2.4.1 圆的标准方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“圆的标准方程”，通过操场圆形跑道问题导入，引导学生回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中探索方程，搭建从几何到代数的学习支架，衔接平面直角坐标系知识。 资料以实际问题培养数学眼光，通过例题、变式及表格对比几何与代数方法发展数学思维，易错点提示与分层巩固加练帮助学生精准掌握，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

第二章　直线和圆的方程 2.4圆的方程 2.4.1圆的标准方程 学习目标回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程。 问题 操场的圆形跑道，已知圆心在操场中心固定位置，跑道外圈到圆心处处距离相等（半径），已知圆心位置与跑道宽度（半径），该怎样写出这个圆形跑道对应的方程？ 一、圆的标准方程 知识梳理 （1）圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径。 （2）圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 【例1】圆的圆心为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】以点为圆心，2为半径的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【例2】已知，则以为直径的圆的方程为________． 【变式2-1】已知一圆经过点，圆心在直线上，且半径为5，求该圆的标准方程. 【变式2-2】过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　) A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 2、 点与圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为. 设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 ⇔ 点在圆上⇔ 点在圆内 ⇔ 点在圆内⇔ 点在圆外 ⇔ 点在圆外⇔ 【例3】已知圆的标准方程是，则点（ ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不能确定 【变式3-1】（多选）已知圆的方程是，则下列坐标表示点在圆外的有（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，两点，求以为直径的圆的方程，并判断点，，与圆的位置关系． 易错点提示方程未必表示圆，当r=0时，表示点（） 巩固加练 1.若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　) A.(－1，1) 　　 B.(0，1) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) 　　 D.a＝±1 2.圆的半径长等于( ) A． B．1 C． D．4 3.经过点(1，0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　) A.(x－1)2＋y2＝1 B.(x－1)2＋(y－1)2＝1 C.x2＋(y－1)2＝1 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2 4.若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是(　　) A.2 B.－2 C.1 D.－1 5.方程|y|－1＝表示的曲线是(　　) A.一条直线 B.一个圆 C.两个圆 D.两个半圆 6.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　) A.(x－2)2＋(y－1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D.(x－3)2＋(y－1)2＝1 7.（多选）圆（ ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 8.已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 9.已知的三个顶点分别是点，，，求的外接圆的标准方程． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　直线和圆的方程 2.4圆的方程 2.4.1圆的标准方程 学习目标回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程。 问题 操场的圆形跑道，已知圆心在操场中心固定位置，跑道外圈到圆心处处距离相等（半径），已知圆心位置与跑道宽度（半径），该怎样写出这个圆形跑道对应的方程？ 参考答案　把操场中心设定为平面坐标中的圆心坐标(a,b)，跑道固定宽度就是圆的半径r。跑道上任意一点到圆心的距离都等于半径，结合两点间距离式化简推导得出关系式。 整理式子即可得到圆的标准方程，用来表示整条圆形跑道。 一、圆的标准方程 知识梳理 （1）圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径。 （2）圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 【例1】圆的圆心为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆的方程得圆心，故选：A 【变式1-1】以点为圆心，2为半径的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以点为圆心，2为半径的圆的标准方程为，即，故选：D. 【例2】已知，则以为直径的圆的方程为________． 【答案】 【解析】因为，所以线段PQ的中点为（0,0），， 所以以为直径的圆的方程为， 故答案为： 【变式2-1】已知一圆经过点，圆心在直线上，且半径为5，求该圆的标准方程. 【答案】或 【解析】设圆的方程， 由圆心在直线上，且圆经过点， 得,解得或， 故圆的标准方程为或. 【变式2-2】过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　) A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 【答案】C 【解析】　设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 2、 点与圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为. 设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 ⇔点在圆A上 点在圆上⇔ 点在圆内 ⇔点在圆A内 点在圆内⇔ 点在圆外 ⇔点在圆A外 点在圆外⇔ 【例3】已知圆的标准方程是，则点（ ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不能确定 【答案】B 【解析】圆 的圆心为，半径为2，因为，所以点在圆内.故选：B 【变式3-1】（多选）已知圆的方程是，则下列坐标表示点在圆外的有（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】选项A中在圆外；选项B中在圆内；选项C中在圆内；选项D中在圆外. 故选：AD. 【变式3-2】已知，两点，求以为直径的圆的方程，并判断点，，与圆的位置关系． 【答案】点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内 【解析】由线段的中点坐标公式，求得圆心．直径．故所求圆的方程为． ，点M在圆上； ，点N在圆外； ，点Q在圆内． 综上：点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内 易错点提示方程未必表示圆，当r=0时，表示点（） 巩固加练 1.若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　) A.(－1，1) 　　 B.(0，1) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) 　　 D.a＝±1 【答案】A 【解析】因为点(1，1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1. 2.圆的半径长等于( ) A． B．1 C． D．4 【答案】B 【解析】圆的半径长1，故选：B 3.经过点(1，0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　) A.(x－1)2＋y2＝1 B.(x－1)2＋(y－1)2＝1 C.x2＋(y－1)2＝1 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2 【答案】B 【解析】　由得即所求圆的圆心坐标为(1，1)，又由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1. 4.若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是(　　) A.2 B.－2 C.1 D.－1 【答案】B 【解析】由题意知直线y＝kx＋3过圆心(1，1)，即1＝k＋3，解得k＝－2. 5.方程|y|－1＝表示的曲线是(　　) A.一条直线 B.一个圆 C.两个圆 D.两个半圆 【答案】D 【解析】由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆.所以方程|y|－1＝表示的曲线是两个半圆.故选D. 6.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　) A.(x－2)2＋(y－1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D.(x－3)2＋(y－1)2＝1 【答案】A 【解析】由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a，1)(a>0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，∴＝1，解得a＝2或a＝－(舍去). ∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1. 7.（多选）圆（ ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】ABC 【解析】圆心的坐标为， 圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心坐标，所以A选项正确；圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以B选项正确； 圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以C选项正确； 圆是关于直径对称的轴对称图形，直线不过圆心，所以D选项不正确. 故选：ABC. 8.已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 【答案】 【解析】根据题意，设圆的圆心为， 圆，其圆心为，半径为， 若圆与圆关于直线对称， 则点与关于直线对称，且圆的半径为， 则有，解可得， 则圆的方程为 9.已知的三个顶点分别是点，，，求的外接圆的标准方程． 【答案】 【解析】由题意知，为圆的直径，设圆心为， 则中点即为，所以半径为， 故外接圆的标准方程为：. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $