第二十六章 二次函数单元测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学第二十六章二次函数单元复习卷，全面覆盖定义、图像性质、实际应用等核心知识点，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/44|二次函数定义、顶点坐标、图像与坐标轴交点|结合表格数据判断方程解范围，培养抽象能力与推理意识| |填空题|8/30|平移变换、最值、新定义“智慧点”|“智慧点”定义题考查数学语言表达与创新意识| |解答题|5/46|表达式求解、销售利润、喷水高度、旋转综合|销售利润问题构建函数模型，体现模型意识；喷水高度结合坐标系分析，发展几何直观|

第二十六章二次函数单元测试卷 一、选择题：本题共12小题，共44分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数属于二次函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：，不是二次函数，中当时，它不是二次函数， 符合二次函数的定义，它是二次函数， 故选：． 一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．、、是常数，也叫做二次函数的一般形式，据此进行判断即可． 本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2.已知点在抛物线上，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题知， 因为点在抛物线上， 所以， 解得， 所以的值为． 故选：． 将点的坐标代入进行计算即可． 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 3.抛物线与轴的交点坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题知， 将代入得， ， 所以抛物线与轴的交点坐标为． 故选：． 将代入函数解析式即可解决问题． 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 4.抛物线的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：抛物线是顶点式， 顶点坐标是． 故选：． 已知抛物线顶点式为常数，，顶点坐标是． 本题考查由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标，比较容易． 5.下列表格是二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程为常数的一个解的范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：函数的图象与轴的交点就是方程的根， 函数的图象与轴的交点的纵坐标为； 由表中数据可知：在与之间， 对应的的值在与之间，即， 故选：． 根据函数的图象与轴的交点就是方程的根，再根据函数的增减性即可判断方程一个根的范围． 掌握函数的图象与轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在． 6.对于二次函数，下列说法正确的是(    ) A. 图象的开口向下 B. 当时，有最大值 C. 当时，随的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线 【答案】D  【解析】解：二次函数， 该函数的图象开口向上，故选项A的说法错误，不符合题意； 函数图象的顶点坐标为，所以时，函数有最小值为，故选项B的说法错误，不符合题意； 当时，随的增大而减小，故选项C中的说法错误，不符合题意； 对称轴是直线，故选项D中的说法正确，符合题意． 故选：． 根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 本题考查抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 7.二次函数，自变量与函数的对应值如下表： 下列说法正确的是(    ) A. 抛物线的开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 抛物线的对称轴是 D. 二次函数的最小值是 【答案】C  【解析】解：将点、、代入到二次函数中， 得：，解得：， 二次函数的解析式为． A、，抛物线开口向上，不正确； B、，当时，随的增大而增大，不正确； C、，抛物线的对称轴是直线，C正确； D、，二次函数的最小值是，不正确； 故选：． 选出点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论． 本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． 8.已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是(    ) A. 或 B. C. D. 【答案】B  【解析】解：抛物线的对称轴在轴右侧， ， ． 抛物线． 将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：， 将代入，得， 解得舍去，． 故选：． 根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，然后将代入，求得的值． 本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是写出平移后抛物线解析式． 9.在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：观察函数图象可知：，，， 二次函数的图象开口向上，对称轴，与轴的交点在轴负半轴． 故选：． 根据二次函数与一次函数的图象，即可得出、、，由此即可得出：二次函数的图象开口向上，对称轴，与轴的交点在轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论． 本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出、、是解题的关键． 10.已知二次函数图象上三点，，，则、、的大小关系为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题可知二次函数对称轴为直线，且开口方向向上， 离对称轴越远，函数值越大， ， ， 故选：． 根据开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大，据此求解即可． 本题主要考查了二次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 11.抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：；；；方程有两个相等的实数根其中正确结论的个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴左侧， ， 对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在点和之间， 与轴的另一个交点在点和之间， 抛物线和轴正半轴相交，时，， ，， ，故正确，正确； 抛物线的对称轴为直线， ． 时，， 即， ，即，所以正确； 当时，二次函数有最大值为， 即只有时，， 方程有两个相等的实数根，故错误； 故选：． 抛物线开口向下，对称轴在轴左侧，，根据抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线，则根据抛物线的对称性得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，抛物线和轴正半轴相交，，，则，则可对进行判断；由抛物线的对称轴方程得到，而时，，则，、于是可对进行判断；利用抛物线的顶点，可得到抛物线与直线只有一个公共点，于是可对进行判断． 本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于． 12.已知二次函数是常数，且的图象过点，，若的长不小于，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：令，得， 化简得，， 二次函数是常数，且的图象过点，， ， ， ， ，， ， 即， 的长不小于， ， ， ， ， 故选：． 由于抛物线所经过的、两点的纵坐标为，说明抛物线与直线有两个交点，则，是方程有两个不相等的根，由根与系数的关系求得便为的长度，再根据的长不小于，列出的不等式求得的取值范围，再结合方程根的判别式与解的情况的关系求得的取值范围，便可得出最后结果． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，关键是用根与系数的关系求出的值． 二、填空题：本题共8小题，共30分。 13.抛物线的顶点坐标是      ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的性质，形如的顶点坐标为，据此可以直接求出顶点坐标． 【解答】 解：抛物线的顶点坐标为． 故答案是：． 14.已知抛物线与坐标轴有两个交点，则的值为         ． 【答案】或．  【解析】解：当抛物线经过原点，且与轴有两个交点时，则该抛物线与坐标轴有两个交点， 原点在抛物线上， ； 当抛物线与轴只有一个交点，且该交点不为原点时，则该抛物线与坐标轴有两个交点， 一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， 综上所述，当抛物线与坐标轴有两个交点时，则的值为或， 故答案为：或． 分两种情况讨论，一是抛物线经过原点，且与轴有两个交点，将代入，求得；二是抛物线与轴只有一个交点，且该交点不为原点时，则一元二次方程有两个相等的实数根，所以，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论是解题的关键． 15.若抛物线的顶点在轴上，则      ． 【答案】  【解析】解：由题可知抛物线与轴只有一个交点， ， 解得， 故答案为：． 由题意可知抛物线与轴只有一个交点，据此利用求解即可． 本题主要考查了抛物线与轴交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 16.将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的表达式为         ． 【答案】．  【解析】解：由题知， 将抛物线向左平移个单位后，所得抛物线的解析式为， 再将所得抛物线向上平移个单位后，所得抛物线的解析式为． 故答案为：． 根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题． 本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 17.当时，二次函数有最大值，最小值，则的值为        ． 【答案】  【解析】解：， 抛物线开口向下， ， 函数的顶点坐标是， 时，函数有最小值为， 当时，随的增大而减小， 时，函数有最大值为， 时，随的增大而增大， 时，函数有最大值为， 综上所述，当时，二次函数有最大值，最小值， ． 根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值． 本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键． 18.如图二次函数与一次函数的图象相交于，两点，则不等式的解为        ． 【答案】  【解析】解：当时，的图象在的图象的下方， 不等式的解为． 故答案为：． 由图象可知，与图象的交点的横坐标为和，当时，的图象在的图象的下方，即可得答案． 本题考查二次函数与不等式组，能够利用函数图象判断两个函数的大小关系是解题的关键． 19.如图，点是抛物线对称轴上的一点，连接，以为旋转中心将逆时针旋转得到，当恰好落在抛物线上时，点的坐标为______． 【答案】或  【解析】解：抛物线对称轴为直线， 设点坐标为， 如图，作轴于点，作直线， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ≌， ，， 则点坐标为， 代入得：， 解得：或， 点坐标为或， 故答案为：或． 根据抛物线对称轴解析式设点坐标为，作轴于点，作直线，证≌得、，则点坐标为，将点坐标代入抛物线解析式得到关于的方程，解之可得的值，即可得答案． 本题考查了坐标与图形的变换旋转，全等三角形的判定与性质，函数图形上点的特征，根据全等三角形的判定与性质得出点的坐标是解题的关键． 20.定义：横坐标与纵坐标相等的点，称为“智慧点”，例如：，均为智慧点则抛物线上所有“智慧点”的坐标为         ． 【答案】和．  【解析】解：由题知， “智慧点”在直线上， 则， 解得，． 当时，；当时，， 所以抛物线上所有“智慧点”的坐标为和． 故答案为：和． 根据题意得出“智慧点”在直线上，据此求出抛物线与直线的交点坐标即可． 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，能根据题意得出“智慧点”在直线上是解题的关键． 三、解答题：本题共5小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题分 已知关于的二次函数的图象与轴的交点为，，与轴交于点． 求这个二次函数的表达式； 写出它的开口方向，对称轴以及顶点坐标． 【答案】这个二次函数的表达式为  该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．  【解析】解：设这个二次函数的表达式为， 二次函数的图象经过点，，， ， 解得， 这个二次函数的表达式为． 该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 理由：， 该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 设这个二次函数的表达式为，将，，分别代入，列方程组并且解该方程组，求出、、的值，即可求得这个二次函数的表达式为； 将该二次函数的表达式配方成为顶点式得，可知该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式等知识，正确地求出这个二次函数的表达式是解题的关键． 22.本小题分 已知二次函数为常数． 求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点； 若函数的图象与轴的两个公共点分别在原点的两侧，求的取值范围． 【答案】解：因为， 所以方程有两个不相等的实数根， 所以该函数图像与轴总有两个公共点； 当时，，解这个方程，得，． 函数图像与轴的交点的坐标为，， 因为函数图像与轴的两个公共点分别在原点的两侧，且， 所以且， 解得．  【解析】本题考查的是抛物线与轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 由，即可求解； 求出函数图像与轴的交点的坐标为，，因为函数图像与轴的两个公共点分别在原点的两侧，且，得出且，进而求解． 23.本小题分 某网店销售某款童装，每件售价元，每星期可卖件，为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖件．已知该款童装每件成本价元，设该款童装每件售价元，每星期的销售量为件． 求与之间的函数关系式； 当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ 若该网店每星期想要获得不低于元的利润，求此时售价的范围． 【答案】解：． 设每星期利润为元， ． 时，最大值． 答：每件售价定为元时，每星期的销售利润最大，最大利润元． 由题意， 解得：． 答：当售价满足时，该网店每星期能获得不低于元的利润．  【解析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，学会利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型． 根据售量件与售价元件之间的函数关系即可得到结论． 设每星期利润为元，根据总利润每件的利润销售量，构建二次函数利用二次函数性质即可解决问题． 由得出关于利润的不等式，结合二次函数的性质先求出售价的范围，即可解决问题． 24.本小题分 要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一个柱形喷水装置，顶端安有一个喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是． 求喷出的水流最高处距离地面多少米？ 若喷水池的半径为，请判断喷出的水流会不会落在池外，并说明理由． 【答案】解：，且， 当时，取最大值，最大值为， 喷出的水流最高处距离地面米； 当时，， 解得或舍去， ， 喷出的水流会落在池外．  【解析】将函数关系式化为顶点式，求出二次函数最大值即可得到答案； 令，解得的值，再和比较即可． 本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转与数学问题联系起来． 25.本小题分 在平面直角坐标系中，已知二次函数． 当时， 若，求该函数最小值； 若，则此时对应的函数值的最小值是，求的值； 当时，若对于任意的满足且此时所对应的函数值的最小值是，直接写出的值． 【答案】解：由题意，二次函数的解析式为， 顶点坐标为， 函数的最小值为． ， 对称轴， ，则此时对应的函数值的最小值是， 时，， ， ． 当时，，图象开口向上，对称轴为直线， 当，即时， 在自变量的值满足的情况下，随的增大而增大， 当时，最小值， ，解得，舍去，； 当时，即， ，的值最小， ，方程无解． 当，即， 在自变量的值满足的情况下，随的增大而减小， 故当时，为最小值， ， 解得，舍去，； 综上所述，满足条件的的值为或．  【解析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 利用配方法，把二次函数的解析式写成顶点式即可． 由题意，判断出时，，利用待定系数法可得结论． 当时，，图象开口向上，对称轴为直线，分三种情形：当，即时，当时，即，当，即，分别利用待定系数法，构建方程求解即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章二次函数单元测试卷 一、选择题：本题共12小题，共44分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数属于二次函数的是(    ) A. B. C. D. 2.已知点在抛物线上，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.抛物线与轴的交点坐标为(    ) A. B. C. D. 4.抛物线的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 5.下列表格是二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程为常数的一个解的范围是(    ) A. B. C. D. 6.对于二次函数，下列说法正确的是(    ) A. 图象的开口向下 B. 当时，有最大值 C. 当时，随的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线 7.二次函数，自变量与函数的对应值如下表： 下列说法正确的是(    ) A. 抛物线的开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 抛物线的对称轴是 D. 二次函数的最小值是 8.已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是(    ) A. 或 B. C. D. 9.在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 10.已知二次函数图象上三点，，，则、、的大小关系为(    ) A. B. C. D. 11.抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：；；；方程有两个相等的实数根其中正确结论的个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 12.已知二次函数是常数，且的图象过点，，若的长不小于，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，共30分。 13.抛物线的顶点坐标是      ． 14.已知抛物线与坐标轴有两个交点，则的值为         ． 15.若抛物线的顶点在轴上，则      ． 16.将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的表达式为         ． 17.当时，二次函数有最大值，最小值，则的值为        ． 18.如图二次函数与一次函数的图象相交于，两点，则不等式的解为        ． 19.如图，点是抛物线对称轴上的一点，连接，以为旋转中心将逆时针旋转得到，当恰好落在抛物线上时，点的坐标为______． 20.定义：横坐标与纵坐标相等的点，称为“智慧点”，例如：，均为智慧点则抛物线上所有“智慧点”的坐标为         ． 三、解答题：本题共5小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题分 已知关于的二次函数的图象与轴的交点为，，与轴交于点． 求这个二次函数的表达式； 写出它的开口方向，对称轴以及顶点坐标． 22.本小题分 已知二次函数为常数． 求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点； 若函数的图象与轴的两个公共点分别在原点的两侧，求的取值范围． 23.本小题分 某网店销售某款童装，每件售价元，每星期可卖件，为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖件．已知该款童装每件成本价元，设该款童装每件售价元，每星期的销售量为件． 求与之间的函数关系式； 当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ 若该网店每星期想要获得不低于元的利润，求此时售价的范围． 24.本小题分 要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一个柱形喷水装置，顶端安有一个喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是． 求喷出的水流最高处距离地面多少米？ 若喷水池的半径为，请判断喷出的水流会不会落在池外，并说明理由． 25.本小题分 在平面直角坐标系中，已知二次函数． 当时， 若，求该函数最小值； 若，则此时对应的函数值的最小值是，求的值； 当时，若对于任意的满足且此时所对应的函数值的最小值是，直接写出的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $