第13讲 整式的乘法（知识点+题型精讲）暑假预习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第13讲 整式的乘法 目录 知识点1 单项式乘法法则 2 知识点2 单项式×多项式法则 3 知识点3 多项式×多项式法则 3 知识点4 同底数幂除法与零指数幂 3 知识点5 整式除法法则 3 知识点6 科学记数法除法规则 3 知识点7 整式混合运算顺序 3 知识点8 高频通用结论 4 题型1 单项式乘单项式 4 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 4 题型3 单项式乘多项式 5 题型4 单项式乘多项式的应用 6 题型5 利用单项式乘多项式求字母的值 7 题型6 多项式乘多项式 8 题型7 （x+p）（x+q）型多项式乘法 9 题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值 9 题型9 多项式乘多项式——化简求值 10 题型10 多项式乘多项式与图形面积 10 题型11 多项式乘法中的规律性问题 12 题型12 整式乘法混合运算 13 题型13 同底数幂的除法运算 14 题型14 同底数幂除法的逆用 15 题型15 零指数幂 15 题型16 单项式除以单项式 16 题型17 用科学记数法表示数的除法 16 题型18 多项式除以单项式 17 题型19 整式四则混合运算 17 1. 知识目标：熟练掌握单项式、多项式的乘除运算法则，掌握同底数幂除法、零指数幂运算规则；熟记整式各类基础运算公式，理解科学记数法除法、整式混合运算、图形面积建模、规律探究的核心原理。 2. 能力目标：能独立完成整式基础乘除、混合运算、化简求值；熟练掌握不含某项求参数、规律探究、图形面积建模、参数求值等高频题型解法；掌握公式正向、逆向灵活运用技巧。 3. 素养目标：建立代数运算、数形结合、归纳推理思维，规范整式运算步骤，规避符号、漏项、公式混用等常见错误，夯实整式运算核心基础。 知识点1 单项式乘法法则 1. 单项式×单项式：系数相乘，同底数幂分别相乘（指数相加），单独含有的字母连同指数直接保留作为积的因式。 2. 符号规则：同号得正、异号得负，优先确定结果符号，再计算数值与幂次。 知识点2 单项式×多项式法则 1. 法则：利用乘法分配律，单项式乘多项式的每一项，再把所有积相加。 2. 公式：。 3. 关键要求：不重不漏、带符号运算，最后必须合并同类项化为最简。 知识点3 多项式×多项式法则 1. 通用法则：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再将所有积相加，合并同类项。 2. 特殊公式（必考）：，可直接口算展开，简化运算。 3. 核心特征：展开前项数为两个多项式项数之积，展开后合并同类项化为最简多项式。 知识点4 同底数幂除法与零指数幂 1. 同底数幂除法：（，m、n为正整数且），底数不变，指数相减。 2. 逆用公式：，用于拆分幂次、整体代入求值。 3. 零指数幂：（），底数不能为0，0的0次幂无意义。 知识点5 整式除法法则 1. 单项式÷单项式：系数相除，同底数幂分别相除，单独字母保留。 2. 多项式÷单项式：多项式每一项分别除以单项式，再将结果相加。 3. 禁止拆分：单项式不能除以多项式。 知识点6 科学记数法除法规则 1. 运算方法：系数部分、10的幂次部分分别相除，再整合结果，最后标准化为科学记数法（）。 知识点7 整式混合运算顺序 先乘方、再乘除、最后加减；有括号先算括号内；同级运算从左到右，最终合并同类项化为最简。 知识点8 高频通用结论 1. 多项式乘积不含某项：该项系数为0，据此列方程求参数； 2. 整式与图形面积：通过割补、整体减空白，用整式表示面积，建立代数与几何关联； 3. 规律题型：通过前几项运算结果，归纳通用代数式规律。 题型1 单项式乘单项式 解题技巧（三步秒杀法） 1. 定符号：数负号个数，偶正奇负，优先锁定结果符号； 2. 算系数：所有数字系数相乘，算出最终系数； 3. 合幂次：同底数幂指数相加，单独字母直接照搬； 4. 避坑要点：不遗漏单独字母，幂次只加对应同底数幂，不混加所有指数。 【典例1】．计算：（     ） A． B． C． D． 【变式1】．计算：__________ 【变式2】．计算：． 【变式3】．计算：； 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 解题技巧（等式对应相等+代入求值法） 1. 左侧完整展开单项式乘法，化为标准整式形式； 2. 左右两边同次幂系数对应相等，列方程求解字母参数； 3. 将参数值代入目标代数式，计算最终结果； 4. 核心：无需逐个试值，系数对应相等是唯一解题依据。 【典例2】．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】．若单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式，则的值为_______． 【变式3】．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 题型3 单项式乘多项式 解题技巧（分配律逐项相乘+合并化简法） 1. 逐项相乘：单项式依次乘多项式每一项，不漏项、不跳项； 2. 带号运算：每一项自带正负号，符号跟随项参与运算； 3. 合并化简：展开后及时合并同类项，结果必须最简； 4. 易错规避：严禁漏乘常数项、符号错乱。 【典例3】．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．计算： ________． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 题型4 单项式乘多项式的应用 解题技巧（建模列式+整式化简法） 1. 审题建模：将实际问题（面积、费用、产量、长度等）转化为整式算式； 2. 规范运算：用单项式乘多项式法则展开化简； 3. 代入求值：代入已知数值，计算实际结果； 4. 答题规范：带单位、作答，贴合应用题答题要求。 【典例4】．有五个连续的整数，用其中最大两个数的乘积减去最小两个数的乘积，所得的差一定含有因数（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 【变式1】．已知长方形的长为，宽为，则该长方形的面积为___________． 【变式2】．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以通过拼图加以说明． 【方法理解】已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是x，则另一边长是． ①当时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为______，小正方形的边长为_______，根据面积关系，所以代数式，25，满足的等量关系是______，从而可得； ②当时，类似上述过程进行拼图，同理可得； ③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时该长方形变成边长为5的正方形，即时，； 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25． (1)补全上述步骤的填空 【类比迁移】 (2)当时，求代数式的最大值．（请在答题卷指定位置内画出拼图，标上相应的数据） 【变式3】．将6个如图1的长为a，宽为b的小长方形，无重叠地放入一个大长方形中，摆放方式如图2所示，图2中的阴影部分分别记为①，②，③，④，其中①为正方形． (1)写出a，b满足的关系式为__________． (2)记①，②，③，④的面积分别为，，，，若，求大长方形的面积． (3)记①，②，③，④的周长分别为，，，，若，，求阴影部分③的短边长度． 题型5 利用单项式乘多项式求字母的值 解题技巧（展开整理+系数对应解方程） 1. 完整展开单项式乘多项式，整理成标准整式； 2. 根据等式恒成立、结果不含某项、结果为定值等条件，锁定对应系数； 3. 令对应系数为0或对应数值相等，列一元一次方程求解参数； 4. 检验结果，排除无意义取值。 【典例5】．若m，n互为倒数，且满足，则n的值为（   ） A． B． C． D．2 【变式1】．已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】．对于实数a，b，c，d，规定一种运算，如．若的取值与无关，则的值为___________． 【变式3】．【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 题型6 多项式乘多项式 解题技巧（逐项全覆盖+合并最简法） 1. 逐项相乘：前式每一项乘后式每一项，不重不漏； 2. 符号优先：每项带符号相乘，提前预判正负； 3. 合并同类项：按次数从高到低整理，化为标准降幂排列； 4. 提速技巧：符合(x+p)(x+q)结构直接套用公式口算。 【典例6】．计算结果为（ ） A． B． C． D． 【变式1】．化简：________． 【变式2】．计算：． 【变式3】．计算： 题型7 （x+p）（x+q）型多项式乘法 解题技巧（口诀秒杀法） 1. 通用口诀：首平方，尾积项，尾和为一次项系数； 2. 公式直用：； 3. 正负适配：p、q为负数时，带入公式直接替换符号，无需重新展开； 4. 适用场景：所有两个一次二项式、首项系数为1的乘法运算。 【典例7】．已知，则、的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】．若，则的值为________． 【变式2】．小明学习完《多项式乘多项式》的知识后，通过习题巩固知识，请你帮小明解决下列问题： (1)若，则______，______； (2)已知，求的值． 【变式3】．若多项式与多项式的乘积不含x的一次项，则m的值为（     ） A． B．0 C．3 D．9 题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值 解题技巧（展开→找项→令系数为0） 1. 完整展开多项式乘积，合并同类项； 2. 定位题目指定不含的项（一次项、二次项、常数项）； 3. 不含某项即该项系数为0，列方程求解字母参数； 4. 核心规律：恒成立整式，缺项则系数为0，是必考固定模型。 【典例8】．若关于的多项式展开合并后不含项，则的值是（     ） A．2 B． C．0 D． 【变式1】．已知m，n均为常数，若的乘积不含二次项，则________． 【变式2】．若的计算结果中项的系数为1，则的值为________． 【变式3】．若的积中不含x与项， (1)求______，______； (2)求代数式的值． 题型9 多项式乘多项式——化简求值 解题技巧（先化后代，整体最简） 1. 优先化简：先展开、合并同类项，将整式化为最简形式； 2. 后代数值：最后代入字母取值计算，严禁先代后化； 3. 复杂题型：整体代换，无需单独求单个字母； 4. 优势：化简后大幅减少计算量，降低出错率。 【典例9】．先化简，再求值：，其中，． 【变式1】．先化简，再求值：，其中，． 【变式2】．化简求值：，其中． 【变式3】．先化简再求值：，其中且． 题型10 多项式乘多项式与图形面积 解题技巧（数形结合+割补建模法） 1. 两种思路：整体法（大图形面积）、割补法（分块求和/整体减空白）； 2. 边长代换：用含字母的整式表示图形边长； 3. 面积列式：利用多项式乘法展开化简面积表达式； 4. 代入求值：已知边长参数，求解具体面积或参数值。 【典例10】．图1是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那么拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图1是一张周长为的大长方形纸片和两张周长为的正方形纸片．将这两张正方形纸片按照图2所示的方法放置于大长方形纸片上面，记三张纸片的重叠部分（深色阴影部分）的面积为，大长方形纸片中未被两张正方形纸片覆盖到的部分（空白部分）的面积之和为．若，则与的数量关系为_________． 【变式2】．如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为米、宽为米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． (1)求绿化部分的面积；（用含，的代数式表示） (2)当，时，求绿化部分的面积． 【变式3】．如图1，长方形的两边长分别为，；如图2的长方形的两边长分别为，．（其中m为正整数） (1)计算两个长方形的面积的差，即的值； (2)现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等．试探究该正方形的面积与该长方形的面积的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由． (3)在（1）的条件下，若某个图形的面积介于，之间（不包括，）且面积为整数，这样的整数值有且只有19个，求m的值． 题型11 多项式乘法中的规律性问题 解题技巧（特例计算→归纳通式→验证规律） 1. 计算前3–4组特例结果，观察项数、次数、系数、符号变化； 2. 归纳通用代数式规律，写出第n项表达式； 3. 代入序号验证规律正确性； 4. 高频模型：连续多项式相乘、幂次递推、系数等差/等比规律。 【典例11】．我国南宋数学家杨辉于1261年编撰《详解九章算法》，书中记载了二项式（为非负整数）展开式的各项系数分布规律，如图所示，其中“三乘”对应的展开式为：．若，则的值为（     ） A．10 B．40 C． D． 【变式1】．观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：____________． 【变式2】．观察下列等式： ； ； ； … 利用你发现的规律解决下列问题： (1)计算：_________． (2)计算：_________； (3)利用（2）中结论，求的值． 【变式3】．观察下列等式： ； ； ； (1)请根据以上等式的规律猜想并填空： ________（其中为正整数，且）； (2)利用（1）的结论计算：． 题型12 整式乘法混合运算 解题技巧（先乘方、再乘除、最后加减） 1. 严格按顺序运算：幂的乘方、积的乘方优先，再算整式乘除，最后合并加减； 2. 括号优先：有括号先算括号内部，逐层去括号； 3. 分步运算：一步一公式，避免混用公式出错； 4. 最终化简：彻底合并同类项，结果最简。 【典例12】．图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为．图2是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为．则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．以上情况均有可能 【变式1】．已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 【变式2】．某地计划扩建一块边长为米的正方形林地，将一边增加了7米，另一边增加了4米，那么扩建后这块林地的面积比原来增加了_____平方米． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 题型13 同底数幂的除法运算 解题技巧（底数不变，指数相减） 1. 核心法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减； 2. 符号处理：优先判断底数正负、幂次奇偶，锁定符号； 3. 特殊情况：指数相等结果为1，保证底数非0； 4. 避坑：底数不同不能直接相除，需先统一底数。 【典例13】．计算：（     ） A． B． C． D． 【变式1】．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．计算________． 【变式3】．计算_____． 题型14 同底数幂除法的逆用 解题技巧（幂次拆分，整体代入） 1. 逆用公式：； 2. 适用场景：已知，求差值幂次的值； 3. 解题核心：不单独求底数，整体代换，简化高次幂计算； 4. 可结合乘法逆用，灵活拆分复杂幂次。 【典例14】．已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，，，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式2】．已知，则n的值为______． 【变式3】．已知，则_______． 题型15 零指数幂 解题技巧（非零底数，结果为1） 1. 核心结论：任意非零数的0次幂等于1，； 2. 必考陷阱：底数为0无意义，含参数题型必须保证底数≠0； 3. 混合运算：零次幂优先计算，再参与其他运算； 4. 参数求解：根据底数不为0，限定字母取值范围。 【典例15】．的值为（     ） A． B．0 C．1 D．5 【变式1】．的相反数为（     ） A． B． C．1 D． 【变式2】．计算：________． 【变式3】．若无意义，则x应满足的条件是______． 题型16 单项式除以单项式 解题技巧（系数相除、幂次相减、独字保留） 1. 系数运算：数字系数相除，化简为最简系数； 2. 幂次运算：同底数幂指数相减； 3. 单独字母：仅被除式含有的字母直接保留； 4. 符号规则：同号得正、异号得负，优先定符号。 【典例16】．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．计算：________． 【变式2】．计算：． 【变式3】．计算：． 题型17 用科学记数法表示数的除法 解题技巧（分体运算、统一标准） 1. 分体计算：系数部分、10的幂次部分分别相除； 2. 幂次计算：10的指数相减，快速算幂次； 3. 标准化整理：最终调整系数，满足，还原标准科学记数法； 4. 避坑：禁止直接整体硬算，分体运算最简最快。 【典例17】．2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（     ） A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍 【变式1】．词元（Token）是大模型处理信息的最小信息单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征．2026年3月，中国日均词元调用量已突破Token.已知每消耗一度电大约可产出Token．由此估计，产出Token所消耗的电量用科学记数法表示为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 【变式2】．地球到太阳的平均距离约是，月球到地球的平均距离约为，则地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的______倍（结果保留整数）． 【变式3】．查阅资料可知，太阳和地球之间的距离约为，光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球大约需要______s． 题型18 多项式除以单项式 解题技巧（分项相除，逐项化简） 1. 分配律拆分：多项式每一项分别除以单项式； 2. 逐项计算：每一项单独套用单项式除法法则； 3. 合并整理：将所有商式相加，化简最终结果； 4. 易错点：严禁漏除常数项、符号出错。 【典例18】．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．一个长方形的面积为，且长为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图是一个运算程序，若输入的m为，代数式p为，则输出的x为________． 【变式3】．若一个长方形的面积是，一边长为，则另外一边长为_________．（用含的代数式表示） 题型19 整式四则混合运算 解题技巧（层级运算、分步化简、全程最简） 1. 层级优先级：乘方→乘除→加减，括号优先； 2. 分步操作：先算幂运算、再整式乘除、最后合并同类项； 3. 符号管控：全程带符号运算，避免正负错乱； 4. 最终校验：检查漏项、错项、幂次错误，保证结果最简。 【典例19】．已知，，，均为常数，，均为非零常数，有两个整式，，下列结论中，正确的个数为（     ） ①当与的乘积不含项时，； ②； ③当能被整除时，； A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】．若规定符号的意义是：，则当时，的值为______． 【变式2】．计算：． 【变式3】．已知，． (1)化简； (2)若是整数，求满足什么条件时，能被4整除； (3)若且，求的值． 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（     ） A．13 B．11 C．5 D．1 4．若等式对任意实数x都成立，则常数m，n的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 5．若的展开式中不含的一次项，则常数的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 6．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（     ） A． B． C． D． 7．已知，，，下列给出，，三个数之间的四个关系式，其中不正确的是（     ） A． B． C． D． 8．下面是小张同学完成的作业，每道题20分，请计算小张的得分是（     ） ① ② ③计算的结果是 ④ ⑤若，则 A．80分 B．60分 C．40分 D．20分 9．2026年是国际乒联成立100周年，4月在伦敦举办世界乒乓球团体锦标赛．比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转/秒”（简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球转速更快（     ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 10．如果一个长方形的面积是，宽是，则这个长方形的长为___________． 11．若，，则的值为__________． 12．若，则______． 13．仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字是________． 14．有一个长方体，它的底面积为，体积为，则它的高为_______． 15．计算： (1)； (2)． 16．若，则． 你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！已知： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求的值． 17．先化简，再求值：，其中． 18．规定：两数，之间的一种运算，记作，如果，那么，我们叫为“雅对”．例如：，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立． 证明如下：设，，则，，， ，即． (1)根据上述规定，填空：_________；________； (2)计算：，结果用的形式表示． (3)若，，．求证：． 19．中国北宋数学家沈括在《梦溪笔谈》中提出“垛积术”，专门研究物品堆积的计数问题，有以下规律： “三角垛数” （表示层总数量） “长方垛数” （表示层总数量） “垛积和数” （表示层总数量） ， ， ， ， ， ， ， 如图所示： 将，与组成“垛积三元数”，部分三元数如下表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 三角垛数 1 3 6 长方垛数 3 8 15 垛积和数 4 11 21 (1)请补全上表中的垛积三元数，，； (2)观察表中数据，发现“垛积和数”同时满足两个规律：①；②．请用含正整数的代数式分别表示，，并证明这两个规律是等价的（即从其中一个规律可推导得到另一个规律）． 20．对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)______； (2)如图，四边形是正方形，边长，P在正方形内部，过点P分别作、的垂线与、、、相交于点E、F、G、H，连接、，，，且．求图中阴影部分的面积是多少？    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 整式的乘法 目录 知识点1 单项式乘法法则 2 知识点2 单项式×多项式法则 3 知识点3 多项式×多项式法则 3 知识点4 同底数幂除法与零指数幂 3 知识点5 整式除法法则 3 知识点6 科学记数法除法规则 3 知识点7 整式混合运算顺序 3 知识点8 高频通用结论 4 题型1 单项式乘单项式 4 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 5 题型3 单项式乘多项式 7 题型4 单项式乘多项式的应用 9 题型5 利用单项式乘多项式求字母的值 12 题型6 多项式乘多项式 16 题型7 （x+p）（x+q）型多项式乘法 17 题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值 19 题型9 多项式乘多项式——化简求值 21 题型10 多项式乘多项式与图形面积 23 题型11 多项式乘法中的规律性问题 26 题型12 整式乘法混合运算 30 题型13 同底数幂的除法运算 33 题型14 同底数幂除法的逆用 34 题型15 零指数幂 35 题型16 单项式除以单项式 36 题型17 用科学记数法表示数的除法 37 题型18 多项式除以单项式 39 题型19 整式四则混合运算 40 1. 知识目标：熟练掌握单项式、多项式的乘除运算法则，掌握同底数幂除法、零指数幂运算规则；熟记整式各类基础运算公式，理解科学记数法除法、整式混合运算、图形面积建模、规律探究的核心原理。 2. 能力目标：能独立完成整式基础乘除、混合运算、化简求值；熟练掌握不含某项求参数、规律探究、图形面积建模、参数求值等高频题型解法；掌握公式正向、逆向灵活运用技巧。 3. 素养目标：建立代数运算、数形结合、归纳推理思维，规范整式运算步骤，规避符号、漏项、公式混用等常见错误，夯实整式运算核心基础。 知识点1 单项式乘法法则 1. 单项式×单项式：系数相乘，同底数幂分别相乘（指数相加），单独含有的字母连同指数直接保留作为积的因式。 2. 符号规则：同号得正、异号得负，优先确定结果符号，再计算数值与幂次。 知识点2 单项式×多项式法则 1. 法则：利用乘法分配律，单项式乘多项式的每一项，再把所有积相加。 2. 公式：。 3. 关键要求：不重不漏、带符号运算，最后必须合并同类项化为最简。 知识点3 多项式×多项式法则 1. 通用法则：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再将所有积相加，合并同类项。 2. 特殊公式（必考）：，可直接口算展开，简化运算。 3. 核心特征：展开前项数为两个多项式项数之积，展开后合并同类项化为最简多项式。 知识点4 同底数幂除法与零指数幂 1. 同底数幂除法：（，m、n为正整数且），底数不变，指数相减。 2. 逆用公式：，用于拆分幂次、整体代入求值。 3. 零指数幂：（），底数不能为0，0的0次幂无意义。 知识点5 整式除法法则 1. 单项式÷单项式：系数相除，同底数幂分别相除，单独字母保留。 2. 多项式÷单项式：多项式每一项分别除以单项式，再将结果相加。 3. 禁止拆分：单项式不能除以多项式。 知识点6 科学记数法除法规则 1. 运算方法：系数部分、10的幂次部分分别相除，再整合结果，最后标准化为科学记数法（）。 知识点7 整式混合运算顺序 先乘方、再乘除、最后加减；有括号先算括号内；同级运算从左到右，最终合并同类项化为最简。 知识点8 高频通用结论 1. 多项式乘积不含某项：该项系数为0，据此列方程求参数； 2. 整式与图形面积：通过割补、整体减空白，用整式表示面积，建立代数与几何关联； 3. 规律题型：通过前几项运算结果，归纳通用代数式规律。 题型1 单项式乘单项式 解题技巧（三步秒杀法） 1. 定符号：数负号个数，偶正奇负，优先锁定结果符号； 2. 算系数：所有数字系数相乘，算出最终系数； 3. 合幂次：同底数幂指数相加，单独字母直接照搬； 4. 避坑要点：不遗漏单独字母，幂次只加对应同底数幂，不混加所有指数。 【典例1】．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【变式1】．计算：__________ 【答案】 【详解】解：原式． 【变式2】．计算：． 【答案】 【详解】解：原式. 【变式3】．计算：； 【答案】 【分析】先进行积的乘方运算，再进行单项式的乘法运算即可解答． 【详解】解：原式 ． 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 解题技巧（等式对应相等+代入求值法） 1. 左侧完整展开单项式乘法，化为标准整式形式； 2. 左右两边同次幂系数对应相等，列方程求解字母参数； 3. 将参数值代入目标代数式，计算最终结果； 4. 核心：无需逐个试值，系数对应相等是唯一解题依据。 【典例2】．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用单项式乘单项式的运算法则和同底数幂的乘法法则化简左边后，对比等式两边相同字母的指数，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得． 【变式1】．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘单项式，找到关键信息：等式两边的同底数幂相等，且底数分别为和，需保证对应底数的指数相等；以及通过指数相等建立方程的等量关系思想． 根据单项式乘法法则将所给式子的左边化简，进而结合右边建立方程组，解方程组即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 【变式2】．若单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式，则的值为_______． 【答案】3 【分析】先根据单项式乘单项式法则计算两个单项式的乘积，再根据单项式次数的定义列方程求解即可． 【详解】解：， ∵单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式， ∴是一个十次单项式， ∴， ∴． 【变式3】．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 题型3 单项式乘多项式 解题技巧（分配律逐项相乘+合并化简法） 1. 逐项相乘：单项式依次乘多项式每一项，不漏项、不跳项； 2. 带号运算：每一项自带正负号，符号跟随项参与运算； 3. 合并化简：展开后及时合并同类项，结果必须最简； 4. 易错规避：严禁漏乘常数项、符号错乱。 【典例3】．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用单项式乘多项式的运算法则展开计算即可得到结果. 【详解】解： . 【变式1】．计算： ________． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式 ． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型4 单项式乘多项式的应用 解题技巧（建模列式+整式化简法） 1. 审题建模：将实际问题（面积、费用、产量、长度等）转化为整式算式； 2. 规范运算：用单项式乘多项式法则展开化简； 3. 代入求值：代入已知数值，计算实际结果； 4. 答题规范：带单位、作答，贴合应用题答题要求。 【典例4】．有五个连续的整数，用其中最大两个数的乘积减去最小两个数的乘积，所得的差一定含有因数（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】通过设未知数表示出五个连续的整数，再分别计算最大两个数的乘积和最小两个数的乘积，求出差后化简，即可判断差一定含有的因数． 【详解】解：设这五个连续的整数中最小的数为（为整数），则这五个连续的整数依次为， ∴最大两个数的乘积为， 最小两个数的乘积为， ， ∵为整数，也为整数， ∴一定是的倍数，即所得的差一定含有因数． 【变式1】．已知长方形的长为，宽为，则该长方形的面积为___________． 【答案】 【分析】利用长方形面积公式列式运算即可． 【详解】解：长方形的面积． 【变式2】．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以通过拼图加以说明． 【方法理解】已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是x，则另一边长是． ①当时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为______，小正方形的边长为_______，根据面积关系，所以代数式，25，满足的等量关系是______，从而可得； ②当时，类似上述过程进行拼图，同理可得； ③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时该长方形变成边长为5的正方形，即时，； 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25． (1)补全上述步骤的填空 【类比迁移】 (2)当时，求代数式的最大值．（请在答题卷指定位置内画出拼图，标上相应的数据） 【答案】(1)，，； (2)， 【分析】（1）根据等面积问题即可得出答案； （2）设长方形长、宽分别为、，则长方形面积为，仿照（1）作答即可． 【详解】（1）解：当时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据面积关系，所以代数式，25，满足的等量关系是即，从而可得； （2）解：设长方形长、宽分别为、，则长方形面积为， 拼图略， ①当时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据面积关系，所以代数式，，满足的等量关系是即，从而可得； ②当时，类似上述过程进行拼图，同理可得； ③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时，解得，即该长方形变成边长为9的正方形，即时，； 综上分析，长、宽分别为、的长方形的最大面积是， 即代数式的最大值为． 【变式3】．将6个如图1的长为a，宽为b的小长方形，无重叠地放入一个大长方形中，摆放方式如图2所示，图2中的阴影部分分别记为①，②，③，④，其中①为正方形． (1)写出a，b满足的关系式为__________． (2)记①，②，③，④的面积分别为，，，，若，求大长方形的面积． (3)记①，②，③，④的周长分别为，，，，若，，求阴影部分③的短边长度． 【答案】(1) (2)24 (3)2 【分析】（1）根据大长方形的宽可以得到； （2）利用平移的性质先表述出四个阴影的面积，再结合题意得到，根据求出结果； （3）先表示出，，的周长，再根据题意求出的周长，利用周长公式求出结果． 【详解】（1）解：观察图2可知大长方形的宽为； （2）由（1）可得，即， 由图2可得，，， ， ，即， （3）由图2得：，，， ， ，则， ③的短边长度为． 题型5 利用单项式乘多项式求字母的值 解题技巧（展开整理+系数对应解方程） 1. 完整展开单项式乘多项式，整理成标准整式； 2. 根据等式恒成立、结果不含某项、结果为定值等条件，锁定对应系数； 3. 令对应系数为0或对应数值相等，列一元一次方程求解参数； 4. 检验结果，排除无意义取值。 【典例5】．若m，n互为倒数，且满足，则n的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据倒数的性质得到，展开已知等式后代入求出的值，再根据倒数定义即可得到的值． 【详解】解：∵互为倒数， ∴， ∵， 展开等式得， 把代入得， ∴， 又∵互为倒数， ∴ ． 【变式1】．已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出、，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】．对于实数a，b，c，d，规定一种运算，如．若的取值与无关，则的值为___________． 【答案】 【分析】先根据新运算规则将转化为整式的运算，根据运算结果与的取值无关，得到关于、的关系式，即，再利用新运算规则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 的取值与无关， ， ∴． 【变式3】．【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】理解应用：；能力提升： 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的无关型问题、单项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握运算法则是解题关键． 理解应用：先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； 能力提升：设，则，，先计算，再根据含项的系数为0求解即可得． 【详解】解：理解应用： ， ∵的值与无关， ∴， ∴． 能力提升：设，则，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴的值与无关， ∴， ∴． 题型6 多项式乘多项式 解题技巧（逐项全覆盖+合并最简法） 1. 逐项相乘：前式每一项乘后式每一项，不重不漏； 2. 符号优先：每项带符号相乘，提前预判正负； 3. 合并同类项：按次数从高到低整理，化为标准降幂排列； 4. 提速技巧：符合(x+p)(x+q)结构直接套用公式口算。 【典例6】．计算结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，运用多项式乘多项式的法则展开后合并同类项即可得到结果 【详解】解：， 故选：B． 【变式1】．化简：________． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则展开原式，再合并同类项即可得到化简结果． 【详解】解： 【变式2】．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式3】．计算： 【答案】 【详解】解：原式 . 题型7 （x+p）（x+q）型多项式乘法 解题技巧（口诀秒杀法） 1. 通用口诀：首平方，尾积项，尾和为一次项系数； 2. 公式直用：； 3. 正负适配：p、q为负数时，带入公式直接替换符号，无需重新展开； 4. 适用场景：所有两个一次二项式、首项系数为1的乘法运算。 【典例7】．已知，则、的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将等式左边展开后，对比等式两边对应项系数，即可得到和的值． 【详解】解： ，． 【变式1】．若，则的值为________． 【答案】2 【分析】利用多项式相等对应项系数相等求出和的值，再计算的值． 【详解】解：将等式左边展开得， 由题意得， 根据多项式相等对应项系数相等，可得， 解方程组得， 则． 【变式2】．小明学习完《多项式乘多项式》的知识后，通过习题巩固知识，请你帮小明解决下列问题： (1)若，则______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用多项式乘多项式法则展开等式左侧，对比对应项系数得到的值； （2）先展开等式左侧得到与的值，再展开所求式子，整体代入计算得到结果． 【详解】（1）解：展开等式左侧得：， ∵，对应项系数相等， ∴； （2）展开等式左侧，得， ∵，对应项系数相等， ∴， ∴ ． 【变式3】．若多项式与多项式的乘积不含x的一次项，则m的值为（     ） A． B．0 C．3 D．9 【答案】C 【分析】先计算两个多项式的乘积，根据乘积不含x的一次项可知一次项系数为0，由此求解m的值即可． 【详解】解： ∵乘积不含的一次项 ∴一次项系数等于0，即 解得． 题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值 解题技巧（展开→找项→令系数为0） 1. 完整展开多项式乘积，合并同类项； 2. 定位题目指定不含的项（一次项、二次项、常数项）； 3. 不含某项即该项系数为0，列方程求解字母参数； 4. 核心规律：恒成立整式，缺项则系数为0，是必考固定模型。 【典例8】．若关于的多项式展开合并后不含项，则的值是（     ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式法则展开合并同类项，再根据不含项即项的系数为0，列方程求解即可． 【详解】解：， ， ∵展开合并后不含项， ∴项的系数为，即， 解得． 【变式1】．已知m，n均为常数，若的乘积不含二次项，则________． 【答案】 【分析】将展开，再根据题意可得，即可解答． 【详解】解： 的乘积不含二次项， ，解得． 【变式2】．若的计算结果中项的系数为1，则的值为________． 【答案】7 【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则展开多项式，整理得到项的系数表达式，令系数等于，解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解： ， ∵的计算结果中项的系数为1， ，解得． 【变式3】．若的积中不含x与项， (1)求______，______； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)12 【分析】（1）首先根据多项式乘以多项式法则进行计算，然后根据“积中不含x与项”可得，求解即可获得答案； （2）首先将原式整理为，然后代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵的积中不含x与项， ∴，解得； （2）解：由（1）可知，， ∴ ． 题型9 多项式乘多项式——化简求值 解题技巧（先化后代，整体最简） 1. 优先化简：先展开、合并同类项，将整式化为最简形式； 2. 后代数值：最后代入字母取值计算，严禁先代后化； 3. 复杂题型：整体代换，无需单独求单个字母； 4. 优势：化简后大幅减少计算量，降低出错率。 【典例9】．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先根据整式的乘法法则计算，再将数值代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式 ． 【变式1】．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】利用多项式乘多项式和单项式乘多项式的运算法则展开原式，合并同类项得到最简结果，再代入x和y的数值计算即可． 【详解】解： ； 当，时 原式． 【变式2】．化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】先利用多项式乘法、加减法的法则进行化简，再代入求值． 【详解】解： 把代入上式， 原式． 【变式3】．先化简再求值：，其中且． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算，绝对值的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据整式的混合运算化简，再根据题意解得，代入化简式计算即可． 【详解】原式 ； 且， ，解得，代入得， 故化简式为，其值为． 题型10 多项式乘多项式与图形面积 解题技巧（数形结合+割补建模法） 1. 两种思路：整体法（大图形面积）、割补法（分块求和/整体减空白）； 2. 边长代换：用含字母的整式表示图形边长； 3. 面积列式：利用多项式乘法展开化简面积表达式； 4. 代入求值：已知边长参数，求解具体面积或参数值。 【典例10】．图1是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那么拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为原长方形长为、宽为，沿对称轴剪开后得到的小长方形长为，宽为．因为中间空的部分是边长为的正方形，面积等于边长的平方，即．（方法不唯一） 【详解】解：∵中间空的部分是边长为的正方形， ∴面积为． 【变式1】．如图1是一张周长为的大长方形纸片和两张周长为的正方形纸片．将这两张正方形纸片按照图2所示的方法放置于大长方形纸片上面，记三张纸片的重叠部分（深色阴影部分）的面积为，大长方形纸片中未被两张正方形纸片覆盖到的部分（空白部分）的面积之和为．若，则与的数量关系为_________． 【答案】 【分析】先设长方形纸片长为，宽为，再结合正方形纸片周长分别求出和，进而得到，再根据长方形纸片周长与和的关系得出． 【详解】解：∵正方形纸片周长为， ∴正方形纸片边长为， 设长方形纸片长为，宽为， ∴，， 即，， ∵， ∴，即， ∵长方形纸片周长为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】．如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为米、宽为米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． (1)求绿化部分的面积；（用含，的代数式表示） (2)当，时，求绿化部分的面积． 【答案】(1)绿化部分的面积为平方米； (2)绿化部分的面积为108平方米 【分析】（1）先求出长方形地块的面积，再求出修建雕像的小长方形地块的面积，进而即可求出绿化部分的面积； （2）将，代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，长方形地块的面积为平方米， 修建雕像的小长方形地块的面积为平方米， ∴绿化部分的面积为平方米； （2）解：当，时，（平方米）， 绿化部分的面积为108平方米． 【变式3】．如图1，长方形的两边长分别为，；如图2的长方形的两边长分别为，．（其中m为正整数） (1)计算两个长方形的面积的差，即的值； (2)现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等．试探究该正方形的面积与该长方形的面积的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由． (3)在（1）的条件下，若某个图形的面积介于，之间（不包括，）且面积为整数，这样的整数值有且只有19个，求m的值． 【答案】(1) (2)是， (3) 【分析】（1）表示出两面积，作差计算即可； （2）表示出两面积，作差计算即可； （3）m为正整数，则为整数，且，则之间不含端点的整数个数为：，已知这样的整数值有且只有19个，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴； （2）解：∵一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积， ∴， ∴该正方形的面积与长方形的面积的差是一个常数； （3）解：由（1）得，， ∵m为正整数， ∴为整数，且， 则之间不含端点的整数个数为：， ∴ ∴． 题型11 多项式乘法中的规律性问题 解题技巧（特例计算→归纳通式→验证规律） 1. 计算前3–4组特例结果，观察项数、次数、系数、符号变化； 2. 归纳通用代数式规律，写出第n项表达式； 3. 代入序号验证规律正确性； 4. 高频模型：连续多项式相乘、幂次递推、系数等差/等比规律。 【典例11】．我国南宋数学家杨辉于1261年编撰《详解九章算法》，书中记载了二项式（为非负整数）展开式的各项系数分布规律，如图所示，其中“三乘”对应的展开式为：．若，则的值为（     ） A．10 B．40 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得的展开式，令，则可得到的展开式，结合题意可得答案． 【详解】解：由题意得，， 令， 则 ， 又∵， ∴ 【变式1】．观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：____________． 【答案】 【分析】根据题干得出规律，再结合规律计算即可得出结果． 【详解】解：∵； ； ； …… ∴， ∴ ． 【变式2】．观察下列等式： ； ； ； … 利用你发现的规律解决下列问题： (1)计算：_________． (2)计算：_________； (3)利用（2）中结论，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干提示的信息总结归纳可得答案； （2）根据题干提示的信息总结归纳可得答案； （3）利用（2）中的规律进行变形，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵； ； ； … ∴； （3）解： ． 【变式3】．观察下列等式： ； ； ； (1)请根据以上等式的规律猜想并填空： ________（其中为正整数，且）； (2)利用（1）的结论计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过观察已知等式的结果指数和结构，总结规律即可得到猜想结论； （2） 将所求算式变形为符合（1）结论的形式，根据（1）中规律即可求解； 【详解】（1）解：观察已知等式可得时，； 时，； 时，； ...， 因此可得猜想：（其中为正整数，且）； （2）解：根据（1）中规律可得： ． 题型12 整式乘法混合运算 解题技巧（先乘方、再乘除、最后加减） 1. 严格按顺序运算：幂的乘方、积的乘方优先，再算整式乘除，最后合并加减； 2. 括号优先：有括号先算括号内部，逐层去括号； 3. 分步运算：一步一公式，避免混用公式出错； 4. 最终化简：彻底合并同类项，结果最简。 【典例12】．图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为．图2是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为．则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．以上情况均有可能 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键．先根据长方形和正方形的面积公式分别求出和，然后利用作差法比较大小，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ； ； ， ， 故选：A． 【变式1】．已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，巧用整体思想是解题的关键． 由得到，再整体代入变形后的代数式即可求得． 【详解】解：， ， ． ， ， ． 故选：C． 【变式2】．某地计划扩建一块边长为米的正方形林地，将一边增加了7米，另一边增加了4米，那么扩建后这块林地的面积比原来增加了_____平方米． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法与整式的混合运算，核心是利用面积公式表示出扩建前后的面积，通过作差求解增加的面积． 【详解】解：∵扩建后林地为长方形，长为米，宽为米， ∴扩建后的林地面积为平方米， ∵原林地的面积为平方米； ∴增加的面积为平方米； 故答案为：． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型13 同底数幂的除法运算 解题技巧（底数不变，指数相减） 1. 核心法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减； 2. 符号处理：优先判断底数正负、幂次奇偶，锁定符号； 3. 特殊情况：指数相等结果为1，保证底数非0； 4. 避坑：底数不同不能直接相除，需先统一底数。 【典例13】．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【变式1】．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原式 ． 【变式2】．计算________． 【答案】 【详解】解：． 【变式3】．计算_____． 【答案】 【详解】 ． 题型14 同底数幂除法的逆用 解题技巧（幂次拆分，整体代入） 1. 逆用公式：； 2. 适用场景：已知，求差值幂次的值； 3. 解题核心：不单独求底数，整体代换，简化高次幂计算； 4. 可结合乘法逆用，灵活拆分复杂幂次。 【典例14】．已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用同底数幂的除法法则将待求式变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式1】．已知，，，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】利用同底数幂乘法与除法的逆用运算将幂的关系转化为指数的关系，再逐一验证各关系式即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即，，则③正确； ∴，则②正确； ∴， ∴，则④正确； ∵，， ∴，即，则①错误； 综上，正确的关系式是②③④． 【变式2】．已知，则n的值为______． 【答案】 【分析】先把所有底数统一为2，再利用幂的运算法则计算即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得． 【变式3】．已知，则_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 题型15 零指数幂 解题技巧（非零底数，结果为1） 1. 核心结论：任意非零数的0次幂等于1，； 2. 必考陷阱：底数为0无意义，含参数题型必须保证底数≠0； 3. 混合运算：零次幂优先计算，再参与其他运算； 4. 参数求解：根据底数不为0，限定字母取值范围。 【典例15】．的值为（     ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】C 【详解】解：． 【变式1】．的相反数为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查零指数幂的性质、绝对值的化简和相反数的定义，按照运算顺序逐步计算出原式的值，再求出它的相反数即可． 【详解】解：∵ 任何不等于零的数的零次幂为 ，， ∴ ， ∴ 原式， ∵ 只有符号不同的两个数互为相反数， ∴ 的相反数为． 【变式2】．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 【变式3】．若无意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【分析】根据零指数幂无意义的条件是底数，求解即可． 【详解】解∶∵无意义， ∴， 即． 题型16 单项式除以单项式 解题技巧（系数相除、幂次相减、独字保留） 1. 系数运算：数字系数相除，化简为最简系数； 2. 幂次运算：同底数幂指数相减； 3. 单独字母：仅被除式含有的字母直接保留； 4. 符号规则：同号得正、异号得负，优先定符号。 【典例16】．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 【变式1】．计算：________． 【答案】 【分析】运用单项式除法的运算法则，分别对系数和同底数幂进行计算即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式2】．计算：． 【答案】 【详解】解： 【变式3】．计算：． 【答案】 【分析】根据幂的乘方运算法则，同时注意负号的处理． 【详解】解： ． 题型17 用科学记数法表示数的除法 解题技巧（分体运算、统一标准） 1. 分体计算：系数部分、10的幂次部分分别相除； 2. 幂次计算：10的指数相减，快速算幂次； 3. 标准化整理：最终调整系数，满足，还原标准科学记数法； 4. 避坑：禁止直接整体硬算，分体运算最简最快。 【典例17】．2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（     ） A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍 【答案】D 【详解】解：由题意得． 【变式1】．词元（Token）是大模型处理信息的最小信息单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征．2026年3月，中国日均词元调用量已突破Token.已知每消耗一度电大约可产出Token．由此估计，产出Token所消耗的电量用科学记数法表示为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 【答案】C 【详解】解：度． 【变式2】．地球到太阳的平均距离约是，月球到地球的平均距离约为，则地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的______倍（结果保留整数）． 【答案】391 【分析】本题考查了同底数幂的除法，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则“底数不变，指数相减”计算即可． 【详解】解：根据题意，， 故答案为： ． 【变式3】．查阅资料可知，太阳和地球之间的距离约为，光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球大约需要______s． 【答案】或500 【分析】本题考查单项式除以单项式的应用，利用时间等于路程除以速度，以及单项式除以单项式的法则进行计算即可. 【详解】解：； 故答案为：500 题型18 多项式除以单项式 解题技巧（分项相除，逐项化简） 1. 分配律拆分：多项式每一项分别除以单项式； 2. 逐项计算：每一项单独套用单项式除法法则； 3. 合并整理：将所有商式相加，化简最终结果； 4. 易错点：严禁漏除常数项、符号出错。 【典例18】．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原式 【变式1】．一个长方形的面积为，且长为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形面积公式，宽等于面积除以长，列出算式后利用多项式除以单项式的运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：已知长方形面积，长为， ∴宽为 ， 因此该长方形的宽为． 【变式2】．如图是一个运算程序，若输入的m为，代数式p为，则输出的x为________． 【答案】 【分析】根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：根据运算程序得， ∵， ∴， ∴输出的x为． 【变式3】．若一个长方形的面积是，一边长为，则另外一边长为_________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】根据长方形面积公式，另一边长等于面积除以已知边长，利用多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：根据长方形面积公式，另一边长为： ． 题型19 整式四则混合运算 解题技巧（层级运算、分步化简、全程最简） 1. 层级优先级：乘方→乘除→加减，括号优先； 2. 分步操作：先算幂运算、再整式乘除、最后合并同类项； 3. 符号管控：全程带符号运算，避免正负错乱； 4. 最终校验：检查漏项、错项、幂次错误，保证结果最简。 【典例19】．已知，，，均为常数，，均为非零常数，有两个整式，，下列结论中，正确的个数为（     ） ①当与的乘积不含项时，； ②； ③当能被整除时，； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据整式乘除与多项式整除的性质，对三个结论逐一计算验证即可． 【详解】①由题意， ， ， ∵乘积不含项，∴，解得，故①错误． ②已知， 令，得：左边，右边， ∴，整理得 ， 令，左边，右边， ∴，代入得，故②正确． ③若多项式能被整除， 根据多项式整除性质，时．代入得， 整理得，故③正确． 综上，正确的结论共2个． 【变式1】．若规定符号的意义是：，则当时，的值为______． 【答案】 【分析】根据定义对所求式子进行化简，再把已知代入计算即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ∵， ∴， ∴． 【变式2】．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式3】．已知，． (1)化简； (2)若是整数，求满足什么条件时，能被4整除； (3)若且，求的值． 【答案】(1) (2)当为除以余的整数（或,k为整数）时，能被整除 (3) 【分析】（1）根据整式的乘法运算，展开后，再合并同类项即可； （2）将原式变形为，根据整除的意义，解答即可； （3）根据题意，得，对进行化简求解即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 故当为除以余的整数（或,k为整数）时，能被整除； （3）解： ， 且， ， 整理，得， ； ． 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误． 2．有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，设大长方形的长为x，左上角空白部分的面积，右下角空白部分的面积，计算，根据的值与的长无关可知即含x的项系数必须为0，据此求出m、n的关系． 【详解】解：设大长方形的长为x，面积为的长方形的长为，宽为， 因此， 面积为的长方形的长为，宽为m， 因此， 因为的值与的长无关， 即含x的项系数必须为0， 因此， 可得， 综上，m与n的数量关系为， 故选：B． 3．已知，则的值为（     ） A．13 B．11 C．5 D．1 【答案】B 【分析】根据多项式乘多项式的计算法则求出的展开结果即可得到m、n，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：根据多项式乘多项式的计算法则可得：， 又， ∴， ∴， ∴． 4．若等式对任意实数x都成立，则常数m，n的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先按照多项式乘以多项式计算，然后根据已知条件得出，，解一元一次方程即可求出m，n的值． 【详解】解： ， 则，， 解得：，． 5．若的展开式中不含的一次项，则常数的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】先展开多项式乘积，合并同类项后，根据展开式不含x的一次项，得到一次项系数为0，即可求解a的值． 【详解】解：， 展开式中不含的一次项， 一次项系数为，即， 解得． 6．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图1中，阴影部分的长为，宽为，图2中，阴影部分的面积等于大长方形的面积减去长是a，宽是x的长方形的面积，再减去长是b，宽是x的长方形的面积，再加上边长是x的正方形的面积，分别表示出阴影部分的面积，即可得解． 【详解】解：∵图1中，阴影部分的长为，宽为， ∴图1中阴影部分的面积为， ∵图2中，阴影部分的面积为大长方形的面积减去长是a，宽是x的长方形的面积，再减去长是b，宽是x的长方形的面积，再加上边长是x的正方形的 面积， ∴图2中阴影部分的面积为， ∴ ． 7．已知，，，下列给出，，三个数之间的四个关系式，其中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“底数相同的幂相等时，指数相等”逐一验证各选项即可得到不正确的关系式． 【详解】解：∵ ，，， 验证选项A：∵ ， ， ∴ ，可得，A正确，不符合题意； 验证选项B：∵ ， ∴ ，B正确，不符合题意； 验证选项C：∵ ， ∴ ，C正确，不符合题意； 验证选项D：∵ ， ， ∴ ，可得，D错误，符合题意． 8．下面是小张同学完成的作业，每道题20分，请计算小张的得分是（     ） ① ② ③计算的结果是 ④ ⑤若，则 A．80分 B．60分 C．40分 D．20分 【答案】C 【分析】根据幂的相关运算性质，依次判断小张每道题的正误，统计做对的题数后计算总得分． 【详解】逐题判断正误： ①∵，，∴，小张计算正确，得20分； ②与不是同类项，不能合并，小张计算错误，不得分； ③∵，小张结果为，计算错误，不得分； ④∵，小张计算正确，得20分； ⑤∵，可得，小张得，计算错误，不得分； 总得分：，因此小张得分为40分． 9．2026年是国际乒联成立100周年，4月在伦敦举办世界乒乓球团体锦标赛．比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转/秒”（简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球转速更快（     ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 【答案】B 【分析】先作差，再利用多项式乘以多项式法则和单项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】解： ∵， ∴ ∴ ∴乙击出的球转速更快． 10．如果一个长方形的面积是，宽是，则这个长方形的长为___________． 【答案】 【详解】解：∵长方形的面积为，宽为， ∴长方形的长为． 11．若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】先由已知得，，再根据同底数幂的乘法的逆运算将所求式子变形为，代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 12．若，则______． 【答案】 【分析】把原式变形为，代入已知条件即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ 13．仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字是________． 【答案】 【分析】根据规律可得，根据乘方的计算规律可得的个位数是，的个位数是． 【详解】解： ， ，个位数是， ，个位数是， ，个位数是， ，个位数是， ，个位数是， 每次运算一个循环， ， 的个位数是， 的个位数是． 14．有一个长方体，它的底面积为，体积为，则它的高为_______． 【答案】/ 【分析】根据长方体体积公式得到高等于体积除以底面积，列式后利用多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：设长方体的高为， ∵长方体体积公式， ∴， ∵体积，底面积， ∴ 即它的高为． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： （2）解： 16．若，则． 你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！已知： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用逆用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方法则，结合题干给出的结论：若（且）则，对所求式子进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：由（1）知， ∴． ∵， ∴ ， ∴，解得． （3）解：∵， ∴． 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【详解】解： ， 当时，原式． 18．规定：两数，之间的一种运算，记作，如果，那么，我们叫为“雅对”．例如：，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立． 证明如下：设，，则，，， ，即． (1)根据上述规定，填空：_________；________； (2)计算：，结果用的形式表示． (3)若，，．求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明：，，， ，，， ． ， ， ． 【分析】（1）直接对照“雅对”的定义，算出底数多少次方等于后数，该指数即为答案； （2）套用题干推导的同底数“雅对”规律，利用同底数幂相乘的知识点即可得到结果； （3）先根据“雅对”写出三组幂等式，利用同底数幂除法算出，结合推出指数相等． 【详解】（1）解：由定义得，即， 同理可得，． （2）解：设，，则，， ． ． （3）略． 19．中国北宋数学家沈括在《梦溪笔谈》中提出“垛积术”，专门研究物品堆积的计数问题，有以下规律： “三角垛数” （表示层总数量） “长方垛数” （表示层总数量） “垛积和数” （表示层总数量） ， ， ， ， ， ， ， 如图所示： 将，与组成“垛积三元数”，部分三元数如下表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 三角垛数 1 3 6 长方垛数 3 8 15 垛积和数 4 11 21 (1)请补全上表中的垛积三元数，，； (2)观察表中数据，发现“垛积和数”同时满足两个规律：①；②．请用含正整数的代数式分别表示，，并证明这两个规律是等价的（即从其中一个规律可推导得到另一个规律）． 【答案】(1) (2)三角垛数，长方垛数， 由①推②：将代入得： ， ， ∴； 由②推①：将，代入得： ， ， ∴． 【分析】（1）发现规律并进行计算即可； （2）表示三角垛数，长方垛数，代入①②计算即可证明． 【详解】（1）解：由规律发现：， ， ； （2）解：略． 20．对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)______； (2)如图，四边形是正方形，边长，P在正方形内部，过点P分别作、的垂线与、、、相交于点E、F、G、H，连接、，，，且．求图中阴影部分的面积是多少？    【答案】(1)11 (2)3 【分析】（1）利用新定义的运算法则计算即可求解； （2）利用新定义的运算法则化简，得到，利用正方形面积公式和三角形面积公式计算得到图中阴影部分的面积为，整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 图中阴影部分的面积 ， ∵， ∴原式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $