（25-26七年级上·山东烟台·期末） 计算：； 【答案】(1)1 【详解】解： ； 【变式1】（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）（1）计算： （2）计算： （3）计算： （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）利用那个加法的交换律和结合律计算即可； （2）先把除法转化为乘法，再约分化简即可； （3）利用乘法分配律计算即可； （4）先算乘方和绝对值，再算乘除，后算加减． 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 【变式2】（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）计算下列各题（能用简便计算的用简便计算）： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算绝对值，再计算加减法即可； （2）先计算绝对值，再计算乘除，最后计算加法即可； （3）先把小括号内的式子通分并计算，再计算除法即可； （4）把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）计算： 【答案】 【详解】 【变式4】（25-26七年级上·甘肃甘南·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算小括号内的式子，再计算中括号，最后计算加法即可． 【详解】解： ． ▌题型04 拆项法 把式子中的某一项拆成两个数（式）的和或差，使得相邻项能够相互抵消，简化运算。 【典例4】25-26七年级上·重庆·自主招生）计算： 【答案】 【分析】本题考查了带分数的加法运算，计算带分数的和，先分别计算整数部分和分数部分的和，再合并结果，整数部分为5个3相加，分数部分通分后分子相加． 【详解】解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级上·江西吉安·期中）阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则，准确计算． （1）根据题干信息进行解答即可； （2）利用题干提供的信息，运用有理数加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：拆为，拆为， 故答案为：，； （2）解： ． 【变式2】（24-25七年级上·广东汕头·阶段检测）（1）①用简便的方法计算：； ②上述简便方法运用到的运算律是：______、______； （2）在计算时，没办法直接用上述方法简便运算，需要把各个数进行拆项，再运用运算律简便运算． ①请你把进行拆项：____________；____________； ②用拆项法简便计算：． 【答案】（1）①；②加法交换律、加法结合律；（2）①17，；；②1 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算： （1）①先把原式变形为，再计算求解即可；②观察解题过程可知用到了加法交换律、加法结合律； （2）①把带分数拆解成整数加分数的形式即可；②先把原式的带分数拆解成整数加分数的形式，再把整数和分数分别合在一起计算求解即可． 【详解】解：（1）① ． ； ②由解题过程可知用到了加法交换律、加法结合律； （2）①； 故答案为：17，；； ②原式 ． 【变式3】（23-24七年级上·河南驻马店·阶段检测）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题：计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程： 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】（1）解： （2） 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用题干中的拆项法拆项后再利用运算律解答是解题的关键． 【变式4】（25-26六年级上·上海·单元复习）用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键．把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式5】（25-26六年级上·上海·单元复习）用拆项法计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （1）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （2）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 【变式6】（25-26七年级上·全国·单元复习）拆项法．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． ▌题型05 乘法分配律及其逆用 1）应用分配律简化运算：把算式中接近某个整数的乘数拆成两个数的和或差，再用分配律进行计算 2）逆用分配律简化运算：. 【典例5】（2026·河北邯郸·三模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1)11988 (2)99900 【分析】（1）将所求式子变形为，再结合有理数的混合运算法则计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，再结合乘法运算律计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·贵州遵义·期中）学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算，看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． (1)淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是_________； (2)请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 【答案】(1)乘法分配律 (2)选择媛媛的方法（答案不唯一）， 【分析】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键： （1）利用了乘法分配律； （2）根据三个人的方法，进行计算即可． 【详解】（1）解：她们运用的运算律是乘法分配律； （2）解：选择嘉嘉的方法：原式； 选择淇淇的方法：原式； 选择媛媛的方法： 原式． 【变式2】（24-25七年级上·广西柳州·期中）下面是嘉嘉同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便． 例如： 的计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有 ，因此逆用乘法分配律可得： ， 这样计算就简便得多． 请你逆用乘法分配律计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2024 【分析】本题考查乘法分配律的逆用，熟练掌握乘法分配律是解题的关键： （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【变式3】（25-26六年级上·山东青岛·期中）我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是逆用乘法分配律．逆用乘法分配律可使有些运算简便，例如： ． 逆用乘法分配律计算： (1)； (2)． 【答案】(1)15 (2)0 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干的解题过程，逆用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （2）模仿题干的解题过程，逆用乘法分配律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）我们知道分配律，反过来可得，这叫分配律的逆用．请利用它计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)74 【分析】本题考查乘法运算律，解题的关键是准确识别式子中相同的因数，然后逆用乘法分配律进行简便计算． （1）找出式子的相同因数，逆用乘法分配律进行计算． （2）找出式子的相同因数，逆用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式5】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）同学们，小学时大家学习了“乘法对加法的分配律”： 升入七年级，课堂上我们探究了在有理数范围内这个运算律仍然成立． (1)下边是一道习题及其错误的解答过程，如下： 计算：． 解：      第一步      第二步       第三步 请指出在第几步开始出现错误，并运用“乘法对加法的分配律”写出正确的解答过程． (2)小明同学发现，逆向运用“乘法对加法的分配律”也能简便运算，请你利用简便方法计算： 【答案】(1)第一步；正确结果为 (2) 【分析】本题主要考查了乘法运算律，解题的关键是熟练应用乘法分配律． （1）第一步计算分配律时符号出错，按照乘法的分配律重新计算即可； （2）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原解题步骤从第一步开始出现错误，正确步骤如下： ； （2）解： ． 【变式6】（24-25七年级上·河南安阳·期中）漯河某初中数学小组学完有理数乘法后对一道试题进行探究． 试题：计算. 小明：我先把化成假分数，然后直接计算：原式……； 小军：我先把化成，然后再利用分配律计算…… 小强：我还有其他的方法：把化成…… (1)相对于小明，小军的方法更适合一些，请你帮小军进行计算； (2)三个人中，小强的方法最方便，请你帮小强计算． 【答案】(1)解：原式； (2)解：原式． 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键在于掌握乘法对加法的分配律． （1）利用分配律计算求解，即可解题； （2）类似于（1）利用分配律计算求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型06 倒数法 【典例6】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 【变式1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 计算： 解法①： 原式 ； 解法②： 原式 ； 解法三： 原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法___________是错误的（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法___________比较简便．（填序号）请你进行简便计算：． 【答案】(1)① (2)③； 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算和分配律、倒数等知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题的关键． （1 ）解法①中，除法当中的除式不能进行加减法分解，故解法①错误； （2 ）解法三运用了倒数的知识使得运算比较简便；先计算原式的倒数，再转化为原式即可． 【详解】（1）解：根据有理数的四则混合运算法则知，解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③比较简便． 故答案为：③； 原式的倒数为 ， ∴原式． 【变式2】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段检测）我们知道，与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数． 数学老师布置了一道思考题“计算：，斌斌同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 斌斌的解法：原式的倒数为，所以． (1)a的倒数为______； (2)若a、b互为倒数，则______； (3)请你运用斌斌的解法解答问题，计算：． 【答案】(1) (2)1 (3)． 【分析】本题主要考查了倒数的定义和运用，有理数的四则混合运算等知识． （1）利用倒数的定义即可得出答案； （2）利用倒数的定义即可得出答案； （3）求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】（1）解：a的倒数为：； （2）解：若a、b互为倒数，则； （3）解：的倒数为：， ， ∴． 【变式3】（25-26六年级上·山东威海·期末）【材料阅读】计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式的倒数为． ． 所以，原式． 【解法评价】 （1）你认为上述正确的解法是______；(填“解法一”或“解法二”) 【解法应用】 （2）利用上述正确的解法计算：． 【答案】（1）解法二； （2） 【分析】（1）除法没有分配律，解法一错误使用了分配律，解法二通过倒数转化为乘法，运用乘法分配律计算是正确的； （2）先计算原式的倒数，将除法转化为乘法后利用乘法分配律计算，最后取倒数得到原式的结果． 【详解】（1）解：解法一中将拆分为的做法不符合运算法则，除法不满足分配律，是错误的； 解法二先求原式的倒数，利用乘法分配律计算出倒数的值，再取倒数得到原式的结果，运算过程符合法则，是正确的． 正确的解法是解法二． （2）解：原式的倒数为， ． 原式． 【变式4】（25-26六年级上·山东威海·期末）课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 【答案】(1)乙、丙；甲； (2)①；② 【分析】本题考查有理数的混合运算，核心知识点为有理数的除法法则与混合运算顺序，关键在于明确除法不满足分配律，对于复杂的除法运算可通过倒数法简化计算． （1）根据除法运算的性质判断：除法没有分配律，甲错误运用分配律导致结果错误；乙按照“先括号内，再括号外”的运算顺序计算，步骤正确；丙利用倒数的性质，先计算原式的倒数再求原式，方法简便且正确． （2）①可先计算括号内的加减运算，再进行除法运算； ②由于括号内的项较多，采用倒数法计算更简便，先求原式的倒数，再通过倒数关系得到原式的值． 【详解】（1）解：除法不具有分配律，甲同学将除法错误地使用分配律，甲的解法错误； 乙同学先计算括号内的有理数加减，再进行除法运算，符合有理数混合运算顺序，解法正确； 丙同学先计算原式的倒数，再根据倒数关系求出原式的值，方法正确；故正确的是乙、丙，错误的是甲； 故答案为：乙、丙；甲． （2）①解： ； ②解：设原式为，则的倒数为， ， 的倒数为， ． ▌题型07 裂项相消法 【典例7】（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用 【规律探寻】 观察一组数，，，，，…，尝试分析其规律并解决相关问题． （1）根据规律，第8个数是______，是第______个数； （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律______； 【方法应用】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． （3）运用上述经验完成下面的计算：． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数四则混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）将分母写成两个连续整数的积的形式即可找出规律； （2）从前面几个式子中找出规律，用n表示即可； （3）利用拆项求求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， … 第8个数：； 是第个数， 故答案为：；． （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律：， 故答案为：． （3） ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算． ． 方法应用：试用“裂项—消项”法解下面各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． （1）根据题中的方法，进行“裂项——消项”法简化运算； （2）根据题中的方法，进行“裂项——消项”法简化运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）类比裂项相消： (1)猜想： ； (2)计算： ① ② 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据，，，得出一般规律即可得出； （2）①可根据（1）的结论进行解答； ②可类比（1）的裂项方法，将其通项分解后再进行计算． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴； （2）解：① ； ② ． 【变式3】（25-26七年级上·四川成都·期中）阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算．如下所示： 方法应用：试用“裂项——消项”法解下面各题： (1)通过观察，计算的值________；（直接写出结果） (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 对于（1），将原式整理为，再计算即可； 对于（2），仿照上述做法，应用裂项公式，提取公因数后消项即可； 对于（3），先提出负号，再将分母写成乘积的形式，然后裂项，消项即可． 【详解】（1）解：原式 ； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式4】（25-26七年级上·安徽淮南·期中）我们知道，高斯在小时候通过巧妙方法计算出了的结果．裂项相消法是另一种常用的求和方法（如，求和时可抵消中间项）．请结合这两种思路，回答以下问题． 【基础求和，巩固高斯法】 （1）直接用高斯求和法“（首项末项）项数”计算下列各题． ①； ②（用含有的代数式表示，为正整数）； ③． 【变式求和，运用裂项相消法】 （2）计算的值． 【综合应用，关联计算】 （3）若，求的值． 【答案】（1）① 210；② ；③ ；（2）；（3）40 【分析】本题主要考查数字的变化规律，理解高斯求和法和裂项相消法是解题的关键． （1）①直接利用高斯求和法计算即可； ②直接利用高斯求和法计算即可； ③直接利用高斯求和法计算即可； （2）观察题中所给出的例子，直接利用裂项相消法计算即可； （3）先用高斯求和法计算，用裂项相消法计算，再将计算结果代入等式即可计算出的值． 【详解】解：（1）① ； ② ； ③ ； （2） ； （3）， ， ∵， ∴， 解得． 【变式5】（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）观察下列各式：我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似的，对于，可以用裂项的方法变形为． 类比上述方法，解答下列各题： (1)___________ (2)计算：___________． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据题中给出的规律即可求出答案； （2）根据题中给出的规律展开计算即可求出答案； （3）根据规律，对所求的式子进行整理，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 【变式6】（25-26七年级上·河南平顶山·期中）观察下列式子： ；；；；… (1)发现规律：________；用含n的代数式表示规律：________（n为正整数）． (2)应用计算：． (3)拓展规律：当________时，（n为正整数）． 【答案】(1)， (2) (3)95 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真观察式子特征，直接作答即可； （2）利用，则原式，再进行加减运算，即可作答． （3）先分析得出，整理原式，结合，故，即可作答． 【详解】（1）解：观察题中已有的过程，得出，； （2）解：由（1）得， 则 ； （3）解：， ， …… 以此类推，得， ∴ ， ∵， ∴， ∵n为正整数 ∴ 则， ∴， 则， ∴， 即当时，． ▌题型08 k进制与十进制的相互转化 【典例8】（25-26七年级上·云南昆明·期末）进位制的认识与探究 【材料1】 进位制是一种记数方式．生活中我们最熟悉的是十进制，常用10个阿拉伯数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9进行记数，特点是逢十进一；七进制，常用7个阿拉伯数字0，1，2，3，4，5，6进行记数，特点是逢七进一；类似的，二进制，常用 ① 个阿拉伯数字 ② 进行记数，特点是逢二进一；进制，常用个阿拉伯数字0，1，2，…，（）进行记数，特点是逢进一． 不同的进制数常加一个下角标进行区分，如：表示十进制的234，表示七进制的234，表示二进制的101，由于我们习惯使用十进制，故十进制数通常不写角标． 【材料2】 二进制与十进制之间的转化： 例1  把二进制数化为十进制数． 分析：先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果． 解： 上述算法也可以将进制数转换为十进制数． 例2  把25化为二进制数． 分析：根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除25或所得商，然后取余数．具体的计算方法如下： 解： 所以 这种算法叫做除2取余法， 还可以用右边的除法算式表示： 上述方法也可以推广为把十进制数化为进制数的算法，称为除取余法． 解：   把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到 【学习理解】 (1)补全填空：①______，②______； (2)阅读材料，把二进制数化为十进制数； (3)各进制之间可以相互转化，请举例说明两个进制之间的互化方式（二进制与十进制互化除外）． 【答案】(1)①2；②0，1； (2)27 (3) 解：下面举例说明七进制与二进制的互化方式： ①把七进制数化为二进制数， 先将化为十进制数， ， 再将123化为二进制数， 所以， 所以； ②把二进制数化为七进制数， 先将化为十进制数， ， 再将123化为七进制数， 所以， 所以．（答案不唯一） 【分析】本题考查了进制间的转化，乘方的应用，理解二进制与十进制之间的互化方式是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）仿照题目例1的方法即可求解； （3）举例说明七进制与二进制的互化方式：①七进制数化为二进制数时，先将七进制数化为十进制数，再化为二进制数；②二进制数化为七进制数时，先将二进制数化为十进制数，再化为七进制数，据此即可求解． 【详解】（1）解：二进制，常用2个阿拉伯数字0，1，进行记数，特点是逢二进一； 故答案为：①2；②0，1； （2）解： ； （3）略 【变式1】（25-26七年级上·山东德州·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．对于任何一种进制进制，就表示某一位置上的数运算时是逢进一位，进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示．故，其中． 例如：，，转化为十进制的数11，转化为十进制的数31（注意：对于任何非零数都有，即，）． 结合以上材料，解决下列问题： (1)把下列进制数转化为十进制表示的数（在横线上列式并写出结果）： ______，______； (2)《易经》中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位女孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来记数，如右图，图中表示女孩用绳结记录的数字，按照六进制记数法，即右边的绳子打结满6个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满6进1得来．根据图中记录的数字，写出这个六进制数字为（______）6，若用十进制表示的数表示女孩采集到的野果数，她一共采集到的野果数量为______个； (3)如果五进制三位数与八进制两位数分别转化为十进制表示的数，则两数和为108，求此时的值． 【答案】(1)11，66 (2)325  125 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，熟练掌握将其余进制数转化为十进制表示的数的方法及步骤是解题的关键． （1）仿照例题，将给出的进制数转化为十进制表示的数即可； （2）观察图形，可得出这个六进制数字为，再将其转化为十进制表示的数即可； （3）根据“五进制三位数与八进制两位数分别转化为十进制表示的数，且两数和为108”，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：11，66； （2）解：根据题意得：这个六进制数字为， ， 若用十进制表示的数表示女孩采集到的野果数，她一共采集到的野果数量为325个． 故答案为：325，125； （3）解：依题意：， 解得：． 【变式2】（24-25七年级上·广西柳州·期末）阅读下列材料： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数5678可用式子表示为：（当时，）．同理，二进制数转换为十进制数为：．三进制数转换为十进制数为 根据上述材料，解答下列问题： (1)二进制数转换为十进制数为：__________； (2)若一个三进制数转换为十进制数为，一个四进制数转换为十进制数为，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”，请判断与是否互为“久久数”，并说明理由． 【答案】(1)11 (2)与互为“久久数”，理由见解析 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算． （1）根据题干二进制数转换为十进制数的方法计算即可． （2）根据“久久数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：二进制数转换为十进制数为， 故答案为：11； （2）解：与互为“久久数”，理由如下： 因为转换为十进制数为； 转换为十进制数为， ， 所以与互为“久久数”． 【变式3】（24-25七年级上·四川自贡·期末）综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数（当时，），同理，二进制数转换为十进制数为：．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． (1)二进制数转换为十进制数___________； (2)十进制数25转换为二进制数___________； (3)把十进制数79转换为四进制数． 【答案】(1)18 (2) (3)转换为四进制数为 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题目的意思是解题的关键． （1）根据题意理解十进制数，进行有理数运算即可得到答案； （2）根据十进制转换为二进制的方法列式计算即可； （3）根据十进制转换为四进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：二进制数转换为十进制数， 故答案为：； （2）解：十进制数25转换为二进制数， ， 故答案为：； （3）解：，即， ， 79转换为四进制数为； 【变式4】（25-26七年级上·广东东莞·期中）综合与实践： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．    材料一：最常用的是十进制，例如：6273中的6表示6个千，2表示2个百，7表示7个十，3表示3个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数1101的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除2取余法，以此类推，8进制就是除8取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为：；八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为__________，逢__________进一． (2)问题解决：十进制63对应的二进制数为__________，二进制对应的十进制数为__________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示12年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，，．其中代表10，代表11.请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数． (4)拓展应用：将二进制数转化为七进制数是多少？（思路：先将二进制数转化为十进制数，再转化为七进制数） 【答案】(1)6；六 (2)；89 (3)2026 (4) 【分析】（1）根据逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几，据此即可解答； （2）仿照材料二中的思路，运用除2取余法，可知把十进制63对应的二进制数为，根据材料三中：n进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：二进制对应的十进制的数为89； （3）根据材料三中：n进制转换为十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将十二进制转化为十进制数为2026； （4）根据材料三中：n进制转换为十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将转化为十进制数为38，仿照材料二中的思路，运用除7取余法，将所得的十进制数转化为七进制数为． 【详解】（1）解：六进制的基数为6，逢六进一， （2）解：运用除2取余法，如图所示，    ∴十进制63对应的二进制数为：， 二进制对应的十进制的数为：， （3）解：将十二进制转化为十进制数为：， （4）解：先将转化为十进制数为：， 运用除7取余法，如图所示，    将所得的十进制数转化为七进制数为：． 【变式5】（24-25七年级上·广东珠海·期末）综合与实践 【主题】进位制的认识与探究 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢五进一就是五进制． 【素材一】 在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如题20-1图所示，是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一．可用五进制数记为，把五进制数转换为十进制数：，即孩子出生的天数为84天．(规定当时，)． 【素材二】 十进制数也可按“除以5取余数”的方法转换为五进制数，即将十进制数除以5，然后对商继续除以5，直到商等于0为止，最后将所有的余数从后往前倒序写，就是结果．如题20-2图所示，是将十进制数84转换为五进制数的计算过程． 【任务一】 （1）如图，结绳计数可用五进制数记为（   ）5，并把这个五进制数转换为十进制数，请写出计算过程． 【任务二】 （2）若孩子出生的天数为101天，十进制数101可用五进制数记为（   ）5． 【答案】任务一：243；；任务二：401 【分析】本题主要考查了含有乘方的有理数的混合运算，理解材料中的计算方法是解题的关键． 任务一：（1）根据材料提示方法，结合图形计算即可； 任务二：（2）根据有理数除法运算法则计算即可． 【详解】解：任务一：（1）根据图示可得， ∵， ∴； 任务二：（2），，， ∴， 故答案为：． ▌题型09 数形结合法 【典例9】（25-26七年级上·江苏·期末）在数学中，数形结合思想通过将数与形相互转化、相互结合，把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，从而使复杂问题简单化；抽象问题具体化． 如图1，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，，，．通过观察图形可以发现，图1中阴影部分的面积为，进而得到． 如图2，按图1的方式依次取这个正方形面积的（是正整数）．类比图1．可以求的值． (1)直接写出的结果为__________（用含的式子表示）； (2)运用（1）发现的结论计算的值； (3)如图3，依次取这个正方形的面积的．类比图2求的值．（结果保留幂的形式） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的求和运算，解题的关键是运用数形结合思想，将分数和转化为几何图形的面积关系推导规律． （1）通过观察正方形面积的截取过程，利用“总面积剩余面积”，得出分数和为． （2）提取，将式子转化为含（1）中规律的形式，代入计算． （3）通过观察正方形面积的截取过程，利用“总面积剩余面积”，得出分数和为，可得，代入即可． 【详解】（1）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴． 故答案为：； （2）解：将原式变形，提取， 得到． 根据（1）的结论，． ∴原式． （3）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说：“数以形而直观，形以数而入微”，通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的，使问题简捷地得以解决．请用数形结合的方法解决下面问题： 【观察分析】 用大小一样的正方形按如图方式拼成长方形．现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数： （1）填空： ①从图①中可以得到：，因此图①中共有________个黑色小正方形； ②从图②中可以得到：，因此图②中共有________个黑色小正方形； ③从图③中可以得到：________________，因此图③中共有个黑色小正方形； 【规律总结】 （2）由此可以猜想：图中共有________个黑色小正方形，请你用图①~④检验你总结到的规律； （3）根据上面发现，我们还可以得到猜想：________； 【探究应用】（4）根据你发现的结论，计算：； 【拓展应用】（5）计算：． 【答案】（1）①；②；③；；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题考查图形的变化规律， （1）①数出图①中黑色小正方形的个数即可； ②数出图②中黑色小正方形的个数即可； ③结合①、②的等式即可得出结果； （2）结合①、②、③等式右边的形式猜想出结果即可； （3）结合（1）和（2）可得结论； （4）利用（3）的结论进行计算即可； （5）将转化为，再利用（3）的结论进行计算即可， 找出规律并利用规律解决问题是解题的关键． 【详解】解：（1）①从图①中可以得到：，因此图①中共有个黑色小正方形， 故答案为：； ②从图②中可以得到：，因此图②中共有个黑色小正方形， 故答案为：； ③从图③中可以得到：，因此图③中共有个黑色小正方形， 故答案为：；； （2）∵图①中黑色小正方形的个数为：（个）， 图②中黑色小正方形的个数为：（个）， 图③中黑色小正方形的个数为：可以得到：（个）， 图④中黑色小正方形的个数为：可以得到：（个）， …… 由此可以猜想：图中共有个黑色小正方形， 故答案为：； （3）由（1）和 （2）可知：， 故答案为：； （4）； （5） ． 【变式2】（23-24七年级上·山东青岛·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． 如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．    (1)图中阴影部分的面积为　　； (2)受此启发，得到＝　　； (3)联系拓广，得到＝　　（用含n的式子表示）； (4)迁移应用：得到＝　　（直接写出答案即可）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查图形变化的规律，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键； （1）根据图中三角形面积之间的关系即可解决问题； （2）利用数形结合的思想即可解决问题； （3）利用数形结合的思想即可解决问题； （4）根据（3）中的结论即可解决问题； 【详解】（1）由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． 故答案为：． （2）由（1）知， ， 所以． 故答案为：． （3）根据（2）中的发现可知， ． 故答案为：． （4）由题知， 原式． 令①， 则②， 得， ， 即， 所以原式 ． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·山东济南·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，初中数学里的代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释． 【方法初探】 （1）例如：求…的值（其中是正整数）．方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为，，，…，个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有 行，每行有 个小圆圈，所以组成一个三角形小圆圈的个数为 ； 【探索归纳】 （2）下面我们将利用数形结合尝试求的值（其中是正整数）．请你仔细观察图，找出图形与算式之间的关系，解决下列问题： ①探索规律：根据前面的规律，第（）个图形可以表示的等式为 ； ②归纳结论：则 （结果用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）求的值． 【答案】（1），，；（2）①；②；（3） 【分析】本题考查数字规律探究，利用数形结合，探究出规律是解题的关键． （1）根据平行四边形的面积公式列式即可得解； （2）①根据前四个图总结规律即可得解；②根据①中的等式总结规律即可得解； （3）根据（1）（2）中的结论求解即可． 【详解】解：（1）把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有行，每行有个小圆圈， ∴组成一个三角形小圆圈的个数为， 故答案为：，，； （2）①∵由第图形得， 由第图形得， 由第图形得， 由第图形得， ∴第（）个图形可以表示的等式为， 故答案为：； ②由①可得：， 故答案为：； （3）； ▌题型10 倒叙相加法 【典例10】（24-25七年级上·全国·单元复习）规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2)2550 【分析】本题主要考查了有理数加法中的简便计算，熟练掌握有理数加法运算法则，是解题的关键． （1）将原式变形为，然后进行运算即可； （2）将原式变形为，然后进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（26-27七年级上·全国·课后作业）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【答案】(1)1275 (2) 【分析】此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1 ）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值； （2 ）归纳总结得到一般性规律，写出即可，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值． 【详解】（1）解：设 则， ，得， 所以， ， 所以； （2）解：由（1 ）及题目例题的解析可得： ， 设 则， ，得， 所以， ， 所以． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·山东临沂·阶段检测）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①②得． 所以，， 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)500500 (2)15150 【分析】本题考查的是数式的变化规律和有理数的混合运算，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． （1）根据题意，利用“倒序相加法”，计算即可． （2）计算出和的值；． 【详解】（1）解：（1）设，① 则，② ①②得：， ， ； （2）设，① 则，② ①②得：， ， ． ． 【变式3】（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）阅读材料： 德国著名数学家高斯在一次课堂上回答过这样一个问题：计算，高斯的解答过程如下：原式．我们把这样的求和称为高斯求和，把这样的公式称为高斯公式，即，用语言叙述为和． 根据上述材料，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2)10000 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是理解材料内容并能运用解决问题． （1）把原式化为，再计算即可； （2）直接利用高斯公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌题型11 错位相减法 【典例11】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）阅读材料： 求的值． 解：设… 则… ，得 即 ∴ 仿照此法计算： (1)计算：． (2)计算：_______（直接写答案） (3)的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查的是探索运算规律题，根据已知材料中的方法，探索出运算规律是解决此题的关键． （1）设，两边乘以3得到关系式，与已知等式相减，变形即可求得所求式子的值； （2）设，两边乘以，然后按照阅读材料的方法进行求解即可． （3）设，进而根据，即可求解． 【详解】（1）设，① 两边同时乘以3，得，② ，得， ∴， ∴； （2）设，① 两边同时乘以，得，② ，得， ∴， ∴， ∴． （3）设， ∴ ∴ ∴ ∴ 【变式1】（25-26七年级上·重庆万州·阶段检测）“整体思想”是我们分析数学问题、解决数学问题常见的一种非常重要的数学思想，比如我们要计算的值，就可以采用这一思想，认真阅读理解下面例题，让我们感受“整体思想”在数学中妙用！计算的值． 分析：算式中后一个加数是前一个加数的3倍，因此，可以将原算式看作一个整体，记作S，整体扩大3倍后再解决问题． 解：设① 则② 得：， ∴， ∴， 即． 利用上述思想，解决下列问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的乘方的应用，理解案例方法，掌握整体思想是解题关键． （1）根据题意可设，则，作差即可求解； （2）根据题意可设，则，作差即可求解； 【详解】（1）解：①， 两边同时乘以2得 ②， 得： ， ∴， ∴； （2）解：①， 两边同时乘以得 ②， 得： ， ∴， ∴； 【变式2】（25-26七年级·全国·暑假作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】理解题意，模仿题干过程进行分析作答即可． 【详解】解：设， 则 ∴， 即． 【变式3】（2026·广东河源·二模）【阅读材料】“错位相减法”是一种用于求解规律排列的数的和的巧妙方法，它能够解决一些看起来复杂的问题．例如求的和可以用“错位相减法”求解，解题过程如下： 设 将等式①的左右两边同时乘以5，得 ②①，得，故， 【解决问题】 (1)填空： (2)令，求的值（用含的代数式表示）． (3)寒假期间，老师布置了一项“15天阅读打卡挑战”，积分规则如下：阅读第1天基础积分为2，之后每天的基础积分是前一天的2倍；阅读第k天的积分倍数为k，当天积分基础积分×倍数，总积分为每天积分之和．按照这个规则，完成所有打卡任务一共可以获得多少积分？（已知 【答案】(1) (2) (3)917506积分 【分析】（1）根据同底数幂的乘法求解即可． （2）先利用“错位相减法”求解，然后将代入，再进行异分母分式减法即可． （3）先得出知完成所有打卡任务一共可以获得的积分，利用两次“错位相减法”求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：设， 将等式①的左右两边同时乘以 得， ①②，得 ， 故， ， （3）解：由题意可知完成所有打卡任务一共可以获得的积分 将等式③的左右两边同时乘以2， 得 ③④，得 将等式⑤的左右两边同时乘以2， 得 ⑤⑥，得 ∴完成所有打卡任务一共可以获得917506积分． 【变式4】（23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题中所给的错位相减法进行求解即可． 【详解】解：设①， 将等式两边同时乘以6得：②， 再将得：， 即． 【变式5】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）3；243；（2）；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键． （1）根据题目中给出的等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）根据例题的方法求得，然后错位相减法，即可求解． 【详解】解：（1）等比数列的公比为， 第四项为，第五项为， 故答案为：3，243； （2），，， ， 故答案为：； （3）设①， 则②， 得， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $