第06讲 等式性质与不等式性质（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第06讲 等式性质与不等式性质 预习目标 知识回顾 1．认识五种不等号，能完成文字描述与不等式符号的互化，准确写出“至多、至少、不少于”等语句对应的不等式。 2．掌握作差比较法，用作差法比较两个实数或代数式的大小。 3．对比等式性质，熟记不等式七条基本性质，明确每条性质的使用限制条件，规避乘除变号、同向相乘等易错问题。 4．能灵活运用不等式性质对不等式进行变形、推导与简单证明，区分等式与不等式变形规则的不同之处。 1．一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，掌握去括号、移项、去分母运算，清楚不等式两边同乘负数时不等号变向，会在数轴上表示不等式解集。 2．实数大小比较规则，熟练运用完全平方公式，知道任意实数的平方大于或等于0，掌握基础因式分解。 新知导图 预习精讲 想一想 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等。类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等。 相等用等式表示，不等用不等式表示。 知识点01 不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 【即学即练】 1．一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 知识点02 两个实数大小的比较 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 【即学即练】 2．已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 知识点03 等式及不等式的基本性质 1．等式的性质 性质1.如果,那么; 性质2.如果,那么; 性质3.如果,那么; 性质4.如果,那么; 性质5.如果,那么 2．不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 注意 1．研究对乘除时先判断乘数正负，负数要变号，乘0不等式失效。 2．同向不等式只能相加，不能相减；相乘要求两边均为正数。 3．乘方性质仅适用于正数，负数不能直接套用。 4．多数不等式性质不能逆向推导。 【即学即练】 3．已知a、b、 ， ，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，求证：． 题型速练 题型01 列不等式（组） 【例1】下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【例2】某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式1-1】用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）一个大于10且小于60的两位数，其个位数字比十位数字大4，用x，y分别表示这个两位数的十位数字和个位数字，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. 题型02 利用作差法比较大小 【例3】已知，则与的大小是__________． 【例4】比较与的大小. 【小试牛刀】 【变式2-1】比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【变式2-2】已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】设，，，，则、的大小关系为______． 题型03 利用不等式的性质判断正误 【例5】已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【例6】如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式3-1】已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】若，，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型04 利用等式的性质证明不等式的大小 【例7】已知均为正实数，且，求证：． 【例8】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.并利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. 易错点 1．跳步推导，缺少性质依据； 2．忽略正数、负数限制，乱用同向相乘、乘方公式。 【小试牛刀】 【变式4-1】（1）设，求证：， （2）设，求证：， 【变式4-2】，，，，设，证明：. 【变式4-3】假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； (2)求证：． 题型05 利用不等式的性质求取值范围 【例9】若实数，满足，，则的取值范围是________． 【例10】（多选）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 必记结论 多个不等式只能同向相加扩大范围，不能相减；乘除、乘方需区分正负。 【小试牛刀】 【变式5-1】已知，则的取值范围为______ 【变式5-2】已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知，则的取值范围是___________ 基础过关 1．中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．已知，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 3．设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．“”是“且”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是______． 10．如果，，那么________（用不等号“>”或“<”填空）. 11．（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 12．已知糖水中有糖，往糖水中加入糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式； (2)证明这个不等式； (3)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光效果是变好了还是变坏了？（只需写结论） 能力提升 13．学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 14．已知a，b，c满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 15．（多选）若 ，且 ，则（   ） A． B． C． D． 16．已知，则代数式的取值范围为_____________． 挑战一刻 17．已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．已知x、y、z是实数，，，下列说法正确的是（   ） A．a、b、c三个数必为两正一负或两负一正 B．a、b、c三个数中，至少有一个数是0 C．a、b、c三个数中，至少有一个数是正数 D．a、b、c三个数中，至少有一个数是负数 19．已知，，且，则的值为____________． 20．对于实数x、y、z，记是x、y、z中的最大者，例如：，，．若非负实数a、b满足，则的最小值是______． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 等式性质与不等式性质 预习目标 知识回顾 1．认识五种不等号，能完成文字描述与不等式符号的互化，准确写出“至多、至少、不少于”等语句对应的不等式。 2．掌握作差比较法，用作差法比较两个实数或代数式的大小。 3．对比等式性质，熟记不等式七条基本性质，明确每条性质的使用限制条件，规避乘除变号、同向相乘等易错问题。 4．能灵活运用不等式性质对不等式进行变形、推导与简单证明，区分等式与不等式变形规则的不同之处。 1．一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，掌握去括号、移项、去分母运算，清楚不等式两边同乘负数时不等号变向，会在数轴上表示不等式解集。 2．实数大小比较规则，熟练运用完全平方公式，知道任意实数的平方大于或等于0，掌握基础因式分解。 新知导图 预习精讲 想一想 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等。类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等。 相等用等式表示，不等用不等式表示。 知识点01 不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 【即学即练】 1．一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小于且不小于，. 知识点02 两个实数大小的比较 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 【即学即练】 2．已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【详解】，故 知识点03 等式及不等式的基本性质 1．等式的性质 性质1.如果,那么; 性质2.如果,那么; 性质3.如果,那么; 性质4.如果,那么; 性质5.如果,那么 2．不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 注意 1．研究对乘除时先判断乘数正负，负数要变号，乘0不等式失效。 2．同向不等式只能相加，不能相减；相乘要求两边均为正数。 3．乘方性质仅适用于正数，负数不能直接套用。 4．多数不等式性质不能逆向推导。 【即学即练】 3．已知a、b、 ， ，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，当时，满足，，则，故A错误； 对于B，由，得，则，故B正确； 对于C,D，当时，，，故C,D错误. 4．已知，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 题型速练 题型01 列不等式（组） 【例1】下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【详解】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错误； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错误； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错误. 故选：C. 【例2】某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 【小试牛刀】 【变式1-1】用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】“利润率降低”意味着原来的利润率大于新的利润率，故. 故选：A. 【变式1-2】（多选）一个大于10且小于60的两位数，其个位数字比十位数字大4，用x，y分别表示这个两位数的十位数字和个位数字，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意，显然A正确，C错误， 取，则，B错误， 对于D，由，则 ，故，D正确. 故选：AD 【变式1-3】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. 【答案】 【详解】设购买型汽车和型汽车分别为辆，辆， 根据题意可得. 题型02 利用作差法比较大小 【例3】已知，则与的大小是__________． 【答案】 【详解】， ，， ， 故答案为： 【例4】比较与的大小. 【答案】 【详解】 【小试牛刀】 【变式2-1】比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 【变式2-2】已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意 ， 当且仅当时取等号， 所以. 故选：A 【变式2-3】设，，，，则、的大小关系为______． 【答案】 【详解】因为，，所以 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故答案为：. 题型03 利用不等式的性质判断正误 【例5】已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，所以，故D正确． 【例6】如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又因为所以， 故A错误； 因为，所以， 故B错误； 因为，由糖水不等式得，故C正确； 因为，所以，因此，又因为，所以，故D错误.故选C 【小试牛刀】 【变式3-1】已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：取，，则，故A不一定成立，不合题意； 对于B：不等式，由于，即a与b异号，则与同号， 则与异号，故与题设矛盾，故B不成立； 对于C：即，取，，满足，但，与题设矛盾，故C错误； 对于D：，设，则，不等式转化为， 因为当时，，而，因此该不等式恒成立，D正确. 【变式3-2】已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为， 由，所以，故，充分性成立， 由，得或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 【变式3-3】若，，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以，即，故A错误； 因为，由A知，所以，故B正确； 因为，所以，所以，故C错误； 当，可得， ，此时，故D错误. 故选：B. 题型04 利用等式的性质证明不等式的大小 【例7】已知均为正实数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】，， ， 又， ，故， ，，， ，即． 【例8】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.并利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. 【答案】糖水不等式，；证明见解析 【详解】根据糖在糖水中所占的比例变大，则糖水变甜，得到不等式，. 证明：因为为三角形的三边长，则有，，， 由糖水不等式可得，，， 将以上不等式左、右两边分别相加，得， 即. 易错点 1．跳步推导，缺少性质依据； 2．忽略正数、负数限制，乱用同向相乘、乘方公式。 【小试牛刀】 【变式4-1】（1）设，求证：， （2）设，求证：， 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】 【详解】（1）方法一：，， ， ． 方法二：， ． 方法三： ， ， ， 即． 方法四：几何法 如图，做边长为的正方形，分别在边上分别取点， 使得， 过做交于，交于， 过做交于，交于， 直线与交于点， 则长方形的面积， 长方形的面积， 正方形的面积， 由图可知， 所以． 方法五：设． 将看做内的常数，则函数为一次函数， 又， ． 对于，都有， 即． ． （2）方法一：， ， ， ． ， . 方法二：， ， ， ， ． ， ． 方法三：几何法 做边长为的正方体．分别在棱上取点，使得， 过做平面，过做平面，过做平面，交点见图． 长方体的体积， 长方体的体积． 长方体的体积． 正方体的体积． ． 方法四：设． 将看做内的常数，对于一次函数， 有， ． ∴对于，都有， 即． ． 【变式4-2】，，，，设，证明：. 【答案】证明见解析 【详解】因为，故，，，. 故有 ； 由于 ， 故，同理还有 ， 所以. 这就证明了. 【变式4-3】假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； (2)求证：． 【答案】(1)不等式为或；证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）不等式为或； 证明如下： ， 因为，故，故. （2）由（1）中不等式可知， ， 故， 两边开方得：. 题型05 利用不等式的性质求取值范围 【例9】若实数，满足，，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】由于，则； 由于，则， 两式相加，则. 故答案为： 【例10】（多选）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABC 【详解】对于A，由， 两式相加得，即，故A正确； 对于B，由，得，又， 两式相加得，即，故B正确； 对于CD，设， 所以，解得，则， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即，故C正确，D错误. 必记结论 多个不等式只能同向相加扩大范围，不能相减；乘除、乘方需区分正负。 【小试牛刀】 【变式5-1】已知，则的取值范围为______ 【答案】 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 【变式5-2】已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，，所以，即， 所以， 所以，则则的取值范围是. 故选：D. 【变式5-3】已知，则的取值范围是___________ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 即的取值范围为． 故答案为： 基础过关 1．中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【详解】由长、宽、高之和不超过，得， 由体积不超过，得． 故选：C 2．已知，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，B，由，可得，故A错误，B正确； 对于C，由，易得，故C错误； 对于D，因，则得，故D错误. 3．设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】充分性：若，由不等式的性质可知成立， 必要性：若成立，但不一定成立， 例如：，成立，但不满足， 所以是的充分不必要条件. 4．“”是“且”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】取，满足，但不满足“，” 故且； 反过来，若且，则， 即且. 故“”是“且”的必要不充分条件. 5．已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 故. 故选：B 6．已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，而，则. 7．（多选）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 8．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】， ，故A正确； ，，故B错误； ，则，故C正确； ，则，即，故D错误． 故选：AC． 9．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是______． 【答案】 【详解】因为矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18 m，所以， 这时菜园的另一条边长为，因此菜园的面积， 依题意有，即，故不等关系表示为. 故答案为： 10．如果，，那么________（用不等号“>”或“<”填空）. 【答案】> 【详解】因为，所以， 因为，， 所以， 故答案为： 11．（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 12．已知糖水中有糖，往糖水中加入糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式； (2)证明这个不等式； (3)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光效果是变好了还是变坏了？（只需写结论） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)住宅的采光效果变好了 【分析】 【详解】（1）由题可得. （2）因为， ∵， 所以，从而， 即. （3）住宅的采光效果变好了. 理由：设窗户面积为，地板面积为，同时增加的窗户和地板面积为，由（1）可知， 所以住宅采光效果变好了. 能力提升 13．学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【答案】B 【详解】由题意，设高一学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， 高二学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：， ∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误. 14．已知a，b，c满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 ，不等式 两边同除以正数，不等号方向不变，因此 一定成立，A正确； 由 得 ，又 ，负数除以负数结果为正，因此 一定成立，B正确； 取，满足条件，但此时，C错误； 由得 ，且，正数除以负数结果为负，因此一定成立，D正确. 15．（多选）若 ，且 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】选项A：因为，所以，已知，代入得，选项A正确； 选项B：同理，代入，得，选项B正确； 选项C：，因，故符号由决定： 若，则， 若，则， 若，则，因此不一定成立，选项C错误； 选项D：因，故，得，又，两边乘负数不等号变向，得，选项D错误. 故选：AB 16．已知，则代数式的取值范围为_____________． 【答案】 【详解】因为，所以. 因为，所以， 当，所以，即； 当时，； 当时，，综上，， 故答案为： . 挑战一刻 17．已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为，所以， 又， 所以， 所以，即或或. 不妨设，即，则， 又，所以， 同理，当或时，也满足，故甲能推出乙. 因为，所以， 又， 所以 其中， 若，则，即， 与题设矛盾，所以， 故或或， 不妨设，即，则， 又，所以， 同理，当或时，也满足，故乙能推出甲. 综上，甲是乙的充要条件. 18．已知x、y、z是实数，，，下列说法正确的是（   ） A．a、b、c三个数必为两正一负或两负一正 B．a、b、c三个数中，至少有一个数是0 C．a、b、c三个数中，至少有一个数是正数 D．a、b、c三个数中，至少有一个数是负数 【答案】C 【详解】对于选项A：若取，则， 三个数都为正数，不是“两正一负或两负一正”，A错误； 对于选项B：同选项A的举例，不存在0，B错误； 对于选项C：因为 ， 因为平方非负，且，因此， 若全不为正数，则，与矛盾，因此三个数中至少有一个正数，C正确； 对于选项D：时三个数均为正数，没有负数，D错误； 19．已知，，且，则的值为____________． 【答案】 【详解】由已知条件，，， 可得：当时，取到最大值， ； 当时，取到最小值为， . 因此，而题设给出， 故必有，当且仅当或时成立. 当时，，，，； 当时，，，，. 因此，的值为 20．对于实数x、y、z，记是x、y、z中的最大者，例如：，，．若非负实数a、b满足，则的最小值是______． 【答案】9 【详解】令，则． 为非负实数，且， ，． 且当时， 的最小值为9. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $