第4讲全等三角形及其性质（知识点+题型精讲）2026-2027学年人教版八年级数学上册暑假预习讲义

第4讲 全等三角形及其性质 目录 知识点1 图形全等的定义与特征 2 知识点2 全等三角形的概念与表示 2 知识点3 全等三角形核心性质（全书必考根基） 2 知识点4 全等三角形对应元素寻找技巧 3 知识点5 平移、旋转全等不变性 3 题型1 图形的全等 3 题型2 全等三角形的概念 4 题型3 全等三角形的性质 5 题型4 利用全等三角形对应角相等求角度 6 题型5 利用全等三角形对应边相等求线段长度 8 题型6 利用全等三角形性质求周长或面积 9 题型7 平移背景下的全等三角形性质应用 10 题型8 旋转背景下的全等三角形性质应用 12 1. 知识目标：理解图形全等的定义与本质特征，掌握全等三角形的概念、符号表示方法；熟练掌握全等三角形的核心性质，明确对应边、对应角、对应周长、对应面积完全相等的规律；掌握平移、旋转变换背景下全等三角形的不变性质。 2. 能力目标：能准确识别全等图形、判定两个三角形是否全等；熟练找准全等三角形的对应边、对应角；能利用全等性质求解角度、线段长度、三角形周长与面积；熟练解决平移、旋转几何变换背景下的全等综合题型。 3. 素养目标：建立几何变换、图形全等、等量代换的数学思想，培养识图辨图、精准找对应关系、逻辑推理计算的能力，夯实全等三角形章节基础，为后续全等判定、几何证明大题铺垫核心能力。 知识点1 图形全等的定义与特征 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 核心本质：全等图形的形状相同、大小相等，与图形的位置、方向无关。 变换不变性：图形经过平移、旋转、翻折（轴对称）变换后，形状、大小不发生改变，变换前后的图形全等。 易错辨析：形状相同、大小不同（相似图形）不是全等图形；大小相同、形状不同也不是全等图形。 知识点2 全等三角形的概念与表示 1. 全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2. 对应元素：重合的顶点为对应顶点，重合的边为对应边，重合的角为对应角。 3. 规范表示方法：用符号“”表示全等，书写时对应顶点必须一一对应。 示例：△ABC△DEF，则A对应D、B对应E、C对应F，对应边、对应角严格匹配。 必考规则：字母顺序决定对应关系，顺序写错直接导致边角对应错误。 知识点3 全等三角形核心性质（全书必考根基） 若两个三角形全等，则满足以下所有等量关系： 1. 对应边相等：三组对应边长度分别相等； 2. 对应角相等：三组对应角度数分别相等； 3. 整体量相等：全等三角形的周长相等、面积相等； 4. 衍生线段相等：对应边上的高、对应边上的中线、对应角的角平分线长度全部相等。 核心逻辑：全等→所有对应元素全部相等，是几何等量代换的核心依据。 知识点4 全等三角形对应元素寻找技巧 1. 长边对长边、短边对短边，大角对大角、小角对小角； 2. 公共边、公共角、对顶角为天然对应元素； 3. 按全等书写字母顺序，直接锁定对应顶点、边角，零出错。 知识点5 平移、旋转全等不变性 1. 平移不变性：三角形平移前后，位置改变，形状、大小不变，对应边、对应角完全相等； 2.旋转不变性：三角形绕定点旋转任意角度，图形全等，所有对应元素保持不变，仅位置方向改变。 题型1 图形的全等 解题技巧（双重条件判定法） 1. 全等判定两要素：形状完全相同 + 大小完全相等，缺一不可； 2. 排除干扰：仅形状相同为相似、仅大小相同不为全等； 3. 变换识别：平移、旋转、翻折得到的图形均与原图形全等； 4. 拼图题型：拆分复杂图形，逐一比对形状、大小，判定全等关系。 秒杀口诀：形同且等大，位置不影响，即为全等形。 【典例1】．下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列图形是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．下列四组图形中，是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．如图，四边形四边形，则的度数是 ______ 【变式4】．图中全等的图形是________和________；________和________；________和________；________和________；________和________；________和________． 题型2 全等三角形的概念 解题技巧（定义辨析+规范书写法） 1. 核心判定：能完全重合的两个三角形为全等三角形； 2. 书写规范：严格按照对应顶点顺序书写全等式，杜绝乱序； 3. 概念辨析：周长相等、面积相等的三角形不一定全等，边角全部对应相等才是全等； 4. 基础识图：快速区分对应顶点、对应边、对应角，规避概念混淆错误。 【典例2】．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 【变式1】．下列说法正确的是（   ） A．全等图形的形状、大小都相同 B．两个圆是全等图形 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．面积相等的两个三角形是全等图形 【变式2】．若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：______ ． 【变式4】．如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 题型3 全等三角形的性质 解题技巧（全等全员等量法） 1. 已知三角形全等，直接默认：对应边、对应角、周长、面积全部相等； 2. 拓展应用：对应高、中线、角平分线全部相等，可直接用于推理； 3. 解题套路：题干给出全等条件，第一步锁定所有等量关系，为计算、证明铺垫； 4. 逆向判断：边角不对应相等，即可判定三角形不全等。 【典例3】．如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 【变式1】．如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 【变式3】．如图，，，，则______________． 【变式4】．下列几种说法 ①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形的面积相等．⑤三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．其中正确的是 _____________． 题型4 利用全等三角形对应角相等求角度 解题技巧（对应等角+角度代换法） 1. 先定对应：根据全等字母顺序或图形位置，找准待求角的对应角； 2. 直接代换：全等对应角相等，已知一角可直接秒求对应角度； 3. 综合计算：结合三角形内角和、外角性质、平行线性质、角平分线进行多层代换； 4. 方程求解：遇角度倍数、和差关系，设未知数结合等角性质列方程解题。 【典例4】．如图，，的延长线经过点且交于点．，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式3】．已知，，则的度数为________． 【变式4】．如图，，，，，则_____． 题型5 利用全等三角形对应边相等求线段长度 解题技巧（对应等边+线段拼接法） 1. 锁定对应边：依据全等书写顺序、长短边特征，精准匹配对应线段； 2. 直接求值：对应边相等，已知一边长度直接得对应边长度； 3. 线段和差：结合图形线段拼接、重叠关系，利用等边代换求未知线段； 4. 易错规避：严禁凭视觉判断对应边，必须依据全等规则精准匹配。 【典例5】．如图，，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1】．如图，已知，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】．如图，，点、、、共线，与交于点．若，，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【变式3】．如图，已知，顶点分别与顶点对应，则______． 【变式4】．如图，，，那么 _______． 题型6 利用全等三角形性质求周长或面积 解题技巧（整体等量秒杀法） 1. 周长求解：全等三角形周长完全相等，求出其中一个三角形周长即可直接得另一个周长； 2. 面积求解：全等三角形面积完全相等，无需单独计算，直接等量代换； 3. 组合图形：利用全等面积相等，进行割补、替换，简化阴影面积计算； 4. 解题优势：整体代换避开复杂边角计算，快速得出结果。 【典例6】．如图，在中，点，分别在边，上，连接，，若，，且的周长比的周长大，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，于点D，E是上的一点．若，，，则的周长为（    ）． A．20 B．23 C．24 D．26 【变式2】．如图，等边的边长为2，点是的中心，绕点旋转，分别交线段于两点，连接，给出下列四个结论： ①； ②的面积等于的面积； ③四边形的面积始终保持不变； ④的周长的最小值为3． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【变式3】．若，和分别是对应边和的高，且的面积是6，，则_______________． 【变式4】．某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长______． 题型7 平移背景下的全等三角形性质应用 解题技巧（平移不变建模法） 1. 核心结论：三角形平移前后完全全等，所有对应边角、周长、面积不变； 2. 位置特征：平移后对应线段平行（或共线），对应角相等； 3. 线段计算：利用平移距离+对应等边性质，求解平移后线段长度、间距； 4. 角度计算：结合平行线性质+全等等角，双重代换求解复杂角度。 【典例7】．如图，由平移得到，下列说法中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．如图，的边长长为，将向上平移得到，已知四边形为长方形，则阴影部分的面积为__． 【变式2】．如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点，以下说法正确的是（     ） ①当时，点到的距离为线段的长； ②当，时，则； ③四边形与四边形的周长差为； ④四边形与四边形的面积相等． A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点（网格线的交点）上，点B的坐标为． (1)将先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，请画出． (2)请在的左侧画出，使得，并写出点D的坐标． 【变式4】．如图1和图2，点B，C，D，E在同一条直线上，且，． (1)如图 1，点 D 与点 C 重合，求证：； (2)将图 1中的 沿直线向左平移至点D与点B 重合时停止，如图2所示，与交于点 G． ①判断此时与之间的位置关系，并说明理由； ②已知 ，求四边形的面积． 题型8 旋转背景下的全等三角形性质应用 解题技巧（旋转全等+转角等角法） 1. 核心结论：图形旋转不改变形状大小，旋转前后三角形全等； 2. 关键模型：旋转角全部相等，对应边旋转夹角统一； 3. 角度推导：利用旋转角相等+全等对应角相等，推导复合角度； 4. 线段推导：利用旋转等边+全等对应边相等，求解线段关系与长度； 5. 综合套路：旋转题型必全等，全等必等边角，是几何旋转题通用突破口。 【典例8】．如图，将绕点A旋转后得，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，，在x轴上，，将绕点O旋转，则点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】．如图1，数轴上从左至右依次有B，O，M，A，N五个点，其中点B，O，A表示的数分别为，0，4．如图2，将数轴在点O的左侧部分绕点O顺时针方向旋转，将数轴在点A的右侧部分绕点A逆时针方向旋转，连接BM，MN．若和全等，则点M表示的数为______．    【变式3】．一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． (1)，对应边是 ，对应角是 ； (2)，对应边是 ，对应角是 ； (3)，对应边是 ，对应角是 ； (4)，对应边是 ，对应角是 ． 【变式4】．已知，且B、C、D三点共线，，连接．    (1)一般说来，全等三角形可以通过轴对称、平移、旋转得到．请填空：绕点B逆时针旋转_______度，再向右平移_______（填“”、 “”或“”）的距离，可得； (2)若，周长为22， ①求线段的长， ②并直接写出四边形的面积_______． 1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（     ） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．对顶角相等 C．面积相等的两个三角形一定全等 D．若直线，，则 3．如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 5．如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 6．如图，如果，顶点、、分别与顶点、、对应，且点在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 8．如图，已知（点的对应点分别是点），点在边上，若，，则的度数是（） A． B． C． D． 9．如图，，点与，与分别是对应顶点，且测得，，则长为（   ） A． B． C． D． 10．已知与全等，其中，，，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．不确定 11．如图，在中，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若在某一时刻能使与全等．则点Q的运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 12．如图，已知． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的长． 13．如图，，点在边上（不与点，重合）与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 14．如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 15．如图，直角坐标系中O为原点，点A、B的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)_____， ； (2)当的面积等于6时，求t的值； (3)过P作垂直于直线交于点D，交y轴于Q．在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 16．如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示的长度：______； (2)若与全等（其中与为对应角），求a的值． 17．如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当在上时 ，当在上时 ，（用含的式子表示） (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等，求点的运动速度． 18．已知：如图，在中，于点D，点E、H分别是、边上的点，连接，，连接，过D作交的延长线于点F，交于点G，连接． (1)若，则 °； (2)若，试说明：； (3)若平分，平分，直接写出与的数量关系 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 全等三角形及其性质 目录 知识点1 图形全等的定义与特征 2 知识点2 全等三角形的概念与表示 2 知识点3 全等三角形核心性质（全书必考根基） 2 知识点4 全等三角形对应元素寻找技巧 3 知识点5 平移、旋转全等不变性 3 题型1 图形的全等 3 题型2 全等三角形的概念 6 题型3 全等三角形的性质 8 题型4 利用全等三角形对应角相等求角度 10 题型5 利用全等三角形对应边相等求线段长度 13 题型6 利用全等三角形性质求周长或面积 15 题型7 平移背景下的全等三角形性质应用 20 题型8 旋转背景下的全等三角形性质应用 25 1. 知识目标：理解图形全等的定义与本质特征，掌握全等三角形的概念、符号表示方法；熟练掌握全等三角形的核心性质，明确对应边、对应角、对应周长、对应面积完全相等的规律；掌握平移、旋转变换背景下全等三角形的不变性质。 2. 能力目标：能准确识别全等图形、判定两个三角形是否全等；熟练找准全等三角形的对应边、对应角；能利用全等性质求解角度、线段长度、三角形周长与面积；熟练解决平移、旋转几何变换背景下的全等综合题型。 3. 素养目标：建立几何变换、图形全等、等量代换的数学思想，培养识图辨图、精准找对应关系、逻辑推理计算的能力，夯实全等三角形章节基础，为后续全等判定、几何证明大题铺垫核心能力。 知识点1 图形全等的定义与特征 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 核心本质：全等图形的形状相同、大小相等，与图形的位置、方向无关。 变换不变性：图形经过平移、旋转、翻折（轴对称）变换后，形状、大小不发生改变，变换前后的图形全等。 易错辨析：形状相同、大小不同（相似图形）不是全等图形；大小相同、形状不同也不是全等图形。 知识点2 全等三角形的概念与表示 1. 全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2. 对应元素：重合的顶点为对应顶点，重合的边为对应边，重合的角为对应角。 3. 规范表示方法：用符号“”表示全等，书写时对应顶点必须一一对应。 示例：△ABC△DEF，则A对应D、B对应E、C对应F，对应边、对应角严格匹配。 必考规则：字母顺序决定对应关系，顺序写错直接导致边角对应错误。 知识点3 全等三角形核心性质（全书必考根基） 若两个三角形全等，则满足以下所有等量关系： 1. 对应边相等：三组对应边长度分别相等； 2. 对应角相等：三组对应角度数分别相等； 3. 整体量相等：全等三角形的周长相等、面积相等； 4. 衍生线段相等：对应边上的高、对应边上的中线、对应角的角平分线长度全部相等。 核心逻辑：全等→所有对应元素全部相等，是几何等量代换的核心依据。 知识点4 全等三角形对应元素寻找技巧 1. 长边对长边、短边对短边，大角对大角、小角对小角； 2. 公共边、公共角、对顶角为天然对应元素； 3. 按全等书写字母顺序，直接锁定对应顶点、边角，零出错。 知识点5 平移、旋转全等不变性 1. 平移不变性：三角形平移前后，位置改变，形状、大小不变，对应边、对应角完全相等； 2.旋转不变性：三角形绕定点旋转任意角度，图形全等，所有对应元素保持不变，仅位置方向改变。 题型1 图形的全等 解题技巧（双重条件判定法） 1. 全等判定两要素：形状完全相同 + 大小完全相等，缺一不可； 2. 排除干扰：仅形状相同为相似、仅大小相同不为全等； 3. 变换识别：平移、旋转、翻折得到的图形均与原图形全等； 4. 拼图题型：拆分复杂图形，逐一比对形状、大小，判定全等关系。 秒杀口诀：形同且等大，位置不影响，即为全等形。 【典例1】．下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等形的定义，关键是理解全等形需要形状和大小都完全相同，能够完全重合． 【详解】解：根据全等形的定义，能够完全重合的两个图形是全等形，即形状和大小都完全相同． 选项A中，一个是圆形，一个是方形，形状不同，不是全等形； 选项B中，一个是六边形，一个是五边形，形状不同，不是全等形； 选项C中，两个三角形大小不同，不是全等形； 选项D中，两个心形的形状和大小都完全相同，能够完全重合，是全等形； 故选：D． 【变式1】．下列图形是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的全等：能够重合的两个图形是全等图形；根据此概念判断是否可以重合即可判断． 【详解】解：选项A、C、D中的两个图形不能重合，它们都不是全等图形，而选项B中的两个图形可以重合，是全等图形； 故选：B． 【变式2】．下列四组图形中，是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等图形，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形． 根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而分别判断得出答案． 【详解】解：A、大小不等，不是全等图形，故此选项不合题意； B．形状不同，不是全等图形，故此选项不合题意； C．形状相同，大小相等，旋转后能够完全重合，是全等图形，故此选项符合题意； D．形状不同，不是全等图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【变式3】．如图，四边形四边形，则的度数是 ______ 【答案】 【分析】本题考查了全等图形的性质，根据全等图形的对应角相等求出的度数，进而根据四边形的内角和即可求解，掌握全等图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形四边形， ， 故答案为：． 【变式4】．图中全等的图形是________和________；________和________；________和________；________和________；________和________；________和________． 【答案】 （1） （11） （2） （10） （3） （6） （4） （7） （5） （8） （9） （12） 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据完全重合的图形为全等图形进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：观察图形， 得图中全等的图形是（1）和（11）；（2）和（10）；（3）和（6）；（4）和（7）；（5）和（8）；（9）和（12）． 故答案为：（1），（11），（2），（10），（3），（6），（4），（7），（5），（8），（9），（12） 题型2 全等三角形的概念 解题技巧（定义辨析+规范书写法） 1. 核心判定：能完全重合的两个三角形为全等三角形； 2. 书写规范：严格按照对应顶点顺序书写全等式，杜绝乱序； 3. 概念辨析：周长相等、面积相等的三角形不一定全等，边角全部对应相等才是全等； 4. 基础识图：快速区分对应顶点、对应边、对应角，规避概念混淆错误。 【典例2】．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 【答案】D 【详解】本题考查全等三角形的定义、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形要求形状和大小完全相同是解题的关键． 根据全等三角形的定义和性质逐项判断即可． 【分析】解：A．形状相同的三角形大小可能不相等，不不一定全等，该选项错误，不符合题意； B．面积相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； C．周长相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； D．全等三角形的对应边相等，故该选项正确，符合题意． 故选D． 【变式1】．下列说法正确的是（   ） A．全等图形的形状、大小都相同 B．两个圆是全等图形 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．面积相等的两个三角形是全等图形 【答案】A 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形的定义，形状和大小都相同的图形才是全等图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、全等图形必须形状和大小都相同，故 A正确； B、两个圆只有半径相同时才全等，故 B错误； C、形状相同但大小不同的图形不全等，故C错误； D、面积相等但形状不同的三角形不全等，故D错误． 故选：A． 【变式2】．若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的表示方法，根据对应点的字母写在对应的位置进行解答即可求解，掌握全等三角形的表示方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点和点是对应点，点和点是对应点， ∴的对应边是， 故选：． 【变式3】．已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：______ ． 【答案】 【详解】解：在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：． 【变式4】．如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 故答案为：，． 题型3 全等三角形的性质 解题技巧（全等全员等量法） 1. 已知三角形全等，直接默认：对应边、对应角、周长、面积全部相等； 2. 拓展应用：对应高、中线、角平分线全部相等，可直接用于推理； 3. 解题套路：题干给出全等条件，第一步锁定所有等量关系，为计算、证明铺垫； 4. 逆向判断：边角不对应相等，即可判定三角形不全等。 【典例3】．如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 【答案】C 【分析】根据题意可分两种情况：和，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，t的值为2或3． 【变式1】．如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由全等的性质得，再根据三角形的外角的定义和性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式2】．如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】先得出，进而可得，再求出，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式3】．如图，，，，则______________． 【答案】20 【分析】先由三角形内角和为求解，再由，可得，由此求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴ ． 【变式4】．下列几种说法 ①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形的面积相等．⑤三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．其中正确的是 _____________． 【答案】①④⑤ 【分析】结合全等三角形的性质与三角形面积的相关知识，逐个判断每个说法的正误即可． 【详解】解：①全等三角形的对应边相等，符合全等三角形的性质，说法正确； ②面积相等的两个三角形不一定全等，例如底为高为和底为高为的三角形，面积相等但形状不同，不全等，说法错误； ③周长相等的两个三角形不一定全等，例如三边长为和的三角形周长相等，但形状不同，不全等，说法错误； ④全等三角形可以完全重合，因此全等的两个三角形的面积相等，说法正确； ⑤三角形的中线把对边分为长度相等的两段，分成的两个小三角形等底同高，因此面积相等，说法正确． 综上，正确的说法是①④⑤． 题型4 利用全等三角形对应角相等求角度 解题技巧（对应等角+角度代换法） 1. 先定对应：根据全等字母顺序或图形位置，找准待求角的对应角； 2. 直接代换：全等对应角相等，已知一角可直接秒求对应角度； 3. 综合计算：结合三角形内角和、外角性质、平行线性质、角平分线进行多层代换； 4. 方程求解：遇角度倍数、和差关系，设未知数结合等角性质列方程解题。 【典例4】．如图，，的延长线经过点且交于点．，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用邻补角的性质得，利用三角形内角和定理及对顶角的性质得，利用全等三角形的性质得，再根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】．如图，两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质，求解即可； 【详解】解：根据题意，得对的角是，对的角是，对的角是， 根据两个三角形全等，得对的角是， 故的度数是； 【变式2】．如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据全等三角形的对应角相等得到的度数，再根据三角形的内角和定理求解的度数即可． 【详解】，， ， ， ． 【变式3】．已知，，则的度数为________． 【答案】/72度 【分析】首先根据三角形内角和定理解得的度数，然后根据全等三角形的性质可得，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式4】．如图，，，，，则_____． 【答案】 【分析】根据全等三角形对应角相等可得 ，，利用三角形内角和定理求出 的度数，进而得到 的度数，最后根据角的和差关系求解． 【详解】解：， ，， 在 中，， ， ， ， ． 题型5 利用全等三角形对应边相等求线段长度 解题技巧（对应等边+线段拼接法） 1. 锁定对应边：依据全等书写顺序、长短边特征，精准匹配对应线段； 2. 直接求值：对应边相等，已知一边长度直接得对应边长度； 3. 线段和差：结合图形线段拼接、重叠关系，利用等边代换求未知线段； 4. 易错规避：严禁凭视觉判断对应边，必须依据全等规则精准匹配。 【典例5】．如图，，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据可得出，，再根据线段的和差关系求出的长，即可得出的长，即可求解． 【详解】解：， ，， 点，，在同一条直线上， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1】．如图，已知，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． 【变式2】．如图，，点、、、共线，与交于点．若，，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，点、、、共线， ， ， ． 【变式3】．如图，已知，顶点分别与顶点对应，则______． 【答案】 【分析】由全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ． 【变式4】．如图，，，那么 _______． 【答案】8 【分析】根据全等三角形的对应边相等，可得，因为，，则，由此得解． 【详解】解：， ， ，， ． 题型6 利用全等三角形性质求周长或面积 解题技巧（整体等量秒杀法） 1. 周长求解：全等三角形周长完全相等，求出其中一个三角形周长即可直接得另一个周长； 2. 面积求解：全等三角形面积完全相等，无需单独计算，直接等量代换； 3. 组合图形：利用全等面积相等，进行割补、替换，简化阴影面积计算； 4. 解题优势：整体代换避开复杂边角计算，快速得出结果。 【典例6】．如图，在中，点，分别在边，上，连接，，若，，且的周长比的周长大，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．不妨设，，，根据全等，可得，那么的周长为：，的周长为：，然后根据周长差求得，从而得出答案． 【详解】解：， 设，，， ， ， 的周长为：， 的周长为：， 的周长比的周长大， ， ， 的周长为， 故选：C． 【变式1】．如图，在中，于点D，E是上的一点．若，，，则的周长为（    ）． A．20 B．23 C．24 D．26 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故选：C． 【变式2】．如图，等边的边长为2，点是的中心，绕点旋转，分别交线段于两点，连接，给出下列四个结论： ①； ②的面积等于的面积； ③四边形的面积始终保持不变； ④的周长的最小值为3． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】连接，利用等边三角形的性质易得，由全等三角形的性质来判断；作于，利用三角形的面积得到随的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，来求解；利用得到进而求解；利用得到，当时，最小，的周长最小来求解． 【详解】解：连接，如图， 为等边三角形， ． ∵点是的中心， 分别平分和， ∴， ，即， 而，即， ． 在和中 ，故①正确； 作于，如上图，则． ， ， .，， , 即随的变化而变化， 而四边形ODBE的面积为定值， ，故错误； ， ， ∴四边形的面积，保护不变，故正确； ， 的周长 当时，最小，的周长最小，此时， 周长的最小值，所以④正确. 故正确的有：． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质． 【变式3】．若，和分别是对应边和的高，且的面积是6，，则_______________． 【答案】 【分析】根据全等三角形对应边上的高相等，可得，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：，和分别是对应边和的高， ， ， ． 【变式4】．某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长______． 【答案】12 【分析】本题考查平移性质，根据平移性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵沿方向平移的距离为2， ∴，， ∵的周长为8，即， ∴ ∴四边形的周长为， 故答案为：12． 题型7 平移背景下的全等三角形性质应用 解题技巧（平移不变建模法） 1. 核心结论：三角形平移前后完全全等，所有对应边角、周长、面积不变； 2. 位置特征：平移后对应线段平行（或共线），对应角相等； 3. 线段计算：利用平移距离+对应等边性质，求解平移后线段长度、间距； 4. 角度计算：结合平行线性质+全等等角，双重代换求解复杂角度。 【典例7】．如图，由平移得到，下列说法中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵由平移得到， ∴，，， ∴，， 因此，选项C错误，符合题意． 故选：C． 【变式1】．如图，的边长长为，将向上平移得到，已知四边形为长方形，则阴影部分的面积为__． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质、矩形的面积公式，证明及是解题的关键． 由平移得，可得，再根据，即可求解． 【详解】解：由平移得， ， ， ∵四边形为长方形，， ， ， 故答案为：． 【变式2】．如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点，以下说法正确的是（     ） ①当时，点到的距离为线段的长； ②当，时，则； ③四边形与四边形的周长差为； ④四边形与四边形的面积相等． A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：由平移可知， ， ， ， 点到的距离为线段的长， 故①错误； 由平移可知，， ， ， ， ， ， ， 故②正确； 由平移可知，，， ，，， 四边形的周长是，四边形的周长是， 四边形的周长是， 四边形的周长是， 四边形与四边形的周长差为， 故③正确； 由平移可知， ， ，， ， 故④正确； 综上所述，说法正确的是②③④． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点（网格线的交点）上，点B的坐标为． (1)将先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，请画出． (2)请在的左侧画出，使得，并写出点D的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)图见详解，点D的坐标为 【分析】（1）先根据平移方式确定点A、B、C的对应点、、的位置，然后顺次连接、、即可； （2）根据全等三角形的性质即可得到D点的位置，再写出D点的坐标即可． 本题主要考查了坐标与图形变换——平移，平移作图，以及全等三角形的性质．熟练掌握点坐标平移的特点及全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． 点D的坐标为． 【变式4】．如图1和图2，点B，C，D，E在同一条直线上，且，． (1)如图 1，点 D 与点 C 重合，求证：； (2)将图 1中的 沿直线向左平移至点D与点B 重合时停止，如图2所示，与交于点 G． ①判断此时与之间的位置关系，并说明理由； ②已知 ，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②16 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质： （1）根据全等三角形的性质可得，即可求证； （2）①根据全等三角形的性质可得，从而得到，即可解答；②根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：①与之间的位置关系是；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为16． 题型8 旋转背景下的全等三角形性质应用 解题技巧（旋转全等+转角等角法） 1. 核心结论：图形旋转不改变形状大小，旋转前后三角形全等； 2. 关键模型：旋转角全部相等，对应边旋转夹角统一； 3. 角度推导：利用旋转角相等+全等对应角相等，推导复合角度； 4. 线段推导：利用旋转等边+全等对应边相等，求解线段关系与长度； 5. 综合套路：旋转题型必全等，全等必等边角，是几何旋转题通用突破口。 【典例8】．如图，将绕点A旋转后得，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的性质和全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和全等三角形的性质．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等． 根据旋转的性质和全等三角形的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵将绕点A旋转后得， ∴， ∴，， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，即， 故D选项正确，不符合题意； 由已知条件无法证明出， 故B选项错误，符合题意． 故选：B． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，，在x轴上，，将绕点O旋转，则点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了旋转性质，坐标与图形，全等三角形的性质，进行分类讨论，即逆时针和顺时针两个情况，以及作图，再结合点所在的象限，即可作答． 【详解】解：依题意，当将绕点O逆时针旋转，得，如图： ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴， 当将绕点O顺时针旋转，得，如图： ∴， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 综上：点B的对应点的坐标为或， 故选：D． 【变式2】．如图1，数轴上从左至右依次有B，O，M，A，N五个点，其中点B，O，A表示的数分别为，0，4．如图2，将数轴在点O的左侧部分绕点O顺时针方向旋转，将数轴在点A的右侧部分绕点A逆时针方向旋转，连接BM，MN．若和全等，则点M表示的数为______．    【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及实数与数轴，根据全等三角形的性质得出或进而结合数轴即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∵和全等， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 【变式3】．一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． (1)，对应边是 ，对应角是 ； (2)，对应边是 ，对应角是 ； (3)，对应边是 ，对应角是 ； (4)，对应边是 ，对应角是 ． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可得到结论． （2）根据全等三角形的性质即可得到结论． （3）根据全等三角形的性质即可得到结论． （4）根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：，对应边是， 对应角是； 故答案为：；； （2）解：，对应边是， 对应角是； 故答案为：；； （3）解：，对应边是， 对应角是； 故答案为：；； （4）解：，对应边是， 对应角是． 故答案为：；． 【变式4】．已知，且B、C、D三点共线，，连接．    (1)一般说来，全等三角形可以通过轴对称、平移、旋转得到．请填空：绕点B逆时针旋转_______度，再向右平移_______（填“”、 “”或“”）的距离，可得； (2)若，周长为22， ①求线段的长， ②并直接写出四边形的面积_______． 【答案】(1)90， (2)①；② 【分析】（1）根据旋转以及平移的性质即可作答； （2）①根据平移的性质得出，可得，即可作答； ②先得出是等腰直角三角形，再根据全等三角形的性质得出，最后根据四边形的面积代入计算即可． 【详解】（1）解：如图，   绕点B逆时针旋转度，再向右平移的距离，可得， 故答案为：，． （2）解：①∵，周长为22， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， 即 ∴， ∴四边形的面积 ， 【点睛】本题主要考查了旋转和平移的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，以及完全平方公式的应用等知识，掌握这些性质是解题的关键． 1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等图形的定义，掌握全等图形为形状相同、大小相同的图形是解题的关键． 利用全等图形的概念即可解答． 【详解】解：A．两个图形形状相同，大小不同，不是全等图形，不符合题意； B．两个图形的形状和大小都不同，不是全等图形，不符合题意； C．两个图形形状相同，大小不同，不是全等图形，不符合题意； D．两个图形能完全重合，符合题意． 故选：D． 2．下列说法错误的是（     ） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．对顶角相等 C．面积相等的两个三角形一定全等 D．若直线，，则 【答案】C 【分析】根据平行公理，对顶角性质，全等三角形定义，平行的传递性逐一判定选项正误，即可作答． 【详解】解： A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该说法正确，不符合题意； B、根据对顶角的性质，对顶角相等，该说法正确，不符合题意； C、全等三角形要求形状和大小完全相同，面积相等仅说明的结果相等，底和高可以有不同组合，两个三角形形状大小不一定相同，因此面积相等的两个三角形不一定全等，该说法错误，符合题意； D、若，，则，该说法正确，不符合题意； 3．如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：与三角形全等的是． 4．如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 故选：A． 5．如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【答案】C 【分析】全等三角形中，能够重合的边是对应边，能够重合的角是对应角，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴和是对应角，和是对应角，和是对应边； 故A，B，D不符合题意； 而与是对应边，故C符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是全等三角形的对应边与对应角的含义，理解对应边与对应角的概念是解本题的关键． 6．如图，如果，顶点、、分别与顶点、、对应，且点在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的对应角相等、对应边相等，结合等腰三角形的性质和三角形的外角性质逐项判断即可． 【详解】解： ，，， 选项A、C正确，不符合题意； （三角形的外角性质） 又 选项D正确，不符合题意； 现有条件无法证明，故选项B错误，符合题意． 7．如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据，得到两组三角形中的边角的关系，得到、为等腰直角三角形，逐个判断各结论的正确性即可． 【详解】解：， ，，，， ， ， ，， ，， ， ，即①正确； 根据现有条件，无法判断②，故②不正确； ，， ， 设延长线交于点H，延长线交交于点M，则， ，即③正确； ，， ， ，即④正确； 综上所述，结论中正确的是①③④． 8．如图，已知（点的对应点分别是点），点在边上，若，，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形对应角相等求出的度数，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴． 9．如图，，点与，与分别是对应顶点，且测得，，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴ 10．已知与全等，其中，，，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．不确定 【答案】A 【分析】先利用三角形内角和定理求出，得到，再根据全等三角形的性质，对应角所对的边是对应边，对应边相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵与全等，的对边为，的对边为，， ∴． 11．如图，在中，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若在某一时刻能使与全等．则点Q的运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由，点D为的中点，可得，，设点、的运动时间为，分别表示出，，分和两种情况，即可求解． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴，， ∴点的对应点是点， 设点、的运动时间为，点Q的运动速度为， ∴，， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动速度为； 当时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 12．如图，已知． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的长． 【答案】(1)平行，理由如下： ， ， ． (2) 【分析】（1）利用全等三角形对应角相等得到内错角相等，证得两直线平行； （2）由全等得，结合线段总长列等式求出． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意可得， ， ， ，， , 解得． 13．如图，，点在边上（不与点，重合）与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用全等三角形的性质和等量代换求解即可； （2）利用全等三角形的性质结合题目条件求解即可． 【详解】（1）解：， ，即， ， ，， ， ， （2）解：， ，， 与的周长和为． 14．如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ，， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等可得，，再由等量代换即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等可得，，得出结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ，即：， ， 又， ． 15．如图，直角坐标系中O为原点，点A、B的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)_____， ； (2)当的面积等于6时，求t的值； (3)过P作垂直于直线交于点D，交y轴于Q．在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，t的值为或 【分析】（1）根据非负数的性质列出方程，解方程分别求出、即可； （2）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算； （3）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：，，， ∴， ，， 解得，； （2）解：由（1）可得， ∴，， 当点在线段上时，， ∵的面积等于6， ∴， 解得； 当点在线段的延长线上时，则， ∵的面积等于6， ∴， 解得， 综上所述，t的值为2或10； （3）解：如图，当点在线段上时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， ，即， 解得； 如图，当点在线段的延长线上时， 同理可得， ，即， 解得； 综上所述，存在，t的值为3或9． 16．如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示的长度：______； (2)若与全等（其中与为对应角），求a的值． 【答案】(1) (2)或2 【分析】（1）根据题意，可知，线段的和差关系表示出即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∴． （2）解：∵，点D为的中点， ∴． 由题意可知，，． 当与全等时，分以下两种情况： 当时，，， ∴，． 解得，． 当时，，， ∴，． 解得，． 综上所述，a的值为或2． 17．如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当在上时 ，当在上时 ，（用含的式子表示） (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等，求点的运动速度． 【答案】(1)； (2)点Q的运动速度为或 【分析】（1）用代数式表示出即可； （2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【详解】（1）解： 当点P在边上时，； 当点P在边上时，； （2）解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 18．已知：如图，在中，于点D，点E、H分别是、边上的点，连接，，连接，过D作交的延长线于点F，交于点G，连接． (1)若，则 °； (2)若，试说明：； (3)若平分，平分，直接写出与的数量关系 ． 【答案】(1)50 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂线的定义可得，则可得到； （2）由全等三角形的性质得到，由平行线的性质得到，则可证明，同理可证明，则，据此可满足； （3）设，则，由平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，则可求出，，进而得到，再根据，可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $