暑假预习：基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式条件等式求最值讲义-2026年初升高暑假数学（人教A版）

暑假预习：基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式条件等式求最值讲义 暑假预习：基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式条件等式求最值讲义 考点目录 基本不等式“1”的妙用求最值 基本不等式条件等式求最值 考点一 基本不等式“1”的妙用求最值 【知识点解析】 一、前置通用基础知识 1. 核心公式（一正、二定、三相等） 对正数 ： · 变形： 取等条件： 1. 使用三要素（缺一不可） ① 一正：参与运算的两个数均为正数； ② 二定：和为定值 积最大；积为定值 和最小； ③ 三相等：存在实数能使 才能取到最值。 二、核心知识点 1. 适用题型 已知 （， 均为正常数），求 形式代数式的最小值。 1. 核心思路 利用已知等式变形构造整体 ，再将所求式子乘以 ，展开后凑出“积为定值”结构，使用基本不等式求和的最小值。 · 标准构造： 由 两边同除以 ： 1. 常见基础形式 已知 ()，求 最小值，是最经典考法。 三、解题原理 & 标准步骤 1. 根据条件拼凑出整体等于 的代数式； 1. 所求式子整体乘以这个“1”，展开去括号； 1. 拆分出两组正数相加，出现两项乘积为定值； 1. 套用 求出最小值； 1. 验证取等条件，算出对应 的取值，确认满足正数要求。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】C 【详解】因为，因此， 由，，以及基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 故. 例2．（25-26高二下·河北沧州·期末）若，，，则的最小值为（   ） A．26 B．25 C．19 D．13 【答案】B 【详解】因为，，，所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为25. 例3．（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求解. 【详解】正实数，满足， 则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 例4．（25-26高二下·广西贺州·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】∵ 正实数满足,∴ . ∴ . ∵ ，由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，符合为正实数的约束条件. ∴ 的最小值为. 例5．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知正实数满足 (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合基本不等式运算求解即可； （2）根据题意利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】（1）因为正实数满足， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. （2）因为正实数满足， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·江苏南京·期末）若正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．15 D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意知，，，由，得. ， 当且仅当，即时，等号成立. 变式2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为． 变式3．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． 【答案】 【分析】通过凑出均值不等式的前提条件后求解. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当时等号成立. 变式4．（25-26高二下·河北·期末）已知，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】先由判断，再将配凑，利用乘法结合基本不等式求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 变式5．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用基本不等式来建立和与积的关系，从而求出的最大值； （2）构造，则，展开后根据基本不等式计算即可求出最小值. 【详解】（1）因为，，， 所以，即 化简可得： 当且仅当时，等号成立. 因此，的最大值为. （2）因为，所以. 所以 当且仅当（即）时取等号. 结合，解得，. 因此，的最小值为. 考点二 基本不等式条件等式求最值 【知识点解析】 一、核心知识点 包含两大类题型： 1. 积定求和最小：已知 （定值，），求 最小值； 1. 和定求积最大：已知 （定值，），求 最大值； 1. 复杂约束等式：如 、 等二元二次等式约束，通过变形、配凑、消元转化为和定/积定结构； 1. 含多个变量：固定其余变量，逐步两两使用基本不等式。 二、解题原理 1. 观察约束等式形式： · 两变量乘积固定 直接求和最小值； · 两变量相加固定 直接求乘积最大值； 1. 等式无法直接套用：采用消元法 用条件等式把一个变量用另一个变量表示，代入所求式子，化为单变量函数，再配凑基本不等式结构； 1. 全程牢记前提：变量必须大于0； 1. 验证：求出最值后，带回条件等式验证取等条件能否成立。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·河南·阶段检测·多选）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】由题得，利用换元法结合基本不等式即可判断ACD，利用二次函数即可判断B. 【详解】由，可得， 对于A，令，，则，且，可得， 则， 当且仅当，即，，即，时，等号成立，所以A错误； 对于B，由，可得，则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由，当且仅当时， 即，，即，时，等号成立，所以C正确； 对于D，由，可得，当且仅当时， 即，时，等号成立，所以的最小值为，所以D错误． 例2．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末·多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，所以，即， 所以，所以，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，因为， 故C正确； 对于D，由，得，所以，所以， 所以， 当且仅当时取等号，故D正确. 例3．（25-26高一上·福建泉州·期中·多选）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用已知条件结合基本不等式计算判断选项A；利用有解，由判别式构造不等式，解不等式，判断选项B；由已知条件得出，进而求解判断选项C；由求出，结合已知条件计算求解． 【详解】已知，由基本不等式， 当时，，解得，当且仅当时取等号， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 因为关于的方程有解，所以 因此，故B错误； 由，即由上可得， 所以，， 所以，故C正确； 因为，由选项A知， 由，得，故D正确． 例4．（25-26高一上·河南·期中）已知，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据基本不等式即可求解； （2）根据“1”的代换结合基本不等式即可求解； （3）由题设可得，再根据“1”的代换结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由，且， 则，即， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. （2）由，且， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. （3）由，且，则， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 例5．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知且. (1)求的取值范围； (2)求的最小值，以及此时对应的的值. 【答案】(1) (2)；， 【分析】（1）利用基本不等式将转化为，再解不等式即可； （2）方法一：将变形为再利用基本不等式求出的最小值即可得解；方法二：将变形为，即，再利用基本不等式求出其最小值即可. 【详解】（1）， 又，， 当且仅当，即时取等号， 即，即， 解得或（舍），所以， 所以的取值范围是. （2）方法一：，即，， ，， ， ， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为，此时 方法二：，. ，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为，此时. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·江苏徐州·期末·多选）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】将题设条件拼凑分解成，代入消元后利用二次函数单调性即可判断A项；设，利用结合基本不等式计算可逐一判断B，C，D. 【详解】由可得. 对于A，，则当时，取得最小值，故A正确； 对于B，在中，不妨设，则，且， 于是，，因， 当且仅当，即时取等，则有，故B错误； 对于C，由B项，，当且仅当， 即时取等，即的最小值为14，故C错误； 对于D，由B项，，当且仅当，即时取等， 即的最小值为，故D正确. 变式2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测·多选）已知正实数，满足，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，即，解得， 又因为正实数，，所以，则有，当且仅当时取得等号，故A正确； 对于B，由A知，，所以，当且仅当时取得等号，故B错误； 对于C，由题可得所以，解得， ， 当且仅当即时取得等号，故C正确； 对于D，， 当且仅当时取得等号，故D正确． 变式3．（25-26高二下·浙江·开学考试·多选）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A项，由基本不等式 ​，代入已知等式得：， 令则不等式化为，结合 ，解得， 即，得到，当且仅当 时，等号成立，故A正确； 对于B项，由基本不等式，令，则， 整理得到，结合 ，解得 ，即， 当且仅当 时，等号成立，故B错误； 对于C项，先化简得到，将代入得到， 由选项 A 知，则，故， 当且仅当 时，等号成立，故C正确； 对于D项，由得到，其中 ， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 变式4．（25-26高一上·浙江·阶段检测）若且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围. 【答案】(1)9. (2). 【分析】（1）结合基本不等式，得到关于的不等式，求解即可； （2）结合基本不等式，得到关于的不等式，求解即可. 【详解】（1）由于，则（当且仅当时取等号）， 得，故或（舍），所以， 所以的最小值是9. （2）由于，则（当且仅当时取等号）， 得，故或（舍），. 所以的取值范围是. 变式5．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知，且． (1)求的取值范围 (2)求的最小值 (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将式子变形可得，即可得到的范围； （2）由基本不等式代入计算，即可得到结果； （3）由原式可得，再由系数“1”的代换，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由可得，即，因为，所以， 即，所以的取值范围为. （2）由可得，即， ，所以或（舍）， 则，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （3）由可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式条件等式求最值讲义 暑假预习：基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式条件等式求最值讲义 考点目录 基本不等式“1”的妙用求最值 基本不等式条件等式求最值 考点一 基本不等式“1”的妙用求最值 【知识点解析】 一、前置通用基础知识 1. 核心公式（一正、二定、三相等） 对正数 ： · 变形： 取等条件： 1. 使用三要素（缺一不可） ① 一正：参与运算的两个数均为正数； ② 二定：和为定值 积最大；积为定值 和最小； ③ 三相等：存在实数能使 才能取到最值。 二、核心知识点 1. 适用题型 已知 （， 均为正常数），求 形式代数式的最小值。 1. 核心思路 利用已知等式变形构造整体 ，再将所求式子乘以 ，展开后凑出“积为定值”结构，使用基本不等式求和的最小值。 · 标准构造： 由 两边同除以 ： 1. 常见基础形式 已知 ()，求 最小值，是最经典考法。 三、解题原理 & 标准步骤 1. 根据条件拼凑出整体等于 的代数式； 1. 所求式子整体乘以这个“1”，展开去括号； 1. 拆分出两组正数相加，出现两项乘积为定值； 1. 套用 求出最小值； 1. 验证取等条件，算出对应 的取值，确认满足正数要求。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 例2．（25-26高二下·河北沧州·期末）若，，，则的最小值为（   ） A．26 B．25 C．19 D．13 例3．（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________． 例4．（25-26高二下·广西贺州·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 例5．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知正实数满足 (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·江苏南京·期末）若正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．15 D． 变式2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 变式3．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． 变式4．（25-26高二下·河北·期末）已知，则的最小值为_______. 变式5．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 考点二 基本不等式条件等式求最值 【知识点解析】 一、核心知识点 包含两大类题型： 1. 积定求和最小：已知 （定值，），求 最小值； 1. 和定求积最大：已知 （定值，），求 最大值； 1. 复杂约束等式：如 、 等二元二次等式约束，通过变形、配凑、消元转化为和定/积定结构； 1. 含多个变量：固定其余变量，逐步两两使用基本不等式。 二、解题原理 1. 观察约束等式形式： · 两变量乘积固定 直接求和最小值； · 两变量相加固定 直接求乘积最大值； 1. 等式无法直接套用：采用消元法 用条件等式把一个变量用另一个变量表示，代入所求式子，化为单变量函数，再配凑基本不等式结构； 1. 全程牢记前提：变量必须大于0； 1. 验证：求出最值后，带回条件等式验证取等条件能否成立。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·河南·阶段检测·多选）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 例2．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末·多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·福建泉州·期中·多选）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一上·河南·期中）已知，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 例5．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知且. (1)求的取值范围； (2)求的最小值，以及此时对应的的值. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·江苏徐州·期末·多选）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B． C．的最小值为 D．的最小值为 变式2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测·多选）已知正实数，满足，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 变式3．（25-26高二下·浙江·开学考试·多选）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一上·浙江·阶段检测）若且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围. 变式5．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知，且． (1)求的取值范围 (2)求的最小值 (3)求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $