21.2.1.1二次函数y=ax^2的图象与性质 学案 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=x²的图象与性质，引导学生了解抛物线特征、掌握作图方法及性质。课堂导入通过复习二次函数定义、一次函数图象、作图步骤等旧知，搭建学习支架，实现从已有函数知识到新知识的自然过渡。 资料以合作探究为特色，让学生动手列表描点绘制图象，通过观察思考发现抛物线的对称性、顶点及增减性，培养几何直观与推理意识。习题从基础判断到综合面积问题，层次分明，助力学生用数学语言表达函数关系，提升应用意识和实践能力。

分课时学案 课题 21.2.1二次函数的图象与性质 单元 21 学科 数学 年级 九年级 学习 目标 1.了解二次函数的图象是一条抛物线 2.会画二次函数y=x2的图象 3.通过观察图象能够掌握二次函数y=x2的性质 重点 画二次函数y=x2的图象 难点 通过观察图象能够掌握二次函数y=x2的性质 教学过程 导入新课 复复习提问，温故孕新 1、二次函数的一般形式是怎样的？ 2、一次函数y=kx+b（k ≠ 0）的图象又是什么? 3、画函数图象的基本方法与步骤是什么？ 4、研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？ 新知讲解 创设情境，引入课题 合作探究，活动领悟 思考： 画出二次函数 y=x² 的图象. 列表 相邻两点能用线段连接吗？ 观察 二次函数 y=x² 的图象.你能发现什么？说一说. (1)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么? (2)图象有最低点吗?如果有，最低点的坐标是什么? (3) 当x<0 时，随着x 的增大，函数y 如何变化?当x>0 时呢? 从上面观察中，可以看出：二次函数y =x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 . 实际上，二次函数的图象都是抛物线.一般地，二次函数的图象称为抛物线. 归纳 抛物线y=x²的图象与性质 （1）抛物线y=x²的开口向上；y轴(直线x=0)是它的对称轴；对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，顶点的坐标是(0，0). （2）抛物线y=x²图象的顶点也是图象的最低点. （3）在y轴左侧，抛物线y=x²自左向右是下降的，即当x<0时，y随着x的增大而减小；在y轴右侧，抛物线y=x²自左向右是上升的，即当x>0时，y随着x的增大而增大. 师生互动，变式深化 例、点A(－5，25)在二次函数y＝x2的图象上吗？为什么？请分别写出点A关于x轴、y轴的对称点B，C的坐标，并判断点B，C是否在二次函数y＝x2的图象上. 巩固训练 尝试练习，巩固提高 1.如果二次函数的图象经过点（−2，），那么该图象必经过点( ) A.（2，） B.（-2，-） C.（-，2） D.（，-2） 2.观察函数y=x2的图象，下列判断正确的是( ) A.若a，b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相同 B.对于同一个自变量x，y有可能有两个值与之对应 C.对于同一个实数y，有两个x和它对应 D.对于任意实数x，都有y>0 3.如图，从函数y＝x2的图象上可看出当－1≤x≤2时，y的取值范围是　 　.  4. 已知点A（－1 ，y1），B（－，y2 ），C（ 2，y3）都在函数y=x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为______.（用“<”连接） 5.如图，已知点（-2，）在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点. （1）求的值和点的坐标； （2）若点是抛物线上一点，当以点为顶点构成的△的面积为2时，求点的坐标. 作业布置 1.当＜0时，抛物线与直线的位置大致是（ ） 2. 若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y=x2的图象上，则（    ） A．y3>y2>y1 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y3>y1>y2 3.已知抛物线y=ax2(a≠0)经过两个不同的点A(m，8)和B(2，8)，那么m的值是 。 4.已知二次函数y=x2,当自变量x在2≤x≤5范围内时,函数的最大值和最小值分别是　　　　.  5.如图，二次函数的图象经过点 (0，0)，长方形 ABCD 的顶点 A、B 在 x 轴上，C、D 恰好在二次函数的图象上，B 点的横坐标为 2，求图中阴影部分的面积之和． 答案： 课堂练习 尝试练习，巩固提高 1.如果二次函数的图象经过点（−2，），那么该图象必经过点( A ) A.（2，） B.（-2，-） C.（-，2） D.（，-2） 2.观察函数y=x2的图象，下列判断正确的是( A ) A.若a，b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相同 B.对于同一个自变量x，y有可能有两个值与之对应 C.对于同一个实数y，有两个x和它对应 D.对于任意实数x，都有y>0 3.如图，从函数y＝x2的图象上可看出当－1≤x≤2时，y的取值范围是　0≤y≤4 　.  4. 已知点A（－1 ，y1），B（－，y2 ），C（ 2，y3）都在函数y=x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为___y1＜y2＜y3___.（用“<”连接） 5.如图，已知点（-2，）在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点. （1）求的值和点的坐标； （2）若点是抛物线上一点，当以点为顶点构成的△的面积为2时，求点的坐标. 解：（1）把A（-2，m）代入y=x²中，得m=(-2)2=4. ∵抛物线y=x²的对称轴为y轴，AB⫽x轴， ∴点A和点B关于y轴对称，∴点B的坐标为（2，4）. （2）∵A（-2，4），B（2，4），∴AB=2-(-2)=4. ∵△ABP的面积为2，AB⫽x轴， ∴AB·|-4|=2，即×4×|-4|=2，解得=3或=5. 在y=x²中，当y=3时，x=±3；当y=5时，x=±5. ∴点P的坐标为(-3，3)或(3，3)或(-5，5)或(5，5). 作业设计 1.当＜0时，抛物线与直线的位置大致是（ B ） 2. 若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y=x2的图象上，则（   A ） A．y3>y2>y1 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y3>y1>y2 3.已知抛物线y=ax2(a≠0)经过两个不同的点A(m，8)和B(2，8)，那么m的值是 −2 。 4.已知二次函数y=x2,当自变量x在2≤x≤5范围内时,函数的最大值和最小值分别是　　25、0 　　.  5.如图，二次函数的图象经过点 (0，0)，长方形 ABCD 的顶点 A、B 在 x 轴上，C、D 恰好在二次函数的图象上，B 点的横坐标为 2，求图中阴影部分的面积之和． 解：∵ 二次函数 y＝2x2的图象经过点 B(2，0)， ∴ 当 x＝2 时，y＝2×22＝8. ∵ 抛物线和长方形都是轴对称图形，且 y 轴为它们的对称轴， ∴ OA＝OB. ∴ 在长方形 ABCD 内，左边阴影部分 面积等于右边空白部分面积. ∴ ＝2×8＝16. 学科网（北京）股份有限公司 $